广东省广州市花都区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·花都模拟）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·花都模拟）如图所示的几何体，其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·花都模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·花都模拟）如图，正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于x轴，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·花都模拟）不透明袋子中只装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·花都模拟）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马追上慢马的天数是x天，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·花都模拟）将一副直角三角板（，）按如图所示摆放，点在上且点在的延长线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·花都模拟）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2025·花都模拟）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·花都模拟）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点O出发，依次运动到点，，，，，……按照这样的运动规律，点的横坐标是（ ）
A．2698 B．2699 C．2700 D．2702
11．（2025·花都模拟）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2025·花都模拟）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，点在图象上，当时，气体的密度 ．
13．（2025·花都模拟）如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是 ．
14．（2025·花都模拟）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为 ．
15．（2025·花都模拟）如图，在正方形纸片中，，在正方形中剪下一个扇形和一个圆形，点E在上，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥，则纸片剩下部分（阴影部分）的面积为 ．（结果保留π）
16．（2025·花都模拟）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论：
①图象与坐标轴的交点为，，；
②当时，函数取得最大值；
③若在函数图象上，则也在函数图象上；
④当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
17．（2025·花都模拟）解不等式组：．
18．（2025·花都模拟）如图，AC和BD相交于点O，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB
19．（2025·花都模拟）已知．
（1）化简T；
（2）若是抛物线的顶点坐标，请求出T的值．
20．（2025·花都模拟）为进一步加强学生体质，某中学推行“阳光体育活动”计划，要求学生在课后自主完成体育锻炼并记录，经过一段时间后，学校随机抽查了该校30名学生某一天课后体育锻炼时间（单位：分钟），如图是根据抽查结果绘制的统计图的一部分：
根据以上信息解决以下问题：
（1）这一天课后体育锻炼时间为60分钟的人数为__________人，请补全条形统计图；
（2）这一天课后体育锻炼时间的众数是__________；
（3）若该校共有600名学生，请估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数．
21．（2025·花都模拟）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（2025·花都模拟）如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处，射线与腰交于点E．
（1）尺规作图：作出射线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接，若，求线段的长．
23．（2025·花都模拟）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）__________米/秒，__________秒；
（2）求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可）
24．（2025·花都模拟）如图，在中，，，，点D在边的延长线上，过点D作且，连接，点P为的中点．
（1）求的长；
（2）连接，，，请判断是否为等边三角形？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由；
（3）以点C为圆心，3为半径作，交边于点M，点Q是上的动点，连接，，求的最小值．
25．（2025·花都模拟）已知抛物线与抛物线相交于点．
（1）求出p的值；
（2）设点在抛物线上，点在抛物线上．
①当时，求n的取值范围；
②当M，A，N三点共线时，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的主视图为：
．
故答案为：C．
【分析】主视图是从物体的正面看得到的视图，结合图形，根据主视图的定义即可求解．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠a4，
∴此选项不符合题意；
B、≠a5，
∴此选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A 、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
B、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
C、根据同类二次根式的定义"同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式"可知，与不是同类二次根式，不能合并；
D、根据二次根式的性质“”可求解.
4．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于轴，
点的横坐标为：3，纵坐标为：．
点的坐标为．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于轴，可知点的横坐标与点B的横坐标相同，纵坐标等于点B的纵坐标+正方形的边长．
5．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个白球，
∴从袋子中随机摸出一个，摸到红球的概率为；
故答案为：B ．
【分析】由题意，先求出球的总数，再根据概率公式计算即可求解．
6．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马x天可追上慢马，
由题意得：．
故答案为：A．
【分析】设快马x天可追上慢马，根据"快马走的路程=慢马走的路程"可列方程，结合各选项即可求解．
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出，然后求出，再根据三角形的内角和解答即可．
8．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
∵
∴
解得：，
∴m的最小整数解为4，
故答案为：B．
【分析】观察方程组中未知数的系数和x、y满足的不等式，将方程组相减得，然后代入不等式可得关于m的不等式，解不等式求出m的范围，再找出最小整数解即可.
