第六节 离散型随机变量及其分布列与数字特征
【课程标准】 1.理解离散型随机变量的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解离散型随机变量的均值与方差的概念，能计算离散型随机变量的均值与方差，并能解决一些实际问题.
教|材|回|顾
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)pi________0(i＝1,2，…，n)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝________.
4．离散型随机变量的均值与方差
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
称E(X)＝______________＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的________．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝________为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的________，记为σ(X)．它们都可以度量随机变量取值与其均值的________．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝________.
(2)D(aX＋b)＝________(a，b为常数)．
(3)D(X)＝pi－(E(X))2.
微|点|延|伸
1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)E(X2)．
小|题|快|练
1．(多选题)(北师大选一P197T3改编)抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
2．(苏教选二P146T7)设随机变量X的可能取值为1,2，…，n，并且取1,2，…，n是等可能的．若P(X<4)＝0.3，则下面结论中正确的是( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n不能确定
3．若随机变量X的分布列如下表所示，且E(X)＝0.5，则a，b的值分别是( )
X －1 0 1 2
P 0.3 a b 0.2
A．0.1,0.4 B．0.4,0,1
C．0.3,0.2 D．0.2,0.3
4．已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________.
5．已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝________，方差D(X)＝________.
类型一 离散型随机变量分布列、均值、方差的性质自练自悟
1.(多选题)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是( )
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
2．设随机变量X的分布列如下，则P(|X－2|＝1)＝( )
X 1 2 3 4
P m
A． B． C． D．
3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(0
B．E(3X＋2)＝7
C．D(X)＝2
D．D(3X＋1)＝6
1．离散型随机变量分布列的性质应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
2．离散型随机变量均值、方差的性质应用
若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b(a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，D(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求E(Y)，D(Y).
类型二 求离散型随机变量的均值与方差
【例1】 (2024·九省联考)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
1．理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．
2．求ξ取每个值的概率．
3．写出ξ的分布列．
4．由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．
【训练1】 (2025·济南模拟)抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a，b，记的取值为随机变量X，其中表示不超过的最大整数．
(1)求在X>0的条件下，X＝的概率；
(2)求X的分布列、数学期望及方差．
类型三 决策问题
【例2】 (2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；
(2)假设0(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【规范解答】 (1)设A1＝“甲、乙所在队进入第二阶段”，则P(A1)＝1－(1－0.4)3＝0.784.
思维点1：计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率．
设A2＝“乙在第二阶段至少得5分”，则P(A2)＝1－(1－0.5)3＝0.875.
思维点2：计算乙至少得5分的概率，从而计算甲、乙所在队不少于5分的概率．
设A3＝“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则P(A3)＝P(A1)·P(A2)＝0.686.
(2)(ⅰ)设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲，
则P甲＝[1－(1－p)3]·q3＝pq3·(3－3p＋p2)．
思维点3：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率．
设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙，
则P乙＝[1－(1－q)3]·p3＝qp3·(3－3q＋q2)．
思维点4：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率．
则P甲－P乙＝pq(3q2－3pq2＋p2q2－3p2＋3p2q－p2q2)＝3pq(q－p)(p＋q－pq)，
由00，p＋q－pq＝p＋q(1－p)>0，
所以P甲－P乙>0，即P甲>P乙．
思维点5：作差法比较大小．
故应该由甲参加第一阶段比赛．
( ⅱ)若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15.
P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3，
P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·C·q·(1－q)2，
P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·C·q2·(1－q)，
P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·Cq3，
所以E(X)＝[1－(1－p)3]·[15q(1－q)2＋30q2(1－q)＋15q3]＝[1－(1－p)3]·15q＝15pq(p2－3p＋3)．
思维点6：计算甲参加第一阶段比赛，甲、乙所在队比赛成绩的数学期望．
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15.
同理，可得E(Y)＝15pq(q2－3q＋3)．
思维点7：计算乙参加第一阶段比赛，甲、乙所在队比赛成绩的数学期望．
E(X)－E(Y)＝15pq(p2－3p－q2＋3q)＝15pq·(q－p)(3－p－q)，
由00,3－p－q＝3－(p＋q)>0，
所以E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y)．
思维点8：作差法比较大小．
故应该由甲参加第一阶段比赛．
本题以相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列为工具，考查分类讨论思想和推理论证能力，使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出，发挥高考的选拔功能，引导数学教学关注对学生核心素养的培养．
【训练2】 某公司计划在2025年年初将1 000万元用于投资，现有两个项目供选择．项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和.
