贵州省2025年中考适应性考试数学卷
1．（2025·贵州模拟）下列有理数中最小的数是（ ）
A．5 B．0 C． D．
2．（2025·贵州模拟）下面几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·贵州模拟）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·贵州模拟）如图，四边形是“垃圾入桶”标志中垃圾桶的平面示意图，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·贵州模拟）小红在一次测试中每个小题平均用时分钟，则她答完个小题共需要的时间是（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
6．（2025·贵州模拟）小星计划五一假期来贵州游玩，他打算从“黄果树”“小七孔”“西江苗寨”“赤水”“万峰林”“梵净山”这6个景点中随机选择一个，则选中“黄果树”的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·贵州模拟）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·贵州模拟）不等式组的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
9．（2025·贵州模拟）如图，在轴，轴上分别截取，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025·贵州模拟）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·贵州模拟）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
12．（2025·贵州模拟）已知正三角形的边长为是边上的一点（不与端点重合），过作边的垂线，交于，设，的面积为，则关于的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2025·贵州模拟）因式分解： ．
14．（2025·贵州模拟）在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是 ．
15．（2025·贵州模拟）关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是 ．
16．（2025·贵州模拟）如图，在中，，，．平分交于点，点为上一点，连接，将沿方向平移到，连接，则的最小值为 ．
17．（2025·贵州模拟）（1）计算：；
（2）下面是小红同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
第一步 第二步 第三步 第四步
第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________；
请写出化简该分式的正确过程．
18．（2025·贵州模拟）今年春节档期全国总观影人次超亿，总票房超80亿元．以下是甲、乙两部影片一周上映的观影人次信息．根据图中信息，回答下列问题：
两部影片观影人次折线统计图
（1）甲影片观影人次的众数为______万人；乙影片观影人次的中位数为_______万人．
（2）下列说法正确的是______（填序号）
①甲影片的观影人次逐日增加；
②周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大；
③乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定；
④甲影片的日平均观影人次低于乙影片的日平均观影人次．
（3）根据甲、乙两部影片累计观影人次统计数据，判断甲、乙两部影片受欢迎的程度并提出一条合理化的建议．
19．（2025·贵州模拟）如图，是两张叠放在一起的矩形纸片．分别过点A作于于，且．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若为的中点，连接，求的面积．
20．（2025·贵州模拟）如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，斜边与反比例函数交于点．
（1）求的值；
（2）若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标．
21．（2025·贵州模拟）如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人．
（1）若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数；
（2）假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值．
22．（2025·贵州模拟）如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案：
任务一：你选取的工具是___________（可选工具：小镜子、标杆、皮尺）；
任务二：请在图中画出方案示意图；
任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）．
测量数据：①小星与旗杆的距离为，②小星到镜子的距离为，③镜子到旗杆的距离为，④同一时刻，小星的影长为，旗杆的影长为，⑤小星的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），⑥标杆长，⑦小星与标杆的距离为．
23．（2025·贵州模拟）如图，内接于，过点作的切线交的延长线于，连接交于点，连接．
（1）求证；
（2）探究与的数量关系，并说明理由；
（3）若，求的半径．
24．（2025·贵州模拟）如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，垂直于地面，且，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（为常数，）．
（1）求顶棚抛物线的函数关系式；
（2）小星想驾驶一辆高为，宽为的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？
（3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚之间抛物线上有两个点和（不与点重合）．它们的横坐标分别为，连接，．设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值．
25．（2025·贵州模拟）劳动课上，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙一块与铁皮形状、大小相同的饼．
（1）【操作发现】
小红找到一块如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是___________；
A．三角形的稳定性 B.等腰三角形是轴对称图形 C.三角形内角和等于
（2）【思考操作】
如图②，小红找到一块直角三角形的铁皮．如果饼烙好一面后将其翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中．小红将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，请你在图中作出“切痕”（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）【拓展延伸】
如图③，小星拿到一块既不是等腰三角形也不是直角三角形的铁皮．小星只切3刀，也能使饼翻身后，正好落在“锅”中．用两种不同方法画出“切痕”，写出切割的依据；
如图④，小星最后拿到一块凸四边形铁皮．他能否在四边形内部取一点，使切法满足．让烙饼翻身仍能正好落在“锅”中？写出推理过程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
最小的数是，
故答案为：D．
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小，据此直接得到答案.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图是矩形，故A不符合题意；
B、主视图是三角形，故B符合题意；
C、主视图是梯形，故C不符合题意；
D、主视图是圆，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】本题考查了主视图的定义，从正面观察几何体，得出主视图是三角形的即可．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：a6÷a2=a4，
故答案为：B．
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此即可求解.
