浙江省湖州市县域联盟2024-2025学年高三下学期5月月考数学试题
1．（2025高三下·湖州月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三下·湖州月考）在复平面内，若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三下·湖州月考）若单位向量，满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2025高三下·湖州月考）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
5．（2025高三下·湖州月考）已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三下·湖州月考）已知数列的前项和是，若，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．（2025高三下·湖州月考）在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（ ）
A． B． C． D．1
8．（2025高三下·湖州月考）对于任意的，不等式恒成立，则实数（ ）
A． B． C．1 D．
9．（2025高三下·湖州月考）已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高三下·湖州月考）已知抛物线的焦点到准线的距离是4，经过的直线与交于，两点，分别记在点、处的切线为、，，则下列说法正确的是（ ）
A．准线方程为 B．
C． D．若，则
11．（2025高三下·湖州月考）设函数满足，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．是函数的图象的一条对称轴
D．
12．（2025高三下·湖州月考）若，则 ．（用数字作答）
13．（2025高三下·湖州月考）已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ．
14．（2025高三下·湖州月考）已知曲线方程，，，点为曲线右支上一点，且与不重合，直线，分别与直线交于，两点，则以，为直径的圆面积的最小值是 ．
15．（2025高三下·湖州月考）中国春节档电影《哪吒之魔童闹海》票房突破百亿，是中国第一部冲入全球影史票房前5的作品．同学小华在某影院用简单随机抽样的方法调查了200位观影人观看该电影的次数，并对他们的观影次数作出统计，具体如下：
年龄（岁） 少年组（18及以下） 青年组（19-35） 中年组（36-60） 老年组（61及以上）
调查人数 70 80 30 20
少年组、青年组、中年组、老年组分别有，，，的人看了2次该电影，其余的人都只看了1次．
（1）求这200位观众观看该电影的平均次数；
（2）小华记少年组与青年组为“组”，记中年组和老年组为“组”．请完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为观影次数与年龄层次有关联？
观影次数 年龄层次 合计
组 组
1次
2次
合计
附表：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
参考公式：，．
16．（2025高三下·湖州月考）如图，在三棱锥中，，，平面平面，．
（1）证明：；
（2）若为的垂心，求与平面所成角的正弦值．
17．（2025高三下·湖州月考）已知函数在处有极大值，且函数在定义域内单调递增．
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
18．（2025高三下·湖州月考）已知椭圆的离心率是，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记圆的方程是．
①若与圆相切的直线经过的右焦点，且与交于，两点，求；
②斜率为的直线经过坐标原点，与交于，两点，若是的上顶点，直线交圆于点，直线交圆于点，记直线的斜率为，求值：．
19．（2025高三下·湖州月考）1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数，，其中，，那么，十进制数可以用二进制表示为，记作，此时，令，数列满足．
（1）二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如震卦“”对应的二进制数为100．请写出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数．
（2）证明：，．
（3）是否存在正偶数，使得对任意，满足．若存在，请写出符合要求的；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为且，
所以.
故答案为：A.
【分析】解指数不等式得出集合，再利用交集的运算法则得出集合.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意，设，
则.
故答案为：D.
【分析】利用复数除法运算法则得出复数z，再由共轭复数的定义得出复数.
3．【答案】B
【知识点】单位向量；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，是单位向量，
所以，，
又因为，
所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】将两边平方，再结合数量积的运算律和单位向量的定义，从而得出的值.
4．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，直线过圆心，
则，
由，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意易知直线过圆心，从而得出，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，圆台上下底面半径分别为，
高，
所以圆台的体积.
故答案为：C.
【分析】由题意确定圆台上、下底面半径和高，再利用圆台的体积公式得出该圆台的体积.
6．【答案】D
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：当，则，
故，
当，则；
当，则.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得，令，得，再令得出的值.
7．【答案】B
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：令，
则，
由题意，得，，
所以，
则，
所以，
可得（负值舍）.
故答案为：B.
【分析】令，且，根据已知条件得出、，再由列方程，从而解方程得出AB的长.
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，
易知在上单调递增，且，
所以当时，；当时，，
令，
则在上连续，
因为不等式恒成立，
所以当时，；当时，，
由零点存在性定理可知，
则，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，则，
所以，解得.
