七宝中学2024-2025学年第二学期高二年级数学月考
2025.5
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.已知某个随机变量的分布为,若该分布是等可能分布,则的值
为________.
2.已知离散型随机变量的分布为,则________.
3.已知随机变量,,若,且,则________.
4.已知事件与事件相互独立,如果,,则________.
5.某班级有42名学生,其中男生25名,女生17名,男生中有18名团员,女生中有10名团员.在该班中随机选取一名学生,表示“选到的是团员”,表示“选到的是男生”,则________.
6.随机变量的正态密度函数,其图象如图所示,若,则图中阴影部分的面积为________.
7.一个口袋中有个白球和个红球,这些球除颜色外都相同.某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球,记录颜色后放回,每人连续摸10次,其中摸到白球的次数共152次,以频率估计概率,若从口袋中随机摸1个球,则摸到红球概率的估计值为________.(小数点后保留一位小数).
8.已知在12件产品中可能存在次品,一从中抽取2件检测,设次品数为,若,且该产品的次品率不超过40%,则这12件产品的次品率为________.
9.某商店店庆,每个在店内消费到一定额度的旅客都可以参与抽奖活动,组织方准备了20个盲盒,其中有6个盲盒内有奖品.抽奖者甲先拿起了一个盲盒,在犹豫是否打开时,组织方拿走了一个没有奖品的盲盒,最终甲选择了另外一个盲盒打开,记甲中奖的概率为,则________.
10.已知随机变量,均服从伯努利分布,且,的取值为0或1,若,且,则________.
11.2025年春晚,一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众,现在编排一个动作,机器人从原点出发,每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位,共移动3次,求该机器人在有且仅有一次经过(含到达)点位置的条件下,水平方向移动2次的概率为________.
12.某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜总局数不少于3局时,则认为这轮训练过关;否则不过关,若甲、乙两人每局获胜的概率分别为,,且满足,每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为,若,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为________.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16每题5分.
13.有一批产品,其中有6件正品和4件次品,从中任取3件,仅有2件次品的概率为( )
A. B. C. D.
14.某游戏玩家玩一款游戏,第一关通过的概率为0.6;在第一关通过的条件下,第二关通过的概率为0.4,则该玩家连续通过两关的概率为( )
A.0.24 B.0.36 C.0.8 D.0.16
15.研究变量,得到一组成对数据,,2,…,,先进行一次线性回归分析,接着增加一个数据,其中,,再重新进行一次线性回归分析,则下列说法正确的是( )
A.变量与变量的相关性变强 B.相关系数的绝对值变小
C.线性回归方程不变 D.拟合误差变大
16.有甲、乙两个盒子,甲盒子里有1个红球,乙盒子里有3个红球和3个黑球,现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后,再从甲盒子里随机取一球,记取到的红球个数为,则随着的增加,下列说法正确的是( )
A.增加,增加 C.增加,减小
C.减小,增加 D.减小,减小
三、解答题(本大题共有5题,满分78分).
17.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)
一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1、2、3、这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机地抽取3次,每次抽取1张
(1)若抽取是放回的,将抽取的卡片上的数字依次记为、、,求“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率;
(2)若抽取是不放回的,记事件为第一次取出标记为1的卡片,事件为第二次取出标记为2的卡片,判断事件,是否独立.
18.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)
福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品,属于福州三宝之一,纸伞的制作工序大致分为三步:第一步削伞架,第二步裱伞面,第三步绘花刷油.已知某工艺师制作出一件优秀作品的概率为.在某次福州纸伞的比赛中,该工艺师制作了4件作品.
(1)设该工艺师制作的优秀作品数为,求的分布及期望;
(2)若制作一件优秀作品得10分,制作一件不合格品扣5分,求该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差
19.(本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分10分)
某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划,需要了解年研发资金投入量(单位:亿元)对年销售额(单位:亿元)的影响,结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据,该团队建立了两个函数模型:
①,②,其中,,,均为常数,为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理,得到右侧散点图,如图.
令,,计算得如下数据:
20 66 770 200 14
460 4.20 3125000 0.308 21500
(1)设和的相关系数为,和的相关系数为,请从相关系数的角度,选择一个拟合程度更好的模型;
(2)(i)根据(1)的选择及表中数据,建立关于的回归方程(系数精确到0.01);
(ii)若下一年销售额需达到80亿元,预测下一年的研发资金投入量是多少亿元?(结果精确到0.01)
附:对于一组数据,样本相关系数;
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.
20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
某汽车公司最近研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析,得到如图所示的频率分布直方图:
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值;
(2)经计算第(1)问中样本标准差的近似值为50,根据大量的测试数据,可以认为这款汽车的单次最大续航里程(用样本平均数和标准差分别作为、的近似值),现任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程的概率;
(参考数据:若随机变量,则,,)
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,客户可根据抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在方格图上(方格图上依次标有数字0、1、2、3、……、20)移动,若遥控车最后停在第19格,则可获得购车优惠券3万元;若遥控车最后停在第20格,则没有任何优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是,遥控车开始在第0格,客户每掷一次硬币,遥控车向前移动一次:若掷出正面,遥控车向前移动一格(从到);若掷出反面,遥控车向前移动两格(从到),直到遥控车移到第19格或第20格时,游戏结束.设遥控车移到第格的概率为;试证明是等比数列,并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值(精确到0.1万元).