4．【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解.
5．【答案】D
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵小红在一次测试中每个小题平均用时3分钟，
∴她答完个小题共需要的时间是分钟，
故答案为：D．
【分析】此题考查了列代数式，由每个小题的平均用时求她答完个小题共需要的时间．
6．【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵小星打算从“黄果树”“小七孔”“西江苗寨”“赤水”“万峰林”“梵净山”这6个景点中随机选择一个，
∴供选择的景点有6种等可能的情况，他选中“黄果树”的情况有1种，
∴选中“黄果树”的概率为，
故答案为：A．
【分析】本题考查了简单事件的概率，根据“概率=所求情况数与总情况数之比”解答即可．
7．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，对边平行且相等，逐项进行判断即可求解.
8．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
∴不等式组的解集为，
故答案为：A．
【分析】本题考查不等式组的解集，根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
9．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；点的坐标与象限的关系；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据画图可知：点P在的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
∵点P的坐标为，
∴，
解得：．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的作图可知点P在的角平分线上，然后根据角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，即可得关于a的方程，解方程求解即可．
10．【答案】C
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴方程两边同乘，得，
∴，
∴
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为，
故答案为：C．
【分析】首先去分母，把分式方程整理成整式方程，再解整式方程得到x的值，检验x的值是否为分式方程的增根，即可得出答案．
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据题意，得为直角三角形，，，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求得的值，最后求的值即可求解.
12．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；动点问题的函数图象；二次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵正三角形的边长为1，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵的面积为，
∴，
∵是边上的一点（不与端点重合），
∴，
∴，
∴根据解析式和的取值范围可知B正确，
故答案为：B．
【分析】根据等边三角形性质得，，然后解直角三角形得，，利用三角形面积求出函数解析式，接下来由是边上的一点（不与端点重合）求出的取值范围，最后由解析式以及的取值范围即可判断．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解： ．
故答案为： ．
【分析】因式分解：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，根据定义求解。
14．【答案】15
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意，得盒子中球的总个数大约是3÷20%=15（个），
故答案为：15．
【分析】本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率固定在某个位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，则可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，利用红球个数除以摸到红球的频率，可估计出球的总数.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】先将方程化为一般式，根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，据此得关于m的方程，解方程即可求解.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，过点的线段，且，过点作于，过点作于，过点作于，
∴，，
∵点是在线段上移动的，将沿方向平移到，
∴点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动，
∴当时，的长为的最小值，
∵，，，
∴，，
∴，
∵平分，，，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】过点的线段，且，过点作于，过点作于，过点作于，得，，根据点的运动轨迹以及图形平移的性质得点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动，于是有当时，的长为的最小值，然后利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得，的值，根据角平分线的性质和定义得，，设，则，可得，得到的值，进而由得的值，最后利用面积法以及三角形面积公式得的值，最后求的值即可.
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）①二；括号前面是负号，去括号没有变号；
②
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：（2）①根据分式的运算可知，第二步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是负号，去括号没有变号，
故答案为：二；括号前面是负号，去括号没有变号.
【分析】（1）先根据有理数的乘方、有理数的绝对值、零指数幂进行化简，然后计算加法即可；
（2）根据分式的运算，去括号要注意括号前面是负号的时候要变号，据此直接得到答案；
②根据分式的运算法则进行求解即可．
18．【答案】（1）45.2，61.4；
（2）②③；
（3）解：根据甲、乙两部影片数据可知，甲影片在累计观影人次、观影人次众数、周平均观影人次等方面表现更优，更受欢迎，故建议多安排甲影片的播放次数．
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∵甲影片观看的人数为45.2万人的有两天，天数最多，
∴甲影片观影人次的众数为45.2万人；
将乙影片周一到周日观影人次从小到大进行排列为：47.3，51.3，57.3，61.4，64.2，65.6，70.9，
∴乙影片观影人次的中位数为61.4万人，
故答案为：45.2，61.4；
（2）解：①根据折线统计图可知，甲影片的观影人次没有逐日增加，故①错误；
②周一：61.4-50.5=10.9（万人），
周二：70.9-45.2=25.7（万人），
周三：63.4-51.3=12.1（万人），
周四：89.6-65.6=24（万人），
周五：82.6-57.3=25.3（万人），
周六：64.2-45.2=19（万人），
周日：95.8-47.3=48.5（万人），
∴10.9<12.1<19<24<25.3<25.7<48.5，
∴周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大，故②正确；
③根据折线统计图可知，乙影片观影人次比甲影片观影人次波动小，
∴乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定，故③正确；
④甲影片的日平均观影人次为：（万人），
乙影片的日平均观影人次为：（万人），
，
∴甲影片的日平均观影人次高于乙影片的日平均观影人次，故④错误；
故答案为：②③.
