16.1 二次根式同步练习（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学下册

16.1 二次根式
第1课时 二次根式的意义
自主预习
1.一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“ ”称为
下列各式： 一定是二次根式的是
2.一个二次根式的被开方数(式)为 ，若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
3.如果 有意义，那么x的取值范围是 .
基础优练
知识点1 二次根式的定义
1.下列式子中一定是二次根式的是 ( )
A. B.
D.
2.下列各式中，不属于二次根式的是 ( )
3.小红说：“因为 ，所以不是二次根式.”你认为小红的说法 .(填“正确”或“错误”)
知识点2 二次根式有意义的条件
4.式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ( )
A. x>0 B.x≥-1
C. x≥1 D. x≤1
5.)若 在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )
6.代数式 有意义时，x应满足的条件是 .
名师点拨
点拨1判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：①带二次根号“ ”；②被开方数不小于零.只有同时满足这两个特征，它才是二次根式；不满足其中任何一个特征，它都不是二次根式.
点拨2 对于二次根式的非负性，是指被开方数为非负数，而不是其中的字母为非负数.
点拨3 求二次根式 被开方数的取值范围：
由二次根式的意义可知，a的取值范围是a≥0.即当a≥0时, 有意义，是二次根式；当a<0时， 无意义，不是二次根式.
根据式子√a有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可.
点拨 4 考虑问题不全面导致出错：在确定字母的取值范围时，字母所在的式子既含有二次根式又在分母位置，常常忽略分母不为零的要求.
点拨5 根据二次根式的被开方数是非负数，可确定a的值.
整合集训
7.若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ( )
A. x≥1且x≠2 B. x≤1
C. x>1且x≠2 D. x<1
8.若a,b都是实数,且( 则ab+1的平方根为【点拨5】 ( )
A.±5 B. -5 C.5 D.±1
9.使 有意义的整数x有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
10.若 有意义,则点 P(m--1,--n)在第 象限.
11.若 是正整数，则n可取到的最小正整数为 .
12.若x为整数,且满足|x|<π,则当 也为整数时，x的值可以是 .
13. x为何值时，下列各式在实数范围内有意义
14.已知 求 m-2024 的值.
15.若实数a,b,c满足
(1)求a,b,c;
(2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长.
核心素养题——逻辑推理
16.先阅读，后回答问题：
x为何值时， 有意义
解：要使 有意义,需x(x--1)≥0.由乘法法则得 或
解得x≥1 或x≤0.
即当x≥1或x≤0时, 有意义.体会解题思想后，解答：x为何值时 有意义
第 2课时 二次根式的性质
自主预习
计算：
化简：
3.用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为 .下列式子:x+5, pq,y=1,0,p,3 其中不是代数式的是 .
基础优练
知识点1 二次根式的非负性
1.化简 的结果是【点拨 1】 ( )
A.±2 B. -2 C.2 D.4
2.(计算 的结果是 .
3.若 则a的值为 .
知识点2 的化简
4.若 则a的取值范围是【点拨2】 ( )
A.全体实数 B. a=0 C. a≥0 D. a≤0
5.计算. 的结果为【点拨3】 ( )
A.π-4 B.4--π
6.如果 那么m 1.
7.当x<2时,
知识点3 代数式的定义
8.在下列各式中，不是代数式的是 ( )
A.7 B.3>2 C.π/2
9.一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中逆水行驶时的速度为 km/h.
名师点拨。
点拨1二次根式的基本性质： 即一个非负数的算术平方根的平方等于本身.
点拨2 即任意一个
数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
点拨3 在利用√a 进行化简时，要先得出|a|，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方.
点拨4列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式.
点拨5 在实数范围内，我们知道式子 表示非负数a的算术平方根，它具有双重非负性：( ②a≥0.
运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可以解决一些算术平方根问题.
整合集训
10.下列各式计算正确的是 ( )
11.实数a，b在数轴上对应点的位置如图16-1-2-1所示，化简 的结果是 ( )
A.-2a+b B.2a-b
C. -b D. b
12.若 则a的取值范围是( )
A. a≥3 B. a≤1
C.1≤a≤3 D. a=1或a=3
13.用一组a，b的值说明式子“ 是错误的，这组值可以是a= ,b= .
【点拨5】(答案不唯一)
14.在△ABC 中,a,b,c 为 三角形 的 三边,则
15.在实数范围内因式分解：
16.计算:
17.化简:
18.某同学作业本上做了这么一道题：“当a=□时，试求 的值”，其中□是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为 ，请你判断该同学的答案是否正确，说出你的道理.
核心素养题——逻辑推理
19.先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号.
例 如：
解决问题：
(1)模仿上例的过程填空：
=
=
=
= .
(2)根据上述思路，试将下列各式化简.
自主预习
1.二次根号
2.非负数 x≥2 3. x>0
基础优练
1.^ 2.1) 3.错误 4. C 5.1)6. x>8
整合集训
7. A 8.八 9. B 10.三 11.3 12.-1或2成3
13.解:(1)由:2. r+3≥0.得
所以当 时。 在实数范围内有意义.
(2)由 知2x-1>0.得
所以当 时. 在实数范围内有意义.
(3)由 得. r≥0且x≠1.
所以当. r≥0且. r≠1时. 在实数范围内有意义.
(4)由· 得 得x=2.所以当x=2时.
在实数范围内有意义.
11.解:∵m-2019≥0.∴m≥2019.∴2018-m≤0.
∴原方程可化为
15.解:(1)由题意可得c-3≥0.3-c≥0.解得
则
(2)当a 是腰长，c是底边长时.等腰三角形的腰长之和； 舍去：
当(是腰长，a是底边长时，等腰三角形的周长为
综上，这个等腰三角形的周长为
16.解:要使 有意义。需 则 或 解得x≥2或 即当.x≥2或 时. 有意义.
第 2课时 二次根式的性质
自主预习
1. a (1)9 (2) (3)0
(1)2(2)0.01(3)
3.代数式 . v=1
基础优练
1. C 2.4 3.】 1.1) 5. B 6.≥ 7.3-. r 8. B 9.(v-2.5)整合集训
10. D 11. A 12. C 13.-1 2 14.-a-3b+3c
15.(1)( x+ )( . r- ) (2)(. r- ):
16.解:( (2)原式 (3)原式=-20.
17.解:(1)由 得x-3≥0.∴r≥3.
∴x+3>0.2-1<0.
∴原式=|x+3|+|2-. r|-(. r-3)=. r+3+. r-2+x-3=3. x-2.
∴原式
18.解：该同学的答案是不正确的.理由如下：
.当u≥1时.原式-a+a-1-2a-1.当a<1时,原式=a-a+1=1.∵该同学求得的答案为 与a≥1矛盾.∴该同学的答案是不正确的.
19.解:(1)原式
故答案为：
(2)①原式·
②原