故答案为：C.
【分析】令，易知当时，，当时，，令，根据零点存在性定理可得，从而解出的值.
9．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，
得，且，
，
，
所以选项A、选项C对；选项B、选项D错.
故答案为：AC.
【分析】利用对立事件求概率公式、全概率公式和条件概率公式，则判断出选项A、选项B和选项D；由概率的性质判断出选项C，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于选项A，
因为抛物线方程，
由已知条件知，
则，
对于抛物线，其准线方程是，
所以准线方程为，故A错误；
对于选项B，设直线，与联立，
把，代入，得，
则.
由韦达定理得，
又因为，，
所以，故B正确；
对于选项C，设，抛物线的切点弦方程为，焦点，
代入得，
解得，
所以轨迹是，，
则，故C正确；
对于选项D，因为抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，
又因为，若，
则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据抛物线标准方程对应的准线公式和已知条件得出的值，从而得出准线方程，则判断出选项A；设直线方程与抛物线方程联立，从而得到关于的二次方程，再利用韦达定理得出的值，再结合抛物线方程求出的值，则判断出选项B；先写出切点弦方程，再把焦点坐标代入方程，从而求出点的横坐标，进而确定点的轨迹，则得到的最小值，则判断出选项C；利用抛物线上点到焦点和准线距离相等的性质结合与的值，从而算出的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，代入等式可得，
则，
开方后解得，所以选项A正确；
对于B，令，
则原等式变为，
因为，
所以，
则，
移项可得，
根据偶函数的定义，可知函数是偶函数，所以选项B错误；
对于C，令，原等式变为，
因为，
则，
则.
令，则，
那么，
根据周期函数的定义，
所以是函数的一个周期，
当，时，
可得，
可得，①
当时，可得 ，②
由①+②可得，
因为，
所以，
代入②式得到，
因为，解得.
令，原等式变为，
因为，
所以，
移项可得，
又因为，
所以，
根据函数对称中心的性质可知是函数图象的一个对称中心，
因为是函数的一个周期，，
所以也是函数图象的一个对称中心，所以选项C错误；
对于D，根据前面的分析，得，，，，
且是函数的一个周期，
所以，
因为，
所以所以选项D正确.
故答案为：AD.
【分析】围绕函数，依据给定的等式关系，再通过对不同变量赋值来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值，从而逐项判断找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：由题意，
得与的所有系数和相等，
令，
则.
故答案为：.
【分析】根据题意易知与的所有系数和相等，代入得出的值.
13．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题意，构建如下图示的空间直角坐标系，
则，
所以，
则点到直线的距离.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，构建合适的空间直角坐标系，从而得出相关点的坐标和向量的坐标，再利用数量积和勾股定理得出点到直线的距离.
14．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设且，
则直线，直线，
令，则，，
所以，
以，为直径的圆面积，
令，
则，
所以，
则，
当时，即当，时，，
则，
所以，以，为直径的圆面积的最小值是.
故答案为：.
【分析】设且，从而写出直线，的方程，则求出，纵坐标，进而得到，则得到关于的表达式，再结合二次函数求最值的方法，从而得出以，为直径的圆面积的最小值.
15．【答案】（1）解：因为70人的群体中观看2次电影的人数为人；
80人的群体中观看2次电影的人数为人；
30人的群体中观看2次电影的人数为人；
20人的群体中观看2次电影的人数为人，
将这些人数相加，可得观看2次该电影总人数为人，
已知观看1次电影的总人数为200-72=128人，
观看2次电影的总人数为72人，
则总人数为200人，
所以，这200位观众观看该电影的平均次数为：.
（2）解：零假设：观影次数与年龄层次无关联，
从题目中可知，A组观看1次电影的有90人，B组观看1次电影的有38人，
所以观看1次电影的合计128人；
A组观看2次电影的有60人，B组观看2次电影的有12人，
所以观看2次电影的合计72人；
则A组合计150人，B组合计50人，总人数200人.
整理数据得到列联表：
观影次数 年龄层次 合计
A组 B组
1次 90 38 128
2次 60 12 72
合计 150 50 200
计算卡方统计量，代入可得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
则认为观影次数与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【知识点】众数、中位数、平均数；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）先分别算出观看不同次数电影的人数，再根据平均数公式计算出这200位观众观看该电影的平均次数.