【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行求解；
（2）①根据折线统计图直接判断该说法错误；②求出每一天观影人次的差值，进行比较后可判断②正确；③根据折线统计图直接可判断③正确；④分别求出甲乙影片的平均观影人次，进行比较后可判断④错误；
（3）根据众数和平均数的意义进行求解．
（1）解：甲影片观看的人数为万人的有两天，天数最多，
∴甲影片观影人次的众数为万人；
乙影片周一到周日观影人次从小到大排列为：，则乙影片观影人次的中位数为万人；
（2）解：①根据折线统计图，甲影片的观影人次没有逐日增加，故预案说法错误；
②周一：（万人），
周二：（万人），
周三：（万人），
周四：（万人），
周五：（万人），
周六：（万人），
周日：（万人），
则周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大，故原说法正确；
③根据统计图，乙影片观影人次比甲影片观影人次波动小，则乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定，故原说法正确；
④甲影片的日平均观影人次为：（万人），
乙影片的日平均观影人次为：（万人），
，
甲影片的日平均观影人次高于乙影片的日平均观影人次，故原说法错误；
故答案为：②③；
（3）解：根据甲、乙两部影片数据可知，甲影片在累计观影人次、观影人次众数、周平均观影人次等方面表现更优，更受欢迎．
建议：多安排甲影片的播放次数．
19．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，，过作于，
为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
，
为等边三角形，
，
∵，，
∴，，
由（1）得，
∴，
，
，
为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
的面积为．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得，，推出四边形是平行四边形，然后根据平行四边形对角相等得到，由垂直的定义得，于是证出，得，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形得证四边形是菱形；
（2）连接，，过作于，根据线段垂直平分线的性质、菱形的性质得，判定是等边三角形，得，从而得，，进而结合全等三角形的性质得，于是有，判定是等边三角形，然后由等边三角形的性质得到，利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求出的面积．
（1）解：四边形是菱形．
理由如下：
由题意可知：，，
四边形是平行四边形，
．
，
．
在和中，
．
．
平行四边形是菱形；
（2）连接．
为中点，，
∴，
∵平行四边形是菱形；
∴，
．
为等边三角形．
，．
，
．
为等边三角形．
∴，
过E作于H
∴，
，
的面积为．
20．【答案】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
将，代入表达式，得，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
将代入，得，
∴，代入，得；
（2）解：设，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
将代入，得，
∴，
∵在反比例函数上，
∴，
，
解得：，（舍去），
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质以及点，的坐标求出点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，从而得点的坐标，进而求出的值；
（2）设，，根据可得，根据点在直线上可得，由点在反比例图像上可得，于是得关于的方程，解方程即可求解．
（1）解：设直线的函数表达式为，
，，是等腰直角三角形，
，
则，
，
解得，
直线的函数表达式为，
在上，
，
，
则；
（2）解：设，，
，
，则，则，
将代入得，，即，
在反比例函数上，
，
，
解得，（舍），
．
21．【答案】（1）解：设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人，
根据题意，得，
解得：，
∴每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人；
（2）解：设六个哨所的总人数为人，
∵每个甲型哨所的人数为，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人，
∴每个乙型哨所的人数为人，
又∵每个哨所至少要有一人，
∴，
∴，
根据题意，得，
随的增大而减小，
当时，最大值为，当时，最小值为，
∴当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人，根据“六个哨所的总人数为21人，且2个甲哨所和1个乙哨所的人数和为11人”即可得出关于，二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设六个哨所的总人数为人，根据每个甲哨所的人数为人，得到每个乙型哨所的人数为人，然后由每个哨所至少要有一人得关于的不等式组，解不等式组得关于的取值范围，最后将六个哨所有人数相加即可得出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
（1）解：设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人，
根据题意列方程得：，
解得，
答：每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人；
（2）解：设六个哨所的总人数为人，
∵每个甲型哨所的人数为，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人，
∴每个乙型哨所的人数为人，
又每个哨所至少要有一人，
∴，
∴，
∴，
随的增大而减小，
当时，最大值，当时，最小值，
答：当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人．
22．【答案】解：任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺；（答案不唯一）
任务二：示意图1或图2或图3均可；（答案不唯一）
任务三：（答案不唯一）如图3，选取测量数据：①，⑤，⑥，⑦，
根据题意，得，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
∴学校旗杆的高度约为．
【知识点】相似三角形的应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】任务一：根据测量需要选择即可；
任务二：根据题意画图即可；
任务三：选取测量数据①，⑤，⑥，⑦，然后根据相似三角形的判定推出，从而由相似三角形对应边成比例的性质得，进而代入数据可求出的值，最后可求出旗杆的高度的值，并把 结果保留整数即可．
23．【答案】（1）解：，
，
，
，
过点作的切线交的延长线于，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
由（1）得，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：如图②，过点作于点，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
，
，，
，
又∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
.
