江苏省徐州市2015-2016学年高二下学期期末考试数学（理）试题（图片版）

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2015~2016学年度第二学期期末抽测
高二数学（理）参考答案与评分标准
一、填空题
1．
2．
3．，都不能被5整除
4．
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．
12．
13．43
14．
二、解答题
15．（1）女生甲排在中间，其余6人有种排法，
因此不同排法种数为．
……………………………………
3分
（2）将5名男生排成一排，有种排法；
2名女生可以在每2名男生之间及两端共6个位置中选出2个排，有种排法，
因此不同排法种数为．
………………………………
6分
（3）先排2名女生，从7个位置中选出2个位置，有种排法；
再排5名男生，将5名男生在剩下的5个位置上进行排列的方法数有种，
因此不同的排法种数为．
……………………………
9分
（4）选1名男生排在2名女生中间，有种排法，将这3人看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一排，不同的排法有种，又因为2名女生有种排法，
因此不同的排法种数为．
…………………………
13分
答：分别有，，和种不同的排法．
…………………
14分
16．（1）圆的极坐标方程即，
则圆的直角坐标方程为，
…………………
4分
即，
所以圆的半径为．
……………………………………………
7分
（2）直线的普通方程为，
…………………………
10分
由（1）知，圆的圆心为，
所以，即的长为．
…………
14分
17．（1）由已知，得，即，
即
即
所以矩阵．
………………………
4分
从而矩阵的特征多项式，
所以矩阵的另一个特征值为．
…………………………………
7分
（2）设为曲线上任意一点，在矩阵对应的变换下变为点，
则，即
所以，
……
11分
又点在曲线上，所以，
故有，整理得，，
所以曲线的方程为．
…………………………………
14分
18．（1）．
…………………………………………………
4分
（2）随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3．
；；
；．………………………
12分
所以随机变量的概率分布为
0
1
2
3
因此随机变量的数学期望
．
………………………
16分
19．（1）当时，，所以；
当时，
，所以；
当时，
，
所以．
…………………………………
6分
（2）由（1）可猜想．
………………………………
8分
下面用数学归纳法证明：
①当时，由（1）知，结论成立；
……………
9分
②假设当时，结论成立，即，
那么当时，中新增加的元素为，，，，，，
所以，
所以当时，结论也成立．
根据①和②可知，当时都成立．
……………………
16分
20．（1）当时，，即，解得或（舍），
所以的值为．
………………………………………………
4分
（2）当，时，
令，则，
令，则，
所以．
…………………………………………
8分
（3）当，时，，
则，，
所以．
……………
10分
考虑
，
即，．
……………
14分
所以
．
故的值为．
………………………………………
16分