西藏2024年中考数学试题
1．（2024·西藏）下列实数中最小的是（ ）
A． B．0 C． D．1
2．（2024·西藏）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·西藏）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·西藏）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·西藏）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·西藏）已知正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·西藏）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．1
8．（2024·西藏）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
9．（2024·西藏）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·西藏）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数m，均成立
④若点，在抛物线上，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024·西藏）分解因式：
12．（2024·西藏）甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 ．
13．（2024·西藏）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ．
14．（2024·西藏）如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形．
15．（2024·西藏）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ．
16．（2024·西藏）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为 （用含n的代数式表示）．
17．（2024·西藏）计算：．
18．（2024·西藏）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
19．（2024·西藏）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值．
20．（2024·西藏）如图，点C是线段的中点，，．求证：．
21．（2024·西藏）列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
（1）求该商场投入资金的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
22．（2024·西藏）为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下：
七年级：80 96 82 92 89 84 73 90 89 97
八年级：94 82 95 94 85 89 92 79 98 93
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）七年级这10名学生成绩的中位数是________；八年级这10名学生成绩的众数是________；
（2）若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次；
（3）根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率．
23．（2024·西藏）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足的x取值范围．
24．（2024·西藏）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）
25．（2024·西藏）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
26．（2024·西藏）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴下列实数中最小的是，
故答案为：A．
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将0.0000007用科学记数法表示应为，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数.
4．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故答案为：C．
【分析】（1）利用合并同类项法则计算；
（2）利用单项式乘以多项式法则计算；
（3）利用幂的乘方与积的乘方法则计算；
（4）利用单项式乘以单项式的运算法则计算．
5．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确．
故答案为：A．
【分析】由两直线平行内错角相等可把转移到的位置上，再利用直角三角形两锐角互余即可．
6．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵正多边形的一个外角为，
∴正多边形的边数为，
∴这个正多边形的内角和为，
故答案为：B．
【分析】任意正多边形的外角和都是，则可求出这个正多边形的边数，再依据正边形的内角和公式计算即可．
7．【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】一对相反数的和为0，一对倒数的积为1．
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出AD的长即可.
9．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：中，，，，
，
连接，如图所示：
∵于点，于点，，
∴，
四边形是矩形，
，
当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，
∴此时．
故选：B．
【分析】由垂直的概念得，，则四边形PDCE是矩形，所以PC=DE，显然当时，CP最小，利用勾股定理先求出斜边AB的长，再利用面积即可求出CP的最小值，即DE的最小值．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，
∴，，，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴相交于点，，
∴二次函数的对称轴为直线，，，
由得：，
∵，
∴，
∴，即，故②错误；
当时，二次函数有最小值，
由图象可得，对任意实数m，，
∴对任意实数m，均成立，故③正确；
∵点，在抛物线上，且，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共个，
故答案为：B．
【分析】① 由抛物线的开口向上知，由抛物线顶点坐标的大体位置知对称轴在y左侧，即同号，由抛物线与y轴交点的位置知，所以；
② 由抛物线与x轴的交点坐标为和知，对称轴为，即或；则当时，，所以；
③ 因为抛物线开口向上，所以二次函数有最小值，即当时，最小，因此对于任意实数有，即 成立；
④ 因为抛物线的对称轴为，所以、即离对称轴距离越大函数值越大，所以．
11．【答案】(x-2)2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-4x+4=（x-2）2
【分析】本题运用完全平方差公式就可以解答了.