（2）利用零假设是认为两个变量无关联，通过计算卡方统计量并与给定的小概率值对应的临界值比较，则根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为观影次数与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（1）70人的群体中观看2次电影的人数为人；
80人的群体中观看2次电影的人数为人；
30人的群体中观看2次电影的人数为人；
20人的群体中观看2次电影的人数为人.
将这些人数相加，可得观看2次该电影总人数为人.
已知观看1次电影的总人数为200-72=128人，观看2次电影的总人数为72人，总人数为200人.
这200位观众观看该电影的平均次数为.
（2）零假设：观影次数与年龄层次无关联.
从题目中可知，A组观看1次电影的有90人，B组观看1次电影的有38人，所以观看1次电影的合计128人；
A组观看2次电影的有60人，B组观看2次电影的有12人，所以观看2次电影的合计72人；
A组合计150人，B组合计50人，总人数200人.
整理数据得到列联表：
观影次数 年龄层次 合计
A组 B组
1次 90 38 128
2次 60 12 72
合计 150 50 200
计算卡方统计量：代入可得.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为观影次数与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
16．【答案】（1）证明：取中点，连接，
由，
所以，都在平面内，
则平面，
由平面，
得.
（2）解：由（1），易知两两垂直，
如下图，构建空间直角坐标系，
因为，
则，且，
设平面的一个法向量为，
取的中点，
又因为，
所以，为的垂心，
则在上，
设，
则，
故，
因为，
所以，
可得，
故，
设与平面所成角为，
所以与平面所成角的正弦值为：.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，易得，再由线面垂直的判定定理和性质定理，从而证出.
（2）由（1），易知两两垂直，则构建合适的空间直角坐标系，从而标注相关点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出与平面所成角的正弦值.
（1）取中点，连接，由，
所以，都在平面内，则平面，
由平面，故；
（2）由（1），易知两两垂直，如下图，构建空间直角坐标系，
而，则，且，
设平面的一个法向量为，取的中点，又，
所以，为的垂心，则在上，
设，则，故，而，
所以，可得，故，
所以与平面所成角的正弦值.
17．【答案】（1）解：对求导，
可得：
因为在处有极大值，
所以，
则，
解得或，
当时，，
令，可得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是极小值点，不符合题意，舍去；
当时，.
令，可得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是极大值点，符合题意，
综上所述，.
（2）解：由（1）可知，
则，其定义域为.
对求导可得：
因为在定义域内单调递增，
所以在上恒成立，
则在上恒成立，
化简不等式可得：，
则，即
令，
对其进行配方可得，其对称轴为，
在上单调递减，在上单调递增，
则.
则在上恒成立，
则在上恒成立，
因为，
所以，
则，当且仅当时取得最值，
与前面最值条件一样，
则在上恒成立，
则.
因为，
所以，
则，
解得.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先对求导，再根据在处有极大值得到，从而解出的可能值，再分别代入的值判断函数的单调性，从而判断出是极大值点还是极小值点，进而确定出的值.
（2）由的值得到函数表达式，再对求导，再利用单调递增得出恒成立，再 化简不等式求出的最小值，从而得到关于的不等式，再结合的取值范围求出的取值范围.
（1）首先对求导，可得：
.
因为在处有极大值，所以，即，解得或.
当时，.
令，可得或.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以是极小值点，不符合题意，舍去.
当时，.
令，可得或.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以是极大值点，符合题意.
综上，.
（2）由（1）可知，则，其定义域为.
对求导可得：
.
因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.
化简不等式可得：，，即.
令，对其进行配方可得，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，.
则在上恒成立，即在上恒成立.
因为，所以，则.
当且仅当时取得最值，与前面最值条件一样.
那么在上恒成立，即.
因为，所以，则，解得.
18．【答案】（1）解：由题意，得，
可得，
则椭圆方程为.
（2）解：①由题意，令直线，
与圆相切，
知，可得，
所以，
联立，
整理得，
所以，
则，，
所以.
②设，则，
因为，
所以，直线，直线，
与联立，得，
整理得，
所以或，显然，
同理可得，
所以，
因为，
所以.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和点在椭圆上，从而求出a，b的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）①令，再利用直线与圆的相切关系得出的值，再联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理和弦长公式，从而得出的值.
