专项突破训练二 巧用勾股定理解决折叠与展开问题 （含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 专项突破训练二 巧用勾股定理解决折叠与展开问题 （含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 116.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-22 21:46:44 | ||
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文档简介
专项突破训练二 巧用勾股定理解决折叠与展开问题
类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题
方法指引
解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解.
1.如图Z-2-1,长方形ABCD的边AD 沿折痕AE折叠,使点 D 落在BC 上的 F 处,已知AB=6,△ABF的面积是24,则 FC等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图Z-2-2所示，有一张直角三角形纸片，两直角边长分别为AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB上，且与AE重合，则CD的长为 ( )
A. 2cm B. 3cm C.4 cm D. 5cm
3.如图Z-2-3所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点 C与点A 重合,折痕为DE,则△ABE的周长为 .
4.如图Z-2-4,在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点 E 在AB 上,将△DAE 沿DE 折叠,使点 A落在对角线 BD上的点 A′处，则AE的长为 .
5.如图 Z--2--5,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿 AC折叠，点D落在点 D'处，求重叠部分△AEC 的面积.
6.如图Z-2-6，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A 在x轴的正半轴上,点 C 在y 轴的正半轴上,OA=5,OC=4.在OC 边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点 O落在BC 边上的点E 处.求D，E两点的坐标.
7.有一长方形纸片ABCD，按如图Z-2-7方式折叠,使点 B 与点D 重合,折痕为 EF.
(1)求证:△DEF 是等腰三角形;
(2)若AD=3,AB=9,求 BE的长.
类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题
方法指引
求立体图形中的最短路程利用的是两点之间，线段最短，需要将立体图形展开成平面图形后，把实际问题转化为可以用勾股定理进行计算的问题.
8.如图Z-2-8是一个封闭的正方体纸盒，E是CD的中点，F是CE 的中点，一只蚂蚁从一个顶点 A爬到另一个顶点G，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是 ( )
A. A B C G B. A C G
C. A E G D. A F G
9.如图Z-2-9,在一个长为2m,宽为 1m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱 EF 和草地宽AD平行，且EF 大于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点 A 处到达点 C 处需要走的最短路程是 m.
10.如图Z--2--10是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为5d m,3d m 和1 dm,点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 去吃食物，请你计算，这只蚂蚁从点 A 处爬到点B 走的最短路程是多少
11. 如图Z-2-11,一个圆柱高为40cm,底面半径为 cm,一位同学要用彩带装饰这个圆柱，彩带一端从点A开始绕圆柱侧面两周，另一端到达点 B，如何缠绕才能使所用的彩带最短，长度是多少
12.如图Z-2--12,长方体的高为5cm,底面长方形的长为4 cm，宽为1cm.若一只蚂蚁从点A 爬到C ，则爬行的最短路程是多少
专项突破训练二 巧用勾股定理解决
折叠与展开问题
1. B 2. B 3.7 4.
5.解：由折叠得。
又∵∠AED'=∠CEB.∴△AD'E≌△CBE.∴D'E=BE.设 D'E=. r,则AE=8-x,在 Rt△AD'E中. 解得
6.解：依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴.在Rt△ABE中. AE = OA = 5. AB = 4. ∴ BE=3. 从 而CE=2.∴E点坐标为(2.1). 在 Rt△DCE 中,DC“-CE”=DE'.又∵DE=OD,∴(4-OD)'+2'=OD'.解得 ∴D点坐标为
7.(1)证明:由折叠的性质,得∠DEF=∠BEF.
∵AB∥IX'.∴∠BEF-∠DFE.∴∠DEF-∠DFE∴DE-DF.即△DEF 是等腰三角形.
(2)解:由折叠的性质,得 DE=BE.设BE=x,则DE=r. AE=AB-x=9-x.在Rt△ADE中,AD=3. AD'÷AE=DE.∴3'+(9-x)'=. r'.解得. t=5.∴BE=5.
8. C 9.2.6
10.解:将台阶展开.如答图Z-2-1.
因为AC=3×3+1×3=12. BC=5.
所以
所以AB=13dm.
所以蚂蚁爬行的最短路程为13 dm.
11.解：沿AB把圆柱侧而展开.如答图Z-2-2所示:显然AC+BD 是彩带的长. AC=BD. CE=
在Rt△ACE中..=25(cm).
∴AC'|BD-2×25-50(cm).
答：当彩带绕 一圈时经过AB的中点D的位置时，彩带最短，最短长度为50cm.
12.解：如答图Z-2-3①所示.. (cm).