12．【答案】丙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵他们一周测试成绩的平均数相同，且，，．
∴，
∴成绩最稳定的学生是丙，
故答案为：丙．
【分析】方差是反映一组数据稳定性的量，方差越小，数据稳定性越好；反之，数据稳定越差．
13．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为：
，
故答案为：．
【分析】图形平移的规律，上加下减、左加右减．
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加（答案不唯一），
∵在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】由两组对边分别相等的四边形是平行四边形知，四边形是平行四边形，则根据定义判定的话需要保证邻边相等即可；若依据对角线判定的话只需要保证对角线垂直即可．
15．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过F作于G，
由作图得：平分，，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
，，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
在中根据勾股定理得：．
故答案为：．
【分析】如图，由基本尺规作图痕迹可判断BF是的一条角平分线，因为角平分线上的点到角两边距离相等，可过点F作AB的垂线段FG，则FG=FC=3，利用勾股定理可AG=4，再利用HL定理可得BG=CD，可设BC为x，则AB=x+4，在中应用勾股定理可先求出x即BC的长，再在中应用勾股定理即可．
16．【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第1个图案用了个“”，
第2个图案用了个“”，
第3个图案用了个“”，
第4个图案用了个“”，
……，
∴第n个图案中“”的个数为，
故答案为：．
【分析】先依次找出前四个图案中“”的个数，则可得到“”个数的规律，即可写出第n个图案中“”的个数为．
17．【答案】解：
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可．
18．【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如图：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可．
19．【答案】解：
，
∵，，
∴，，
∴取，原式=1+2=3
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先利用通分计算出括号内分式运算的结果，进行分式的乘法运算并分别对分子和分母分解因式，再约分得到最简分式或整式，最后再把合适的m值代入计算即可．
20．【答案】证明：∵点C是线段的中点，∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由于全等三角形的对应角相等，可由中点的概念先得到，再结合已知条件利用证明即可．
21．【答案】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为，由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该商场投入资金的月平均增长率
（2）解：（万元），
答：预计该商场七月份投入资金将达到万元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）平均增长率（减少率）问题，常列方程，其中分别为起始数据和终止数据，为平均增长率或减少率；
（2）利用（1）中求得的增长率直接计算即可．
（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该商场投入资金的月平均增长率；
（2）解：（万元），
∴预计该商场七月份投入资金将达到万元．
22．【答案】（1）89；94
（2）解：（名），
故估计八年级400名学生中有名学生能达到优秀等次
（3）解：令七年级的两名学生为、，八年级的两名学生为、，
列表得：
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽到一名七年级学生和一名八年级学生的情况有种，
故抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：将七年级这10名学生成绩按从小到大排列为：73，80，82，84，89，89，90，92，96，97，处在中间的两个数为89，89，故中位数为；
八年级这10名学生成绩出现次数最多的是94，故中位数为94．
【分析】
（1）求中位数时，先按照从小到大的顺序对数据排序，再根据样本容量取最中间的一个或最中间两个数据的平均值；众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；
（2）用总人数乘以样本中优秀等次人数所占比例即可得解；
（3）两步试验可通过画树状图或列表格法求概率，画树状图中注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目是否填写数据．
（1）解：将七年级这10名学生成绩按从小到大排列为：73，80，82，84，89，89，90，92，96，97，处在中间的两个数为89，89，故中位数为；
八年级这10名学生成绩出现次数最多的是94，故中位数为94；
（2）解：（名），
故估计八年级400名学生中有名学生能达到优秀等次；
（3）解：令七年级的两名学生为、，八年级的两名学生为、，
列表得：
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽到一名七年级学生和一名八年级学生的情况有种，
故抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率为．
23．【答案】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）观察图象直接找出直线在双曲线上方时对应在自变量的取值范围即可．
（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
24．【答案】解：根据题意可得：，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴米，米，，，
∴（米），
设，则米，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵米，
∴，
解得：，
∴米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图所示，先分别过A、B两点作CF的垂线段AD和BE，则四边形AMFD和四边形BNFE都是矩形，则AM=DF、BN=FE、MN=AD+BE； 设CD为x，可分别解和，则可分别表示出AD和BE，再利用MN的长建立关于x的一元一次方程并解方程即可．
25．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线
（2）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由于CE垂直DE，若CE是的切线，则OC//DE，即证即可；此时可利用角平分线的概念得，由等边对等角得，由圆周角定理得，等量代换得，则OC//DE，故结论成立；
（2）由于，AB=10，则解可得BC=6；由于AB是直径，则，由同角的余角相等可得，再解可得BE、CE；再解可得CD，由勾股定理再求出BD即可．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26．【答案】（1）解：把，代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：存在最大值；把代入得：，
∴点C的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接、、，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，
∴最大值为：
（3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
设点M的坐标为：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
综上分析可知：点M坐标为：或或或
【知识点】一线三等角相似模型（K字型相似模型）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由于抛物线解析式中常数项已知，且抛物线与轴两个交点坐标也已知，可直接利用待定系数法求解函数解析式；
（2）由于抛物线的解析式为，则抛物线交轴于C(0，3)，抛物线的对称轴为，则点C关于直线的对称点D的坐标为(2，3)，且PD=PC，即PA-PD等于PA-PC，显然当点A、C、P三点共线时PA-PC值最大，即PA-PD最大，此时最大值等于线段AC的长，利用两点距离公式直接计算即可；
（3）如图乙所示，由于，则过点M作平行于轴的直线，再分别过点C、N分别作的垂线段CD和NE，则由一线三垂直模型可得，则相似比就等于，由于点M在抛物线上，可利用二次函数图象上的点的坐标特征设出M的坐标为，则CD、DM、EM、NE均可表示，注意由于两点间的距离都是正数，则表示时需要带绝对值符号，再利用前面的相似比计算即可，计算时需要讨论绝对值符号内的代数式的正负．
（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在最大值；
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接、、，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，
∴最大值为：．
（3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
设点M的坐标为：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
综上分析可知：点M坐标为：或或或．
1 / 1西藏2024年中考数学试题
1．（2024·西藏）下列实数中最小的是（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴下列实数中最小的是，
故答案为：A．
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小．
2．（2024·西藏）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3．（2024·西藏）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将0.0000007用科学记数法表示应为，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数.
