江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（含解析）

丰城市第九中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．按从小到大排列的一组数据的分位数为（ ）
A．96 B．96.5 C．97 D．97.5
6．某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，是的中点，，若，则的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心
二、多选题
9．已知且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．O为点A，B，C所在直线外一点，且，则
B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C．已知向量，则在上的投影向量的坐标为
D．若点G为△的外心，则
11．现定义：定义域和值域均为正整数的单调增函数称为“正直函数”，已知正直函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知，则 .
13．定义在R上的函数，恒有，当时，，则方程的解为
14．如图，在平面四边形ABCD中，，．若点为边CD上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知向量，，，且，.
(1)求与；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
16．设函数．
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；
(2)求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值．
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求角A的大小；
(2)若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值.
18．某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立．
(1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率；
(2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率．
19．已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设．
(1)求函数在上的值域；
(2)若对任意的恒成立，求的最大值；
(3)若任取，总存在，使成立，求的取值范围．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D B D B B D AB ACD
题号 11
答案 BD
1．A
根据数集的并集运算求参数的取值范围.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
2．A
结合函数单调性即可求解.
【详解】易知为减函数，
所以.
所以函数的值域为，
故选：A
3．D
由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.
【详解】，
，.
故选：D.
4．B
先判断函数的单调性，再结合函数零点的存在性定理进行判断即可.
【详解】函数的定义域为，
因为函数在上为增函数
，又因为函数在上为增函数，
故函数在上为增函数.
因为，则.
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是.
故选：B
5．D
利用百分位数的计算原理计算即可.
【详解】共10个数，，所以分位数为第8个，第9个数据的平均数，即
故选：D
6．B
根据古典概型概率公式即可求解.
【详解】箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为.
故选：B.
7．B
利用平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理计算求值即可.
【详解】
如图，因为，所以点为线段的中点，则有,
因为是的中点，所以，
所以.
所以，.
故选：B.
8．D
对中分别赋值，得出，进一步研究函数的奇偶性与对称性，对选项逐一分析即可.
【详解】对于A选项，由题，令，则
，故A不正确；
对于B选项，令，则，即，则为偶函数，故B不正确；
对于C选项，令，则，
故，两式相加整理得：即
故，故的一个周期为6，
则，故的一个周期为8不成立，C不正确，
对于D选项，由且为偶函数，故，
所以是的一个对称中心，故D正确；
故选：D.
9．AB
计算即可得出A；根据A判断范围，再利用齐次化思想得到，即可得出B. C；利用齐次化思想得到D.
【详解】由，得，所以，A正确；
因为，所以，，则，
而，得出或，
若，则，与矛盾.
故，故C错误；
，B正确；
，D错误．
故选：AB
10．ACD
对A，由，，三点共线，有，其中，即可求得的值；对B，由向量夹角的坐标表示即可判断；对C，根据投影向量的概念结合条件即得结果；对D，根据三角形外心的概念得解.
【详解】对于A，由，，三点共线，为点，，所在直线外一点，
有，其中，即，所以，故A正确；
对于B，，因为与的夹角为锐角，
则，解得，
当与共线时，，解得，
所以实数的取值范围是，故B不正确；
对于C，，，
所以在上的投影向量的坐标为，故C正确；
对于D，因为点为的外心，所以，故D正确.
故选：ACD.
11．BD
对于A：假设，结合题意推出矛盾；对于BC：结合选项A可知：或（且），假设，结合题意推出矛盾，可得，即可得；对于D：可求，结合单调性分析求解.
【详解】对于选项A：若，则，
可得，两者相矛盾，故A错误；
对于选项B：因为为正整数，且单调递增，
结合选项A可知：或（且）．
若（且），
令，则；
再令，则，可得．
因为，则，即，
这与矛盾．即（且）不成立．
所以，可得，即，故B正确；
对于选项C：令，，即．故C错误；
对于选项D：令，，即．
又为正整数．且单调递增，所以，故D正确；
故选：BD.
12．/0.3
应用商数关系有，结合平方关系得，即可求解.
【详解】由，而，
所以，则.
故答案为：
13．或
由可得，分析出函数的部分解析式，作出函数图象，先由，求出对应的值，根据图象可得答案．
【详解】由，可得，
又当时，，
所以，
由上的图象，可作出的图象，如图．
当时，
当时，，又
由，可得.
故答案为：或
14．
建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，把向量用坐标表示，进而计算数量积并结合函数性质求出最小值.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
因为，，所以，.
设，由，，，
，则①；
又，，，，即，
得，代入①式解得，所以.
设，，则，
,
所以点坐标为.
则.
，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
15．(1)，
(2)
（1）根据平面向量共线和垂直的坐标公式计算即可.
（2）求出向量与的坐标，根据向量的夹角公式求解.
【详解】（1）由，可得，得，故，
由，可得，得，故.
（2）由（1），，，
设向量与的夹角为，
则.
所以向量与的夹角的余弦值为.
16．(1)，
(2)最大值是2， 的最小值是，
（1）利用正弦型函数的周期公式可求最小正周期，利用整体法可求对称轴方程；
（2）由已知可得的范围，进而结合正弦曲线的性质可求得函数的最值及此时的值.
【详解】（1）函数的最小正周期为，
由，可得，
所以函数的图象对称轴方程为．
（2）由（1）知，在上，，
故当，即时，取得最大值为2，
当，即时，取得最小值为，
故的最大值是2，此时的最小值是，此时．
17．(1)
(2)
（1）由得，由正弦定理有，由余弦定理即可求解
（2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由得，由均值不等式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又， 所以.
（2）因为，，
所以由余弦定理得，
即，
所以，
即（当且仅当时，等号成立），
因为，
所以，解得，
因为（当且仅当时，等号成立），
所以（当且仅当时，等号成立），
所以长度的最大值为.
18．(1)
(2)
（1）先求得甲两次抽到相同奖品的概率，利用对立事件的概率公式可求得甲两次抽到的奖品价值不同的概率；
（2）先得甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品的所有情况，求得对应的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解即可.
【详解】（1）记甲两次抽到相同奖品为事件，
记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件，
则，
，
所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为；
（2）甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次.
又获得的奖品价值总和不低于80元，
故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元，一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到40元或两次抽到30元，一次抽到20元或两次抽到20元，一次抽到40元，
又两次抽到40元，一次抽到30元的概率，
两次抽到40元，一次抽到20元的概率，
两次抽到40元，一次抽到10元的概率，
两次抽到30元，一次抽到40元的概率，
两次抽到30元，一次抽到20元的概率，
两次抽到20元，一次抽到40元的概率，
所以获得的奖品价值总和不低于80元的概率为：
.
19．(1)
(2)
(3)
（1）先根据周期确定的值，再求函数在上的值域.
（2）先明确函数的解析式，再根据，分离参数得：，再转化为求函数的最小值即可.
（3）把问题转化成两个函数值域的包含关系，求参数的取值范围.
【详解】（1）根据题意，函数的周期为.
由.所以.
当时，，所以，所以，
即所求函数的值域为：.
（2）由题意：.
所以.
因为当时，，所以.
由.
因为（当时取“”）.
所以.
所以的最大值为：.
（3）当时，的值域为.
设函数的值域为，由题意：.
设，则，则函数，，对称轴为.
所以，，.
由或.
当时，，所以函数在上单调递减，所以，
由；
当时，，所以函数在上单调递增，所以，
由.
综上的取值范围为：.