【知识点】圆周角定理；切线的性质；正切的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得，然后结合等腰三角形”等边对等角“性质以及三角形内角和定理得，根据切线的性质可得，于是得；
（2）由（1）得，从而证明，进而可得，最后变形即可；
（3）过点作于点，先证出是等腰直角三角形，求出，然后再证明，结合正切的定义，得的值，从而得的值，进而得的值.
（1）解：如图①，，
．
，
．
为切线，
．
．
（2）解：，理由见解析：
由（1）得，
，
又，
．
．
．
（3）解：如图②，过点作于点，
∵．
．
，
，
，
又，
∴，
．
．
．
．
24．【答案】（1）解：∵，
∴，代入得，
解得：，
∴顶棚抛物线的函数关系式为：；
（2）解：如图，过作于点，
∵顶棚抛物线的函数关系式为：，
∴抛物线对称轴为直线，
∵车身的宽为，
∴车身一端点的坐标为，
将代入，得，
∴，
∴小星能将车开进车棚；
（3）解：在抛物线之间，，
且，
，
，
，
①当都在对称轴的左侧时，
∴，
，
，
，
（舍去）；
②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，
∴，且，
，
，
，
（舍去），（舍去），
综上所述，当时， ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题意得的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）过作于点，先求出抛物线的对称轴，然后得车身一端点的坐标为，将代入抛物线解析式得此时的值，进行比较即可确定能将车开进车棚；
（3）根据在抛物线之间求出的取值范围，得坐标，于是得用含的算式表示的值，然后分两种情况讨论：①当都在对称轴的左侧时，②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，最后结合函数图象，根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：由题意得，，
将分别代入得
，
解得：，
顶棚抛物线的函数关系式为：；
（2）解：如图，
∵对称轴为直线：，
车身的宽为，
车身一端点的坐标为，
过作于点，
将代入
得
即，
小星能将车开进车棚；
（3）解：在抛物线之间，
且，
，
．
①当都在对称轴的左侧时，
则，
∴
，
（舍）．
②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，
则，且，
，
，
（舍），（舍）
综上所述：．
25．【答案】（1）B；
（2）解：如图②，即为所求：
（3）解：如图③-1所示，过点作于，作的垂直平分线交于点，作的垂直平分线交于点，
∴，
∴，，，是等腰三角形，都是轴对称图形，
∴将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中；
如图③-2所示，分别作的垂直平分线交于点，连接，
∴，
∴是等腰三角形，都是轴对称图形，
∴将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中；
如图④，假设点P存在，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，与题干矛盾，
∴不能在四边形内部取一点，使切法满足．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是等腰三角形是轴对称图形，
故答案为：B.
【分析】（1）根据轴对称图形的性质进行求解；
（2）饼正好落在“锅”中，即饼翻折以后与原来的图形重台， 则铁锅的形状翻折以后与原来的图形重合，是轴对称图形，故作出斜边上的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上的中线性质可得，于是有都是等腰三角形，都是轴对称图形；
（3）根据题意可知等腰三角形的饼翻身后能与本身重合，如图③-1，过点作于，作的垂直平分线交于点，作的垂直平分线交于点，根据直角三角形斜边上的中线性质得，，，是等腰三角形，翻身后与本身重合；
如图③-2，分别作的垂直平分线交于点Q，连接，由线段垂直平分线的性质得是等腰三角形，翻身后与本身重合；
如图④，假设点P存在，然后利用等腰三角形”等边对等角“的性质结合四边形内角和即可证明结论．
（1）解：如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是等腰三角形是轴对称图形，
故答案为：B；
（2）解：由操作发现：饼正好落在“锅”中，即饼翻折以后与原来的图形重台，则铁锅的形状翻折以后与原来的图形重合，是轴对称图形．
作出斜边上的垂直平分线交与点，连接，
则，
∴都是等腰三角形，都是轴对称图形，
如图②所示为所求：
（3）解：如图③所示，作于D，平分，平分，分别交和于点E，F，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
得，，，是等腰三角形，
则将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中；
如图③所示，分别作的垂直平分线交于点Q，连接，
则，
得是等腰三角形，
则将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中；
如图④，假设点P存在，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴与题干矛盾，
∴不能在四边形内部取一点，使切法满足．
1 / 1贵州省2025年中考适应性考试数学卷
1．（2025·贵州模拟）下列有理数中最小的数是（ ）
A．5 B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
最小的数是，
故答案为：D．
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小，据此直接得到答案.
