第五节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
【课程标准】 1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.
教|材|回|顾
1．相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
2．条件概率
(1)条件概率的定义
设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
(2)条件概率的求法
求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率公式，即P(B|A)＝________.
(3)概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．
(4)条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
③设B和互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
3．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)，我们称上面的公式为全概率公式．
4．*贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n.
微|点|延|伸
1．公式P(AB)＝P(A)P(B)不可以推广到多个事件．当事件A1，A2，…，An两两独立时，P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)不一定成立，只有事件A1，A2，…，An相互独立时公式才成立．
2．事件的拆分：若A1，A2，…，An彼此互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn.
3．乘法公式的推广：
设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)>0，P(A1A2)>0，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)．其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2同时发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率．
小|题|快|练
1．(人A必二P253习题10.2T4改编)甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为( )
A． B．
C． D．1
2．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如下：
购买A种 医用外科口罩 购买B种 医用外科口罩 购买C种 医用外科口罩
甲 ? 0.2 0.4
乙 0.3 ? 0.3
则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为( )
A．0.44 B．0.40
C．0.36 D．0.32
3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
4．已知P(B)＝0.4，P(B|A)＝0.8，P(B|)＝0.3，则P(A)＝( )
A． B．
C． D．
类型一 相互独立事件的概率
考向 ：事件独立性的判断
【例1】 (2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
判断事件相互独立性的方法
1．利用定义，若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立．
2．利用对“独立性”的理解，若事件A的发生与否不影响事件B的发生与否，则两事件相互独立．
考向 ：求相互独立事件的概率
【例2】 (1)(2024·安徽合肥二模)甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为( )
A． B．
C． D．
(2)甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用七局四胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现10∶10平的情况，先多得2分者为胜方．在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，甲先发球，则甲以13∶11赢下此局的概率为( )
A． B．
C． D．
独立事件概率的求法
解答这类概率综合问题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用概率的加法公式和乘法公式来求解，在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立，只有相互独立才能运用乘法公式．
【题组对点练】
题号 1 2
考向
1.(2025·广东湛江一模)在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件M＝“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N＝“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X＝“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y＝“甲、乙两人均未选择B选项”，则( )
A．事件M与事件N相互独立
B．事件X与事件Y相互独立
C．事件M与事件Y相互独立
D．事件N与事件Y相互独立
2．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.
类型二 条件概率
【例3】 (1)(2025·福建质检)已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，下列说法不正确的为( )
A．若P(AB)＝0.18，则A，B相互独立
B．若A，B相互独立，则P(B|A)＝0.6
C．若P(B|A)＝0.4，则P(AB)＝0.12
D．若A B，则P(A|B)＝0.3
(2)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪， 70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A．0.8 B．0.6
C．0.5 D．0.4
(3)(2024·郑州二模)在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7，且三人的测试结果相互独立．测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为( )
A． B．
C． D．
求条件概率的常用方法
1．利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝；
2．借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点个数n(A)，再求在事件A发生的条件下事件B包含的样本点个数n(AB)，得P(B|A)＝.
【训练1】 (1)投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝“两次的点数均为奇数”，B＝“两次的点数之和为4”，则P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
(2)某竞赛节目中，两人答同一题目时，甲答对的概率为0.5，乙答对的概率为0.8，且甲、乙两人解答是否正确相互独立．若两人至少有1人答对，则甲答对的概率为________.
类型三 全概率公式的应用
【例4】 (1)(2025·长沙模拟)已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球．现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是( )
A． B．
C． D．
(2)一堆苹果中大果与小果的比例为9∶1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( )
A． B．
C． D．
利用全概率公式解题的思路
1．按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)．
2．求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)．
3．代入全概率公式计算．
【训练2】 (1)已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球、一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球、一个黄球；黄色口袋内装有三个红球、两个绿球(球的大小质地相同)．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为( )
A． B． C． D．
(2)某学校有A，B两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，那么他第二天会有60%的可能性换另一个餐厅就餐，假如第1天甲选择了A餐厅，则第n天选择A餐厅的概率Pn为________．
1．(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如：若依次收到1,0,1，则译码为1)．则下列结论正确的为( )
A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
2．(2024·天津高考)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________．
3．(2022·新课标Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)．
第五节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)P(A)P(B)
2．(1) (2)
小题快练
1．A 解析 设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，P(A)＝，P(B)＝，故P()＝，P()＝，所以P()＝×＝，即谜题没被破解的概率为.故选A.
