微练(八十七) 概率与统计的综合问题
1．(2025·长沙适应性考试)某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表：
优质品 非优质品
更新前 24 16
更新后 48 12
(1)依据小概率值α＝0.050的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率；
(2)如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率．质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败．
①求经核查认定设备更新失败的概率p；
②根据p的大小解释核查方案是否合理．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋D．
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
2.(2025·东北三省四市联考)入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的“小土豆”们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，并在某APP平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在该APP平台10天销售优惠券的情况.
第t天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
销售量y/千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4
经计算可得：＝i＝2.2，iyi＝118.73，＝385.
(1)由于优惠券购买火爆，该APP平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)；
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用2张优惠券，且顾客选择套餐后才能购买套餐可用数量的优惠券．记该APP平台累计销售优惠券为n张的概率为Pn，求Pn及Pn的最大值与最小值．
附：在经验回归方程＝x＋中，＝＝，＝－.
3.某企业对500个产品逐一进行检验，检验“合格”方能出厂．产品检验需要进行A，B，C三项工序，三项检验全部通过则被确定为“合格”，若其中至少两项检验不通过的产品确定为“不合格”，有且只有一项检验不通过的产品将其进行改良后再检验A，B两项工序，如果这两项全部通过则被确定为“合格”，否则确定为“不合格”．每个产品检验A，B，C三项工序工作相互独立，每一项检验不通过的概率均为p(0
(1)记某产品被确定为“不合格”的概率为f(p)，求f的值；
(2)若不需要重新检验的每个产品的检验费用为120元，需要重新检验的每个产品两次检验费用为200元．除检验费用外，其他费用为2万元，且这500个产品全部检验，该企业预算检验总费用(包含检验费用与其他费用)为10万元．试预测该企业检验总费用是否会超过预算？并说明理由.
微练(八十七) 概率与统计的综合问题
1．解 (1)零假设为H0：设备更新与提高产品的优质率独立，即设备更新后不能提高产品优质率．
由题中列联表可得χ2＝≈4.762>3.841，依据小概率值α＝0.050的独立性检验，我们可以推断H0不成立，因此可以认为设备更新后能提高产品优质率．
(2)根据题意，设备更新后产品的优质率为0.8.可以认为从更新后的生产线中抽出的5件产品是否为优质品是相互独立的．
①设X表示这5件产品中优质品的件数，则X～B(5,0.8)，可得p＝P(X≤2)＝C×0.25＋C×0.8×0.24＋C×0.82×0.23＝0.057 92.
②实际上设备更新后提高了优质率．当这5件产品中的优质品件数不超过2时，认为更新失败，此时作出了错误的判断，由于作出错误判断的概率很小，则核查方案是合理的．
2．解 (1)剔除第10天的数据，可得＝＝2.4，＝＝5，则iyi＝118.73－10×0.4＝114.73，＝385－102＝285，所以＝＝＝，可得＝2.4－×5＝，所以＝t＋.
(2)由题意知P1＝，P2＝×＋＝，当n≥3时，Pn＝Pn－1＋Pn－2，所以Pn＋Pn－1＝Pn－1＋Pn－2(n≥3)，又P2＋P1＝＋×＝1，所以当n≥2时，是各项都为1的常数列，即Pn＋Pn－1＝1(n≥2)，所以Pn－＝－(n≥2)．又P1－＝－＝－，所以数列是首项为－、公比为－的等比数列，故Pn－＝－n－1，所以Pn＝－n－1＋＝＋n.当n为偶数时，Pn＝＋·n>，Pn随n的增大而减小，最大值为P2＝.当n为奇数时，Pn＝－·n<，Pn随n的增大而增大，最小值为P1＝.综上可得，数列{Pn}的最大值为，最小值为.
3．解 (1)依题意，每个产品首次检验被确定为“不合格”的概率为Cp2(1－p)＋Cp3，首次检验有且只有一项检验不通过的产品再次检验被确定为“不合格”的概率为Cp(1－p)2[1－(1－p)2]．因为f(p)＝Cp2(1－p)＋Cp3＋Cp·(1－p)2[1－(1－p)2]＝－3p5＋12p4－17p3＋9p2，所以f＝.
