广东省广州市黄埔区2025年中考数学一模试卷
1．（2025·黄埔模拟）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、图案是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
C图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意.选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故对答案为：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据定义并结合各选项即可判断求解．
2．（2025·黄埔模拟）截至2025年3月18日，电影《哪吒之魔童闹海》的票房约为15200000000元，将15200000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意项即可求解.
3．（2025·黄埔模拟）下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．俯视图是有圆心的圆，∴此选项不符合题意；
B．俯视图是没有圆心的圆，
∴此选项不符合题意；
C．俯视图是正方形，
∴此选项不符合题意；
D．俯视图是三角形，
∴此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形并结合各选项即可判断求解．
4．（2025·黄埔模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据单项式除以单项式的法则”系数相除，同底数幂相除 ，只在被除式里的字母则连同它的指数作为积的一个因式”可求解；
D、 根据二次根式的加减法法则"二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简 二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合 并，合并时系数相加减，根式不变"可求解.
5．（2025·黄埔模拟）中华人民共和国第十五届运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳三地共同举行．两名运动员进行了10次某运动项目的测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名运动员的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的( )
A．中位数 B．众数 C．方差 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差．
故答案为：C．
【分析】根据方差的意义"方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立"可判断求解．
6．（2025·黄埔模拟）在中，，，，则的正弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
．
故答案为：A．
【分析】由题意，用勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数sin∠A=计算即可求解．
7．（2025·黄埔模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，
点的横坐标为．
根据函数图象可知：当时，的取值范围是或．
故答案为：B.
【分析】y2＞y1就是双曲线高于直线所对应的x的范围，根据反比例函数与一次函数的交点并结合图形即可求解．
8．（2025·黄埔模拟）对于任意4个实数，，，，定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
关于的方程可化为，即，
，，，
，
有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【分析】由题意，根据新运算写出关于x的一元二次方程，计算b2-4ac的值并判断其符号，然后根据一元二次方程的根的判别式的关系"当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根"可判断求解．
9．（2025·黄埔模拟）如图，是的直径，是弦，于，，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴，
设，则，
在Rt△OAE中，，
即，
解得：，
∴，
∴，故C正确．
故答案为：C．
【分析】连接OA，设，则，在Rt△OAE中，根据勾股定理列关于r的方程，解方程求出r的值，再在Rt△ACE中，用勾股定理求即可求解．
10．（2025·黄埔模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图所示，作轴于点，
，，
，
，
，重合，
，
则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：，，，
则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是；
同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是；
第6个平行四边形的对称中心的坐标是，
即，，.
故答案为：D．
【分析】由题意，先求出前几个点的坐标，并找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，然后把n=6代入所得规律计算即可求解．
11．（2025·黄埔模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
12．（2025·黄埔模拟）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ．
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得：，
，，
，
，
，
解得：，
像的高为，
故答案为：3．
【分析】根据题意可得：，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得，，根据有两个角对应角相等的两个三角形相似可得，然后根据相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式求解．
13．（2025·黄埔模拟）2025年我国人工智能领域取得重大突破，国产大模型DeepSeek（深度求索）凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词DeepSeek中任意选择一个字母，选到字母“e”的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：“深度求索”的英语单词“”中，共有8个字母，其中字母“e”出现4次，
∴字母“e”出现的频率是，
故答案为：．
【分析】由题意，找出单词中字母的总个数和字母e的个数，然后根据概率公式计算即可求解．
14．（2025·黄埔模拟）若是关于的方程的解，则的值为 ．
【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
即，
，
故答案为：2024．
【分析】根据一元二次方程的解的定义"方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值"可把代入方程得关于a、b的方程，整理可得3a-b=1，然后将所求代数式变形并整体代换即可求解．
15．（2025·黄埔模拟）如图，已知矩形ABCD，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵点F、G分别为、的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】连接．由矩形的性质“矩形的对边平行且相等”可得AB=CD，AD=BC，AD∥BC，由平行线的性质和角平分线的定义可得，由线段的和差EC=BC-BE求出EC的值，在Rt△CDE中，由勾股定理可求出DE的值，然后根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”可求解．
16．（2025·黄埔模拟）如图，在中，，，点是平面内一点，且．过点作于点．
①若，则的长为 ；
②当线段绕点在平面内旋转时，线段长度的最大值为 ．
【答案】3；4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：①，
，
故答案为：3；
②，
，
点是在以为直径的圆上运动，
，且是绕点旋转，
点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，
如图，当与圆相切于点，且在外部时，最大，最大，
由题意可得：，
四边形为圆的内接四边形，，，
，，，
，，
，
，
故答案为：4．
【分析】
①由题意，用勾股定理可求解；
（2）根据题意识别出点是在以为直径的圆上运动，点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，所以当与圆相切于点，且在△外部时，最大，最大，在Rt△ABE中，用勾股定理计算可求解．
17．（2025·黄埔模拟）解方程：
【答案】解：因式分解得： ，解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程即可。
18．（2025·黄埔模拟）如图，已知，，求证：．
【答案】证明：在与中，
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由题意，用角边角可得△BAC≌△ABD，然后根据全等三角形的对应边相等可求解.