2．D 解析 由表可知，甲购买A种医用外科口罩的概率为0.4，乙购买B种医用外科口罩的概率为0.4，所以甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为0.4×0.3＋0.2×0.4＋0.4×0.3＝0.32.故选D.
3．B 解析 P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(B|A)＝＝.故选B.
4．D 解析 P(B)＝P(AB＋B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，即0.4＝0.8P(A)＋0.3[1－P(A)]，解得P(A)＝0.2＝.故选D.
关键能力·落实
【例1】 B 解析 事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．故选B.
【例2】 (1)C 解析 由题意知在前5局比赛中甲胜3局，第六局甲必胜，所以所求概率为C32＝.故选C.
(2)D 解析 在双方10∶10平后，甲先发球，甲以13∶11赢下此局分两种情况：①后4球胜方依次为甲、乙、甲、甲，其概率P1＝×××＝，②后4球胜方依次为乙、甲、甲、甲，其概率P2＝×××＝.故所求概率P＝P1＋P2＝.故选D.
【题组对点练】
1．C 解析 依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，所以P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(X)＝＝，P(Y)＝＝，因为事件M与事件N互斥，所以P(MN)＝0，又P(M)·P(N)＝，所以事件M与事件N不相互独立，故A错误；P(XY)＝＝≠P(X)P(Y)＝，故B错误；由P(MY)＝＝＝P(M)P(Y)，则事件M与事件Y相互独立，故C正确；因为事件N与事件Y互斥，所以P(NY)＝0，又P(Y)·P(N)＝，所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误．故选C.
2．0.128 解析 根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为事件A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错．根据相互独立事件的概率乘法公式，可得P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.
【例3】 (1)D 解析 因为P(AB)＝0.18＝P(A)P(B)＝0.3×0.6，所以A，B相互独立，故A正确；若A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)＝0.6，故B正确；若P(B|A)＝＝＝0.4，则P(AB)＝0.12，故C正确；若A B，则P(A|B)＝＝＝0.5，故D错误．故选D.
(2)A 解析 令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝＝＝0.8，故选A.
(3)C 解析 设事件A＝“甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级”，事件B＝“乙达到优秀等级”，所以P(A)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.7)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.7)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.7＝0.29，P(AB)＝(1－0.5)×0.6×(1－0.7)＝0.09，所以P(B|A)＝＝＝.故选C.
【训练1】 (1)C 解析 由题意知事件A包含的样本点为(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9个，在A发生的条件下事件B包含的样本点为(1,3)，(3,1)，共2个，所以P(B|A)＝.故选C.
(2) 解析 设事件A＝“甲、乙两人至少一人答对”，事件B＝“甲答对”．则P(A)＝1－(1－0.5)×(1－0.8)＝0.9.P(AB)＝0.5×0.8＋0.5×0.2＝0.5.所以P(B|A)＝＝＝.
【例4】 (1)D 解析 设A＝“在甲盒中拿到红球”，B＝“在乙盒中拿到红球”．因为甲盒中有3个红球，2个黄球，所以P(A)＝，P()＝1－＝，又乙盒中有2个红球，1个黄球，所以P(B|A)＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.故选D.
(2)A 解析 记事件A1：放入水果分选机的苹果为大果，事件A2：放入水果分选机的苹果为小果，记事件B：水果分选机筛选的苹果为“大果”，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式可得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝×＝，因此，P(A1|B)＝＝×＝.故选A.
【训练2】 (1)D 解析 记第一次抽到红、绿、黄球的事件分别为A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝P(A3)＝，记第二次抽到黄球的事件为B，而A1，A2，A3两两互斥，其和为Ω，所以P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，则P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝×＋×＋×＝.故选D.
(2)0.5＋0.5×(－0.2)n－1 解析 若甲在第(n－1)天选择了A餐厅，那么在第n天有40%的可能性选择A餐厅；若甲在第(n－1)天选择了B餐厅，那么在第n天有60%的可能性选择A餐厅．所以第n天选择A餐厅的概率Pn＝0.4Pn－1＋0.6(1－Pn－1)(n≥2，n∈N*)，故Pn＝－0.2Pn－1＋0.6，所以Pn－0.5＝－0.2(Pn－1－0.5)，又由题意得，P1＝1，所以{Pn－0.5}是以0.5为首项，－0.2为公比的等比数列，所以Pn－0.5＝0.5×(－0.2)n－1，所以Pn＝0.5＋0.5×(－0.2)n－1.