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】解：作，，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】作，，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得AS的值，然后根据线段的和差AB=AS+BS可求解．
10．【答案】C
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据从原点出发，点，，，，，的运动规律，
可知横坐标的变化规律是依次、、、，每三个是一次循环运动，
，
∴从点O到点共进行了675个循环运动，
的横坐标为．
故答案为：C．
【分析】根据点的运动规律，可知横坐标的变化规律是依次、、、，用2025÷3可知：从点O到点共进行了675个循环，根据这个变化规律即可求解．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
故答案为：
【分析】根据二次根式的的被开方数非负，即可得实数x的取值范围．
12．【答案】6
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设与体积的函数解析式为，将代入，
得，
解得，
，
将代入，得，
故答案为：6．
【分析】由函数与方程的关系，观察图象，用待定系数法求出反比例函数的关系式，然后将代入函数解析式计算即可求解．
13．【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，，
∴，
∴，
故答案为：15．
【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=CD，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：2，4，a分别是等腰三角形三边的长，
当时，2，4，2不能构成三角形，不符合题意；
当时，
∴，
，
故答案为：．
【分析】一元二次方程的根，由等腰三角形的性质可分两种情况讨论：①当时，根据三角形三边关系定理判断是否能构成三角形，然后代入一元二次方程可得关于k的方程，解方程即可求解；②当时，同理可求解．
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵正方形，
∴，
∴扇形的面积为，
设围成圆锥的底面圆的半径为r，则
，
解得：，
∴纸片剩下部分（阴影部分）的面积为．
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质可得∠CBE=45°，由扇形面积公式“S=”求出扇形BCE的面积，再设围成圆锥的底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于底面圆的周长可得关于r的方程，解方程求出r的值，再根据阴影部分面积的构成=正方形的面积减去扇形BCE的面积和圆的面积即可求解．
16．【答案】①③④
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①∵，
∴当时，，当时，，
解得：，
∴图象与坐标轴的交点为，，；
∴此结论符合题意；
②由图象可知：当或时，函数值y随x值的增大而增大，且无最大值，
∴此结论符合题意；
③根据图象得：图象的对称轴为，
∴若在函数图象上，则也在函数图象上，
∴此结论符合题意；
④当直线过点B时，直线与函数图象恰好有3个交点，
即，解得：，
当与之间的图象相切时，恰好有三个交点，
当时，，
令，整理得：，
∴，
解得：，
∴当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．
∴此结论符合题意；
综上可得，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【分析】①由题意，分别令x=0和y=0，可求出函数与坐标轴的交点坐标；
②根据图象可知，函数没有最大值可判断求解；
③根据图象可判断求解；
④同理可求解．
17．【答案】解：，
解不等式①得，；
解不等式②得，；
所以，不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意，先分别求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解（空集）”即可求解．
18．【答案】证明：在△AOB和△COD中
∴△AOB≌△COD（SAS）
∴∠A=∠C，
∴AB∥CD.
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由对顶角相等可得∠AOB=∠COD，结合已知用边角边可证△AOB≌△COD，根据全等三角形的对应角相等可得∠A=∠C，然后根据内错角相等两直线平行即可求解．
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
代入（1）中化简后的代数式得：原式．
【知识点】分式的化简求值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）由题意，先将各分式的分母分解因式并约分，然后根据同分母的分式加减法则“同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减”即可求解；
（2）将抛物线的一般形式化为顶点式可确定顶点坐标，然后代入（1）中化简后的代数式计算即可求解．
（1）解：
；
（2），
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
代入（1）中结果得：原式．
20．【答案】（1）7，
补全条形统计图为
（2）55
（3）解：（人）
答：估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生由180人．
【知识点】条形统计图；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：体育锻炼时间为60分钟的人数为（人）；
补全条形统计图为
故答案为：7
（2）
解：由条形图可知，体育锻炼时间55分钟的人数最多，故众数为55．
故答案为：55
【分析】
（1）根据样本容量等于各小组频数之和可求出体育锻炼时间为60分钟的人数，由计算结果可将条形图补充完整；
（2）根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合题意即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解．
（1）解：体育锻炼时间为60分钟的人数为（人）；
补全条形统计图为
故答案为：7
（2）解：由条形图可知，体育锻炼时间55分钟的人数最多，故众数为55．
故答案为：55
（3）解：（人）
答：估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生由180人．
21．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】
（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可求解；
（2）在中，用勾股定理求出的长，由等腰三角形的三线合一可得BD=CD=BC，从而求出的长，然后根据等腰三角形的两底角相等可得，由同弧所对的圆周角相等可得，于是可得，再根据等角对等边可求解．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：作的平分线，交于点E，射线即为所求；
（2）解：过点C作，如图所示：
∵等腰中，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）根据题意作的平分线即可；
（2）过点C作，根据等腰三角形的两底角相等以及轴对称图形的性质可得，再由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得∠DEC的度数，再由锐角三角函数tan∠D=求出DF的值，然后根据线段的和差DE=DF+EF可求解．
（1）解：作的平分线，交于点E，射线即为所求；
（2）过点C作，如图所示：