19．（2025·黄埔模拟）已知．
（1）化简；
（2）若点在反比例函数的图象上，求的值．
【答案】（1）解：
（2）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
即
∴原式.
【知识点】分式的化简求值；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）由题意，先将括号内的分式通分，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，然后将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简；
（2）根据反比例函数图象上的点的坐标特征，将点P代入反比例函数解析式整理可得m2-m=2，再整体代入（1）中化简后的代数式计算即可求解．
（1）解：
（2）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
即
∴原式
20．（2025·黄埔模拟）为响应“非遗进校园”活动，某校开设了四类非遗文化社团：粤剧，粤绣，英歌舞，醒狮，每位同学只能选择其中一个社团参加．学校随机调查了部分参与社团的学生的情况，根据调查结果绘制了不完整的统计图（如图）：
（1）本次共调查了________名学生，其中参与社团的人数是________人；
（2）学校计划从，，，四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中和两个社团的概率．
【答案】（1）50；5
（2）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中同时选中和两个社团的结果有：，，共2种，
同时选中和两个社团的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：本次共调查了（名学生，
参与社团的人数是（人．
故答案为：50；5．
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可求得本次调查的学生人数；根据各小组频数之和等于样本容量可求得社团的人数；
（2）由题意，列表可得出所有等可能的结果数以及同时选中和两个社团的结果数，再用概率公式计算可求解．
（1）解：本次共调查了（名学生，
参与社团的人数是（人．
故答案为：50；5．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中同时选中和两个社团的结果有：，，共2种，
同时选中和两个社团的概率为．
21．（2025·黄埔模拟）清明节是中国的传统节日之一，主要有踏青、扫墓、吃青团等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的青团．已知购进90袋甲种青团和120袋乙种青团的总金额是2340元，购进150袋甲种青团和60袋乙种青团的总金额是2220元．
（1）求甲、乙两种青团每袋的单价分别是多少元；
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种青团共150袋，若总金额不超过1750元，最少应购进多少袋甲种青团？
【答案】（1）解：设每袋甲种青团的单价是元，每袋乙种青团的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每袋甲种青团的单价是10元，每袋乙种青团的单价是12元；
（2）解：设再次购进袋甲种青团，则再次购进袋乙种青团，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为25．
答：最少应购进25袋甲种青团．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每袋甲种青团的单价是元，每袋乙种青团的单价是元，根据“购进90袋甲种青团和120袋乙种青团的总金额是2340元，购进150袋甲种青团和60袋乙种青团的总金额是2220元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可求解；
（2）设再次购进袋甲种青团，则再次购进袋乙种青团，根据总价单价数量并结合总价不超过1750元可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值可求解．
（1）解：设每袋甲种青团的单价是元，每袋乙种青团的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每袋甲种青团的单价是10元，每袋乙种青团的单价是12元；
（2）设再次购进袋甲种青团，则再次购进袋乙种青团，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为25．
答：最少应购进25袋甲种青团．
22．（2025·黄埔模拟）如图，中，．
（1）尺规作图：作，使圆心在边上，且与，所在直线相切（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，求的半径．
【答案】（1）解：如图，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，
则即为所求．
（2）设与相切于点，连接，
，，
，
，
．
设的半径为，
则，，
，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
的半径为4．
【知识点】角平分线的性质；切线的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；已知余弦值求边长
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质以及切线的判定与性质，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求；
（2）设与相切于点，连接，由同角的余角相等可得，设的半径为，则，，根据锐角三角函数可得关于r的方程，解方程可求解．
（1）解：如图，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，
则即为所求．
（2）设与相切于点，连接，
，，
，
，
．
设的半径为，
则，，
，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
的半径为4．
23．（2025·黄埔模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，连接，，求的面积．
【答案】（1）解：∵直线经过点，
∴
∴
∴
∵反比例函数经过
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，
令，
解得：，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
