广东省阳市揭东区2025年中考一模数学卷
1．（2025·揭东模拟）下面哪个数最小（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2025·揭东模拟）学校会议室的圆桌如图所示，则它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·揭东模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·揭东模拟）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．两条直线不平行
C．延长AB到C使BC=AB D．两点之间线段最短
5．（2025·揭东模拟）现有一组数据：．若该组数据的中位数是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·揭东模拟）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·揭东模拟）如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．（2025·揭东模拟）如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·揭东模拟）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·揭东模拟）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·揭东模拟）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 ．
12．（2025·揭东模拟）分式方程的解为 ．
13．（2025·揭东模拟）有四张正面分别标有数字，，3，5的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机一次性抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的概率是 ．
14．（2025·揭东模拟）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，与交于点G，则的度数是 ．
15．（2025·揭东模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为 ．
16．（2025·揭东模拟）解不等式组：．
17．（2025·揭东模拟）计算：．
18．（2025·揭东模拟）如图，在中，．
（1）作的平分线，交于点P；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点Р作于点D，若，求的长．
19．（2025·揭东模拟）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变
（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
20．（2025·揭东模拟）项目式学习【项目背景】为方便师生雨天出行，某校在校园内设置了4个共享雨伞放置区，总投放240把雨伞．小明发现雨天时各放置区的雨伞使用效率差别很大，有些放置区的雨伞不够用，而有些放置区的雨伞被闲置，为探究雨伞的合理投放方案，小明和同学们展开了研究．
【数据收集】在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞的情况，人流量进行数据收集，数据如表1，表2：
表1：师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据
放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼
经过放置区的师生人数 80 110 70 90
使用共享雨伞的人数 6 8 7 6
表2：雨天经过放置区的平均人流量
放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼
人流量（单位：人） 280 330 200 225
【问题解决】
（1）经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是多少？
（2）请设计一个合理的投放方案，应对该校师生使用共享雨伞的需求．
21．（2025·揭东模拟）如图，已知在四边形中，，均与垂直，，为的直径，点E为上一点，连接交于点F，连接并延长与交于点G，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若当，的半径为，求的面积．
22．（2025·揭东模拟）【问题情境】
如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？
直接写出结论：______（不用证明）．
【变式探究】
如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长．
【拓展应用】
如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值．
23．（2025·揭东模拟）如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线解析式和的值；
（2）如图1，点为第一象限抛物线上的点，连接．当时，求点的坐标；
（3）如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点分别为的边上的动点，且，记的最小值为．求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-3<-2<0<+3，
∴最小的数是-3，
故答案为：B．
【分析】根据有理数大小的比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小，据此直接得到答案.
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上向下看，可得俯视图为：
，
故答案为：A．
【分析】本题考查了求简单组合体的三视图，根据俯视图的定义，从上往下看即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原计算错误，本项不符合题意；
B、2x和3y不是同类项，不能合并，原计算错误，本项不符合题意；
C、原计算正确，本项符合题意；
D、原计算错误，本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，单项式乘多项式的法则，完全平方公式，分析选项即可知道答案.
4．【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A.、相等的角是对顶角是命题，故A不符合题意；
B.、两条直线不平行是命题，故B不符合题意；
C.、延长AB到C使BC=AB不是命题，故C符合题意；
D.、两点之间线段最短是命题，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，据此逐项进行判断即可.
5．【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：A、当时，数据按从小到大进行排列为，，，，，，
∴数据的中位数为，不符合题意；
B、当时，数据按从小到大进行排列为，，，，，，
∴数据的中位数为，不符合题意；
C、当时，数据按从小到大进行排列为，，，，，，
∴数据的中位数为，不符合题意；
D、当时，数据按从小到大进行排列为，，，，，，
∴数据的中位数为，符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义解答即可.