4．（2024·西藏）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故答案为：C．
【分析】（1）利用合并同类项法则计算；
（2）利用单项式乘以多项式法则计算；
（3）利用幂的乘方与积的乘方法则计算；
（4）利用单项式乘以单项式的运算法则计算．
5．（2024·西藏）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确．
故答案为：A．
【分析】由两直线平行内错角相等可把转移到的位置上，再利用直角三角形两锐角互余即可．
6．（2024·西藏）已知正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵正多边形的一个外角为，
∴正多边形的边数为，
∴这个正多边形的内角和为，
故答案为：B．
【分析】任意正多边形的外角和都是，则可求出这个正多边形的边数，再依据正边形的内角和公式计算即可．
7．（2024·西藏）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．1
【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】一对相反数的和为0，一对倒数的积为1．
8．（2024·西藏）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出AD的长即可.
9．（2024·西藏）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：中，，，，
，
连接，如图所示：
∵于点，于点，，
∴，
四边形是矩形，
，
当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，
∴此时．
故选：B．
【分析】由垂直的概念得，，则四边形PDCE是矩形，所以PC=DE，显然当时，CP最小，利用勾股定理先求出斜边AB的长，再利用面积即可求出CP的最小值，即DE的最小值．
10．（2024·西藏）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数m，均成立
④若点，在抛物线上，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，
∴，，，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴相交于点，，
∴二次函数的对称轴为直线，，，
由得：，
∵，
∴，
∴，即，故②错误；
当时，二次函数有最小值，
由图象可得，对任意实数m，，
∴对任意实数m，均成立，故③正确；
∵点，在抛物线上，且，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共个，
故答案为：B．
【分析】① 由抛物线的开口向上知，由抛物线顶点坐标的大体位置知对称轴在y左侧，即同号，由抛物线与y轴交点的位置知，所以；
② 由抛物线与x轴的交点坐标为和知，对称轴为，即或；则当时，，所以；
③ 因为抛物线开口向上，所以二次函数有最小值，即当时，最小，因此对于任意实数有，即 成立；
④ 因为抛物线的对称轴为，所以、即离对称轴距离越大函数值越大，所以．
11．（2024·西藏）分解因式：
【答案】(x-2)2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-4x+4=（x-2）2
【分析】本题运用完全平方差公式就可以解答了.
12．（2024·西藏）甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 ．
【答案】丙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵他们一周测试成绩的平均数相同，且，，．
∴，
∴成绩最稳定的学生是丙，
故答案为：丙．
【分析】方差是反映一组数据稳定性的量，方差越小，数据稳定性越好；反之，数据稳定越差．
13．（2024·西藏）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为：
，
故答案为：．
【分析】图形平移的规律，上加下减、左加右减．
14．（2024·西藏）如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加（答案不唯一），
∵在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】由两组对边分别相等的四边形是平行四边形知，四边形是平行四边形，则根据定义判定的话需要保证邻边相等即可；若依据对角线判定的话只需要保证对角线垂直即可．
15．（2024·西藏）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过F作于G，
由作图得：平分，，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
，，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
在中根据勾股定理得：．
故答案为：．
【分析】如图，由基本尺规作图痕迹可判断BF是的一条角平分线，因为角平分线上的点到角两边距离相等，可过点F作AB的垂线段FG，则FG=FC=3，利用勾股定理可AG=4，再利用HL定理可得BG=CD，可设BC为x，则AB=x+4，在中应用勾股定理可先求出x即BC的长，再在中应用勾股定理即可．
16．（2024·西藏）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为 （用含n的代数式表示）．
【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第1个图案用了个“”，
第2个图案用了个“”，
第3个图案用了个“”，
第4个图案用了个“”，
……，
∴第n个图案中“”的个数为，
故答案为：．
【分析】先依次找出前四个图案中“”的个数，则可得到“”个数的规律，即可写出第n个图案中“”的个数为．
17．（2024·西藏）计算：．
【答案】解：
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可．
18．（2024·西藏）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如图：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可．
19．（2024·西藏）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值．
【答案】解：
，
∵，，
∴，，
∴取，原式=1+2=3
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先利用通分计算出括号内分式运算的结果，进行分式的乘法运算并分别对分子和分母分解因式，再约分得到最简分式或整式，最后再把合适的m值代入计算即可．
20．（2024·西藏）如图，点C是线段的中点，，．求证：．
【答案】证明：∵点C是线段的中点，∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由于全等三角形的对应角相等，可由中点的概念先得到，再结合已知条件利用证明即可．
21．（2024·西藏）列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
（1）求该商场投入资金的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【答案】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为，由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该商场投入资金的月平均增长率
（2）解：（万元），