②设，则，则直线，直线，再联立直线的方程和圆的方程，从而得出，，再利用两点求斜率公式，从而得出的值.
（1）由题设，可得，即椭圆方程为；
（2）①由题设，令，与圆相切，知，可得，
所以，联立整理得，
所以，则，，
所以；
②设，则，而，则，，
与联立得，整理得，
所以或，显然，同理可得，
所以，而，则.
19．【答案】（1）解：因为巽卦“”的二进制为，
所以，对应的十进制为，
又因为兑卦“” 的二进制为，
所以，对应的十进制为.
（2）证明：由，
可得，
故，
所以，
则，
因为，
所以，
所以，.
（3）解：不存在正偶数，使得对任意，
满足．
反证法：假设存在正偶数，使得对任意，
满足．
当时，①，
当时，②，
当时，③，
由（2）可知，，
因此④，
所以，由⑤可得，对于正偶数，，，
因为，，所以，
由①②③可知：，
令正偶数，则，
则，
根据④可得：，
若为偶数，由⑤得，矛盾，
若为奇数，则为偶数，
由⑤可知：，
综上所述，不存在正偶数，使得对任意，
满足．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；反证法的应用；进位制
【解析】【分析】（1）利用二进制与十进制的换算关系计算得出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数．
（2）利用已知条件可得，再利用可得，从而证出，成立.
（3）不存在正偶数，使得对任意，满足，再利用反证法证出不存在正偶数，使得对任意，满足．
（1）巽卦“”的二进制为，故对应的十进制为，
兑卦“” 的二进制为，故对应的十进制为；
（2）由，可得，故，
所以，，
因为，
所以，
所以，.
（3）不存在正偶数，使得对任意，满足．
反证法，假设存在正偶数，使得对任意，满足．
当时，①，当时，②，
当时，③，
由（2）可知，，因此④，
所以由⑤可得，对于正偶数，，，
而，，所以，
由①②③可知：，
令正偶数，，
则
则根据④可得：，
若为偶数，由⑤得，矛盾，
若为奇数，则为偶数，由⑤可知：，
综上所述，不存在正偶数，使得对任意，满足．
1 / 1浙江省湖州市县域联盟2024-2025学年高三下学期5月月考数学试题
1．（2025高三下·湖州月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为且，
所以.
故答案为：A.
【分析】解指数不等式得出集合，再利用交集的运算法则得出集合.
2．（2025高三下·湖州月考）在复平面内，若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意，设，
则.
故答案为：D.
【分析】利用复数除法运算法则得出复数z，再由共轭复数的定义得出复数.
3．（2025高三下·湖州月考）若单位向量，满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】单位向量；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，是单位向量，
所以，，
又因为，
所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】将两边平方，再结合数量积的运算律和单位向量的定义，从而得出的值.
4．（2025高三下·湖州月考）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，直线过圆心，
则，
由，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意易知直线过圆心，从而得出，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．（2025高三下·湖州月考）已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，圆台上下底面半径分别为，
高，
所以圆台的体积.
故答案为：C.
【分析】由题意确定圆台上、下底面半径和高，再利用圆台的体积公式得出该圆台的体积.
6．（2025高三下·湖州月考）已知数列的前项和是，若，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：当，则，
故，
当，则；
当，则.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得，令，得，再令得出的值.
7．（2025高三下·湖州月考）在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：令，
则，
由题意，得，，
所以，
则，
所以，
可得（负值舍）.
故答案为：B.
【分析】令，且，根据已知条件得出、，再由列方程，从而解方程得出AB的长.
8．（2025高三下·湖州月考）对于任意的，不等式恒成立，则实数（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，
易知在上单调递增，且，
所以当时，；当时，，
令，
则在上连续，
因为不等式恒成立，
所以当时，；当时，，
由零点存在性定理可知，
则，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，则，
所以，解得.
故答案为：C.
【分析】令，易知当时，，当时，，令，根据零点存在性定理可得，从而解出的值.
9．（2025高三下·湖州月考）已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，
得，且，
，
，
所以选项A、选项C对；选项B、选项D错.
故答案为：AC.