6．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵使有意义，
∴，
解得：，
∴使有意义的x的取值范围在数轴上表示如下图所示：
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得关于x的一元一次不等式，解不等式得x的取值范围，再结合选项进行判断即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵点D为边AC的中点，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC=，
故选：C．
【分析】
由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解．
9．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：15分钟=小时
设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米，
得：
故答案为：D．
【分析】设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米，根据“乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟”列出方程即可。
10．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点；
∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为，
，，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意，得，的纵坐标，从而得 ，的值，进而得的值，于是得的值 ，然后令，可得的值，再观察题目中的规律，可知 ，据此进行计算即可．
11．【答案】5.146×109
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5146000000=5.146×109，
故答案为：5.146×109．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
12．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴两边同乘，得，
∴，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，
故答案为：．
【分析】利用去分母解分式方程的解法，先去分母将分式方程化为整式方程，然后解整式方程得到x的值，再检验x的值是否为分式方程的增根，即可得到答案．
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
-5 -1 3 5
-5 （-5，-1） （-5，3） （-5，5）
-1 （-1，-5） （-1，3） （-1，5）
3 （3，-5） （3，-1） （3，5）
5 （5，-5） （5，-1） （5，3）
∴共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的结果有8种，
∴抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的概率为：，
故答案为：．
【分析】本题考查概率的应用，通过列表法得到所有的等可能结果数，从而得抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的结果数，进而利用概率公式进行求解．
14．【答案】54
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，设与交于点，
∵五边形是的内接正五边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：54．
【分析】连接，设与交于点，根据正五边形的性质得，由圆周角定理得，然后根据垂径定理得，据此即可求出的度数.
15．【答案】6
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，，
∴，，
∴，
∵点，，
∴中点坐标为，
设，
∴，
∵函数的图象经过点C和点F，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：6．
【分析】根据图形平移的性质得，，利用中点坐标公式得中点坐标，然后设，即可表示出点C和点F的坐标，根据反比例函数上点的坐标特征得关于a的方程，解方程进行求解即可．
16．【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别解两个不等式，再由口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子进行通分化简，同时利用完全平方公式把分式进行整理，然后再把除法变成乘法，最后进行约分化简即可得到答案．
18．【答案】（1）解：如图所示，点P即为所求；
（2）解：如图，过点P作于D，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
在中，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，有，
∴，
解得：，
∴的长为6．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据角平分线尺规作图的作法：以顶点为圆心画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，再以相同半径画弧线，得两个弧线的交点，连接点与两弧线交点，延长交于点，则就是这个角的平分线；
（2）过点P作于D，根据角平分线的性质得，在中，利用勾股定理得，然后证明，得到，接下来设，则，在中，利用勾股定理得关于的方程，解方程即可求解.
19．【答案】（1）解：设四、五月份销售量平均增长率为x，则128（1+x）2＝200
解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）
所以四、五月份销售量平均增长率为25%
（2）解：设商品降价m元，则（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250
解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去）
所以商品降价5元时，商场获利2250元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）首先设四、五月份销售量平均增长率为x，然后列出方程即可得解；（2）首先设商品降价m元，然后列出方程即可得解.
20．【答案】（1）解：由表1可知，经过饭堂的师生有70人，使用共享雨伞的有7人，
∴经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是；
（2）解：根据题意，得4个放置区使用共享雨伞的平均人数如下：
教学楼：（人），
图书馆：（人），
饭堂：（人），
宿舍楼：（人），
∴雨天使用共享雨伞的平均人数约为：（人），
∴教学楼：（把） ，
图书馆：（把），
饭堂：（把），
宿舍楼：（把），
∴投放方案为：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把．
【知识点】概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）结合表格1的数据，利用概率公式求解即可；
（2）先计算4个放置区使用共享雨伞的平均人数，从而得到雨天使用的平均人数，进而可求4个放置区投放雨伞的数量.
（1）解：由表1可知，经过饭堂的师生有70人，使用共享雨伞的有7人，
∴经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是．
答：经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是；
（2）解：4个放置区使用共享雨伞的平均人数分别是：
教学楼：
图书馆：
饭堂：
宿舍楼：
∴雨天使用共享雨伞的平均人数约为：，
∴教学楼：
图书馆：
饭堂：
宿舍楼：
∴投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把．
答：投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把．
21．【答案】（1）证明：∵为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；4
（2）解：如图，过作于点，
∴，
，
∴，
∴四边形是矩形，
，
∵的半径为，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
，
又∵，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；切线的判定；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，从而由三角形外角的性质得，然后推出得到，进行等量代换即可得，最后根据切线的判定得证结论；
（2）过作于点，得，易证四边形是矩形，得，然后求出的值，解直角三角形得，从而得，进而解直角三角形得的值，最后利用三角形面积公式进行求解即可.
