辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题（PDF版、含答案）

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2024-2025（下）6月月度质量监测
高 二 数 学
本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷 选择题（共 58 分）
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的）
1.根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 2 = 8.988.依据 = 0.001的独立性检
验，正确的结论为(附： 0.01 = 6.635， 0.005 = 7.879， 0.001 = 10.828)
A. 变量 与 不独立
B. 变量 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.001
C. 变量 与 独立
D. 变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.001
2.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 和温度 (单位： )的关系，在
20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据( , )( = 1,2, …, 20)得到下
面的散点图：
由此散点图，在 10 至 40 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率
和温度 的回归方程类型的是
A. = + B. = + 2 C. = + D. = + ln
3.已知数列 3， 5， 7，3， 11，…， 2 + 1，…，则 51是这个数列的
A. 第 12项 B. 第 13项 C. 第 24项 D. 第 25项
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4.数列 的通项公式为 = 2 + ，则“ ≥ 2”是“ 为递增数列”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
5.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有 3根柱子甲、乙、丙，甲柱上
有 ( ≥ 3)个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在
下，小的在上(如图).把这 个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次
只能移动一个盘子，甲、乙、丙 3根柱子都可以利用，且 3根柱子上的盘子始终保持小
的盘子不能放在大的盘子之下．设游戏结束需要移动的最少次数为 ，则当 ≥ 3时，
和 +1满足的关系式是
A. +1 = 4 3 B. +1 = 4 1
C. +1 = 2 + 1 D. +1 = 2 +
6. 1若函数 = 2 2 3ln ，则函数 的单调递减区间为
2
A. ( ∞, 1) ∪ (3, + ∞) B. 1,3
C. (0,3) D. 3, + ∞
ln , 1
7.设函数 = ，若关于 的方程[ ( )]2 + ( ) 1 = 0 恰好有
1 3, < 1
4个不相等的实数解，则实数 的取值范围是
A. 1, 1 B. 1 1 , 1 C. 1, 1+ 1 D. 0, 1

1
8. 1若 ∈ ，函数 ( ) = 2 + ln 有两个极值点 2
2 1
， 2( 1 < 2)，则 1 2 + 2
的最大值为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
27 27 27 27
二、多选题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题所给的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
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9.已知由样本数据点( 1, 1)，( 2, 2)， ，( , )求得的回归直线方程为 = 1.5 + 0.5，
且 = 3，现发现两个数据点(1.3,2.1)和(4.7,7.9)的误差较大，剔除后重新求得的回归直
线的斜率为 1.2，则
A. 变量 和 具有负相关关系
B. 剔除后 不变
C. 剔除后的回归直线方程为 = 1.2 + 1.4
D. 剔除后对应于样本数据点(2,3.75)的残差为 0.05
10.已知数列{ }满足 1 = 3， +1 = 1
1
，记数列{ }的前 项和为 ，则
A. 32 = B. =
1
2 3 +1 3 2
C. +1 +2 = 1 D. 19 = 22
2
11. 1已知函数 ( ) = ， ( ) = ( )2 ，则以下结论不正确的是 +1
A. 1 1 … (1) (2) … (2025) = 1
2025 2024
B. 1 1 … (1) (2) … (2025) = 1
2025 2024
C. 若 '( ) = '( )，且 ≠ ，则 = 1
D. 若 '( ) ( ) = '( ) ( )，且 ≠ ，则 = 1
第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分）
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分）
12.记 为等差数列 的前 项和，若 1 = 2, 2 + 6 = 2，则 10 = ．
13.给出下列命题：
①实验测得四组数据( , )的值为(1,2.1)，(2,2.8)，(3,4.1)，(4,5)，则 与 的回归
直线方程为 = 2 + 1;
② 函数 ( ) = 2 (3 )的图象向右平移 个单位长度，得到函数 ( ) = 2 3
4 4
的图象;
③当 ∈ [0,1]时，函数 = 1 2 1的最大值为 ;
2
④幂函数 的图象经过点 4,2 ，则它在 点处的切线方程为 4 + 4 = 0.
其中正确命题的序号是 .
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14.对函数 ( ) = 3 做如下操作：先在 轴找初始点 1( 1, 0)，然后作 ( )在点
1( 1, ( 1))处的切线，切线与 轴交于点 2( 2, 0)，再作 ( )在点 2( 2, ( 2))处的切
线，切线与 轴交于点 3( 3, 0)，再作 ( )在点 3( 3, ( 3))处的切线，依次类推.现已知
初始点为 1(0,0)，若按上述过程操作，则 3 = ，所得△ +1的面积
为 . (用含有 的代数式表示)
四、解答题（本大题共 5小题，共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤）
15．某学生兴趣小组随机调查了某市 100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼
的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
锻
炼人次 [0,200] (200,400] (400,600]
空气质量等级
1(优) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(轻度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值
为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为 1或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为
3或 4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的 2 × 2列联表，并根据列
联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有
关？
人次≤ 400 人次> 400
空气质量好
空气质量不好
2
附： 2 = ( ) ，
( + )( + )( + )( + )
( 2
0.050 0.010 0.001
≥ )
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3.841 6.635 10.828
3 3
16．已知数列 的首项 1 = ，且满足 5 +1 = ．2 +1
(1) 1求证：数列 1 为等比数列；