【分析】利用对立事件求概率公式、全概率公式和条件概率公式，则判断出选项A、选项B和选项D；由概率的性质判断出选项C，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高三下·湖州月考）已知抛物线的焦点到准线的距离是4，经过的直线与交于，两点，分别记在点、处的切线为、，，则下列说法正确的是（ ）
A．准线方程为 B．
C． D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于选项A，
因为抛物线方程，
由已知条件知，
则，
对于抛物线，其准线方程是，
所以准线方程为，故A错误；
对于选项B，设直线，与联立，
把，代入，得，
则.
由韦达定理得，
又因为，，
所以，故B正确；
对于选项C，设，抛物线的切点弦方程为，焦点，
代入得，
解得，
所以轨迹是，，
则，故C正确；
对于选项D，因为抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，
又因为，若，
则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据抛物线标准方程对应的准线公式和已知条件得出的值，从而得出准线方程，则判断出选项A；设直线方程与抛物线方程联立，从而得到关于的二次方程，再利用韦达定理得出的值，再结合抛物线方程求出的值，则判断出选项B；先写出切点弦方程，再把焦点坐标代入方程，从而求出点的横坐标，进而确定点的轨迹，则得到的最小值，则判断出选项C；利用抛物线上点到焦点和准线距离相等的性质结合与的值，从而算出的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025高三下·湖州月考）设函数满足，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．是函数的图象的一条对称轴
D．
【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，代入等式可得，
则，
开方后解得，所以选项A正确；
对于B，令，
则原等式变为，
因为，
所以，
则，
移项可得，
根据偶函数的定义，可知函数是偶函数，所以选项B错误；
对于C，令，原等式变为，
因为，
则，
则.
令，则，
那么，
根据周期函数的定义，
所以是函数的一个周期，
当，时，
可得，
可得，①
当时，可得 ，②
由①+②可得，
因为，
所以，
代入②式得到，
因为，解得.
令，原等式变为，
因为，
所以，
移项可得，
又因为，
所以，
根据函数对称中心的性质可知是函数图象的一个对称中心，
因为是函数的一个周期，，
所以也是函数图象的一个对称中心，所以选项C错误；
对于D，根据前面的分析，得，，，，
且是函数的一个周期，
所以，
因为，
所以所以选项D正确.
故答案为：AD.
【分析】围绕函数，依据给定的等式关系，再通过对不同变量赋值来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值，从而逐项判断找出结论正确的选项.
12．（2025高三下·湖州月考）若，则 ．（用数字作答）
【答案】
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：由题意，
得与的所有系数和相等，
令，
则.
故答案为：.
【分析】根据题意易知与的所有系数和相等，代入得出的值.
13．（2025高三下·湖州月考）已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ．
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题意，构建如下图示的空间直角坐标系，
则，
所以，
则点到直线的距离.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，构建合适的空间直角坐标系，从而得出相关点的坐标和向量的坐标，再利用数量积和勾股定理得出点到直线的距离.
14．（2025高三下·湖州月考）已知曲线方程，，，点为曲线右支上一点，且与不重合，直线，分别与直线交于，两点，则以，为直径的圆面积的最小值是 ．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设且，
则直线，直线，
令，则，，
所以，
以，为直径的圆面积，
令，
则，
所以，
则，
当时，即当，时，，
则，
所以，以，为直径的圆面积的最小值是.
故答案为：.
【分析】设且，从而写出直线，的方程，则求出，纵坐标，进而得到，则得到关于的表达式，再结合二次函数求最值的方法，从而得出以，为直径的圆面积的最小值.
15．（2025高三下·湖州月考）中国春节档电影《哪吒之魔童闹海》票房突破百亿，是中国第一部冲入全球影史票房前5的作品．同学小华在某影院用简单随机抽样的方法调查了200位观影人观看该电影的次数，并对他们的观影次数作出统计，具体如下：
年龄（岁） 少年组（18及以下） 青年组（19-35） 中年组（36-60） 老年组（61及以上）
调查人数 70 80 30 20
少年组、青年组、中年组、老年组分别有，，，的人看了2次该电影，其余的人都只看了1次．
（1）求这200位观众观看该电影的平均次数；
（2）小华记少年组与青年组为“组”，记中年组和老年组为“组”．请完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为观影次数与年龄层次有关联？
观影次数 年龄层次 合计
组 组
1次
2次
合计
附表：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
参考公式：，．
【答案】（1）解：因为70人的群体中观看2次电影的人数为人；
80人的群体中观看2次电影的人数为人；
30人的群体中观看2次电影的人数为人；
20人的群体中观看2次电影的人数为人，
将这些人数相加，可得观看2次该电影总人数为人，
已知观看1次电影的总人数为200-72=128人，
观看2次电影的总人数为72人，
则总人数为200人，
所以，这200位观众观看该电影的平均次数为：.