2．（2025·贵州模拟）下面几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图是矩形，故A不符合题意；
B、主视图是三角形，故B符合题意；
C、主视图是梯形，故C不符合题意；
D、主视图是圆，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】本题考查了主视图的定义，从正面观察几何体，得出主视图是三角形的即可．
3．（2025·贵州模拟）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：a6÷a2=a4，
故答案为：B．
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此即可求解.
4．（2025·贵州模拟）如图，四边形是“垃圾入桶”标志中垃圾桶的平面示意图，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解.
5．（2025·贵州模拟）小红在一次测试中每个小题平均用时分钟，则她答完个小题共需要的时间是（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
【答案】D
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵小红在一次测试中每个小题平均用时3分钟，
∴她答完个小题共需要的时间是分钟，
故答案为：D．
【分析】此题考查了列代数式，由每个小题的平均用时求她答完个小题共需要的时间．
6．（2025·贵州模拟）小星计划五一假期来贵州游玩，他打算从“黄果树”“小七孔”“西江苗寨”“赤水”“万峰林”“梵净山”这6个景点中随机选择一个，则选中“黄果树”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵小星打算从“黄果树”“小七孔”“西江苗寨”“赤水”“万峰林”“梵净山”这6个景点中随机选择一个，
∴供选择的景点有6种等可能的情况，他选中“黄果树”的情况有1种，
∴选中“黄果树”的概率为，
故答案为：A．
【分析】本题考查了简单事件的概率，根据“概率=所求情况数与总情况数之比”解答即可．
7．（2025·贵州模拟）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，对边平行且相等，逐项进行判断即可求解.
8．（2025·贵州模拟）不等式组的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
∴不等式组的解集为，
故答案为：A．
【分析】本题考查不等式组的解集，根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
9．（2025·贵州模拟）如图，在轴，轴上分别截取，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；点的坐标与象限的关系；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据画图可知：点P在的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
∵点P的坐标为，
∴，
解得：．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的作图可知点P在的角平分线上，然后根据角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，即可得关于a的方程，解方程求解即可．
10．（2025·贵州模拟）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴方程两边同乘，得，
∴，
∴
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为，
故答案为：C．
【分析】首先去分母，把分式方程整理成整式方程，再解整式方程得到x的值，检验x的值是否为分式方程的增根，即可得出答案．
11．（2025·贵州模拟）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据题意，得为直角三角形，，，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求得的值，最后求的值即可求解.
12．（2025·贵州模拟）已知正三角形的边长为是边上的一点（不与端点重合），过作边的垂线，交于，设，的面积为，则关于的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；动点问题的函数图象；二次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵正三角形的边长为1，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵的面积为，
∴，
∵是边上的一点（不与端点重合），
∴，
∴，
∴根据解析式和的取值范围可知B正确，
故答案为：B．
【分析】根据等边三角形性质得，，然后解直角三角形得，，利用三角形面积求出函数解析式，接下来由是边上的一点（不与端点重合）求出的取值范围，最后由解析式以及的取值范围即可判断．
13．（2025·贵州模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解： ．
故答案为： ．
【分析】因式分解：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，根据定义求解。
14．（2025·贵州模拟）在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是 ．
【答案】15
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意，得盒子中球的总个数大约是3÷20%=15（个），
故答案为：15．
【分析】本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率固定在某个位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，则可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，利用红球个数除以摸到红球的频率，可估计出球的总数.
15．（2025·贵州模拟）关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】先将方程化为一般式，根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，据此得关于m的方程，解方程即可求解.
16．（2025·贵州模拟）如图，在中，，，．平分交于点，点为上一点，连接，将沿方向平移到，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，过点的线段，且，过点作于，过点作于，过点作于，
∴，，
∵点是在线段上移动的，将沿方向平移到，
∴点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动，
∴当时，的长为的最小值，
∵，，，
∴，，
∴，
∵平分，，，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】过点的线段，且，过点作于，过点作于，过点作于，得，，根据点的运动轨迹以及图形平移的性质得点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动，于是有当时，的长为的最小值，然后利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得，的值，根据角平分线的性质和定义得，，设，则，可得，得到的值，进而由得的值，最后利用面积法以及三角形面积公式得的值，最后求的值即可.
