广东省清远市连州中学2025年中考模拟试二数学试卷
1．（2025·连州模拟）下列各数中，是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·连州模拟）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·连州模拟）中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·连州模拟）如图，在中，外角，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·连州模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·连州模拟）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·连州模拟）把一副普通扑克牌中的5张红桃牌2，3，4，5，6洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，则抽到牌面数字是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·连州模拟）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·连州模拟）设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·连州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，若，则的值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
11．（2025·连州模拟）因式分解： = .
12．（2025·连州模拟）不等式组的解集为 ．
13．（2025·连州模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 .
14．（2025·连州模拟）已知是分式方程的解，则m的值为 ．
15．（2025·连州模拟）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
16．（2025·连州模拟）计算：．
17．（2025·连州模拟）如图，已知，．
（1）尺规作图：在上找出点，使点到两边的距离相等；
（2）根据（1）所求点，以点为圆心，长为半径作，求证：直线与相切．
18．（2025·连州模拟）某学校因增设了篮球场，现购进一些篮球架．如图是某款篮球架，图是其示意图，已知立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，，，．
（1）求的度数．
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
19．（2025·连州模拟）学校图书馆有励志、文学、科技及漫画四类图书．为了解学生上周图书借阅情况（每人仅限借阅一本），图书管理员统计后绘制了如图所示的不完整的表格和扇形统计图．
借阅人数
励志类图书 75
科技类图书
文学类图书 96
漫画类图书
请根据图表中所给的信息解答以下问题：
（1）借阅人数最少的是________类图书，表示“文学类”的扇形的圆心角是________°；
（2）借阅科技类图书人数是多少？
（3）如果借阅漫画类图书的人数占全校学生总人数的2％，那么全校学生总人数是多少？
20．（2025·连州模拟）今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个．
（1）求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率；
（2）今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？
21．（2025·连州模拟）如图1，在中，，D为的中点，连接，过点D作交于点E．
（1）若，求的面积；
（2）如图2，F为边上一点，连接，过点D作交于点G，请判断线段与的数量关系，并说明理由．
22．（2025·连州模拟）如图1，在正方形中，P为对角线上一点，且，垂足为E．
【知识技能】
（1）图1中线段和之间的数量关系是__________；
【数学理解】
（2）若将图1中的绕点C顺时针旋转，使P点落在上，连接，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展探索】
（3）在（2）的基础上，延长交于点F，若，求的长．
23．（2025·连州模拟）【问题背景】
如图1，已知抛物线经过，，三点．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标平面内，求点的坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形；
【深入探究】
（3）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A． 是无理数，
∴此选项不符合题意；
B． 为无理数，
∴此选项不符合题意；
C． 为无理数，
∴此选项不符合题意；
D．∵是分数，
∴是有理数，
∴此选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】 根据无理数的定义“无理数是指无限不循环小数”与有理数的定义“整数和分数统称为有理数”并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A、图案是轴对称图形但不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
B选项是轴对称图形而不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C选项既是中心对称图形又是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
D选项既不是中心对称图形又不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质，得．
因为，，
所以．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠B，然后结合已知条件即可求解．
5．【答案】A
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项符合题意；
B、≠2a2，
∴此选项不符合题意；
C、≠2，
∴此选项不符合题意；
D、≠2a2，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】A、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
D、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解.
6．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：A．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化特征“横坐标不变、纵坐标变为原来的相反数”可求解．
7．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有5张牌，其中是3的倍数有2张，为3，6，则所求概率为．
故答案Wie：D．
【分析】由题意，先找出是3的倍数的数的根数，然后用概率公式计算即可求解.
