第22章 一元二次方程评价卷
时间:90分钟 满分:100分
班级: 学号: 姓名:
成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是(C)
A.x3-x=1 B.ax2+x=0
C.x(x-2)=-1 D.x2+=0
2.方程x(x-1)=x的解是(D)
A.x=0 B.x=2
C.x1=0,x2=1 D.x1=0,x2=2
3.下列方程变形正确的是(C)
A.x2-x-1=0,可化为(x-)2=
B.x2+4x+3=0,可化为(x+2)2=7
C.3x2-6x-45=0,可化为(x-1)2=16
D.2x2-3x-1=0,可化为(x-)2=
4.若x为任意有理数,则多项式4x-4-x2的值(C)
A.一定为正数 B.一定为负数
C.不可能为正数 D.为任意有理数
5.已知x=2是关于x的一元二次方程(m-4)x2+8x-m2=0的一个根,则m的值为(A)
A.0 B.4 C.-4 D.0或4
6.某校连续三年组织学生参加义务植树,第一年共植树400棵,第三年共植树625棵.设该校植树棵数的年平均增长率为x,根据题意,下列方程正确的是(B)
A.625(1-x)2=400
B.400(1+x)2=625
C.625x2=400
D.400x2=625
7.三角形两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根,则该三角形的面积是(C)
A.24 B.48
C.24或8 D.8
8.已知函数y=kx+b的图象如图所示,则一元二次方程bx2+x+2-k=0的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
9.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有下列说法:①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根;③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2.其中正确的是(B)
A.①② B.①②④
C.①②③④ D.①②③
10.如图所示,在矩形ABCD中,AD=20 cm,AB=16 cm,动点P,Q分别从点A,B同时出发,点P以2 cm/s的速度向点B移动,到点B停止,点Q以3 cm/s的速度向点C移动,到点C停止,则经过 s,△PBQ的面积是矩形面积的.(D)
A.2 B.5
C.2或5 D.2或6
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.已知关于x的方程(m-3)-x+5=0是一元二次方程,则m=
-1 .
12.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1,x2满足2x1x2>x1+x2,则m的取值范围是 313.关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两个实数根是a和b,若有a2+b2=ab+1,则k的值为 -1 .
14.如图①所示,有一张长32 cm,宽16 cm的长方形硬纸片,裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后,恰好折成如图②所示的有盖纸盒.若纸盒的底面积是130 cm2,则纸盒的高为
3 cm .
①
②
15.定义新运算“*”,规则:a*b=如3*1=3,(-)*=,若x2+x-1=0的两根为x1,x2,则x1*x2= .
16.如图所示都是由同样大小的小球按一定规律排列的,依照此规律排列下去,第 20 个图有 210个小球.
三、解答题(共46分)
17.(8分)解方程:
(1)3(x-2)2=x(2-x); (2)(2x-3)2=(3x+5)2;
(3)2x2+3=7x; (4)-3x2+6x=-9.
解:(1)移项,得3(x-2)2+x(x-2)=0,
方程左边分解因式,得(x-2)(3x-6+x)=0.
∴x-2=0或3x-6+x=0.
解得x1=2,x2=.
(2)移项,得(2x-3)2-(3x+5)2=0,
方程左边分解因式,得
(2x-3+3x+5)(2x-3-3x-5)=0,
即(5x+2)(-x-8)=0.
∴5x+2=0或-x-8=0.
解得x1=-,x2=-8.
(3)移项,得2x2-7x+3=0,
a=2,b=-7,c=3,
Δ=(-7)2-4×2×3=25>0,
∴x==,∴x1=3,x2=.
(4)方程两边同除以-3,得x2-2x=3,
配方,得x2-2x+12=3+12,
即(x-1)2=4,
直接开平方,得x-1=±2,
∴x1=3,x2=-1.
18.(6分)我们规定:对于任意实数a,b,c,d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=
13.
(1)求[-4,3]*[2,-6]的值;
(2)已知关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,求m的取值范围.
解:(1)[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10.
(2)根据题意,得x(mx+1)-m(2x-1)=0,
整理,得mx2+(1-2m)x+m=0.
∵关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,
∴Δ=(1-2m)2-4m·m≥0且m≠0,解得m≤且m≠0.