∵等腰中，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）4；15
（2）解：由图象知，，
气球乙的速度为（米秒），
∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒），
∵（秒），
∴，
设线段所在直线的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：如图所示：
由题意，，
设直线所在直线的解析式为，
∴，解得
∴线段所在直线的函数解析式为，
设线段所在直线的函数解析式为，
把，代入，得
，
解得：，
线段所在直线的函数解析式为；
线段所在直线的函数解析式为，
当时，由题意得，
解得或（舍去）；
当时，由题意得，
解得（舍去）或，
当时，由题意得，
解得（舍去）或（舍去），
综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）
解：由题意得气球甲的速度为（米/秒），
（秒．
故答案为：4，15；
【分析】
（1）根据图形计算即可求解；
（2）先求得气球乙匀速从55米到100米所用时间为9秒，得到，然后用待定系数法即可求解；
（3）用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，由题意分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，列式计算即可求解．
（1）解：由题意得气球甲的速度为（米/秒），
（秒．
故答案为：4，15；
（2）解：由图象知，，
气球乙的速度为（米秒），
∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒），
∵（秒），
∴，
设线段所在直线的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：如图所示：
由题意，，
设直线所在直线的解析式为，
∴，解得
∴线段所在直线的函数解析式为，
设线段所在直线的函数解析式为，
把，代入，得
，解得，
线段所在直线的函数解析式为；
线段所在直线的函数解析式为，
当时，由题意得，
解得或（舍去）；
当时，由题意得，
解得（舍去）或，
当时，由题意得，
解得（舍去）或（舍去），
综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米．
24．【答案】（1）解：∵在中，，，
∴．
（2）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵点P是的中点，
∴在中，，
在中，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点A，B，E，D四点共圆，且点P为该圆的圆心，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
（3）解：取的中点H，连接，延长交于点N，
∵点P是的中点，点H是的中点，
∴，
∴点P在直线上运动．
作点M关于的对称点，连接，交于点G，连接，，
则，
∴，
连接，交于点，则，
∵点H是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵点M与点关于对称，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
即的最小值为18．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）在中，根据锐角三角函数cos∠ACB=可求解；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据锐角三角函数tan∠DEC=并结合特殊角的三角函数值可得，于是可得，从而点A，B，E，D四点共圆，且点P为该圆的圆心，根据圆周角定理有，然后根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可求解；
（3）取的中点H，连接，延长交于点N，根据中位线定理得到，因此点P在直线上运动．作点M关于的对称点，连接，交于点G，连接，，则，连接，交于点，则，由点H是的中点，，得到，证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理在中，求得，即可得出，即可求解．
（1）解：∵在中，，，
∴．
（2）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵点P是的中点，
∴在中，，
在中，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点A，B，E，D四点共圆，且点P为该圆的圆心，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
（3）解：取的中点H，连接，延长交于点N，
∵点P是的中点，点H是的中点，
∴，
∴点P在直线上运动．
作点M关于的对称点，连接，交于点G，连接，，
则，
∴，
连接，交于点，则，
∵点H是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵点M与点关于对称，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
即的最小值为18．
25．【答案】（1）解：将点代入，
得，
解得：；
（2）解：由（1）得，∵点在抛物线上，
∴，
∴；
①∵，，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
整理得：，
当时，或，
当时，，
当时，，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∵，，
∴设直线的函数解析式为：，
代入得：，
解得，
∵，
∴；
设直线的函数解析式为：，
代入得：，
解得：，
即，
∵M，A，N三点共线，
∴，
解得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法代入并整理可求解；
（2）由（1）得，将点M代入得，且；
①根据题意得出，然后代入函数解析式确定，再由二次函数的性质即可得n的取值范围；
②根据题意得出，再用一次函数的待定系数法及三点共线得出方程求解即可．
（1）解：将点代入，
得，
解得：；
（2）由（1）得，
∵点在抛物线上，
∴，
∴；
①∵，，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
整理得：，
当时，或，
当时，，
当时，，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∵，，
∴设直线的函数解析式为：，
代入得：，解得，
∵，
∴；
设直线的函数解析式为：，
代入得：，解得，
即，
∵M，A，N三点共线，
∴，
解得：．
1 / 1广东省广州市花都区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·花都模拟）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．（2025·花都模拟）如图所示的几何体，其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的主视图为：
．
故答案为：C．
【分析】主视图是从物体的正面看得到的视图，结合图形，根据主视图的定义即可求解．
3．（2025·花都模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠a4，
∴此选项不符合题意；
B、≠a5，
∴此选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A 、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
B、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
C、根据同类二次根式的定义"同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式"可知，与不是同类二次根式，不能合并；
D、根据二次根式的性质“”可求解.