①点在线段上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重合，如图，
∴点N在轴上，即点N为与轴交点重合，
将代入，则，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
∴，
②点在线段的延长线上，
同理得：，，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
，
综上所述，或14．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由题意，将点A的坐标代入直线解析式可求出m的值，然后用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由题意分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上可求解．
（1）解：∵直线经过点
∴
∴
∴
∵反比例函数经过
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，
令，解得：，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
①点在线段上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重合，如图，
∴点N在轴上，即点N为与轴交点重合，
将代入，则，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
∴，
②点在线段的延长线上，
同理得：，，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
，
综上所述，或14．
24．（2025·黄埔模拟）如图，在矩形中，，，点为射线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）当点为线段的中点时，求证：是等边三角形；
（2）当与矩形的边平行时，求线段的长；
（3）在点的运动过程中，线段的长度是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：在矩形中，
∵点为线段的中点
∴
∵
∴
∴是等边三角形；
（2）①当时∴
∴
∴
∴是等边三角形
∴
②当时
在中，，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上，线段的长为或．
（3）如图，过点作于点
∵，设
∴，
∴
∴
当时，取得最小值，最小值为
∵当最小时，最小
∴最小值为
【知识点】四边形-动点问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=AP，由角的和差可得∠DAP=60°，然后根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可求解；
（2）由题意分两种情况：①当，②，然后用勾股定理和特殊角的三角函数值求解即可；
（3）过点D作DM⊥EP于点M，设DM=x，用勾股定理可得，当时，取得最小值.
（1）证：在矩形中，
∵点为线段的中点
∴
∵
∴
∴是等边三角形；
（2）①当时
∴
∴
∴
∴是等边三角形
∴
②当时
在中，，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上，线段的长为或．
（3）如图，过点作于点
∵，设
∴，
∴
∴
当时，取得最小值，最小值为
∵当最小时，最小
∴最小值为
25．（2025·黄埔模拟）平面直角坐标系中，抛物线（为实数）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围；
（3）当时（其中为实数且），抛物线的图象总在直线的下方，求的最大值．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线；
（2）解：点关于抛物线对称轴的对称点为，
①当时，，
∴在对称轴右侧，
∵对于，，都有，
∴或，
∴或，
②当时，，
∴在对称轴左侧，在对称轴右轴，在对称轴右侧，
∵
∴恒成立；
③当时，，成立，
综上可得，或；
（3）解：联立，
消得，
∵当时（其中为实数且），抛物线的图象总在直线的下方，且最大，
结合图象知关于的方程的两个根为，，
将代入方程得，
，
解得，，
当时，方程为，
解得，
∵，
∴不符合题意，舍去；
当时，方程为，
解得，，
∴；
综上，的最大值为9．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】
（1）根据抛物线对称轴公式计算即可求解；
（2）由题意分三种情况：①，②，③，分别画出图形，根据二次函数的性质并结合图形即可求解；
（3）由题意，将二次函数的解析式和直线y=x联立解方程组，消未知数可得关于x的一元二次方程，结合图象可知关于的方程的两个根为，，将代入方程可得关于m的方程，解方程求得m的值，再把m的值分别代入原方程计算即可求解．
（1）解：抛物线的对称轴为直线；
（2）解：点关于抛物线对称轴的对称点为，
①当时，，
∴在对称轴右侧，
∵对于，，都有，
∴或，
∴或，
②当时，，
∴在对称轴左侧，在对称轴右轴，在对称轴右侧，
∵
∴恒成立；
③当时，，成立，
综上，或；
（3）解：联立，
消得，
∵当时（其中为实数且），抛物线的图象总在直线的下方，且最大，
结合图象知关于的方程的两个根为，，
将代入方程得，
，
解得，，
当时，方程为，
解得，
∵，
∴不符合题意，舍去；
当时，方程为，
解得，，
∴；
综上，的最大值为9．
1 / 1广东省广州市黄埔区2025年中考数学一模试卷
1．（2025·黄埔模拟）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黄埔模拟）截至2025年3月18日，电影《哪吒之魔童闹海》的票房约为15200000000元，将15200000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·黄埔模拟）下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·黄埔模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·黄埔模拟）中华人民共和国第十五届运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳三地共同举行．两名运动员进行了10次某运动项目的测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名运动员的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的( )
A．中位数 B．众数 C．方差 D．以上都不对
6．（2025·黄埔模拟）在中，，，，则的正弦值为( )