（1）证明：∵为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
，
∵的半径为，
，
，
，
，
，
作于点，则，
，
，
．
22．【答案】解：【问题情境】；
【变式探究】如图，过点作于，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
【拓展应用】如图，过点作，交的延长线于点，交于点，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，，
．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：【问题情境】，，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】【问题情境】先根据特殊角的三角函数得出的值，再通过“一线三等角”相似模型证明，由相似三角形对应边成比例的性质可得的值，据此即可求解；
【变式探究】过点作于，由（1）同理可证，根据相似三角形对应边成比例的性质以及结合特殊角的三角函数得出可得的值，从而求出的值，然后再证四边形是矩形，根据矩形的性质得，最后求的值即可；
【拓展应用】过点作，交的延长线于点，交于点，则，再结合平行四边形以及平行线的性质推出，然后再证，推出，，，代入可得的值．
23．【答案】（1）解：将，代入，得，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵与轴交于、两点，
∴时，有，
解得：，，
∴，
∴，，
在中，有；
（2）解：如图1，过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点，
∵，，，
∴，，，
∴，
由（1）可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点坐标为，则，，
∴，
解得：（舍去），，
∴点坐标为；
（3）解：如图2，过点作于，且使得，连接，，，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线时，的值最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的最小值为，
∴在中，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；求正切值；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法得出抛物线解析式，从而得，进而利用正切的定义计算即可得出的值；
（2）过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点，结合的坐标解直角三角形得出，结合题意得出，然后根据平行线的性质，进行等量代换得出，证明，得出，接下来设点坐标为，则，，得出关于的方程，解方程即可求解；
（3）过点作于，且使得，连接，，，过点作于点，先求出，证明，得出，从而得出当三点共线时，的值最小，最小值为的长，然后推出，设，则，进而得出关于的方程，解方程即可求得，再计算出的长，最后利用勾股定理计算即可得出答案．
1 / 1广东省阳市揭东区2025年中考一模数学卷
1．（2025·揭东模拟）下面哪个数最小（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-3<-2<0<+3，
∴最小的数是-3，
故答案为：B．
【分析】根据有理数大小的比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小，据此直接得到答案.
2．（2025·揭东模拟）学校会议室的圆桌如图所示，则它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上向下看，可得俯视图为：
，
故答案为：A．
【分析】本题考查了求简单组合体的三视图，根据俯视图的定义，从上往下看即可得到答案.
3．（2025·揭东模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原计算错误，本项不符合题意；
B、2x和3y不是同类项，不能合并，原计算错误，本项不符合题意；
C、原计算正确，本项符合题意；
D、原计算错误，本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，单项式乘多项式的法则，完全平方公式，分析选项即可知道答案.
4．（2025·揭东模拟）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．两条直线不平行
C．延长AB到C使BC=AB D．两点之间线段最短
【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A.、相等的角是对顶角是命题，故A不符合题意；
B.、两条直线不平行是命题，故B不符合题意；
C.、延长AB到C使BC=AB不是命题，故C符合题意；
D.、两点之间线段最短是命题，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，据此逐项进行判断即可.
5．（2025·揭东模拟）现有一组数据：．若该组数据的中位数是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：A、当时，数据按从小到大进行排列为，，，，，，
∴数据的中位数为，不符合题意；
B、当时，数据按从小到大进行排列为，，，，，，
∴数据的中位数为，不符合题意；
C、当时，数据按从小到大进行排列为，，，，，，
∴数据的中位数为，不符合题意；
D、当时，数据按从小到大进行排列为，，，，，，
∴数据的中位数为，符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义解答即可.
6．（2025·揭东模拟）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵使有意义，
∴，
解得：，
∴使有意义的x的取值范围在数轴上表示如下图所示：
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得关于x的一元一次不等式，解不等式得x的取值范围，再结合选项进行判断即可.