(2) 1 + 1 + 1若 + . . . + 1 < 100，求满足条件的最大整数 。
1 2 3
17．已知 = 3是函数 ( ) = ln(1 + ) + 2 10 的一个极值点．
(1)求实数 的值;
(2)求函数 ( )的单调区间;
(3)若直线 = 与函数 = ( )的图象有 3个交点，求实数 的取值范围．
18．已知数列{ }，{ }，{ }满足 1 = 1 = = 1

1 ， +1 = +1 ， +1 = +2
( ∈ )．
(1)若{ }为等比数列，公比 > 0，且 1 + 2 = 6 3，求 的值及数列{ }的通项公式；
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(2)若{ }
1
为等差数列，公差 > 0，证明： 1 + 2 + 3 +…+ < 1 + ， ∈ ．
19．在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线 ： = ( )，
| '' = ( )| '定义 3为曲线 在点 ( , ( ))处的曲率，其中 ( )为 ( )的导函数， ''( )
' 2[1+ ( ) ]2
为 '( )的导函数．已知曲线 ： ( ) = (3 ) 2( ∈ )．
2
(1)当 = 0时，求曲线 在点 (0, (0))处的曲率；
(2)已知曲线 在不同的两点 ( 1, ( 1))， ( 2, ( 2))处的曲率均为 0．
①求实数 的取值范围；
② 1证明： 1 + 2 < (1 )．
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高 二 数 学 参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D D A C C B B BC CD ACD
12.25
13.③④
14. 2 log9eln3； en 1
15.
(1) 2+16+25 43解： 空气质量等级为 1的概率为 = = ;
100 100
2 = 5+10+12 27空气质量等级为 的概率为 = ;
100 100
3 = 6+7+8 21空气质量等级为 的概率为 = ;
100 100
7+2 9
空气质量等级为 4的概率为 = = ;
100 100
(2)一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为
100 × 2+5+6+7+ 300 × 16+10+7+2+ 500 × 25+12+8 = 350；
100 100 100
(3)
人次≤ 400 人次> 400
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
2 = 100(33×8 22×37)
2
≈ 5.82 > 3.841，
(33+22)(33+37)(22+8)(37+8)
有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
16. 证明：(1) ∵ 3 +1 = ，2 +1
∴ 1 = 2 + 1 ，
+1 3 3
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∴ 1 1 = 1 ( 1 1)，
+1 3
∵ 31 = ，5
∴ 1 1 = 2，
1 3
∴ { 1 1} 2 1为以 为首项，以 为公比的等比数列；
3 3
(2) 1由(1)知 1 = 2 × ( 1 ) 1，
3 3
∴ 1 = 2 × ( 1 ) + 1，
3
1 1 1 1 1 1
∴ = + +…+ + +… + 1
= + 2 × ( 2 )
2 3 3 3
1
3
1
= + 2 × 3 +1 = + 1 1，
1 1 3 3
∵ < 100，
∴ = + 1
1
< 100，3
1
因为函数 = + 1 单调递增，3
∴最大整数 为 99．
17. 解：(1) 因为 ' = + 2 10，
1+
所以 ' 3 = + 6 10 = 0，
4
因此 = 16，
2
则 ( ) = 16 (1 + ) + 2 10 ， ∈ ( 1, + ∞) 2 4 +3 2 1 3， ' = = ，
1+ 1+
可得 '( )在 = 3两边异号，即 = 3是函数 ( ) = 16ln(1 + ) + 2 10 的一个极值
点，
故 = 16．
(2) (1) ' = 2 1 3由 知， ， ∈ ( 1, + ∞)，
1+
当 ∈ ( 1,1) ∪ (3, + ∞)时， '( ) > 0，
当 ∈ (1,3)时， '( ) < 0，
所以 ( )的单调增区间是( 1,1)，(3, + ∞)， ( )的单调减区间是(1,3)；
(3)由(2)知， ( )在( 1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3, + ∞)上单调递增，
且当 = 1或 = 3时， '( ) = 0，
所以 ( )的极大值为 (1) = 16 2 9，极小值为 (3) = 32 2 21．
因为 (16) > 162 10 × 16 > 16 2 9 = (1)， ( 2 1) < 32+ 11 = 21 < (3)，
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所以要使直线 = 与函数 = ( )的图象有 3个交点，
则在 ( )的三个单调区间( 1,1)，(1,3)，(3, + ∞)内，直线 = 与 = ( )的图象各有
一个交点，
当且仅当 (3) < < (1)，
因此， 的取值范围为(32 2 21,16 2 9)．
18. (1)解：由题意， 22 = ， 3 = ，
∵ 1 + 2 = 6 23，∴ 1+ = 6 ，
整理，得 6 2 1 = 0，
= 1解得 (舍去) = 1，或 ，
3 2
∴ +1 =
= 1 = 1 = 1 = 4 ，
+2 2 1 +2 (2)
2