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的面积等于菱形的两条对角线乘积的一半可求解．
9．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，，是抛物线上的三点，
且，
∴，
故答案为：D．
【分析】由题意，先将抛物线的解析式配成顶点式，根据解析式可知：a=-1＜0，可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，然后根据三个点到对称轴的距离即可判断求解．
10．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：联立，
解得或，
∵，
∴，即点的坐标为．
如图，分别过点作轴，轴，垂足分别为．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∵，即，
∴，即点的纵坐标为2．
将代入，得，即点的坐标为．
由平移的性质得直线的解析式为，
将点代入，得．
故答案为：A．
【分析】由题意，将直线和双曲线的解析式联立解方程组可求得点A的坐标，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ADO∽△BEC，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知可将BE用含AD的代数式表示出来，结合点A的坐标可得点B的纵坐标，将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式可得点B的横坐标，结合平移的性质可求得直线BC的解析式．
11．【答案】(2x+1)(2x-1)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 =(2x+1)(2x-1).
【分析】将4x2写成（2x）2，再利用平方差公式进行因式分解.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求解．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得△，
解得，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可得到△，进而解不等式即可求解。
14．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：把代入，可得：
，
解得：，
故答案为：.
【分析】 把代入分式方程可得关于m的方程，解方程即可求解．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
四边形为矩形，
∴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
．
，
，
．
．
故答案为：．
【分析】过点E作于点H，根据矩形四个角都是直角，可得四边形是矩形，由矩形的对应边相等可得，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，在Rt△EDH中，用勾股定理可求得EC=DH的值，然后根据阴影部分的面积的构成即可求解．
16．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（3.14-π）0=1，由绝对值的非负性可得，再根据实数的运算法则计算即可求解．
17．【答案】（1）解：如图所示，点为所求．
（2）证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
【知识点】切线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意，作的角平分线，与的交点即为所求的M点；
（2）过点作，垂足为．由（1）知为的平分线，则，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，即为半径．，然后根据圆的切线的判定即可求解．
（1）解：如图所示，点为所求．
（2）证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
18．【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：该运动员能挂上篮网，
理由如下：
如图，延长交于点，
，，
，
又，
在中，，
，
该运动员能挂上篮网．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的性质；内错角的概念
【解析】【分析】
根据可知，根据直角三角形两锐角互余可求解；
延长交于点，根据对顶角相等可知，用锐角三角函数cos∠DAM=可求出AM的值，由线段的和差求出OM的值，与3m比较大小即可判断求解．
（1）解：，
，
，
；
（2）解：该运动员能挂上篮网，
理由如下：
如图，延长交于点，
，，
，
又，
在中，，
，
该运动员能挂上篮网．
19．【答案】（1）科技，115.2；
（2）解：由（1）可知，借阅科技类图书人数是60人．
（3）解：由题意可得（人），
答：全校学生总人数是3450．
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）
调查的总人数：人，
科技类人数：人，
漫画类：人，
∵，
∴借阅人数最少的是科技类图书．
“文学类”的扇形的圆心角是：．
故答案为：文学，115.2；
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可求出总人数，根据频数=样本容量×百分比可求得科技类人数，根据各小组频数之和等于样本容量可求得漫画类人数，比较大小可求得借阅人数最少的图书类型；用360度乘以文学类所占的百分比可得“文学类”的扇形的圆心角；
（2）由（1）可求解；
（3）根据借阅漫画类图书的人数估算出全校学生的总人数即可．
（1）调查的总人数：人，
科技类人数：人，
漫画类：人，
∵，
∴借阅人数最少的是科技类图书．
“文学类”的扇形的圆心角是：．
故答案为：文学，115.2；
（2）由（1）可知，借阅科技类图书人数是60人．
（3）由题意可得（人），
即全校学生总人数是3450．
20．【答案】（1）解：设年平均增长率为，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为．
（2）解：当商品降价元时，则销量为件，每件利润为元．
设总利润为元，依题意，
得．
当时，有最大值．
答：当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设年平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，可列关于x的方程，解方程并检验即可求解；
（2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量可列M关于a之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：设年平均增长率为，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为．
（2）当商品降价元时，则销量为件，每件利润为元．
设总利润为元，依题意，
得．
当时，有最大值．