17．（2025·贵州模拟）（1）计算：；
（2）下面是小红同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
第一步 第二步 第三步 第四步
第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________；
请写出化简该分式的正确过程．
【答案】解：（1）原式
；
（2）①二；括号前面是负号，去括号没有变号；
②
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：（2）①根据分式的运算可知，第二步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是负号，去括号没有变号，
故答案为：二；括号前面是负号，去括号没有变号.
【分析】（1）先根据有理数的乘方、有理数的绝对值、零指数幂进行化简，然后计算加法即可；
（2）根据分式的运算，去括号要注意括号前面是负号的时候要变号，据此直接得到答案；
②根据分式的运算法则进行求解即可．
18．（2025·贵州模拟）今年春节档期全国总观影人次超亿，总票房超80亿元．以下是甲、乙两部影片一周上映的观影人次信息．根据图中信息，回答下列问题：
两部影片观影人次折线统计图
（1）甲影片观影人次的众数为______万人；乙影片观影人次的中位数为_______万人．
（2）下列说法正确的是______（填序号）
①甲影片的观影人次逐日增加；
②周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大；
③乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定；
④甲影片的日平均观影人次低于乙影片的日平均观影人次．
（3）根据甲、乙两部影片累计观影人次统计数据，判断甲、乙两部影片受欢迎的程度并提出一条合理化的建议．
【答案】（1）45.2，61.4；
（2）②③；
（3）解：根据甲、乙两部影片数据可知，甲影片在累计观影人次、观影人次众数、周平均观影人次等方面表现更优，更受欢迎，故建议多安排甲影片的播放次数．
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∵甲影片观看的人数为45.2万人的有两天，天数最多，
∴甲影片观影人次的众数为45.2万人；
将乙影片周一到周日观影人次从小到大进行排列为：47.3，51.3，57.3，61.4，64.2，65.6，70.9，
∴乙影片观影人次的中位数为61.4万人，
故答案为：45.2，61.4；
（2）解：①根据折线统计图可知，甲影片的观影人次没有逐日增加，故①错误；
②周一：61.4-50.5=10.9（万人），
周二：70.9-45.2=25.7（万人），
周三：63.4-51.3=12.1（万人），
周四：89.6-65.6=24（万人），
周五：82.6-57.3=25.3（万人），
周六：64.2-45.2=19（万人），
周日：95.8-47.3=48.5（万人），
∴10.9<12.1<19<24<25.3<25.7<48.5，
∴周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大，故②正确；
③根据折线统计图可知，乙影片观影人次比甲影片观影人次波动小，
∴乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定，故③正确；
④甲影片的日平均观影人次为：（万人），
乙影片的日平均观影人次为：（万人），
，
∴甲影片的日平均观影人次高于乙影片的日平均观影人次，故④错误；
故答案为：②③.
【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行求解；
（2）①根据折线统计图直接判断该说法错误；②求出每一天观影人次的差值，进行比较后可判断②正确；③根据折线统计图直接可判断③正确；④分别求出甲乙影片的平均观影人次，进行比较后可判断④错误；
（3）根据众数和平均数的意义进行求解．
（1）解：甲影片观看的人数为万人的有两天，天数最多，
∴甲影片观影人次的众数为万人；
乙影片周一到周日观影人次从小到大排列为：，则乙影片观影人次的中位数为万人；
（2）解：①根据折线统计图，甲影片的观影人次没有逐日增加，故预案说法错误；
②周一：（万人），
周二：（万人），
周三：（万人），
周四：（万人），
周五：（万人），
周六：（万人），
周日：（万人），
则周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大，故原说法正确；
③根据统计图，乙影片观影人次比甲影片观影人次波动小，则乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定，故原说法正确；
④甲影片的日平均观影人次为：（万人），
乙影片的日平均观影人次为：（万人），
，
甲影片的日平均观影人次高于乙影片的日平均观影人次，故原说法错误；
故答案为：②③；
（3）解：根据甲、乙两部影片数据可知，甲影片在累计观影人次、观影人次众数、周平均观影人次等方面表现更优，更受欢迎．
建议：多安排甲影片的播放次数．
19．（2025·贵州模拟）如图，是两张叠放在一起的矩形纸片．分别过点A作于于，且．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若为的中点，连接，求的面积．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，，过作于，
为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
，
为等边三角形，
，
∵，，
∴，，
由（1）得，
∴，
，
，
为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
的面积为．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得，，推出四边形是平行四边形，然后根据平行四边形对角相等得到，由垂直的定义得，于是证出，得，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形得证四边形是菱形；
（2）连接，，过作于，根据线段垂直平分线的性质、菱形的性质得，判定是等边三角形，得，从而得，，进而结合全等三角形的性质得，于是有，判定是等边三角形，然后由等边三角形的性质得到，利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求出的面积．
（1）解：四边形是菱形．
理由如下：
由题意可知：，，
四边形是平行四边形，
．
，
．
在和中，
．
．
平行四边形是菱形；
（2）连接．
为中点，，
∴，
∵平行四边形是菱形；
∴，
．
为等边三角形．
，．
，
．