∴数列{ }是以 1为首项，4为公比的等比数列，
∴ = 1 4 1 1 = 4 ， ∈ ．
∴ +1 = +1 = 4 ，
则 1 = 1，
= 412 1 ，
3 2 = 42，
……
1 1 = 4 ，( 2, ∈ )，
各项相加，可得 2， ∈ 时，

= 1 + 41 + 42 +…+ 4 1 =
1 4 = 4 1，
1 4 3
当 = 1时代入适合，

∴ 4 1 = ．3
(2)证明：依题意，由 +1 =
( ∈ )，可得 +2
+2 +1 = ，
两边同时乘以 +1，可得
+1 +2 +1 = +1 ，
∵ 1 2 1 = 2 = 1 + ，
∴数列{ +1 }是一个常数列，且此常数为 1 + ，
+1 = 1 + ，
∴ = 1+ = 1+ = (1 + 1 ) +1 = (1 + 1 )( 1
1 )，
+1 +1 +1 +1
∴ 1 + 2 +…+
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= (1 + )( ) + (1 + )( ) + … + (1 + )( )1 2 2 3 +1
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1 1 1 1 1 1 1
= (1 + )( 1
+ + … + )2 2 3 +1
1 1 1
= (1 + )( 1
)
+1
1 1
= (1 + )(1 ) +1
< 1 + 1，

∴ 1 + 2 +…+ < 1 +
1
，故得证．
19. 解：(1)当 = 0时， '( ) = (2 ) ， ''( ) = (1 ) ，
所以 '(0) = 2， ''(0) = 1，
1 5
故曲线 在点 (0, (0))处的曲率 = 3 = ，
(1+22)2 25
(2) ''( ) = (1 ) ，由题意可知， ''( ) = ''1 ( 2) = 0，
则方程(1 ) = 有两个根 1， 2，
设 ( ) = (1 ) ，则 '( ) = ，
当 ∈ ( ∞,0)时， '( ) > 0，当 ∈ (0, + ∞)时， '( ) < 0，
所以 ( )在( ∞, 0)上单调递增，在(0, + ∞)上单调递减．
又 → ∞时， ( ) → 0， (1) = 0，且 ( )max = (0) = 1，
①由题可知，直线 = 与函数 ( )的图象有两个不同的交点，
所以 0 < < 1，
故实数 的取值范围为(0,1)．
②证明：由上可知，0 < < 1，不妨设 1 < 0 < 2 < 1．
下面证明：当 ∈ (0,1)， ( ) < + ，
设 ( ) = (1 ) + , ∈ (0,1)，则 '( ) = + ，
令 ( ) = '( ) = + (0 < < 1)，则 '( ) = ( + 1) < 0，所以 ( )在(0,1)
上单调递减，
则 '( ) > '(1) = 0，所以 ( )在(0,1)上单调递增，且 ( ) < (1) = 0，
即(1 ) + < 0，故 ∈ (0,1)， ( ) < + ．

设点 3, 在直线 = + 上，则 = 3 + ，即 3 = 1 ，
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所以 2 + > ( 2) = = 3 + ，
即 2 < 3 = 1

，

1
要证 1 + 2 < (1 )，需证 1 + 2 < 1 + (1 ) < (1
1 )，

需证 1 < 1，
又(1 1) 1 = 0，只需证 1 < (1 1) 1 1，即证(1 1) 1 1 1 > 0( 1 <
0)．
令 ( ) = (1 ) 1 > 0( < 0)，则 '( ) = 1，
令 ( ) = 1( < 0)，则 '( ) = ( + 1) ，
当 < 1时， '( ) > 0， ( )单调递增，当 1 < < 0时， '( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) ( 1) = 1 1 < 0，即 '( ) < 0，

所以 ( )在( ∞, 0)上单调递减，所以 ( ) > (0) = 0成立，
1
故 1 + 2 < (1 )．
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高 二 数 学
姓名： 班级：
考场/座位号：
贴条形码区
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对
条形码上的姓名和准考证号。
2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 （正面朝上，切勿贴出虚线方框）
留痕迹。
3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答
无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 缺考标记
4．在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
单选题
1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D]
6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
多选题
9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
填空题
12.
13.
14. ；
解答题
15.
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16.
17.
第2页 共4页
18.
第3页 共4页
19.
第4页 共4页