期末综合评价卷
时间:120分钟 满分:150分
班级: 学号: 姓名:
成绩:
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.若式子有意义,则x的取值范围为(D)
A.x≥2 B.x≠3
C.x≥2或x≠3 D.x≥2且x≠3
2.下列各式中正确的是(D)
A.2÷= B.=-2
C.=4 D.(-)2=7
3.若=,则等于(A)
A. B. C. D.1
4.关于x的方程x2-(m+3)x+m2=0有两个相等的实数根,且满足x1+x2=2x1x2,则m的值为(B)
A.-1或3 B.-1
C.3 D.-3或1
5.如图所示,点O,F在直线AD上,点O,E在直线BC上,且AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为(A)
A. B. C. D.
6.如图所示,在四边形ABCD中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是(C)
A.∠DAC=∠ABC B.CA是∠BCD的平分线
C.AC2=BC·CD D.=
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连结DE,F为DE中点,连结BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为(B)
A.2 B.2.5 C.3 D.4
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=,AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点,垂足为E,连结AD,则sin∠CAD等于(A)
A. B. C. D.
9.2024年某电影上映的第一天票房为2亿元,第二天、第三天单日票房持续增长,三天累计票房为6.62亿元,若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长,设平均每天票房的增长率为x,则根据题意,下列方程正确的是(D)
A.2(1+x)=6.62
B.2(1+x)2=6.62
C.2(1+x)+2(1+x)2=6.62
D.2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62
10.直角三角板ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点A的坐标为(0,1),直角顶点C的坐标为(-3,0),∠B=30°,则点B的坐标为(B)
A.(-3+,3) B.(-3-,3)
C.(,-3) D.(--3,-3)
11.如图所示,反比例函数y=(x>0)的图象经过等腰直角三角形的顶点A和顶点C,反比例函数y=(x<0)的图象经过等腰直角三角形的顶点B,∠BAC=90°,AB边交y轴于点D,若=,C点的纵坐标为1,则k的值是(A)
A.- B.- C.- D.-6
12.如图所示,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为F,连结DF,有下列结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③BF2=AF·CF;④tan∠ACB=.其中正确的结论有(A)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.已知实数a,b在数轴上的对应点如图所示,那么-
= b .
14.如图所示,一块飞镖游戏板是3×3的正方形网格,假设飞镖击中每个小正方形是等可能的(若没有击中游戏板,则重投一次).任意投掷飞镖一次,击中阴影部分的概率是 .
15.在△ABC中,∠C=90°,sin A=,AB=25,则△ABC的周长为 60 .
16.如图所示,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,已知△AOB与△A1OB1位似,位似中心为原点O,且相似比为3∶2,点A,B都在格点上,则点B1的坐标为 (-2,-) .
17.规定min{a,b}的含义为:当a≥b时,min{a,b}=b;当amin{a,b}=a.如min{1,-2}=-2,min{-3,-2}=-3,则方程min{x,
-x}=x2-1的解是 或 .
18.如图所示,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,CA=2,CB=4.将△ACB绕点A顺时针旋转120°得到△ADE,边BC上的一点P旋转后的对应点为Q,连结AQ,PD,则AQ+DP的最小值是 2 .
三、解答题(共78分)
19.(10分)计算或解方程:
(1)cos 45°-(tan 40°+1)0++sin 30°;
(2)2y2-4y+1=0.
解:(1)原式=×-1++
=-1+1
=.
(2)方程两边都除以2,得y2-2y+=0,
移项,得y2-2y=-,
配方,得y2-2y+1=-+1,
即(y-1)2=,
开平方,得y-1=±,y=1±,
∴y1=,y2=.
20.(10分)为提高学生的安全意识,某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动.该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计,将成绩分为四个等级:A(优秀),B(良好),C(一般),D(不合格),并根据结果绘制成如图所示的两幅尚未完成的统计图.
根据图中所给信息解答下列问题:
(1)这次抽样调查共抽取 人,条形统计图中的m= .
(2)将条形统计图补充完整,且在扇形统计图中,求C等级所在扇形圆心角的度数.
(3)该校有1 200名学生,估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的共有多少人.
(4)学校要从答题成绩为A等级且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中,随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”,请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率.
解:(1)50 7
(2)由(1)知,m=7,等级为A的有50-16-15-7=12(人),
补充完整的条形统计图如图①所示.
①
C等级所在扇形圆心角的度数为360°×=108°.
(3)1 200×(24%+32%)=1 200×56%=672(人),
即该校学生答题成绩为A等级和B等级的共有672人.
(4)画树状图如图②所示:
②
由上可得,一共存在12种等可能的结果,其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的结果有2种,
所以抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为=.
21.(10分)已知关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0.