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，大约在哪一年年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
第六节 离散型随机变量及其分布列与数字特征
必备知识·梳理
教材回顾
1．唯一
3．≥ 1
4．(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 平均水平
(2)(xi－E(X))2pi 标准差 偏离程度
5．(1)aE(X)＋b (2)a2D(X)
小题快练
1．AB 2.C
3．A 解析 由分布列的性质，得0.3＋a＋b＋0.2＝1，则a＋b＝0.5 ①.因为E(X)＝0.5，所以－1×0.3＋0×a＋1×b＋2×0.2＝0.5，解得b＝0.4.将b的值代入①，得a＝0.1.故选A.
4. 解析 E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
5. 解析 随机变量X的取值为0,1,2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
关键能力·落实
1．ABD 解析 因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确．P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确．故选ABD.
2．C 解析 由|X－2|＝1，解得X＝3或X＝1.由分布列的性质可得m＝1－＝，所以P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝.故选C.
3．C 解析 因为随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2,5)，由分布列的性质可知，P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝5)＝＋＋＝1，解得a＝1.P(0【例1】 解 (1)从8个小球中，随机一次取出3个小球，共有C＝＝56(种)结果．先从数字1,2,3,4中选择3个数字，再从选定的数字中各取1个小球，共有CCCC＝32(种)结果．记事件A：“取出的3个小球上的数字两两不同”，则P(A)＝＝.所以取出的3个小球上的数字两两不同的概率为.
(2)因为X为取出的3个小球上的最小数字，所以X的所有可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.故X的分布列为
X 1 2 3
P
X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
【训练1】 解 (1)记抛掷骰子的样本点为(a，b)，则样本空间Ω＝{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6，a∈Z，b∈Z}，则n(Ω)＝36，记事件A＝“X>0”，记事件B＝“X＝＝”，则A＝{(a，b)|1≤a≤b≤6，a∈Z，b∈Z}，且n(A)＝21，又AB＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,3)，(3,6)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，则n(AB)＝14，所以P(B|A)＝＝＝，即在X>0的条件下，X＝的概率为.
(2)X所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝，所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝.
【训练2】 解 (1)若投资项目一，设获利为ξ1万元(负值表示亏损)，则ξ1的分布列为
ξ1 300 －150
P
E(ξ1)＝300×＋(－150)×＝200.
若投资项目二，设获利为ξ2万元(负值表示亏损，0表示不赔不赚)，则ξ2的分布列为
ξ2 500 0 －300
P
E(ξ2)＝500×＋0×＋(－300)×＝200.所以E(ξ1)＝E(ξ2)，即投资项目一和项目二获利的期望相同．D(ξ1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，D(ξ2)＝(500－200)2×＋(0－200)2×＋(－300－200)2×＝140 000，所以D(ξ1)(2)假设n(n∈N*)年后总资产可以翻一番，依题意得1 000×n＝2 000，即1.2n＝2，两边同时取对数，得n×lg 1.2＝lg 2，n＝≈≈3.805 3，所以该投资公司大约在2028年年底总资产可以翻一番．(共44张PPT)
第六节
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
离散型随机变量及其分布列与数字特征
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
离散型随机变量分布列、均值、方差的性质 自练自悟
解析
解析
解析
类型二
求离散型随机变量的均值与方差
解
解
解
解
解
类型三
决策问题
规范解答
规范解答
规范解答
规范解答
规范解答
规范解答
规范解答
解
解
解
解
R
赢在欲点微练(八十五) 离散型随机变量及其分布列与数字特征
基础过关
一、单项选择题
1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．设抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )
A．ξ＝4 B．ξ＝5
C．ξ＝6 D．ξ≤5
2．已知P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，随机变量Y＝2X－1，则P(Y≥3)＝( )
A． B． C． D．
3．已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P a
则X的均值E(X)等于( )
A． B．2
C． D．3
4．已知X的分布列为
X －1 0 1
P
且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为( )
A． B． C． D．
6．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：
甲产业收益分布列
收益X/亿元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
乙产业收益分布列
收益Y/亿元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
则下列说法正确的是( )
A．甲产业收益的期望大，风险高
B．甲产业收益的期望小，风险小
C．乙产业收益的期望大，风险小
D．乙产业收益的期望小，风险高
二、多项选择题
7．一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则( )
A．X的所有可能取值是3,4,5
B．X最有可能的取值是5
C．X取值是3的概率为
D．X的数学期望是
8．已知某商场某种商品的单件销售利润为X，X的可能取值为0，a,2，根据以往销售经验可得0X 0 a 2
P b
则下列结论正确的是( )
A．b＝
B．若该商场销售5件该商品，其中有3件销售利润为0的概率为
C．D(X)min＝
D．当D(X)最小时，E(X)＝
三、填空题
9．某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________．
10．某日A，B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝________.