7．（2025·揭东模拟）如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵点D为边AC的中点，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC=，
故选：C．
【分析】
由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
8．（2025·揭东模拟）如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解．
9．（2025·揭东模拟）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：15分钟=小时
设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米，
得：
故答案为：D．
【分析】设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米，根据“乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟”列出方程即可。
10．（2025·揭东模拟）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点；
∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为，
，，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意，得，的纵坐标，从而得 ，的值，进而得的值，于是得的值 ，然后令，可得的值，再观察题目中的规律，可知 ，据此进行计算即可．
11．（2025·揭东模拟）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 ．
【答案】5.146×109
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5146000000=5.146×109，
故答案为：5.146×109．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
12．（2025·揭东模拟）分式方程的解为 ．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴两边同乘，得，
∴，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，
故答案为：．
【分析】利用去分母解分式方程的解法，先去分母将分式方程化为整式方程，然后解整式方程得到x的值，再检验x的值是否为分式方程的增根，即可得到答案．
13．（2025·揭东模拟）有四张正面分别标有数字，，3，5的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机一次性抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
-5 -1 3 5
-5 （-5，-1） （-5，3） （-5，5）
-1 （-1，-5） （-1，3） （-1，5）
3 （3，-5） （3，-1） （3，5）
5 （5，-5） （5，-1） （5，3）
∴共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的结果有8种，
∴抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的概率为：，
故答案为：．
【分析】本题考查概率的应用，通过列表法得到所有的等可能结果数，从而得抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的结果数，进而利用概率公式进行求解．
14．（2025·揭东模拟）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，与交于点G，则的度数是 ．
【答案】54
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，设与交于点，
∵五边形是的内接正五边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：54．
【分析】连接，设与交于点，根据正五边形的性质得，由圆周角定理得，然后根据垂径定理得，据此即可求出的度数.
15．（2025·揭东模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为 ．
【答案】6
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，，
∴，，
∴，
∵点，，
∴中点坐标为，
设，
∴，
∵函数的图象经过点C和点F，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：6．
【分析】根据图形平移的性质得，，利用中点坐标公式得中点坐标，然后设，即可表示出点C和点F的坐标，根据反比例函数上点的坐标特征得关于a的方程，解方程进行求解即可．
16．（2025·揭东模拟）解不等式组：．
【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别解两个不等式，再由口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
17．（2025·揭东模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子进行通分化简，同时利用完全平方公式把分式进行整理，然后再把除法变成乘法，最后进行约分化简即可得到答案．
18．（2025·揭东模拟）如图，在中，．
（1）作的平分线，交于点P；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点Р作于点D，若，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，点P即为所求；
（2）解：如图，过点P作于D，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
在中，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，有，
∴，
解得：，
∴的长为6．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据角平分线尺规作图的作法：以顶点为圆心画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，再以相同半径画弧线，得两个弧线的交点，连接点与两弧线交点，延长交于点，则就是这个角的平分线；
（2）过点P作于D，根据角平分线的性质得，在中，利用勾股定理得，然后证明，得到，接下来设，则，在中，利用勾股定理得关于的方程，解方程即可求解.
19．（2025·揭东模拟）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变
（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
【答案】（1）解：设四、五月份销售量平均增长率为x，则128（1+x）2＝200
解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）
所以四、五月份销售量平均增长率为25%
（2）解：设商品降价m元，则（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250
解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去）
所以商品降价5元时，商场获利2250元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）首先设四、五月份销售量平均增长率为x，然后列出方程即可得解；（2）首先设商品降价m元，然后列出方程即可得解.