19.(6分)材料:为解方程x4-x2-6=0,可设x2=y,于是原方程可化为y2-y-6=0,解得y1=-2,y2=3.当y=-2时,x2=-2,不合题意,舍去;当y=
3时,x2=3,解得x1=,x2=-,故原方程的根为x1=,x2=-.
请你参照材料给出的解题方法,解方程:
(x2+x)2+2(x2+x)-8=0.
解:设x2+x=a,
则原方程可化为a2+2a-8=0,
即(a+1)2=9,解得a1=2,a2=-4.
当a=2时,x2+x=2,
解得x1=1,x2=-2;
当a=-4时,x2+x=-4.
∵1-16=-15<0,
∴此方程无解.
综上,原方程的根为x1=1,x2=-2.
20.(8分)某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到实惠,现决定降价销售.已知这种菠萝蜜销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的关系式.
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时,超市获利多少元
(3)若超市要想获利2 400元,且让顾客获得更大实惠,这种菠萝蜜每千克应降价多少元
解:(1)设y与x之间的关系式为y=kx+b(k≠0),
将(2,100),(5,160)代入y=kx+b,得
解得
所以y与x之间的关系式为y=20x+60(0(2)(60-4-40)×(20×4+60)
=16×140
=2 240(元).
答:当每千克菠萝蜜降价4元时,超市获利2 240元.
(3)根据题意,得(60-x-40)(20x+60)=2 400,
整理,得x2-17x+60=0,解得x1=5,x2=12.
因为要让顾客获得更大实惠,所以x=12.
答:这种菠萝蜜每千克应降价12元.
21.(8分)如图所示,A,B,C,D为矩形的四个顶点,AB=16 cm,AD=6 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达B点为止,点Q以2 cm/s的速度向D点移动,当点P到达B点时点Q随之停止运动.设运动时间为t s.
(1)AP= ,BP= ,CQ= ,DQ= (用含t的代数式表示).
(2)t为多少时,四边形PBCQ的面积为33 cm2
(3)t为多少时,点P和点Q的距离为10 cm
解:(1)3t cm (16-3t)cm 2t cm (16-2t)cm
(2)依题意,得[(16-3t)+2t]×6=33,
整理,得16-t=11,解得t=5.
答:当t为5时,四边形PBCQ的面积为33 cm2.
(3)过点Q作QE⊥AB于点E,如图所示.
则PE=|(16-3t)-2t|=|16-5t|(cm).
依题意,得|16-5t|2+62=102,即(16-5t)2=82,解得t1=,t2=.
答:当t为或时,点P和点Q的距离为10 cm.
22.(10分)先阅读下面的例题,再按要求解答下列问题:
例题:求代数式y2+4y+8的最小值.
解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4.
∵(y+2)2≥0,
∴(y+2)2+4≥4,
∴y2+4y+8的最小值是4.
(1)求代数式m2+m+4的最小值.
(2)求代数式4-x2+2x的最大值.
(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个长方形花园ABCD,花园一边靠墙,另三边用总长为20 m的栅栏围成.如图所示,设AB=x m,当x取何值时,花园的面积最大 最大面积是多少
解:(1)m2+m+4=(m+)2+.
∵(m+)2≥0,
∴(m+)2+≥,
∴m2+m+4的最小值是.
(2)4-x2+2x=-(x-1)2+5.
∵-(x-1)2≤0,∴-(x-1)2+5≤5,
∴4-x2+2x的最大值为5.
(3)由题意,得花园的面积是
x(20-2x)=-2x2+20x=-2(x-5)2+50.
∵-2(x-5)2≤0,
∴-2(x-5)2+50≤50.
∴-2x2+20x的最大值是50,此时x=5,20-2x=10<15,符合题意.