（2）解：零假设：观影次数与年龄层次无关联，
从题目中可知，A组观看1次电影的有90人，B组观看1次电影的有38人，
所以观看1次电影的合计128人；
A组观看2次电影的有60人，B组观看2次电影的有12人，
所以观看2次电影的合计72人；
则A组合计150人，B组合计50人，总人数200人.
整理数据得到列联表：
观影次数 年龄层次 合计
A组 B组
1次 90 38 128
2次 60 12 72
合计 150 50 200
计算卡方统计量，代入可得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
则认为观影次数与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【知识点】众数、中位数、平均数；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）先分别算出观看不同次数电影的人数，再根据平均数公式计算出这200位观众观看该电影的平均次数.
（2）利用零假设是认为两个变量无关联，通过计算卡方统计量并与给定的小概率值对应的临界值比较，则根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为观影次数与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（1）70人的群体中观看2次电影的人数为人；
80人的群体中观看2次电影的人数为人；
30人的群体中观看2次电影的人数为人；
20人的群体中观看2次电影的人数为人.
将这些人数相加，可得观看2次该电影总人数为人.
已知观看1次电影的总人数为200-72=128人，观看2次电影的总人数为72人，总人数为200人.
这200位观众观看该电影的平均次数为.
（2）零假设：观影次数与年龄层次无关联.
从题目中可知，A组观看1次电影的有90人，B组观看1次电影的有38人，所以观看1次电影的合计128人；
A组观看2次电影的有60人，B组观看2次电影的有12人，所以观看2次电影的合计72人；
A组合计150人，B组合计50人，总人数200人.
整理数据得到列联表：
观影次数 年龄层次 合计
A组 B组
1次 90 38 128
2次 60 12 72
合计 150 50 200
计算卡方统计量：代入可得.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为观影次数与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
16．（2025高三下·湖州月考）如图，在三棱锥中，，，平面平面，．
（1）证明：；
（2）若为的垂心，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取中点，连接，
由，
所以，都在平面内，
则平面，
由平面，
得.
（2）解：由（1），易知两两垂直，
如下图，构建空间直角坐标系，
因为，
则，且，
设平面的一个法向量为，
取的中点，
又因为，
所以，为的垂心，
则在上，
设，
则，
故，
因为，
所以，
可得，
故，
设与平面所成角为，
所以与平面所成角的正弦值为：.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，易得，再由线面垂直的判定定理和性质定理，从而证出.
（2）由（1），易知两两垂直，则构建合适的空间直角坐标系，从而标注相关点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出与平面所成角的正弦值.
（1）取中点，连接，由，
所以，都在平面内，则平面，
由平面，故；
（2）由（1），易知两两垂直，如下图，构建空间直角坐标系，
而，则，且，
设平面的一个法向量为，取的中点，又，
所以，为的垂心，则在上，
设，则，故，而，
所以，可得，故，
所以与平面所成角的正弦值.
17．（2025高三下·湖州月考）已知函数在处有极大值，且函数在定义域内单调递增．
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）解：对求导，
可得：
因为在处有极大值，
所以，
则，
解得或，
当时，，
令，可得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是极小值点，不符合题意，舍去；
当时，.
令，可得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是极大值点，符合题意，
综上所述，.
（2）解：由（1）可知，
则，其定义域为.
对求导可得：
因为在定义域内单调递增，
所以在上恒成立，
则在上恒成立，
化简不等式可得：，
则，即
令，
对其进行配方可得，其对称轴为，
在上单调递减，在上单调递增，
则.
则在上恒成立，
则在上恒成立，
因为，
所以，
则，当且仅当时取得最值，
与前面最值条件一样，
则在上恒成立，
则.