20．（2025·揭东模拟）项目式学习【项目背景】为方便师生雨天出行，某校在校园内设置了4个共享雨伞放置区，总投放240把雨伞．小明发现雨天时各放置区的雨伞使用效率差别很大，有些放置区的雨伞不够用，而有些放置区的雨伞被闲置，为探究雨伞的合理投放方案，小明和同学们展开了研究．
【数据收集】在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞的情况，人流量进行数据收集，数据如表1，表2：
表1：师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据
放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼
经过放置区的师生人数 80 110 70 90
使用共享雨伞的人数 6 8 7 6
表2：雨天经过放置区的平均人流量
放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼
人流量（单位：人） 280 330 200 225
【问题解决】
（1）经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是多少？
（2）请设计一个合理的投放方案，应对该校师生使用共享雨伞的需求．
【答案】（1）解：由表1可知，经过饭堂的师生有70人，使用共享雨伞的有7人，
∴经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是；
（2）解：根据题意，得4个放置区使用共享雨伞的平均人数如下：
教学楼：（人），
图书馆：（人），
饭堂：（人），
宿舍楼：（人），
∴雨天使用共享雨伞的平均人数约为：（人），
∴教学楼：（把） ，
图书馆：（把），
饭堂：（把），
宿舍楼：（把），
∴投放方案为：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把．
【知识点】概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）结合表格1的数据，利用概率公式求解即可；
（2）先计算4个放置区使用共享雨伞的平均人数，从而得到雨天使用的平均人数，进而可求4个放置区投放雨伞的数量.
（1）解：由表1可知，经过饭堂的师生有70人，使用共享雨伞的有7人，
∴经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是．
答：经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是；
（2）解：4个放置区使用共享雨伞的平均人数分别是：
教学楼：
图书馆：
饭堂：
宿舍楼：
∴雨天使用共享雨伞的平均人数约为：，
∴教学楼：
图书馆：
饭堂：
宿舍楼：
∴投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把．
答：投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把．
21．（2025·揭东模拟）如图，已知在四边形中，，均与垂直，，为的直径，点E为上一点，连接交于点F，连接并延长与交于点G，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若当，的半径为，求的面积．
【答案】（1）证明：∵为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；4
（2）解：如图，过作于点，
∴，
，
∴，
∴四边形是矩形，
，
∵的半径为，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
，
又∵，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；切线的判定；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，从而由三角形外角的性质得，然后推出得到，进行等量代换即可得，最后根据切线的判定得证结论；
（2）过作于点，得，易证四边形是矩形，得，然后求出的值，解直角三角形得，从而得，进而解直角三角形得的值，最后利用三角形面积公式进行求解即可.
（1）证明：∵为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
，
∵的半径为，
，
，
，
，
，
作于点，则，
，
，
．
22．（2025·揭东模拟）【问题情境】
如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？
直接写出结论：______（不用证明）．
【变式探究】
如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长．
【拓展应用】
如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值．
【答案】解：【问题情境】；
【变式探究】如图，过点作于，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
【拓展应用】如图，过点作，交的延长线于点，交于点，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，，
．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：【问题情境】，，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】【问题情境】先根据特殊角的三角函数得出的值，再通过“一线三等角”相似模型证明，由相似三角形对应边成比例的性质可得的值，据此即可求解；
【变式探究】过点作于，由（1）同理可证，根据相似三角形对应边成比例的性质以及结合特殊角的三角函数得出可得的值，从而求出的值，然后再证四边形是矩形，根据矩形的性质得，最后求的值即可；
【拓展应用】过点作，交的延长线于点，交于点，则，再结合平行四边形以及平行线的性质推出，然后再证，推出，，，代入可得的值．
23．（2025·揭东模拟）如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线解析式和的值；
（2）如图1，点为第一象限抛物线上的点，连接．当时，求点的坐标；
（3）如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点分别为的边上的动点，且，记的最小值为．求的值．
【答案】（1）解：将，代入，得，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵与轴交于、两点，
∴时，有，
解得：，，
∴，
∴，，
在中，有；
（2）解：如图1，过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点，
∵，，，
∴，，，
∴，
由（1）可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点坐标为，则，，
∴，
解得：（舍去），，
∴点坐标为；
（3）解：如图2，过点作于，且使得，连接，，，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线时，的值最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的最小值为，
∴在中，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；求正切值；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法得出抛物线解析式，从而得，进而利用正切的定义计算即可得出的值；
（2）过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点，结合的坐标解直角三角形得出，结合题意得出，然后根据平行线的性质，进行等量代换得出，证明，得出，接下来设点坐标为，则，，得出关于的方程，解方程即可求解；
（3）过点作于，且使得，连接，，，过点作于点，先求出，证明，得出，从而得出当三点共线时，的值最小，最小值为的长，然后推出，设，则，进而得出关于的方程，解方程即可求得，再计算出的长，最后利用勾股定理计算即可得出答案．
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