A． B． C． D．
7．（2025·黄埔模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．（2025·黄埔模拟）对于任意4个实数，，，，定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
9．（2025·黄埔模拟）如图，是的直径，是弦，于，，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C． D．
10．（2025·黄埔模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是( )
A． B． C． D．
11．（2025·黄埔模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是
12．（2025·黄埔模拟）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ．
13．（2025·黄埔模拟）2025年我国人工智能领域取得重大突破，国产大模型DeepSeek（深度求索）凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词DeepSeek中任意选择一个字母，选到字母“e”的概率是 ．
14．（2025·黄埔模拟）若是关于的方程的解，则的值为 ．
15．（2025·黄埔模拟）如图，已知矩形ABCD，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则 ．
16．（2025·黄埔模拟）如图，在中，，，点是平面内一点，且．过点作于点．
①若，则的长为 ；
②当线段绕点在平面内旋转时，线段长度的最大值为 ．
17．（2025·黄埔模拟）解方程：
18．（2025·黄埔模拟）如图，已知，，求证：．
19．（2025·黄埔模拟）已知．
（1）化简；
（2）若点在反比例函数的图象上，求的值．
20．（2025·黄埔模拟）为响应“非遗进校园”活动，某校开设了四类非遗文化社团：粤剧，粤绣，英歌舞，醒狮，每位同学只能选择其中一个社团参加．学校随机调查了部分参与社团的学生的情况，根据调查结果绘制了不完整的统计图（如图）：
（1）本次共调查了________名学生，其中参与社团的人数是________人；
（2）学校计划从，，，四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中和两个社团的概率．
21．（2025·黄埔模拟）清明节是中国的传统节日之一，主要有踏青、扫墓、吃青团等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的青团．已知购进90袋甲种青团和120袋乙种青团的总金额是2340元，购进150袋甲种青团和60袋乙种青团的总金额是2220元．
（1）求甲、乙两种青团每袋的单价分别是多少元；
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种青团共150袋，若总金额不超过1750元，最少应购进多少袋甲种青团？
22．（2025·黄埔模拟）如图，中，．
（1）尺规作图：作，使圆心在边上，且与，所在直线相切（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，求的半径．
23．（2025·黄埔模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，连接，，求的面积．
24．（2025·黄埔模拟）如图，在矩形中，，，点为射线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）当点为线段的中点时，求证：是等边三角形；
（2）当与矩形的边平行时，求线段的长；
（3）在点的运动过程中，线段的长度是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．
25．（2025·黄埔模拟）平面直角坐标系中，抛物线（为实数）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围；
（3）当时（其中为实数且），抛物线的图象总在直线的下方，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、图案是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
C图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意.选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故对答案为：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据定义并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意项即可求解.
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．俯视图是有圆心的圆，∴此选项不符合题意；
B．俯视图是没有圆心的圆，
∴此选项不符合题意；
C．俯视图是正方形，
∴此选项不符合题意；
D．俯视图是三角形，
∴此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形并结合各选项即可判断求解．
4．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据单项式除以单项式的法则”系数相除，同底数幂相除 ，只在被除式里的字母则连同它的指数作为积的一个因式”可求解；
D、 根据二次根式的加减法法则"二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简 二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合 并，合并时系数相加减，根式不变"可求解.
5．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差．
故答案为：C．
【分析】根据方差的意义"方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立"可判断求解．
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
．
故答案为：A．
【分析】由题意，用勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数sin∠A=计算即可求解．
7．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，
点的横坐标为．
根据函数图象可知：当时，的取值范围是或．
故答案为：B.