∴当x=5时,花园的面积最大,最大面积是50 m2.第22章 一元二次方程评价卷
时间:90分钟 满分:100分
班级: 学号: 姓名:
成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A.x3-x=1 B.ax2+x=0
C.x(x-2)=-1 D.x2+=0
2.方程x(x-1)=x的解是( )
A.x=0 B.x=2
C.x1=0,x2=1 D.x1=0,x2=2
3.下列方程变形正确的是( )
A.x2-x-1=0,可化为(x-)2=
B.x2+4x+3=0,可化为(x+2)2=7
C.3x2-6x-45=0,可化为(x-1)2=16
D.2x2-3x-1=0,可化为(x-)2=
4.若x为任意有理数,则多项式4x-4-x2的值( )
A.一定为正数 B.一定为负数
C.不可能为正数 D.为任意有理数
5.已知x=2是关于x的一元二次方程(m-4)x2+8x-m2=0的一个根,则m的值为( )
A.0 B.4 C.-4 D.0或4
6.某校连续三年组织学生参加义务植树,第一年共植树400棵,第三年共植树625棵.设该校植树棵数的年平均增长率为x,根据题意,下列方程正确的是( )
A.625(1-x)2=400
B.400(1+x)2=625
C.625x2=400
D.400x2=625
7.三角形两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根,则该三角形的面积是( )
A.24 B.48
C.24或8 D.8
8.已知函数y=kx+b的图象如图所示,则一元二次方程bx2+x+2-k=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
9.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有下列说法:①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根;③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2.其中正确的是( )
A.①② B.①②④
C.①②③④ D.①②③
10.如图所示,在矩形ABCD中,AD=20 cm,AB=16 cm,动点P,Q分别从点A,B同时出发,点P以2 cm/s的速度向点B移动,到点B停止,点Q以3 cm/s的速度向点C移动,到点C停止,则经过 s,△PBQ的面积是矩形面积的.( )
A.2 B.5
C.2或5 D.2或6
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.已知关于x的方程(m-3)-x+5=0是一元二次方程,则m=
.
12.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1,x2满足2x1x2>x1+x2,则m的取值范围是 .
13.关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两个实数根是a和b,若有a2+b2=ab+1,则k的值为 .
14.如图①所示,有一张长32 cm,宽16 cm的长方形硬纸片,裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后,恰好折成如图②所示的有盖纸盒.若纸盒的底面积是130 cm2,则纸盒的高为
.
①
②
15.定义新运算“*”,规则:a*b=如3*1=3,(-)*=,若x2+x-1=0的两根为x1,x2,则x1*x2= .
16.如图所示都是由同样大小的小球按一定规律排列的,依照此规律排列下去,第 个图有 210个小球.
三、解答题(共46分)
17.(8分)解方程:
(1)3(x-2)2=x(2-x); (2)(2x-3)2=(3x+5)2;
(3)2x2+3=7x; (4)-3x2+6x=-9.
18.(6分)我们规定:对于任意实数a,b,c,d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=
13.
(1)求[-4,3]*[2,-6]的值;
(2)已知关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,求m的取值范围.
19.(6分)材料:为解方程x4-x2-6=0,可设x2=y,于是原方程可化为y2-y-6=0,解得y1=-2,y2=3.当y=-2时,x2=-2,不合题意,舍去;当y=
3时,x2=3,解得x1=,x2=-,故原方程的根为x1=,x2=-.
请你参照材料给出的解题方法,解方程:
(x2+x)2+2(x2+x)-8=0.
20.(8分)某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到实惠,现决定降价销售.已知这种菠萝蜜销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的关系式.
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时,超市获利多少元
(3)若超市要想获利2 400元,且让顾客获得更大实惠,这种菠萝蜜每千克应降价多少元
21.(8分)如图所示,A,B,C,D为矩形的四个顶点,AB=16 cm,AD=6 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达B点为止,点Q以2 cm/s的速度向D点移动,当点P到达B点时点Q随之停止运动.设运动时间为t s.
(1)AP= ,BP= ,CQ= ,DQ= (用含t的代数式表示).
(2)t为多少时,四边形PBCQ的面积为33 cm2
(3)t为多少时,点P和点Q的距离为10 cm
22.(10分)先阅读下面的例题,再按要求解答下列问题:
例题:求代数式y2+4y+8的最小值.
解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4.
∵(y+2)2≥0,
∴(y+2)2+4≥4,
∴y2+4y+8的最小值是4.
(1)求代数式m2+m+4的最小值.
(2)求代数式4-x2+2x的最大值.
(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个长方形花园ABCD,花园一边靠墙,另三边用总长为20 m的栅栏围成.如图所示,设AB=x m,当x取何值时,花园的面积最大 最大面积是多少