因为，
所以，
则，
解得.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先对求导，再根据在处有极大值得到，从而解出的可能值，再分别代入的值判断函数的单调性，从而判断出是极大值点还是极小值点，进而确定出的值.
（2）由的值得到函数表达式，再对求导，再利用单调递增得出恒成立，再 化简不等式求出的最小值，从而得到关于的不等式，再结合的取值范围求出的取值范围.
（1）首先对求导，可得：
.
因为在处有极大值，所以，即，解得或.
当时，.
令，可得或.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以是极小值点，不符合题意，舍去.
当时，.
令，可得或.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以是极大值点，符合题意.
综上，.
（2）由（1）可知，则，其定义域为.
对求导可得：
.
因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.
化简不等式可得：，，即.
令，对其进行配方可得，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，.
则在上恒成立，即在上恒成立.
因为，所以，则.
当且仅当时取得最值，与前面最值条件一样.
那么在上恒成立，即.
因为，所以，则，解得.
18．（2025高三下·湖州月考）已知椭圆的离心率是，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记圆的方程是．
①若与圆相切的直线经过的右焦点，且与交于，两点，求；
②斜率为的直线经过坐标原点，与交于，两点，若是的上顶点，直线交圆于点，直线交圆于点，记直线的斜率为，求值：．
【答案】（1）解：由题意，得，
可得，
则椭圆方程为.
（2）解：①由题意，令直线，
与圆相切，
知，可得，
所以，
联立，
整理得，
所以，
则，，
所以.
②设，则，
因为，
所以，直线，直线，
与联立，得，
整理得，
所以或，显然，
同理可得，
所以，
因为，
所以.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和点在椭圆上，从而求出a，b的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）①令，再利用直线与圆的相切关系得出的值，再联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理和弦长公式，从而得出的值.
②设，则，则直线，直线，再联立直线的方程和圆的方程，从而得出，，再利用两点求斜率公式，从而得出的值.
（1）由题设，可得，即椭圆方程为；
（2）①由题设，令，与圆相切，知，可得，
所以，联立整理得，
所以，则，，
所以；
②设，则，而，则，，
与联立得，整理得，
所以或，显然，同理可得，
所以，而，则.
19．（2025高三下·湖州月考）1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数，，其中，，那么，十进制数可以用二进制表示为，记作，此时，令，数列满足．
（1）二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如震卦“”对应的二进制数为100．请写出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数．
（2）证明：，．
（3）是否存在正偶数，使得对任意，满足．若存在，请写出符合要求的；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：因为巽卦“”的二进制为，
所以，对应的十进制为，
又因为兑卦“” 的二进制为，
所以，对应的十进制为.
（2）证明：由，
可得，
故，
所以，
则，
因为，
所以，
所以，.
（3）解：不存在正偶数，使得对任意，
满足．
反证法：假设存在正偶数，使得对任意，
满足．
当时，①，
当时，②，
当时，③，
由（2）可知，，
因此④，
所以，由⑤可得，对于正偶数，，，
因为，，所以，
由①②③可知：，
令正偶数，则，
则，
根据④可得：，
若为偶数，由⑤得，矛盾，
若为奇数，则为偶数，
由⑤可知：，
综上所述，不存在正偶数，使得对任意，
满足．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；反证法的应用；进位制
【解析】【分析】（1）利用二进制与十进制的换算关系计算得出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数．
（2）利用已知条件可得，再利用可得，从而证出，成立.
（3）不存在正偶数，使得对任意，满足，再利用反证法证出不存在正偶数，使得对任意，满足．
（1）巽卦“”的二进制为，故对应的十进制为，
兑卦“” 的二进制为，故对应的十进制为；
（2）由，可得，故，
所以，，
因为，
所以，
所以，.
（3）不存在正偶数，使得对任意，满足．
反证法，假设存在正偶数，使得对任意，满足．
当时，①，当时，②，
当时，③，
由（2）可知，，因此④，
所以由⑤可得，对于正偶数，，，
而，，所以，
由①②③可知：，
令正偶数，，
则
则根据④可得：，
若为偶数，由⑤得，矛盾，
若为奇数，则为偶数，由⑤可知：，
综上所述，不存在正偶数，使得对任意，满足．
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