为等边三角形．
∴，
过E作于H
∴，
，
的面积为．
20．（2025·贵州模拟）如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，斜边与反比例函数交于点．
（1）求的值；
（2）若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
将，代入表达式，得，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
将代入，得，
∴，代入，得；
（2）解：设，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
将代入，得，
∴，
∵在反比例函数上，
∴，
，
解得：，（舍去），
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质以及点，的坐标求出点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，从而得点的坐标，进而求出的值；
（2）设，，根据可得，根据点在直线上可得，由点在反比例图像上可得，于是得关于的方程，解方程即可求解．
（1）解：设直线的函数表达式为，
，，是等腰直角三角形，
，
则，
，
解得，
直线的函数表达式为，
在上，
，
，
则；
（2）解：设，，
，
，则，则，
将代入得，，即，
在反比例函数上，
，
，
解得，（舍），
．
21．（2025·贵州模拟）如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人．
（1）若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数；
（2）假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值．
【答案】（1）解：设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人，
根据题意，得，
解得：，
∴每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人；
（2）解：设六个哨所的总人数为人，
∵每个甲型哨所的人数为，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人，
∴每个乙型哨所的人数为人，
又∵每个哨所至少要有一人，
∴，
∴，
根据题意，得，
随的增大而减小，
当时，最大值为，当时，最小值为，
∴当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人，根据“六个哨所的总人数为21人，且2个甲哨所和1个乙哨所的人数和为11人”即可得出关于，二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设六个哨所的总人数为人，根据每个甲哨所的人数为人，得到每个乙型哨所的人数为人，然后由每个哨所至少要有一人得关于的不等式组，解不等式组得关于的取值范围，最后将六个哨所有人数相加即可得出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
（1）解：设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人，
根据题意列方程得：，
解得，
答：每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人；
（2）解：设六个哨所的总人数为人，
∵每个甲型哨所的人数为，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人，
∴每个乙型哨所的人数为人，
又每个哨所至少要有一人，
∴，
∴，
∴，
随的增大而减小，
当时，最大值，当时，最小值，
答：当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人．
22．（2025·贵州模拟）如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案：
任务一：你选取的工具是___________（可选工具：小镜子、标杆、皮尺）；
任务二：请在图中画出方案示意图；
任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）．
测量数据：①小星与旗杆的距离为，②小星到镜子的距离为，③镜子到旗杆的距离为，④同一时刻，小星的影长为，旗杆的影长为，⑤小星的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），⑥标杆长，⑦小星与标杆的距离为．
【答案】解：任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺；（答案不唯一）
任务二：示意图1或图2或图3均可；（答案不唯一）
任务三：（答案不唯一）如图3，选取测量数据：①，⑤，⑥，⑦，
根据题意，得，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
∴学校旗杆的高度约为．
【知识点】相似三角形的应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】任务一：根据测量需要选择即可；
任务二：根据题意画图即可；
任务三：选取测量数据①，⑤，⑥，⑦，然后根据相似三角形的判定推出，从而由相似三角形对应边成比例的性质得，进而代入数据可求出的值，最后可求出旗杆的高度的值，并把 结果保留整数即可．
23．（2025·贵州模拟）如图，内接于，过点作的切线交的延长线于，连接交于点，连接．
（1）求证；
（2）探究与的数量关系，并说明理由；
（3）若，求的半径．
【答案】（1）解：，
，
，
，
过点作的切线交的延长线于，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
由（1）得，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：如图②，过点作于点，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
，
，，
，
又∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
.
【知识点】圆周角定理；切线的性质；正切的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得，然后结合等腰三角形”等边对等角“性质以及三角形内角和定理得，根据切线的性质可得，于是得；
（2）由（1）得，从而证明，进而可得，最后变形即可；
（3）过点作于点，先证出是等腰直角三角形，求出，然后再证明，结合正切的定义，得的值，从而得的值，进而得的值.