高考真题·重温
1．ABD 解析 对于A，单次传输，依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则依次收到1,0,1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1；0,1,1和1,1,1的事件的和，它们互斥，所以所求的概率为Cβ(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率为(1－α)2(1＋2α)，而单次传输发送0，则译码为0的概率为1－α，又0<α<0.5，因此(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即D正确．故选ABD.
2. 解析 由题意知甲选到A的概率P＝＝.记乙选择A活动为事件M，乙选了A活动再选择B活动为事件N，则P(M)＝＝，P(MN)＝＝，所以P(N|M)＝＝＝.
3．解 (1)平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝(0.005＋0.03＋0.3＋0.595＋1.035＋1.1＋1.105＋0.45＋0.17)×10＝47.9(岁)．
(2)设A＝{一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)}，则P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.
(3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40,50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式，得P(C|B)＝＝＝＝0.001 437 5≈0.001 4.即此人患这种疾病的概率约为0.001 4.(共54张PPT)
第五节
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
相互独立事件的概率
解析
解析
解析
解析
解析
类型二
条件概率
解析
解析
解析
解析
解析
类型三
全概率公式的应用
解析
解析
解析
解析
高考真题/重温
第三部分
——明确方向
解析
解析
解析
解
解
解
R
赢在欲点
频率/组距
0.023
0.020
0.017
0.012
0.006
808
0
102030405060708090年龄/岁微练(八十四) 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
基础过关
一、单项选择题
1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又相互独立
2．已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则P(A＋B)等于( )
A．0.88 B．0.9
C．0.7 D．0.72
3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A． B． C． D．
4．为充分感受冬奥的运动激情，领略奥运的拼搏精神，甲、乙、丙三人进行短道速滑训练赛．已知每一场比赛甲、乙、丙获胜的概率分别为，，，则3场训练赛过后，甲、乙获胜场数相同的概率为( )
A． B． C． D．
5. (2024·东北三省四市联考)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“” 和 阴 爻“”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，记事件A＝“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B＝“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则P(B|A)＝( )
A． B． C． D．
6．(2025·湘豫联考)某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队．选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为 ( )
A． B． C． D．
二、多项选择题
7．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1,2,3,4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为1或2”，事件N为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是( )
A．事件M与事件N互斥
B．事件M发生的概率为
C．事件M与事件N相互独立
D．事件M＋N发生的概率为1
8．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外，没有其他区别)．先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出2个球，用事件B表示从乙箱中取出的2个球都是红球．则( )
A．P(A1)＝ B．P(B)＝
C．P(B|A1)＝ D．P(A2|B)＝
三、填空题
9．甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为和p.若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为，则p的值为________．
10．(2024·昆明市质量检测)一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为________．
11．(2025·江苏联考)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%.加工出来的零件混放在一起，已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为________．
四、解答题
12．某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8,0.9,0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰．
(1)求该部门招工的淘汰率；
(2)求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率．
13.(2025·南京调研)为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A，B，C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是.
(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A，B，C三个项目，如果A，B，C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券，如果仅有两个项目中奖，顾客将获得50元奖券，否则就没有奖券．求每位顾客获得50元奖券的概率；
(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率．
素养提升
14．盒子内装有编号为1,2,3，…，10的10个除编号外完全相同的玻璃球．从中任取三球，则其编号之和能被3整除的概率为________．
15．(2024·湖北三模)某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100 m跑项目．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛，已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和－p，其中
(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；
(3)在(2)的条件下，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列．
微练(八十四) 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
1．C 解析 因为P(A)＝1－P()＝1－＝，所以P(A)P(B)＝，P(AB)＝P(A)P(B)≠0，所以事件A与B相互独立，事件A与B不互斥也不对立．故选C.
2．C 解析 因为事件A，B相互独立，故P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，又P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.5＋0.4－0.2＝0.7.故选C.
3．B 解析 因为他第一次拿到白球且不放回，所以在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率等价于从装有3个红球、1个白球、5个黑球中拿到红球的概率，即为＝.故选B.