答：当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
过点作，
则：，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得=AB，根据三边都相等的三角形是等边三角形可得为等边三角形，于是可求出的长，过点作，同理可求出的长，再利用面积公式进行计算即可求解；
（2）根据有两个角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，再根据锐角三角函数即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．【答案】（1）；
（2）解：（1）中的结论是否仍然成立，．
证明：如图，作且，则是等腰直角三角形，连接，，
，
，
，即，
在和中，
，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（3）如图，过点B，D作的垂线，垂足为K，M，
，，
，
又，，
，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
，
由（2）知四边形是平行四边形，
，
，
由（2）知是等腰直角三角形，
平分，
，
是等腰直角三角形，
．
【知识点】旋转的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
四边形是正方形，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
图1中线段和之间的数量关系是；（2）
【分析】
（1）由正方形的性质得出，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）作且，构造是等腰直角三角形，用边角边可证，由全等三角形的对应边（角）相等可得AH=CE，∠AHB=∠CEB，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，然后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可证明；
（3）过点B，D作的垂线，垂足为K，M，用角角边可证，再结合（2）中结论可得平分，于是可得是等腰直角三角形，即可求解．
23．【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，（，，为常数，），
∵抛物线经过，，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，有三种情况，
∵，，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴，，，，，，，
∴点在点的左边距离为处，坐标为，
点在点的右边距离为处，坐标为，
点与的连线的中点是点，坐标为．
（3）分类讨论：①当，点在点的左侧时，过点作于点，
则，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
∵点，
∴，
，解得：（舍去）或，
；
当，点在点右侧时，如图，过点作轴于点，
则轴，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
，解得：（舍去）或；
②如图，当时，过点作交轴于点，则，
设，则，
，
，解得：，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，解得：，
直线的关系式为，
，
，
③如图，当时，过点作交轴于点，则，
，，
，
，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，
，解得：，
直线的关系式为，
，
．
综上可得，的长为或或或16．
【知识点】平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”可得，，，，，，再利用点的位置关系与对称性分别求出三个点的坐标即可；
（3）由题意可分三种情况：①，②，③，求出的长即可．
1 / 1广东省清远市连州中学2025年中考模拟试二数学试卷
1．（2025·连州模拟）下列各数中，是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A． 是无理数，
∴此选项不符合题意；
B． 为无理数，
∴此选项不符合题意；
C． 为无理数，
∴此选项不符合题意；
D．∵是分数，
∴是有理数，
∴此选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】 根据无理数的定义“无理数是指无限不循环小数”与有理数的定义“整数和分数统称为有理数”并结合各选项即可判断求解．
2．（2025·连州模拟）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A、图案是轴对称图形但不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
B选项是轴对称图形而不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C选项既是中心对称图形又是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
D选项既不是中心对称图形又不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解．
3．（2025·连州模拟）中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．（2025·连州模拟）如图，在中，外角，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质，得．
因为，，
所以．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠B，然后结合已知条件即可求解．
5．（2025·连州模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项符合题意；
B、≠2a2，
∴此选项不符合题意；
C、≠2，
∴此选项不符合题意；
D、≠2a2，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】A、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
D、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解.
6．（2025·连州模拟）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：A．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化特征“横坐标不变、纵坐标变为原来的相反数”可求解．
7．（2025·连州模拟）把一副普通扑克牌中的5张红桃牌2，3，4，5，6洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，则抽到牌面数字是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有5张牌，其中是3的倍数有2张，为3，6，则所求概率为．
故答案Wie：D．
【分析】由题意，先找出是3的倍数的数的根数，然后用概率公式计算即可求解.