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知函数.
(1)当时,求函数图象在点处的切线方程;
(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
(3)若函数有两个不同的极值点,,其中,且不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11. 12.
11.2025年春晚,一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众,现在编排一个动作,机器人从原点出发,每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位,共移动3次,求该机器人在有且仅有一次经过(含到达)点位置的条件下,水平方向移动2次的概率为________.
【答案】
【解析】设事件"有且仅有一次经过",事件"水平方向移动2次",
按到位置需要1步,3步分类讨论.
记向左,向右,向上,向下,
①若1步到位为事件,
则满足要求的是或或或或或或或或,
所以;
②若3步到位为事件,则满足要求的是,,
所以;所以
满足的情况有:或或或或,
所以,所以故答案为:.
12.某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜总局数不少于3局时,则认为这轮训练过关;否则不过关,若甲、乙两人每局获胜的概率分别为,,且满足,每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为,若,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为________.
【答案】
【解析】不妨设每一轮训练通过的概率为,
所以
,
此时,当且仅当时,等号成立,
易知函数是开口向下的二次函数,对称轴,
所以,因为每局之间相互独立,
记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为,所以,
所以,
解得,则甲、乙两人训练的轮数至少为27轮.
故答案为:27.
二、选择题
13.B 14.A 15.C 16.C
15.研究变量,得到一组成对数据,,2,…,,先进行一次线性回归分析,接着增加一个数据,其中,,再重新进行一次线性回归分析,则下列说法正确的是( )
A.变量与变量的相关性变强 B.相关系数的绝对值变小
C.线性回归方程不变 D.拟合误差变大
【答案】C
【解析】增加的点为样本中心点,所以增加一个数据后,变量与变量的相关性不变,相关系数的绝对值不变,线性回归方程不变,拟合误差变小,
故选:.
16.有甲、乙两个盒子,甲盒子里有1个红球,乙盒子里有3个红球和3个黑球,现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后,再从甲盒子里随机取一球,记取到的红球个数为,则随着的增加,下列说法正确的是( )
A.增加,增加 C.增加,减小
C.减小,增加 D.减小,减小
【答案】C
【解析】依题意,从乙盒子里随机取出个球,含有红球个数服从超几何分布,即,
其中,其中且,
故从甲盒中取球,相当于从含有个红球的个球中取一球,取到红球个数为个,
故随机变量服从两点分布,
所以,随着的增大,减小;
,随着的增大,增大;
故选:.
三.解答题
17.(1) (2)
18.(1)的分布列为:,
期望为: (2)
19.(1)选② (2)(i) (ii)
20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
某汽车公司最近研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析,得到如图所示的频率分布直方图:
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值;
(2)经计算第(1)问中样本标准差的近似值为50,根据大量的测试数据,可以认为这款汽车的单次最大续航里程(用样本平均数和标准差分别作为、的近似值),现任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程的概率;
(参考数据:若随机变量,则,,)
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,客户可根据抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在方格图上(方格图上依次标有数字0、1、2、3、……、20)移动,若遥控车最后停在第19格,则可获得购车优惠券3万元;若遥控车最后停在第20格,则没有任何优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是,遥控车开始在第0格,客户每掷一次硬币,遥控车向前移动一次:若掷出正面,遥控车向前移动一格(从到);若掷出反面,遥控车向前移动两格(从到),直到遥控车移到第19格或第20格时,游戏结束.设遥控车移到第格的概率为;试证明是等比数列,并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值(精确到0.1万元).
【答案】(1) (2) (3)2.0万元
【解析】(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为:
;
(2)∵,
(3)由题可知,遥控车移到第格有两种可能:
①遥控车先到第格,又掷出反面,其概率为;
②遥控车先到第格,又掷出正面,其概率为
∴当时,数列为首项为,公比为的等比数列,
以上各式相加,得
∴当时,,∴到达"胜利大本营"的概率,
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元,则或0,
∴的期望,
∴参与游戏-次的顾客获得优惠券金额的期望值为2.0万元.
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知函数.
(1)当时,求函数图象在点处的切线方程;
(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
(3)若函数有两个不同的极值点,,其中,且不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)当时,,
令,则
所以函数图象在点处的切线方程为,即
(2),
因为函数在上单调递增,
所以在上恒成立,即在上恒成立,
令,则,当时,单调递增,
从而,所以,即实数的取值范围为;
(3),若函数有两个不同的极值点,
必要性:
则在上有两个零点,即在上有两个零点,
由(1)可知,所以当时,单调递减,
当时,单调递增,所以,
且当时,都有,所以,
充分性:
当时,或,
且当时,均有,即此时单调递增,
当时,有,即此时单调递减,
即函数有两个不同的极值点
令,
由此可知充分性成立,所以实数的取值范围是;
因为所以所以,
等价于
令则,
令,则
当时,,即,
所以即单调递减,从而
所以单调递减,从而,所以实数的取值范围为.