4．（2025·花都模拟）如图，正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于x轴，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于轴，
点的横坐标为：3，纵坐标为：．
点的坐标为．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于轴，可知点的横坐标与点B的横坐标相同，纵坐标等于点B的纵坐标+正方形的边长．
5．（2025·花都模拟）不透明袋子中只装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个白球，
∴从袋子中随机摸出一个，摸到红球的概率为；
故答案为：B ．
【分析】由题意，先求出球的总数，再根据概率公式计算即可求解．
6．（2025·花都模拟）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马追上慢马的天数是x天，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马x天可追上慢马，
由题意得：．
故答案为：A．
【分析】设快马x天可追上慢马，根据"快马走的路程=慢马走的路程"可列方程，结合各选项即可求解．
7．（2025·花都模拟）将一副直角三角板（，）按如图所示摆放，点在上且点在的延长线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出，然后求出，再根据三角形的内角和解答即可．
8．（2025·花都模拟）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
∵
∴
解得：，
∴m的最小整数解为4，
故答案为：B．
【分析】观察方程组中未知数的系数和x、y满足的不等式，将方程组相减得，然后代入不等式可得关于m的不等式，解不等式求出m的范围，再找出最小整数解即可.
9．（2025·花都模拟）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】解：作，，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】作，，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得AS的值，然后根据线段的和差AB=AS+BS可求解．
10．（2025·花都模拟）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点O出发，依次运动到点，，，，，……按照这样的运动规律，点的横坐标是（ ）
A．2698 B．2699 C．2700 D．2702
【答案】C
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据从原点出发，点，，，，，的运动规律，
可知横坐标的变化规律是依次、、、，每三个是一次循环运动，
，
∴从点O到点共进行了675个循环运动，
的横坐标为．
故答案为：C．
【分析】根据点的运动规律，可知横坐标的变化规律是依次、、、，用2025÷3可知：从点O到点共进行了675个循环，根据这个变化规律即可求解．
11．（2025·花都模拟）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
故答案为：
【分析】根据二次根式的的被开方数非负，即可得实数x的取值范围．
12．（2025·花都模拟）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，点在图象上，当时，气体的密度 ．
【答案】6
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设与体积的函数解析式为，将代入，
得，
解得，
，
将代入，得，
故答案为：6．
【分析】由函数与方程的关系，观察图象，用待定系数法求出反比例函数的关系式，然后将代入函数解析式计算即可求解．
13．（2025·花都模拟）如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是 ．
【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，，
∴，
∴，
故答案为：15．
【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=CD，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
14．（2025·花都模拟）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：2，4，a分别是等腰三角形三边的长，
当时，2，4，2不能构成三角形，不符合题意；
当时，
∴，
，
故答案为：．
【分析】一元二次方程的根，由等腰三角形的性质可分两种情况讨论：①当时，根据三角形三边关系定理判断是否能构成三角形，然后代入一元二次方程可得关于k的方程，解方程即可求解；②当时，同理可求解．
15．（2025·花都模拟）如图，在正方形纸片中，，在正方形中剪下一个扇形和一个圆形，点E在上，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥，则纸片剩下部分（阴影部分）的面积为 ．（结果保留π）
【答案】
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵正方形，
∴，
∴扇形的面积为，
设围成圆锥的底面圆的半径为r，则
，
解得：，
∴纸片剩下部分（阴影部分）的面积为．
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质可得∠CBE=45°，由扇形面积公式“S=”求出扇形BCE的面积，再设围成圆锥的底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于底面圆的周长可得关于r的方程，解方程求出r的值，再根据阴影部分面积的构成=正方形的面积减去扇形BCE的面积和圆的面积即可求解．
16．（2025·花都模拟）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论：
①图象与坐标轴的交点为，，；
②当时，函数取得最大值；
③若在函数图象上，则也在函数图象上；
④当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①∵，
∴当时，，当时，，
解得：，
∴图象与坐标轴的交点为，，；
∴此结论符合题意；
②由图象可知：当或时，函数值y随x值的增大而增大，且无最大值，
∴此结论符合题意；
③根据图象得：图象的对称轴为，
∴若在函数图象上，则也在函数图象上，
∴此结论符合题意；
④当直线过点B时，直线与函数图象恰好有3个交点，
即，解得：，
当与之间的图象相切时，恰好有三个交点，
当时，，
令，整理得：，
∴，
解得：，
∴当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．
∴此结论符合题意；
综上可得，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【分析】①由题意，分别令x=0和y=0，可求出函数与坐标轴的交点坐标；
②根据图象可知，函数没有最大值可判断求解；
③根据图象可判断求解；
④同理可求解．
17．（2025·花都模拟）解不等式组：．
【答案】解：，
解不等式①得，；
解不等式②得，；
所以，不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意，先分别求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解（空集）”即可求解．
18．（2025·花都模拟）如图，AC和BD相交于点O，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB
【答案】证明：在△AOB和△COD中
∴△AOB≌△COD（SAS）
∴∠A=∠C，
∴AB∥CD.