(2)设每个产品检验的费用为X元，则X的可能取值为120,200，依题意，P(X＝200)＝Cp(1－p)2，P(X＝120)＝1－Cp(1－p)2，则E(X)＝200Cp(1－p)2＋120[1－Cp(1－p)2]＝120＋240p(1－p)2，p∈(0,1)．设函数g(x)＝120＋240x(1－x)2，x∈(0,1)，求导得g′(x)＝240(3x－1)(x－1)，当00，g(x)单调递增；当概率与统计的综合问题
微练(八十七)
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赢在欲点微专题强化十 概率与统计的综合问题
专|题|梳|理
概率与统计解答题，主要涉及概率求解、分布列与数学期望、回归分析及独立性检验等，既有基础的简单应用，也有与各类知识交汇的综合题、决策题．如概率与统计和统计案例交汇、概率与数列、函数、不等式等的交汇．此类问题对阅读理解能力要求较高，考查数学建模和数学运算的核心素养．
典|型|例|题
类型一 概率与统计的交汇问题
【例1】 (2024·青岛模拟)2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言．为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男、女生各50人作为样本．设事件A＝“了解人工智能”，B＝“学生为男生”，据统计P(A|)＝，P(B|A)＝.
(1)根据已知条件，填写下列2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，是否认为该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？
了解人工智能 不了解人工智能 合计
男生
女生
合计
(2)①现从所抽取的女生中利用分层随机抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人赠送科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．
参考公式：χ2＝.常用的小概率值和对应的临界值如表：
α 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布、频率分布直方图等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．
【训练1】 (2025·昆明一模)某企业为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为了解研发资金的投入额x(单位：千万元)对年收入的附加额y(单位：千万元)的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额xi和年收入的附加额yi进行研究，得到相关数据如下：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
研发资金的投入额 xi/千万元 10 30 40 60 80 90 110
年收入的附加额 yi/千万元 3.20 4.00 4.80 6.00 7.30 7.45 9.25
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)若年收入的附加额与研发资金的投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这3个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：iyi＝2 976，i＝42，＝32 800.
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－.
类型二 概率与函数的交汇问题
【例2】 某活动中心举行两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响．
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为f(p)，求p为何值时，f(p)取得最大值．
通过设置变量，利用数学期望、方差或概率的计算公式构造函数，是概率与函数问题结合最常用的方式．解决此类问题，应注意两个问题：
1．准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的数学期望、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键．
2．注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身取值的限制．
【训练2】 (2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值．
类型三 概率与数列的交汇问题
【例3】 学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天中午选择了米饭套餐，则第2天中午选择米饭套餐的概率为；若他前1天中午选择了面食套餐，则第2天中午选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学开学第n(n∈N*)天中午选择米饭套餐的概率为Pn.证明：当n≥2时，Pn≤.
从问题与解答过程可以看出，这就是概率中典型的数列问题，解决这类题的步骤如下：
1．理清初始事件的概率p1(或p0)．
2．利用事件关系寻求第n步的概率pn与第n＋1步的概率pn＋1之间的关系，即递推关系pn＋1＝f(pn)．
3．利用数列的相关知识，由已知p1与pn＋1＝f(pn)求出通项公式pn.
【训练3】 (2025·广东湛江一模)甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同)．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为Pn(n＝1,2,3，…，25)．
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；
(2)证明：数列{Pn－Pn－1}(n＝2,3，…，24)为等比数列．
微专题强化十 概率与统计的综合问题
关键能力·落实
【例1】 解 (1)因为P(A|)＝，P(B|A)＝，所以了解人工智能的女生有50×＝30人，了解人工智能的总人数为＝70，则了解人工智能的男生有70－30＝40人，结合男生和女生各有50人，填写2×2列联表为
了解人工智能 不了解人工智能 合计
男生 40 10 50
女生 30 20 50
合计 70 30 100
零假设H0：该校学生对人工智能的了解情况与性别无关．
因为χ2＝＝≈4.762<6.635，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为该校学生对人工智能的了解情况与性别无关．
(2)①由题意可知，所抽取的20名女生中，了解人工智能的有20×＝12人，不了解人工智能的有20×＝8人，所以选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率为P＝＝.