答：预计该商场七月份投入资金将达到万元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）平均增长率（减少率）问题，常列方程，其中分别为起始数据和终止数据，为平均增长率或减少率；
（2）利用（1）中求得的增长率直接计算即可．
（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该商场投入资金的月平均增长率；
（2）解：（万元），
∴预计该商场七月份投入资金将达到万元．
22．（2024·西藏）为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下：
七年级：80 96 82 92 89 84 73 90 89 97
八年级：94 82 95 94 85 89 92 79 98 93
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）七年级这10名学生成绩的中位数是________；八年级这10名学生成绩的众数是________；
（2）若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次；
（3）根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率．
【答案】（1）89；94
（2）解：（名），
故估计八年级400名学生中有名学生能达到优秀等次
（3）解：令七年级的两名学生为、，八年级的两名学生为、，
列表得：
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽到一名七年级学生和一名八年级学生的情况有种，
故抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：将七年级这10名学生成绩按从小到大排列为：73，80，82，84，89，89，90，92，96，97，处在中间的两个数为89，89，故中位数为；
八年级这10名学生成绩出现次数最多的是94，故中位数为94．
【分析】
（1）求中位数时，先按照从小到大的顺序对数据排序，再根据样本容量取最中间的一个或最中间两个数据的平均值；众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；
（2）用总人数乘以样本中优秀等次人数所占比例即可得解；
（3）两步试验可通过画树状图或列表格法求概率，画树状图中注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目是否填写数据．
（1）解：将七年级这10名学生成绩按从小到大排列为：73，80，82，84，89，89，90，92，96，97，处在中间的两个数为89，89，故中位数为；
八年级这10名学生成绩出现次数最多的是94，故中位数为94；
（2）解：（名），
故估计八年级400名学生中有名学生能达到优秀等次；
（3）解：令七年级的两名学生为、，八年级的两名学生为、，
列表得：
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽到一名七年级学生和一名八年级学生的情况有种，
故抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率为．
23．（2024·西藏）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足的x取值范围．
【答案】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）观察图象直接找出直线在双曲线上方时对应在自变量的取值范围即可．
（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
24．（2024·西藏）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）
【答案】解：根据题意可得：，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴米，米，，，
∴（米），
设，则米，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵米，
∴，
解得：，
∴米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图所示，先分别过A、B两点作CF的垂线段AD和BE，则四边形AMFD和四边形BNFE都是矩形，则AM=DF、BN=FE、MN=AD+BE； 设CD为x，可分别解和，则可分别表示出AD和BE，再利用MN的长建立关于x的一元一次方程并解方程即可．
25．（2024·西藏）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线
（2）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由于CE垂直DE，若CE是的切线，则OC//DE，即证即可；此时可利用角平分线的概念得，由等边对等角得，由圆周角定理得，等量代换得，则OC//DE，故结论成立；
（2）由于，AB=10，则解可得BC=6；由于AB是直径，则，由同角的余角相等可得，再解可得BE、CE；再解可得CD，由勾股定理再求出BD即可．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26．（2024·西藏）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标．
【答案】（1）解：把，代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：存在最大值；把代入得：，
∴点C的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接、、，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，
∴最大值为：
（3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
设点M的坐标为：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
综上分析可知：点M坐标为：或或或
【知识点】一线三等角相似模型（K字型相似模型）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由于抛物线解析式中常数项已知，且抛物线与轴两个交点坐标也已知，可直接利用待定系数法求解函数解析式；
（2）由于抛物线的解析式为，则抛物线交轴于C(0，3)，抛物线的对称轴为，则点C关于直线的对称点D的坐标为(2，3)，且PD=PC，即PA-PD等于PA-PC，显然当点A、C、P三点共线时PA-PC值最大，即PA-PD最大，此时最大值等于线段AC的长，利用两点距离公式直接计算即可；
（3）如图乙所示，由于，则过点M作平行于轴的直线，再分别过点C、N分别作的垂线段CD和NE，则由一线三垂直模型可得，则相似比就等于，由于点M在抛物线上，可利用二次函数图象上的点的坐标特征设出M的坐标为，则CD、DM、EM、NE均可表示，注意由于两点间的距离都是正数，则表示时需要带绝对值符号，再利用前面的相似比计算即可，计算时需要讨论绝对值符号内的代数式的正负．
（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在最大值；
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接、、，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，
∴最大值为：．
（3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
设点M的坐标为：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
综上分析可知：点M坐标为：或或或．
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