【分析】y2＞y1就是双曲线高于直线所对应的x的范围，根据反比例函数与一次函数的交点并结合图形即可求解．
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
关于的方程可化为，即，
，，，
，
有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【分析】由题意，根据新运算写出关于x的一元二次方程，计算b2-4ac的值并判断其符号，然后根据一元二次方程的根的判别式的关系"当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根"可判断求解．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴，
设，则，
在Rt△OAE中，，
即，
解得：，
∴，
∴，故C正确．
故答案为：C．
【分析】连接OA，设，则，在Rt△OAE中，根据勾股定理列关于r的方程，解方程求出r的值，再在Rt△ACE中，用勾股定理求即可求解．
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图所示，作轴于点，
，，
，
，
，重合，
，
则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：，，，
则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为；
同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是；
同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是；
第6个平行四边形的对称中心的坐标是，
即，，.
故答案为：D．
【分析】由题意，先求出前几个点的坐标，并找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，然后把n=6代入所得规律计算即可求解．
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
12．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得：，
，，
，
，
，
解得：，
像的高为，
故答案为：3．
【分析】根据题意可得：，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得，，根据有两个角对应角相等的两个三角形相似可得，然后根据相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式求解．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：“深度求索”的英语单词“”中，共有8个字母，其中字母“e”出现4次，
∴字母“e”出现的频率是，
故答案为：．
【分析】由题意，找出单词中字母的总个数和字母e的个数，然后根据概率公式计算即可求解．
14．【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
即，
，
故答案为：2024．
【分析】根据一元二次方程的解的定义"方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值"可把代入方程得关于a、b的方程，整理可得3a-b=1，然后将所求代数式变形并整体代换即可求解．
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵点F、G分别为、的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】连接．由矩形的性质“矩形的对边平行且相等”可得AB=CD，AD=BC，AD∥BC，由平行线的性质和角平分线的定义可得，由线段的和差EC=BC-BE求出EC的值，在Rt△CDE中，由勾股定理可求出DE的值，然后根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”可求解．
16．【答案】3；4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：①，
，
故答案为：3；
②，
，
点是在以为直径的圆上运动，
，且是绕点旋转，
点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，
如图，当与圆相切于点，且在外部时，最大，最大，
由题意可得：，
四边形为圆的内接四边形，，，
，，，
，，
，
，
故答案为：4．
【分析】
①由题意，用勾股定理可求解；
（2）根据题意识别出点是在以为直径的圆上运动，点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，所以当与圆相切于点，且在△外部时，最大，最大，在Rt△ABE中，用勾股定理计算可求解．
17．【答案】解：因式分解得： ，解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解方程即可。
18．【答案】证明：在与中，
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由题意，用角边角可得△BAC≌△ABD，然后根据全等三角形的对应边相等可求解.
19．【答案】（1）解：
（2）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
即
∴原式.
【知识点】分式的化简求值；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）由题意，先将括号内的分式通分，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，然后将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简；
（2）根据反比例函数图象上的点的坐标特征，将点P代入反比例函数解析式整理可得m2-m=2，再整体代入（1）中化简后的代数式计算即可求解．
（1）解：
（2）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
即
∴原式
20．【答案】（1）50；5
（2）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中同时选中和两个社团的结果有：，，共2种，
同时选中和两个社团的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：本次共调查了（名学生，
参与社团的人数是（人．
故答案为：50；5．
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可求得本次调查的学生人数；根据各小组频数之和等于样本容量可求得社团的人数；
（2）由题意，列表可得出所有等可能的结果数以及同时选中和两个社团的结果数，再用概率公式计算可求解．
（1）解：本次共调查了（名学生，
参与社团的人数是（人．
故答案为：50；5．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中同时选中和两个社团的结果有：，，共2种，
同时选中和两个社团的概率为．
21．【答案】（1）解：设每袋甲种青团的单价是元，每袋乙种青团的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每袋甲种青团的单价是10元，每袋乙种青团的单价是12元；
（2）解：设再次购进袋甲种青团，则再次购进袋乙种青团，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为25．