如答图Z-2-3②所示./
如答图2-2-3③所示
∴一只蚂蚁从点 A：爬到C.爬行的最短路程是 5 cm.
类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题
方法指引
解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解.
1.如图Z-2-1,长方形ABCD的边AD 沿折痕AE折叠,使点 D 落在BC 上的 F 处,已知AB=6,△ABF的面积是24,则 FC等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图Z-2-2所示，有一张直角三角形纸片，两直角边长分别为AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB上，且与AE重合，则CD的长为 ( )
A. 2cm B. 3cm C.4 cm D. 5cm
3.如图Z-2-3所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点 C与点A 重合,折痕为DE,则△ABE的周长为 .
4.如图Z-2-4,在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点 E 在AB 上,将△DAE 沿DE 折叠,使点 A落在对角线 BD上的点 A′处，则AE的长为 .
5.如图 Z--2--5,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿 AC折叠，点D落在点 D'处，求重叠部分△AEC 的面积.
6.如图Z-2-6，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A 在x轴的正半轴上,点 C 在y 轴的正半轴上,OA=5,OC=4.在OC 边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点 O落在BC 边上的点E 处.求D，E两点的坐标.
7.有一长方形纸片ABCD，按如图Z-2-7方式折叠,使点 B 与点D 重合,折痕为 EF.
(1)求证:△DEF 是等腰三角形;
(2)若AD=3,AB=9,求 BE的长.
类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题
方法指引
求立体图形中的最短路程利用的是两点之间，线段最短，需要将立体图形展开成平面图形后，把实际问题转化为可以用勾股定理进行计算的问题.
8.如图Z-2-8是一个封闭的正方体纸盒，E是CD的中点，F是CE 的中点，一只蚂蚁从一个顶点 A爬到另一个顶点G，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是 ( )
A. A B C G B. A C G
C. A E G D. A F G
9.如图Z-2-9,在一个长为2m,宽为 1m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱 EF 和草地宽AD平行，且EF 大于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点 A 处到达点 C 处需要走的最短路程是 m.
10.如图Z--2--10是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为5d m,3d m 和1 dm,点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 去吃食物，请你计算，这只蚂蚁从点 A 处爬到点B 走的最短路程是多少
11. 如图Z-2-11,一个圆柱高为40cm,底面半径为 cm,一位同学要用彩带装饰这个圆柱，彩带一端从点A开始绕圆柱侧面两周，另一端到达点 B，如何缠绕才能使所用的彩带最短，长度是多少
12.如图Z-2--12,长方体的高为5cm,底面长方形的长为4 cm，宽为1cm.若一只蚂蚁从点A 爬到C ，则爬行的最短路程是多少
专项突破训练二 巧用勾股定理解决
折叠与展开问题
1. B 2. B 3.7 4.
5.解：由折叠得。
又∵∠AED'=∠CEB.∴△AD'E≌△CBE.∴D'E=BE.设 D'E=. r,则AE=8-x,在 Rt△AD'E中. 解得
6.解：依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴.在Rt△ABE中. AE = OA = 5. AB = 4. ∴ BE=3. 从 而CE=2.∴E点坐标为(2.1). 在 Rt△DCE 中,DC“-CE”=DE'.又∵DE=OD,∴(4-OD)'+2'=OD'.解得 ∴D点坐标为
7.(1)证明:由折叠的性质,得∠DEF=∠BEF.
∵AB∥IX'.∴∠BEF-∠DFE.∴∠DEF-∠DFE∴DE-DF.即△DEF 是等腰三角形.
(2)解:由折叠的性质,得 DE=BE.设BE=x,则DE=r. AE=AB-x=9-x.在Rt△ADE中,AD=3. AD'÷AE=DE.∴3'+(9-x)'=. r'.解得. t=5.∴BE=5.
8. C 9.2.6
10.解:将台阶展开.如答图Z-2-1.
因为AC=3×3+1×3=12. BC=5.
所以
所以AB=13dm.
所以蚂蚁爬行的最短路程为13 dm.
11.解：沿AB把圆柱侧而展开.如答图Z-2-2所示:显然AC+BD 是彩带的长. AC=BD. CE=
在Rt△ACE中..=25(cm).
∴AC'|BD-2×25-50(cm).
答：当彩带绕 一圈时经过AB的中点D的位置时，彩带最短，最短长度为50cm.
12.解：如答图Z-2-3①所示.. (cm).
如答图Z-2-3②所示./
如答图2-2-3③所示
∴一只蚂蚁从点 A：爬到C.爬行的最短路程是 5 cm.