②由2×2列联表可知，抽到了解人工智能的学生的频率为＝，将频率视为概率，所以从我市所有参与调查的学生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为，由题意可知，X～B，所以E(X)＝20×＝14，D(X)＝20××＝.
【训练1】 解 (1)＝6，＝60，＝＝＝0.06，＝－＝6－0.06×60＝2.4，所以y关于x的经验回归方程为＝0.06x＋2.4.
(2)由题意，7个年份中年收入的附加额与研发资金的投入额的比值大于0.1的有3个，所以X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝或E(X)＝×3＝.
【例2】 解 (1)X可取5,6,7,8,9,10.P(X＝5)＝C5＝，P(X＝6)＝C4＝，P(X＝7)＝C23＝，P(X＝8)＝C32＝，P(X＝9)＝C4＝，P(X＝10)＝C5＝.分布列如下：
X 5 6 7 8 9 10
P
所以E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＋9×＋10×＝7.5.
(2)设一天得分不低于3分为事件A，则P(A)＝1－(1－p)＝1－(1－p)＝，则恰有3天每天得分不低于3分的概率f(p)＝C3·2＝(2p＋1)3(1－p)2,00，当【训练2】 解 (1)由题图知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100.设X为患病者的该指标，则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5.设Y为未患病者的该指标，则q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)当95≤c≤100时，p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；当100＜c≤105时，p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.综上所述，f(c)＝由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95,100]上单调递减，在(100,105]上单调递增，作出f(c)在区间[95,105]上的大致图象(略)，可得f(c)在区间[95,105]的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02.
【例3】 解 (1)设Ai＝“第i天中午选择米饭套餐”(i＝1,2)，则i＝“第i天中午选择面食套餐”，根据题意P(A1)＝，P()＝，P(A2|A1)＝，P(A2|)＝，由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P()P(A2|)＝×＋×＝.
(2)证明：设An＝“第n天中午选择米饭套餐”(n∈N*)，则Pn＝P(An)，P()＝1－Pn，P(An＋1|An)＝，P(An＋1|)＝，由全概率公式，得P(An＋1)＝P(An)·P(An＋1|An)＋P()P(An＋1|)＝－Pn＋，即Pn＋1＝－Pn＋，所以Pn＋1－＝－，因为P1－＝，所以是以为首项，－为公比的等比数列，可得Pn＝＋×n－1(n∈N*)．当n为大于1的奇数时，Pn＝＋×n－1≤＋×2＝；当n为偶数时，Pn＝－×n－1<<，综上所述，当n≥2时，Pn≤.
【训练3】 解 (1)根据题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝，可得X的分布列如下：
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(2)证明：由(1)知两球颜色相同的概率为，颜色不同的概率为.棋子在第1格为必然事件，则P1＝1，棋子跳到第2格的概率为P2＝，所以P2－P1＝－，当3≤n≤24时，Pn＝Pn－1＋Pn－2，所以5(Pn－Pn－1)＝－3(Pn－1－Pn－2)，所以＝－，所以数列{Pn－Pn－1}是以－为首项，－为公比的等比数列．(共30张PPT)
概率与统计的综合问题
微专题强化十
专|题|梳|理
类型一
概率与统计的交汇问题
典|型|例|题
解
解
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解
解
类型二
概率与函数的交汇问题
解
解
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解
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类型三
概率与数列的交汇问题
解
解
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赢在欲点
频率
组距
0.040
0.036
0.034
0.012
0.0021
095100105110115120125130
指标
患病者
卫川九反火采中A日出
频率
0.040
组距
0.038
0.036
0.034
0.010
0.002
0707580
8590
95100105
指标
未患病者