(1)若方程有实数根,求m的取值范围;
(2)若方程的两实数根分别为x1,x2,且满足+=14,求+4x2-10
的值.
解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0有实数根,
∴Δ=b2-4ac=[2(m-1)]2-4×1×m2≥0,解得m≤,
∴m的取值范围为m≤.
(2)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两实数根,
∴x1+x2=-2(m-1),x1x2=m2.
∵+=14,∴(x1+x2)2-2x1x2=14,
∴[-2(m-1)]2-2m2=14,
∴4m2-8m+4-2m2=14,解得m=5或m=-1.
∵m≤,∴m=-1.
当m=-1时,方程变为x2-4x+1=0,
∴x1+x2=4,-4x1+1=0,∴=4x1-1,
∴+4x2-10=4x1-1+4x2-10=4(x1+x2)-11=16-11=5.
22.(10分)2024年巴黎奥运会顺利闭幕,吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱.某商店正热销一款“弗里热”纪念品,据统计该纪念品1月份的销售量是5万件,3月份的销售量是7.2万件.
(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同,求月平均增
长率.
(2)市场调查发现,某一间店铺同款纪念品进价为每件60元,若售价为每件100元,每天能销售20件,售价每降价1元,每天可多售出2件,为了推广宣传,商家决定降价促销,同时尽量减少库存,若使销售该同款纪念品每天获利1 200元,则售价应降低多少元
解:(1)设月平均增长率是x,依题意,得5(1+x)2=7.2,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).
答:月平均增长率是20%.
(2)设售价应降低y元,则每件的销售利润为(100-y-60)元,每天的销售量为(20+2y)件,依题意,得
(100-y-60)(20+2y)=1 200,
整理,得y2-30y+200=0,解得y1=10,y2=20.
又因为要尽量减少库存,所以y=20.
答:售价应降低20元.
23.(12分)如图所示,直线y=kx+b经过A(0,-2),B(-1,0)两点,与双曲线y=(x<0)交于点C(a,2).
(1)求直线和双曲线的表达式.
(2)过点C作CD⊥x轴于点D,点P在x轴上,若以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似,请写出点P的坐标.
解:(1)直线y=kx+b经过A(0,-2),B(-1,0)两点,
∴解得
∴y=-2x-2.
当y=2时,2=-2x-2,解得x=-2,
∴C(-2,2),∴m=-2×2=-4,
∴y=-(x<0).
(2)由题意可知,OA=2,BD=1,CD=2,
∠CDB=∠AOP=90°.
当以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似时,分两种情况进行讨论:
若△AOP∽△CDB,则=,
∴==2,∴OP=OA=1,
∴P(1,0)或P(-1,0);
若△POA∽△CDB,则=,
∴==2,∴OP=2OA=4,
∴P(4,0)或P(-4,0).
综上,点P坐标为(-4,0),(-1,0),(1,0)或(4,0).
24.(13分)综合与实践
小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度.
①
②
③
【问题初探】如图①所示,马路上有一路灯杆AB,在灯光下,小明在地面上离灯座B点8 m的D点处的影长DE为3 m,小明的身高为1.8 m,则路灯AB的高度为 m;接着,小明从D点沿BD方向行走4 m到达H点,如图②所示,此时影长HF为 m.
【联系模型】小明发现图②为古算书《海岛算经》中的模型,《海岛算经》中题为:如图②所示,今要测量海岛上一座山峰AB的高度,在D处和H处竖立标杆CD和GH,标杆的高都是3丈,D和H两处相隔1 000步,并且AB,CD,GH都在同一平面内.从标杆CD后退123步到E处,伏在地上可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上;从标杆GH后退127步到F处,伏在地上可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上,则山峰AB的高度是多少步 请你求出山峰AB的高度.(这里古制1丈=10尺,1步=6尺,结果用步来表示)
【拓展应用】受小明的启发,小亮也进行了探究:一天晚上,小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步,他发现当他站在两盏路灯(MN和PQ)之间,如图③所示,并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时,自己右边的影子长为3 m(即KJ=3 m),左边的影子长为1.5 m(即KI=1.5 m).已知小亮身高为1.8 m,两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为12 m(即NQ=12 m).根据以上信息,请你帮助小亮求出路灯的高度.
解:【问题初探】由题意,得BD=8 m,DE=3 m,CD=1.8 m,AB⊥BF,CD⊥BF,
∴∠B=∠CDE=90°.
∵∠AEB=∠CED,
∴△CDE∽△ABE,
∴CD∶AB=DE∶BE,
解得AB=6.6 m.
∵小明从D点沿BD方向行走4 m到达H点,
∴BH=12 m,
同理,可得△GHF∽△ABF,
∴GH∶AB=HF∶BF,
解得HF=4.5 m.