（1）解：如图①，，
．
，
．
为切线，
．
．
（2）解：，理由见解析：
由（1）得，
，
又，
．
．
．
（3）解：如图②，过点作于点，
∵．
．
，
，
，
又，
∴，
．
．
．
．
24．（2025·贵州模拟）如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，垂直于地面，且，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（为常数，）．
（1）求顶棚抛物线的函数关系式；
（2）小星想驾驶一辆高为，宽为的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？
（3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚之间抛物线上有两个点和（不与点重合）．它们的横坐标分别为，连接，．设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，代入得，
解得：，
∴顶棚抛物线的函数关系式为：；
（2）解：如图，过作于点，
∵顶棚抛物线的函数关系式为：，
∴抛物线对称轴为直线，
∵车身的宽为，
∴车身一端点的坐标为，
将代入，得，
∴，
∴小星能将车开进车棚；
（3）解：在抛物线之间，，
且，
，
，
，
①当都在对称轴的左侧时，
∴，
，
，
，
（舍去）；
②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，
∴，且，
，
，
，
（舍去），（舍去），
综上所述，当时， ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题意得的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）过作于点，先求出抛物线的对称轴，然后得车身一端点的坐标为，将代入抛物线解析式得此时的值，进行比较即可确定能将车开进车棚；
（3）根据在抛物线之间求出的取值范围，得坐标，于是得用含的算式表示的值，然后分两种情况讨论：①当都在对称轴的左侧时，②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，最后结合函数图象，根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：由题意得，，
将分别代入得
，
解得：，
顶棚抛物线的函数关系式为：；
（2）解：如图，
∵对称轴为直线：，
车身的宽为，
车身一端点的坐标为，
过作于点，
将代入
得
即，
小星能将车开进车棚；
（3）解：在抛物线之间，
且，
，
．
①当都在对称轴的左侧时，
则，
∴
，
（舍）．
②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，
则，且，
，
，
（舍），（舍）
综上所述：．
25．（2025·贵州模拟）劳动课上，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙一块与铁皮形状、大小相同的饼．
（1）【操作发现】
小红找到一块如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是___________；
A．三角形的稳定性 B.等腰三角形是轴对称图形 C.三角形内角和等于
（2）【思考操作】
如图②，小红找到一块直角三角形的铁皮．如果饼烙好一面后将其翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中．小红将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，请你在图中作出“切痕”（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）【拓展延伸】
如图③，小星拿到一块既不是等腰三角形也不是直角三角形的铁皮．小星只切3刀，也能使饼翻身后，正好落在“锅”中．用两种不同方法画出“切痕”，写出切割的依据；
如图④，小星最后拿到一块凸四边形铁皮．他能否在四边形内部取一点，使切法满足．让烙饼翻身仍能正好落在“锅”中？写出推理过程．
【答案】（1）B；
（2）解：如图②，即为所求：
（3）解：如图③-1所示，过点作于，作的垂直平分线交于点，作的垂直平分线交于点，
∴，
∴，，，是等腰三角形，都是轴对称图形，
∴将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中；
如图③-2所示，分别作的垂直平分线交于点，连接，
∴，
∴是等腰三角形，都是轴对称图形，
∴将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中；
如图④，假设点P存在，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，与题干矛盾，
∴不能在四边形内部取一点，使切法满足．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是等腰三角形是轴对称图形，
故答案为：B.
【分析】（1）根据轴对称图形的性质进行求解；
（2）饼正好落在“锅”中，即饼翻折以后与原来的图形重台， 则铁锅的形状翻折以后与原来的图形重合，是轴对称图形，故作出斜边上的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上的中线性质可得，于是有都是等腰三角形，都是轴对称图形；
（3）根据题意可知等腰三角形的饼翻身后能与本身重合，如图③-1，过点作于，作的垂直平分线交于点，作的垂直平分线交于点，根据直角三角形斜边上的中线性质得，，，是等腰三角形，翻身后与本身重合；
如图③-2，分别作的垂直平分线交于点Q，连接，由线段垂直平分线的性质得是等腰三角形，翻身后与本身重合；
如图④，假设点P存在，然后利用等腰三角形”等边对等角“的性质结合四边形内角和即可证明结论．
（1）解：如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是等腰三角形是轴对称图形，
故答案为：B；
（2）解：由操作发现：饼正好落在“锅”中，即饼翻折以后与原来的图形重台，则铁锅的形状翻折以后与原来的图形重合，是轴对称图形．
作出斜边上的垂直平分线交与点，连接，
则，
∴都是等腰三角形，都是轴对称图形，
如图②所示为所求：
（3）解：如图③所示，作于D，平分，平分，分别交和于点E，F，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
得，，，是等腰三角形，
则将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中；
如图③所示，分别作的垂直平分线交于点Q，连接，
则，
得是等腰三角形，
则将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中；
如图④，假设点P存在，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴与题干矛盾，
∴不能在四边形内部取一点，使切法满足．
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