4．C 解析 “甲、乙获胜场数相同”包括两种情况：“甲、乙各获胜1场”与“甲、乙各获胜0场”，所以所求概率为C××C××C×＋C3＝.故选C.
5．C 解析 P(A)＝＝.事件AB＝“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”，则P(AB)＝＝，则P(B|A)＝＝.故选C.
6．D 解析 记选“初心”队为事件A，选“使命”队为事件B，该单位获胜为事件M.则P(A)＝P(B)＝0.5，P(M|A)＝0.8，P(M|B)＝0.7，因此P(M)＝P(A)P(M|A)＋P(B)P(M|B)＝0.5×0.8＋0.5×0.7＝0.75.所以选“使命”队参加比赛的概率P(B|M)＝＝＝＝.故选D.
7．BC 解析 由题意可得P(M)＝＝，故B正确；当两次抛掷的点数为(1,4)时，事件M与事件N同时发生，所以事件M与事件N不互斥，故A错误；事件M与事件N同时发生的情况有(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，共4种，所以P(MN)＝＝，又P(N)＝＝，所以P(MN)＝P(M)·P(N)，故事件M与事件N相互独立，故C正确；P(M＋N)＝P(M)＋P(N)－P(MN)＝＋－＝，故D错误．故选BC.
8．ABD 解析 对于A，由题意，知P(A1)＝，P(A2)＝，故A正确．对于B，因为P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，故B正确．对于C，由对B选项的分析知P(B|A1)＝，故C不正确．对于D，P(A2|B)＝＝＝，故D正确．综上，选ABD.
9. 解析 设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则P(A)＝，P()＝1－＝，P(B)＝p，P()＝1－p.依题意得×(1－p)＋×p＝，解得p＝.
10. 解析 记事件A表示“2名中至少有1名男生”，事件B表示“2名中有1名女生”，则“2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生”的概率为P(B|A)＝，而P(AB)＝＝，P(A)＝1－＝，所以P(B|A)＝.
11. 解析 设Ai表示“取到的零件是第i(i＝1,2,3)台车床加工”，B表示“取到的零件是次品”，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.06×0.25＋0.05×0.3＋0.05×0.45＝0.052 5，P(A2B)＝P(A2)P(B|A2)＝0.3×0.05＝0.015，所以P(A2|B)＝＝＝.
12．解 设B表示最终通过考核，A1，A2，A3，A4分别表示通过第一、二、三、四项考核．
(1)因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为P(B)＝0.6×0.8×0.9×0.65＝0.280 8，因此该部门招工的淘汰率为P()＝1－P(B)＝1－0.280 8＝0.719 2.
(2)在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为P(B|A1A3)＝＝＝0.52，因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为1－P(B|A1A3)＝1－0.52＝0.48.
13．解 (1)P(X＝50)＝×C××＋×2＝.
(2)设“该顾客中奖”为事件M，参加项目A，B，C分别记为事件N1，N2，N3，则P(M)＝(Ni)P(M|Ni)＝×＋×＋×＝，所以P(N1|M)＝＝＝＝，即已知某顾客中奖了，则他参加的是A项目的概率是.
14. 解析 依题意，知试验含有的样本点总数为C ＝120，且它们的发生是等可能的，10个数中能被3整除的有3,6,9；除以3余数是1的有1,4,7,10；除以3余数是2的有2,5,8，取出的3个数的和能被3整除的事件有以下几类可能：3个数都能被3整除，有C＝1种；3个数都除以3余数是1，有C＝4种；3个数都除以3余数是2，有C＝1种；3个数有1个能被3整除，1个除以3余数是1,1个除以3余数是2，有CCC＝36种，所以所求概率为＝.
15．解 (1)甲进入决赛的概率为p1＝2＝，乙进入决赛的概率为p2＝×＝，丙进入决赛的概率为p3＝p＝－p2＋p＝－2＋，而(2)甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为××＋×p＋××p＝，整理可得18p2－27p＋10＝0.由(3)由题意可知，甲、乙、丙进入决赛的概率分别为，，，由题意可知，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝××＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝××＝，P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，所以随机变量ξ的分布列如表.
ξ 0 1 2 3
P(共31张PPT)
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
微练(八十四)
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