故答案为6.6,4.5.
【联系模型】由题意,得AB⊥BF,CD⊥BF,
∴∠B=∠CDE=90°.
∵∠AEB=∠CED,
∴△CDE∽△ABE,
∴CD∶AB=DE∶BE.
同理,可得△GHF∽△ABF,
∴GH∶AB=HF∶BF.
设AB=x步,BD=y步.
∵DE=123步,DH=1 000步,
HF=127步,CD=GH=3丈=30尺=5步,
∴BE=(y+123)步,
BF=y+1 000+127=(1 127+y)(步),
则
解得x=1 255,
∴山峰AB的高度为1 255步.
【拓展应用】设MN=PQ=a m,NI=b m.
由题意,得MN⊥NQ,OK⊥NQ,
∴∠N=∠OKJ=90°.
∵∠MJN=∠OJK,
∴△JOK∽△JMN,
∴OK∶MN=JK∶JN.
同理,可得△IOK∽△IPQ,
∴OK∶PQ=IK∶IQ.
则
解得a=6.6,
∴路灯的高度为6.6 m.
25.(13分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴正半轴上,点B的坐标是(5,2),点P是CB边上一动点(不与点C、点B重合),连结OP,AP,过点O作射线OE交AP的延长线于点E,交CB边于点M,且∠AOP=∠COM,令CP=x,MP=y.
(1)当x为何值时,OP⊥AP
(2)求y与x的关系式,并写出x的取值范围.
(3)在点P的运动过程中,是否存在x,使△OCM与△ABP的面积之和等于△EMP的面积 若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意知,
OA=BC=5,AB=OC=2,∠B=∠OCM=90°,BC∥OA.
∵OP⊥AP,
∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°,
∴∠OPC=∠PAB,
∴△OPC∽△PAB,
∴=,即=,
解得x1=4,x2=1(不合题意,舍去).
∴当x=4时,OP⊥AP.
(2)∵BC∥OA,∴∠CPO=∠AOP.
∵∠AOP=∠COM,∴∠COM=∠CPO.
∵∠OCM=∠PCO,∴△OCM∽△PCO,
∴=,即=,
∴y=x-,x的取值范围是2(3)存在.假设存在x符合题意,
过E作ED⊥OA于点D,交MP于点F(图略),
则DF=AB=2.
∵△OCM与△ABP的面积之和等于△EMP的面积,
∴S△EOA=S矩形OABC=2×5=×5ED,∴ED=4,∴EF=2.
∵PM∥OA,∴△EMP∽△EOA,
∴=,即=,解得y=.
由(2)知y=x-,则x-=,
解得x1=,x2=(不合题意,舍去).
∴在点P的运动过程中,存在x=,使△OCM与△ABP的面积之和等于△EMP的面积.期末综合评价卷
时间:120分钟 满分:150分
班级: 学号: 姓名:
成绩:
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.若式子有意义,则x的取值范围为( )
A.x≥2 B.x≠3
C.x≥2或x≠3 D.x≥2且x≠3
2.下列各式中正确的是( )
A.2÷= B.=-2
C.=4 D.(-)2=7
3.若=,则等于( )
A. B. C. D.1
4.关于x的方程x2-(m+3)x+m2=0有两个相等的实数根,且满足x1+x2=2x1x2,则m的值为( )
A.-1或3 B.-1
C.3 D.-3或1
5.如图所示,点O,F在直线AD上,点O,E在直线BC上,且AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图所示,在四边形ABCD中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是( )
A.∠DAC=∠ABC B.CA是∠BCD的平分线
C.AC2=BC·CD D.=
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连结DE,F为DE中点,连结BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为( )
A.2 B.2.5 C.3 D.4
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=,AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点,垂足为E,连结AD,则sin∠CAD等于( )
A. B. C. D.
9.2024年某电影上映的第一天票房为2亿元,第二天、第三天单日票房持续增长,三天累计票房为6.62亿元,若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长,设平均每天票房的增长率为x,则根据题意,下列方程正确的是( )
A.2(1+x)=6.62
B.2(1+x)2=6.62
C.2(1+x)+2(1+x)2=6.62
D.2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62
10.直角三角板ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点A的坐标为(0,1),直角顶点C的坐标为(-3,0),∠B=30°,则点B的坐标为( )
A.(-3+,3) B.(-3-,3)
C.(,-3) D.(--3,-3)
11.如图所示,反比例函数y=(x>0)的图象经过等腰直角三角形的顶点A和顶点C,反比例函数y=(x<0)的图象经过等腰直角三角形的顶点B,∠BAC=90°,AB边交y轴于点D,若=,C点的纵坐标为1,则k的值是( )
A.- B.- C.- D.-6
12.如图所示,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为F,连结DF,有下列结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③BF2=AF·CF;④tan∠ACB=.其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.已知实数a,b在数轴上的对应点如图所示,那么-
= .