8．（2025·连州模拟）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的面积等于菱形的两条对角线乘积的一半可求解．
9．（2025·连州模拟）设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，，是抛物线上的三点，
且，
∴，
故答案为：D．
【分析】由题意，先将抛物线的解析式配成顶点式，根据解析式可知：a=-1＜0，可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，然后根据三个点到对称轴的距离即可判断求解．
10．（2025·连州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，若，则的值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：联立，
解得或，
∵，
∴，即点的坐标为．
如图，分别过点作轴，轴，垂足分别为．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∵，即，
∴，即点的纵坐标为2．
将代入，得，即点的坐标为．
由平移的性质得直线的解析式为，
将点代入，得．
故答案为：A．
【分析】由题意，将直线和双曲线的解析式联立解方程组可求得点A的坐标，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ADO∽△BEC，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知可将BE用含AD的代数式表示出来，结合点A的坐标可得点B的纵坐标，将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式可得点B的横坐标，结合平移的性质可求得直线BC的解析式．
11．（2025·连州模拟）因式分解： = .
【答案】(2x+1)(2x-1)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 =(2x+1)(2x-1).
【分析】将4x2写成（2x）2，再利用平方差公式进行因式分解.
12．（2025·连州模拟）不等式组的解集为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求解．
13．（2025·连州模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得△，
解得，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可得到△，进而解不等式即可求解。
14．（2025·连州模拟）已知是分式方程的解，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：把代入，可得：
，
解得：，
故答案为：.
【分析】 把代入分式方程可得关于m的方程，解方程即可求解．
15．（2025·连州模拟）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
四边形为矩形，
∴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
．
，
，
．
．
故答案为：．
【分析】过点E作于点H，根据矩形四个角都是直角，可得四边形是矩形，由矩形的对应边相等可得，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，在Rt△EDH中，用勾股定理可求得EC=DH的值，然后根据阴影部分的面积的构成即可求解．
16．（2025·连州模拟）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（3.14-π）0=1，由绝对值的非负性可得，再根据实数的运算法则计算即可求解．
17．（2025·连州模拟）如图，已知，．
（1）尺规作图：在上找出点，使点到两边的距离相等；
（2）根据（1）所求点，以点为圆心，长为半径作，求证：直线与相切．
【答案】（1）解：如图所示，点为所求．
（2）证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
【知识点】切线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意，作的角平分线，与的交点即为所求的M点；
（2）过点作，垂足为．由（1）知为的平分线，则，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，即为半径．，然后根据圆的切线的判定即可求解．
（1）解：如图所示，点为所求．
（2）证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
18．（2025·连州模拟）某学校因增设了篮球场，现购进一些篮球架．如图是某款篮球架，图是其示意图，已知立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，，，．
（1）求的度数．
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：该运动员能挂上篮网，
理由如下：
如图，延长交于点，
，，
，
又，
在中，，
，
该运动员能挂上篮网．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的性质；内错角的概念
【解析】【分析】
根据可知，根据直角三角形两锐角互余可求解；
延长交于点，根据对顶角相等可知，用锐角三角函数cos∠DAM=可求出AM的值，由线段的和差求出OM的值，与3m比较大小即可判断求解．
（1）解：，
，
，
；
（2）解：该运动员能挂上篮网，
理由如下：
如图，延长交于点，
，，
，
又，
在中，，
，
该运动员能挂上篮网．
19．（2025·连州模拟）学校图书馆有励志、文学、科技及漫画四类图书．为了解学生上周图书借阅情况（每人仅限借阅一本），图书管理员统计后绘制了如图所示的不完整的表格和扇形统计图．
借阅人数
励志类图书 75
科技类图书
文学类图书 96
漫画类图书
请根据图表中所给的信息解答以下问题：
（1）借阅人数最少的是________类图书，表示“文学类”的扇形的圆心角是________°；
（2）借阅科技类图书人数是多少？
（3）如果借阅漫画类图书的人数占全校学生总人数的2％，那么全校学生总人数是多少？
【答案】（1）科技，115.2；
（2）解：由（1）可知，借阅科技类图书人数是60人．
（3）解：由题意可得（人），
答：全校学生总人数是3450．
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）
调查的总人数：人，
科技类人数：人，
漫画类：人，
∵，
∴借阅人数最少的是科技类图书．
“文学类”的扇形的圆心角是：．
故答案为：文学，115.2；
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可求出总人数，根据频数=样本容量×百分比可求得科技类人数，根据各小组频数之和等于样本容量可求得漫画类人数，比较大小可求得借阅人数最少的图书类型；用360度乘以文学类所占的百分比可得“文学类”的扇形的圆心角；