答：最少应购进25袋甲种青团．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每袋甲种青团的单价是元，每袋乙种青团的单价是元，根据“购进90袋甲种青团和120袋乙种青团的总金额是2340元，购进150袋甲种青团和60袋乙种青团的总金额是2220元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可求解；
（2）设再次购进袋甲种青团，则再次购进袋乙种青团，根据总价单价数量并结合总价不超过1750元可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值可求解．
（1）解：设每袋甲种青团的单价是元，每袋乙种青团的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每袋甲种青团的单价是10元，每袋乙种青团的单价是12元；
（2）设再次购进袋甲种青团，则再次购进袋乙种青团，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为25．
答：最少应购进25袋甲种青团．
22．【答案】（1）解：如图，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，
则即为所求．
（2）设与相切于点，连接，
，，
，
，
．
设的半径为，
则，，
，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
的半径为4．
【知识点】角平分线的性质；切线的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；已知余弦值求边长
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质以及切线的判定与性质，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求；
（2）设与相切于点，连接，由同角的余角相等可得，设的半径为，则，，根据锐角三角函数可得关于r的方程，解方程可求解．
（1）解：如图，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，
则即为所求．
（2）设与相切于点，连接，
，，
，
，
．
设的半径为，
则，，
，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
的半径为4．
23．【答案】（1）解：∵直线经过点，
∴
∴
∴
∵反比例函数经过
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，
令，
解得：，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
①点在线段上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重合，如图，
∴点N在轴上，即点N为与轴交点重合，
将代入，则，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
∴，
②点在线段的延长线上，
同理得：，，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
，
综上所述，或14．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由题意，将点A的坐标代入直线解析式可求出m的值，然后用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由题意分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上可求解．
（1）解：∵直线经过点
∴
∴
∴
∵反比例函数经过
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，
令，解得：，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
①点在线段上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重合，如图，
∴点N在轴上，即点N为与轴交点重合，
将代入，则，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
∴，
②点在线段的延长线上，
同理得：，，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
，
综上所述，或14．
24．【答案】（1）证明：在矩形中，
∵点为线段的中点
∴
∵
∴
∴是等边三角形；
（2）①当时∴
∴
∴
∴是等边三角形
∴
②当时
在中，，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上，线段的长为或．
（3）如图，过点作于点
∵，设
∴，
∴
∴
当时，取得最小值，最小值为
∵当最小时，最小
∴最小值为
【知识点】四边形-动点问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=AP，由角的和差可得∠DAP=60°，然后根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可求解；
（2）由题意分两种情况：①当，②，然后用勾股定理和特殊角的三角函数值求解即可；
（3）过点D作DM⊥EP于点M，设DM=x，用勾股定理可得，当时，取得最小值.
（1）证：在矩形中，
∵点为线段的中点
∴
∵
∴
∴是等边三角形；
（2）①当时
∴
∴
∴
∴是等边三角形
∴
②当时
在中，，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上，线段的长为或．
（3）如图，过点作于点
∵，设
∴，
∴
∴
当时，取得最小值，最小值为
∵当最小时，最小
∴最小值为
25．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线；
（2）解：点关于抛物线对称轴的对称点为，
①当时，，
∴在对称轴右侧，
∵对于，，都有，
∴或，
∴或，
②当时，，
∴在对称轴左侧，在对称轴右轴，在对称轴右侧，
∵
∴恒成立；
③当时，，成立，
综上可得，或；
（3）解：联立，
消得，
∵当时（其中为实数且），抛物线的图象总在直线的下方，且最大，
结合图象知关于的方程的两个根为，，
将代入方程得，
，
解得，，
当时，方程为，
解得，
∵，
∴不符合题意，舍去；
当时，方程为，
解得，，
∴；
综上，的最大值为9．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】
（1）根据抛物线对称轴公式计算即可求解；
（2）由题意分三种情况：①，②，③，分别画出图形，根据二次函数的性质并结合图形即可求解；
（3）由题意，将二次函数的解析式和直线y=x联立解方程组，消未知数可得关于x的一元二次方程，结合图象可知关于的方程的两个根为，，将代入方程可得关于m的方程，解方程求得m的值，再把m的值分别代入原方程计算即可求解．
（1）解：抛物线的对称轴为直线；
（2）解：点关于抛物线对称轴的对称点为，
①当时，，
∴在对称轴右侧，
∵对于，，都有，
∴或，
∴或，
②当时，，
∴在对称轴左侧，在对称轴右轴，在对称轴右侧，
∵
∴恒成立；
③当时，，成立，
综上，或；
（3）解：联立，
消得，
∵当时（其中为实数且），抛物线的图象总在直线的下方，且最大，
结合图象知关于的方程的两个根为，，
将代入方程得，
，
解得，，
当时，方程为，
解得，
∵，
∴不符合题意，舍去；
当时，方程为，
解得，，
∴；
综上，的最大值为9．
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