14.如图所示,一块飞镖游戏板是3×3的正方形网格,假设飞镖击中每个小正方形是等可能的(若没有击中游戏板,则重投一次).任意投掷飞镖一次,击中阴影部分的概率是 .
15.在△ABC中,∠C=90°,sin A=,AB=25,则△ABC的周长为 .
16.如图所示,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,已知△AOB与△A1OB1位似,位似中心为原点O,且相似比为3∶2,点A,B都在格点上,则点B1的坐标为 .
17.规定min{a,b}的含义为:当a≥b时,min{a,b}=b;当amin{a,b}=a.如min{1,-2}=-2,min{-3,-2}=-3,则方程min{x,
-x}=x2-1的解是 .
18.如图所示,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,CA=2,CB=4.将△ACB绕点A顺时针旋转120°得到△ADE,边BC上的一点P旋转后的对应点为Q,连结AQ,PD,则AQ+DP的最小值是 .
三、解答题(共78分)
19.(10分)计算或解方程:
(1)cos 45°-(tan 40°+1)0++sin 30°;
(2)2y2-4y+1=0.
20.(10分)为提高学生的安全意识,某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动.该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计,将成绩分为四个等级:A(优秀),B(良好),C(一般),D(不合格),并根据结果绘制成如图所示的两幅尚未完成的统计图.
根据图中所给信息解答下列问题:
(1)这次抽样调查共抽取 人,条形统计图中的m= .
(2)将条形统计图补充完整,且在扇形统计图中,求C等级所在扇形圆心角的度数.
(3)该校有1 200名学生,估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的共有多少人.
(4)学校要从答题成绩为A等级且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中,随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”,请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率.
21.(10分)已知关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0.
(1)若方程有实数根,求m的取值范围;
(2)若方程的两实数根分别为x1,x2,且满足+=14,求+4x2-10
的值.
22.(10分)2024年巴黎奥运会顺利闭幕,吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱.某商店正热销一款“弗里热”纪念品,据统计该纪念品1月份的销售量是5万件,3月份的销售量是7.2万件.
(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同,求月平均增
长率.
(2)市场调查发现,某一间店铺同款纪念品进价为每件60元,若售价为每件100元,每天能销售20件,售价每降价1元,每天可多售出2件,为了推广宣传,商家决定降价促销,同时尽量减少库存,若使销售该同款纪念品每天获利1 200元,则售价应降低多少元
23.(12分)如图所示,直线y=kx+b经过A(0,-2),B(-1,0)两点,与双曲线y=(x<0)交于点C(a,2).
(1)求直线和双曲线的表达式.
(2)过点C作CD⊥x轴于点D,点P在x轴上,若以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似,请写出点P的坐标.
24.(13分)综合与实践
小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度.
①
②
③
【问题初探】如图①所示,马路上有一路灯杆AB,在灯光下,小明在地面上离灯座B点8 m的D点处的影长DE为3 m,小明的身高为1.8 m,则路灯AB的高度为 m;接着,小明从D点沿BD方向行走4 m到达H点,如图②所示,此时影长HF为 m.
【联系模型】小明发现图②为古算书《海岛算经》中的模型,《海岛算经》中题为:如图②所示,今要测量海岛上一座山峰AB的高度,在D处和H处竖立标杆CD和GH,标杆的高都是3丈,D和H两处相隔1 000步,并且AB,CD,GH都在同一平面内.从标杆CD后退123步到E处,伏在地上可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上;从标杆GH后退127步到F处,伏在地上可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上,则山峰AB的高度是多少步 请你求出山峰AB的高度.(这里古制1丈=10尺,1步=6尺,结果用步来表示)
【拓展应用】受小明的启发,小亮也进行了探究:一天晚上,小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步,他发现当他站在两盏路灯(MN和PQ)之间,如图③所示,并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时,自己右边的影子长为3 m(即KJ=3 m),左边的影子长为1.5 m(即KI=1.5 m).已知小亮身高为1.8 m,两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为12 m(即NQ=12 m).根据以上信息,请你帮助小亮求出路灯的高度.
25.(13分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴正半轴上,点B的坐标是(5,2),点P是CB边上一动点(不与点C、点B重合),连结OP,AP,过点O作射线OE交AP的延长线于点E,交CB边于点M,且∠AOP=∠COM,令CP=x,MP=y.
(1)当x为何值时,OP⊥AP
(2)求y与x的关系式,并写出x的取值范围.
(3)在点P的运动过程中,是否存在x,使△OCM与△ABP的面积之和等于△EMP的面积 若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