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由对顶角相等可得∠AOB=∠COD，结合已知用边角边可证△AOB≌△COD，根据全等三角形的对应角相等可得∠A=∠C，然后根据内错角相等两直线平行即可求解．
19．（2025·花都模拟）已知．
（1）化简T；
（2）若是抛物线的顶点坐标，请求出T的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
代入（1）中化简后的代数式得：原式．
【知识点】分式的化简求值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）由题意，先将各分式的分母分解因式并约分，然后根据同分母的分式加减法则“同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减”即可求解；
（2）将抛物线的一般形式化为顶点式可确定顶点坐标，然后代入（1）中化简后的代数式计算即可求解．
（1）解：
；
（2），
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
代入（1）中结果得：原式．
20．（2025·花都模拟）为进一步加强学生体质，某中学推行“阳光体育活动”计划，要求学生在课后自主完成体育锻炼并记录，经过一段时间后，学校随机抽查了该校30名学生某一天课后体育锻炼时间（单位：分钟），如图是根据抽查结果绘制的统计图的一部分：
根据以上信息解决以下问题：
（1）这一天课后体育锻炼时间为60分钟的人数为__________人，请补全条形统计图；
（2）这一天课后体育锻炼时间的众数是__________；
（3）若该校共有600名学生，请估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数．
【答案】（1）7，
补全条形统计图为
（2）55
（3）解：（人）
答：估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生由180人．
【知识点】条形统计图；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：体育锻炼时间为60分钟的人数为（人）；
补全条形统计图为
故答案为：7
（2）
解：由条形图可知，体育锻炼时间55分钟的人数最多，故众数为55．
故答案为：55
【分析】
（1）根据样本容量等于各小组频数之和可求出体育锻炼时间为60分钟的人数，由计算结果可将条形图补充完整；
（2）根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合题意即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解．
（1）解：体育锻炼时间为60分钟的人数为（人）；
补全条形统计图为
故答案为：7
（2）解：由条形图可知，体育锻炼时间55分钟的人数最多，故众数为55．
故答案为：55
（3）解：（人）
答：估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生由180人．
21．（2025·花都模拟）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】
（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可求解；
（2）在中，用勾股定理求出的长，由等腰三角形的三线合一可得BD=CD=BC，从而求出的长，然后根据等腰三角形的两底角相等可得，由同弧所对的圆周角相等可得，于是可得，再根据等角对等边可求解．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（2025·花都模拟）如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处，射线与腰交于点E．
（1）尺规作图：作出射线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接，若，求线段的长．
【答案】（1）解：作的平分线，交于点E，射线即为所求；
（2）解：过点C作，如图所示：
∵等腰中，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）根据题意作的平分线即可；
（2）过点C作，根据等腰三角形的两底角相等以及轴对称图形的性质可得，再由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得∠DEC的度数，再由锐角三角函数tan∠D=求出DF的值，然后根据线段的和差DE=DF+EF可求解．
（1）解：作的平分线，交于点E，射线即为所求；
（2）过点C作，如图所示：
∵等腰中，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（2025·花都模拟）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）__________米/秒，__________秒；
（2）求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可）
【答案】（1）4；15
（2）解：由图象知，，
气球乙的速度为（米秒），
∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒），
∵（秒），
∴，
设线段所在直线的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：如图所示：
由题意，，
设直线所在直线的解析式为，
∴，解得
∴线段所在直线的函数解析式为，
设线段所在直线的函数解析式为，
把，代入，得
，
解得：，
线段所在直线的函数解析式为；
线段所在直线的函数解析式为，
当时，由题意得，
解得或（舍去）；
当时，由题意得，
解得（舍去）或，
当时，由题意得，
解得（舍去）或（舍去），
综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）
解：由题意得气球甲的速度为（米/秒），
（秒．
故答案为：4，15；
【分析】
（1）根据图形计算即可求解；
（2）先求得气球乙匀速从55米到100米所用时间为9秒，得到，然后用待定系数法即可求解；