11．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(01.75，则p的取值范围为________．
四、解答题
12．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求：
(1)“所选3人中女生人数X≤1”的概率；
(2)X的均值与方差．
13．(2025·辽宁模拟)民航招飞是指普通高校飞行技术专业(本科)通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔这5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，，，1.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生A，B，C这三人报名民航招飞．
(1)求A，B，C这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率；
(2)根据A，B，C这三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，，，设随机变量X为A，B，C这三人中能被招飞院校录取的人数，求X的分布列和数学期望．
素养提升
14．(2024·北京高考)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
(ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中E(X)估计值的大小．(结论不要求证明)
微练(八十五) 离散型随机变量及其分布列与数字特征
1．C 解析 “放回5个红球”表示前五次抽到黑球，第六次抽到红球，故ξ＝6.故选C.
2．B 解析 由题意可知P(Y≥3)＝P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.故选B.
3．A 解析 由题意得＋a＋＝1，解得a＝，故E(X)＝1×＋2×＋3×＝.故选A.
4．B 解析 E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，由Y＝aX＋3得E(Y)＝aE(X)＋3，所以＝a×＋3，解得a＝2.故选B.
5．B 解析 记李明这3道题的得分为随机变量X，则X的所有可能取值为0,5,10,15，P(X＝0)＝2×＝，P(X＝5)＝C×××＋2×＝，P(X＝10)＝C×××＋2×＝，P(X＝15)＝2×＝，所以E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＝.故选B.
6．A 解析 由题意可得E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，故E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，即甲产业收益的期望大，风险高．故选A.
7．AC 解析 记 “一个未使用过的乒乓球”为A, “一个已使用过的乒乓球”为B，任取3个球的所有可能是1A2B,2A1B,3A，A使用后成为B，故X的所有可能取值是3,4,5，故A正确；P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以X最有可能的取值是4，故B错误，C正确；E(X)＝3×＋4×＋5×＝，故D错误．故选AC.
8．ABC 解析 对A，由题意知，＋b＋＝1，所以b＝，故选项A正确．对B，该商场销售5件该商品，其中有3件销售利润为0的概率为C32＝，故选项B正确．对C，随机变量X的期望E(X)＝0×＋a＋2×＝(a＋1)，D(X)＝2×＋2×＋2×＝×(2a2－2a＋5)＝×，因为09．40% 解析 由分布列的性质，得P(X≥9)＝a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.
10．0.4 解析 设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)，则P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝C×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
11. 解析 由题意知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，所以E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2>1.75，解得p>或p<，又p∈(0,1)，所以p∈.
12．解 (1)“所选3人中女生人数X≤1”的概率P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝.
(2)因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量X表示所选3人中女生的人数，所以X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
13．解 (1)因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，，，1，且能否通过相互独立，所以每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为P＝×××1＝.故A，B，C这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率P0＝C2×＝.
(2)因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为P＝，且预估A，B，C能被招飞院校录取的概率分别为，，，所以A能被招飞院校录取的概率为P1＝×＝，B能被招飞院校录取的概率为P2＝×＝，C能被招飞院校录取的概率为P3＝×＝，由题知，X的可能取值为0,1,2,3，所以P(X＝0)＝××＝，P(X＝1)＝××＋×××2＝，P(X＝2)＝×××2＋××＝，P(X＝3)＝××＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
14．解 (1)解法一：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，由索赔次数不少于2，知索赔次数为2,3,4，所以P(A)＝＝＝.
解法二：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算，则P(A)＝1－＝.
(2)(ⅰ)由题知X的所有可能取值为0.4，－0.4，－1.2，－2.0，－2.6，则P(X＝0.4)＝＝0.8，P(X＝－0.4)＝＝0.1，P(X＝－1.2)＝＝0.06，P(X＝－2.0)＝＝0.03，P(X＝－2.6)＝＝0.01，故E(X)＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝0.122.
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比(ⅰ)中E(X)估计值大．证明如下：
设调整保费后一份保单的毛利润(单位：万元)为Y，则
对于索赔次数为0的保单，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384，
对于索赔次数为1的保单，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32，
对于索赔次数为2的保单，Y＝－0.32－0.8＝－1.12，
对于索赔次数为3的保单，Y＝－1.12－0.8＝－1.92，
对于索赔次数为4的保单，Y＝－1.92－0.6＝－2.52，
故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.125 2.所以E(X)离散型随机变量及其分布列与数字特征
微练(八十五)
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