（2）由（1）可求解；
（3）根据借阅漫画类图书的人数估算出全校学生的总人数即可．
（1）调查的总人数：人，
科技类人数：人，
漫画类：人，
∵，
∴借阅人数最少的是科技类图书．
“文学类”的扇形的圆心角是：．
故答案为：文学，115.2；
（2）由（1）可知，借阅科技类图书人数是60人．
（3）由题意可得（人），
即全校学生总人数是3450．
20．（2025·连州模拟）今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个．
（1）求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率；
（2）今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？
【答案】（1）解：设年平均增长率为，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为．
（2）解：当商品降价元时，则销量为件，每件利润为元．
设总利润为元，依题意，
得．
当时，有最大值．
答：当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设年平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，可列关于x的方程，解方程并检验即可求解；
（2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量可列M关于a之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：设年平均增长率为，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为．
（2）当商品降价元时，则销量为件，每件利润为元．
设总利润为元，依题意，
得．
当时，有最大值．
答：当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．
21．（2025·连州模拟）如图1，在中，，D为的中点，连接，过点D作交于点E．
（1）若，求的面积；
（2）如图2，F为边上一点，连接，过点D作交于点G，请判断线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
过点作，
则：，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得=AB，根据三边都相等的三角形是等边三角形可得为等边三角形，于是可求出的长，过点作，同理可求出的长，再利用面积公式进行计算即可求解；
（2）根据有两个角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，再根据锐角三角函数即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（2025·连州模拟）如图1，在正方形中，P为对角线上一点，且，垂足为E．
【知识技能】
（1）图1中线段和之间的数量关系是__________；
【数学理解】
（2）若将图1中的绕点C顺时针旋转，使P点落在上，连接，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展探索】
（3）在（2）的基础上，延长交于点F，若，求的长．
【答案】（1）；
（2）解：（1）中的结论是否仍然成立，．
证明：如图，作且，则是等腰直角三角形，连接，，
，
，
，即，
在和中，
，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（3）如图，过点B，D作的垂线，垂足为K，M，
，，
，
又，，
，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
，
由（2）知四边形是平行四边形，
，
，
由（2）知是等腰直角三角形，
平分，
，
是等腰直角三角形，
．
【知识点】旋转的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
四边形是正方形，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
图1中线段和之间的数量关系是；（2）
【分析】
（1）由正方形的性质得出，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）作且，构造是等腰直角三角形，用边角边可证，由全等三角形的对应边（角）相等可得AH=CE，∠AHB=∠CEB，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，然后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可证明；
（3）过点B，D作的垂线，垂足为K，M，用角角边可证，再结合（2）中结论可得平分，于是可得是等腰直角三角形，即可求解．
23．（2025·连州模拟）【问题背景】
如图1，已知抛物线经过，，三点．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标平面内，求点的坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形；
【深入探究】
（3）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，（，，为常数，），
∵抛物线经过，，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，有三种情况，
∵，，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴，，，，，，，
∴点在点的左边距离为处，坐标为，
点在点的右边距离为处，坐标为，
点与的连线的中点是点，坐标为．
（3）分类讨论：①当，点在点的左侧时，过点作于点，
则，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
∵点，
∴，
，解得：（舍去）或，
；
当，点在点右侧时，如图，过点作轴于点，
则轴，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
，解得：（舍去）或；
②如图，当时，过点作交轴于点，则，
设，则，
，
，解得：，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，解得：，
直线的关系式为，
，
，
③如图，当时，过点作交轴于点，则，
，，
，
，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，
，解得：，
直线的关系式为，
，
．
综上可得，的长为或或或16．
【知识点】平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”可得，，，，，，再利用点的位置关系与对称性分别求出三个点的坐标即可；
（3）由题意可分三种情况：①，②，③，求出的长即可．
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