（3）用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，由题意分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，列式计算即可求解．
（1）解：由题意得气球甲的速度为（米/秒），
（秒．
故答案为：4，15；
（2）解：由图象知，，
气球乙的速度为（米秒），
∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒），
∵（秒），
∴，
设线段所在直线的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：如图所示：
由题意，，
设直线所在直线的解析式为，
∴，解得
∴线段所在直线的函数解析式为，
设线段所在直线的函数解析式为，
把，代入，得
，解得，
线段所在直线的函数解析式为；
线段所在直线的函数解析式为，
当时，由题意得，
解得或（舍去）；
当时，由题意得，
解得（舍去）或，
当时，由题意得，
解得（舍去）或（舍去），
综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米．
24．（2025·花都模拟）如图，在中，，，，点D在边的延长线上，过点D作且，连接，点P为的中点．
（1）求的长；
（2）连接，，，请判断是否为等边三角形？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由；
（3）以点C为圆心，3为半径作，交边于点M，点Q是上的动点，连接，，求的最小值．
【答案】（1）解：∵在中，，，
∴．
（2）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵点P是的中点，
∴在中，，
在中，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点A，B，E，D四点共圆，且点P为该圆的圆心，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
（3）解：取的中点H，连接，延长交于点N，
∵点P是的中点，点H是的中点，
∴，
∴点P在直线上运动．
作点M关于的对称点，连接，交于点G，连接，，
则，
∴，
连接，交于点，则，
∵点H是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵点M与点关于对称，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
即的最小值为18．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）在中，根据锐角三角函数cos∠ACB=可求解；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据锐角三角函数tan∠DEC=并结合特殊角的三角函数值可得，于是可得，从而点A，B，E，D四点共圆，且点P为该圆的圆心，根据圆周角定理有，然后根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可求解；
（3）取的中点H，连接，延长交于点N，根据中位线定理得到，因此点P在直线上运动．作点M关于的对称点，连接，交于点G，连接，，则，连接，交于点，则，由点H是的中点，，得到，证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理在中，求得，即可得出，即可求解．
（1）解：∵在中，，，
∴．
（2）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵点P是的中点，
∴在中，，
在中，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点A，B，E，D四点共圆，且点P为该圆的圆心，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
（3）解：取的中点H，连接，延长交于点N，
∵点P是的中点，点H是的中点，
∴，
∴点P在直线上运动．
作点M关于的对称点，连接，交于点G，连接，，
则，
∴，
连接，交于点，则，
∵点H是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵点M与点关于对称，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
即的最小值为18．
25．（2025·花都模拟）已知抛物线与抛物线相交于点．
（1）求出p的值；
（2）设点在抛物线上，点在抛物线上．
①当时，求n的取值范围；
②当M，A，N三点共线时，求m的值．
【答案】（1）解：将点代入，
得，
解得：；
（2）解：由（1）得，∵点在抛物线上，
∴，
∴；
①∵，，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
整理得：，
当时，或，
当时，，
当时，，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∵，，
∴设直线的函数解析式为：，
代入得：，
解得，
∵，
∴；
设直线的函数解析式为：，
代入得：，
解得：，
即，
∵M，A，N三点共线，
∴，
解得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法代入并整理可求解；
（2）由（1）得，将点M代入得，且；
①根据题意得出，然后代入函数解析式确定，再由二次函数的性质即可得n的取值范围；
②根据题意得出，再用一次函数的待定系数法及三点共线得出方程求解即可．
（1）解：将点代入，
得，
解得：；
（2）由（1）得，
∵点在抛物线上，
∴，
∴；
①∵，，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
整理得：，
当时，或，
当时，，
当时，，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∵，，
∴设直线的函数解析式为：，
代入得：，解得，
∵，
∴；
设直线的函数解析式为：，
代入得：，解得，
即，
∵M，A，N三点共线，
∴，
解得：．
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