广东省广州市白云区2025年一模数学试题
1．（2025·白云模拟）下列各数中，最大的是（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是3，
故答案为：C．
【分析】由题意，先估算无理数的大小，然后根据"正数大于0，0大于负数"即可判断求解．
2．（2025·白云模拟）下列式子运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据合并同类项法则，系数相加减，字母和指数不变，而不是，所以该选项错误；
B、同样依据合并同类项法则，，并非，该选项错误；
C、按照幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，此选项正确；
D、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，，不是，该选项错误．
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A、B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
3．（2025·白云模拟）如图，在围棋棋盘上建立的平面直角坐标系中，已知黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由题意，建立直角坐标系如下：
由图可知：黑棋②的坐标是；
故答案为：A．
【分析】根据已知点的坐标，确定原点的位置，建立平面直角坐标系，根据黑棋②在平面直角坐标系中的位置即可求解．
4．（2025·白云模拟）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形，可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故答案Wie：A．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状即可．
5．（2025·白云模拟）如图，是的弦，是的切线，经过圆心．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【解答】连接，由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，由等腰三角形的性质“等边对等角”可得，然后由三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠AOC=∠B+∠OAB求出∠AOC的度数，再由直角三角形的两锐角互余可求解．
6．（2025·白云模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得：
．
故答案为：C.
【分析】设第一次分钱的人数为x人，根据题意列分式方程方程解题．
7．（2025·白云模拟）语文老师对全班学生在假期中的阅读量进行了统计，结果如下表所示．请根据表格数据，指出该班学生假期读书数量的平均数与众数分别为（ ）
看书数量/（本） 2 3 4 5 6
人数/（人） 6 6 10 8 5
A．4，4 B．4，5 C．5，4 D．5，5
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：由题意可知，假期里该班学生看书数量的平均数（本），
∵看书数量为4本的有10人，人数最多，
∴众数为4本，
故答案为：A．
【分析】根据平均数定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”及众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合表格中的信息即可求解．
8．（2025·白云模拟）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：点P的纵坐标为7，
把代入，得：，
解得：，
∴点P的坐标为，
∵一次函数与的图象相交于点P，
∴关于x的方程的解是．
故答案为：B．
【分析】由题意，把点P的纵坐标代入直线y=2x-1可求得点P的横坐标，结合图象，关于x的方程ax+2=2x-1的解就是两条直线的交点P的横坐标的值可求解.
9．（2025·白云模拟）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组解集中每一个值均不在的范围中，
∴或，
解得或，
故答案为：．
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据解集 中每一个值均不在的范围中 可得关于a的不等式组，解不等式组即可求解．
10．（2025·白云模拟）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，则以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．抛物线的顶点坐标为
D．若，则或
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：A. 因为二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，可判断出抛物线开口向下，对称轴位于轴的左侧，
∴，
，
∴此选项不符合题意；
B. 因为二次函数（）与轴交于、两点，当函数值为0时，即当时，，
，，
∴，
，
∵抛物线与轴交点的纵坐标是，且，
∴，
即，
解得，
∴此选项不符合题意；
C.由B选项可得抛物线的对称轴为直线，
∴顶点的横坐标为，
根据抛物线顶点纵坐标公式可得，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴此选项不符合题意；
D.当时，抛物线的函数值为，此时，根据对称轴可得该点的对称点的横坐标为，
由选项A可知抛物线开口向下，
∴当时，，
即当时，，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的关系，顶点坐标，对称轴等知识点依次进行判断即可求解．
11．（2025·白云模拟）因式分解： = .
【答案】a(a+b)(a-b)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= a(a+b)(a-b).
故答案为a(a+b)(a-b).
【分析】本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.
12．（2025·白云模拟）分式方程的解为 ．
【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得，，
解得，，
经检验是分式方程的解，
故答案为：1．
【分析】方程两边同时乘以x+2（右边的1不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验可得方程的解.
13．（2025·白云模拟）如图，点，，在半径为2的上，与交于点，点是的中点，，则 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的相关概念；垂径定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：点是的中点，，
，，
，
，，
在△ABD和△COD中
，
，
又，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
【分析】由题意，用角角边可得，根据全等三角形的对应边相等可得，根据三边都相等的三角形是等边三角形可得是等边三角形，在Rt△AOD中，由锐角三角函数sin∠AOD=求出的长，再由垂径定理得AC=2AD即可求解．
14．（2025·白云模拟）如图，菱形的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形的面积是8，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，
菱形，
，
，
菱形的面积是，
，
点A在反比例函数的图象上
，
点在第二象限，
，
故答案为： ．
【分析】连接交于点，由菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得AC⊥BD，根据三角形的面积公式求得直角三角形ADO的面积，然后根据反比例函数值几何意义并结合反比例函数经过的象限即可求解。
15．（2025·白云模拟）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则阴影部分面积为 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∵圆心C恰好是的内心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴弓形的面积为：，
∴阴影部分面积为：，
故答案为：．
【分析】过点C作，根据正多边形的性质并结合有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得为等边三角形，再由内心的性质可得，得出，根据锐角三角函数cos∠CAE=求出AC的值，根据sin∠CAE=求出CE的值，再根据弓形的面积=S扇形ACB-S△ACB求出弓形的面积，然后根据阴影部分的面积等于6个弓形的面积可求解．
16．（2025·白云模拟）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，连接，作，垂足分别为点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
在中，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
，
外接圆半径的最小值为．
故答案为：．
【分析】作的外接圆，连接，，垂足分别为点，由圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”可得，结合已知，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据锐角三角函数sin∠ABC=求出AM的值，在Rt△ABM中，用勾股定理求得BM的值，设的半径为，则，结合比例式可将OG用含r的代数式表示出来，再根据垂线段最短即可求解．
17．（2025·白云模拟）解不等式：，并把不等式解集表示在数轴上．
【答案】解：，
，
，
．
不等式解集在数轴上的表示为：
．
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解一元一次不等式的步骤“移项、合并同类项、系数化为1”求出不等式的解集，并根据“＞”空心向右将解集在数轴上表示出来即可．
18．（2025·白云模拟）如图，是边上的点，，，，求证：．
【答案】证明：，
．
又，
．
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，根据三角形的内角和为180度可得，然后用角角边可证，再根据全等三角形的对应边相等可求解．
19．（2025·白云模拟）小云从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一小段时间后又走到文具店买了些学习用品，在文具店停留一小段时间后散步走回家．小云离家的距离与她所用的时间的关系如图所示，解答下列问题：
（1）小云家离体育场的距离为_____；
（2）请求出小云第时离家的距离．
【答案】（1）2.5
（2）解：设从第到第这段时间，小云离家的距离与她所用时间的解析式为，则有：
，
解得：．
所以，解析式为
当时，．
答：小云第时离家的距离时．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）解：由题意得：小云家离体育场的距离为，
故答案为：2.5；
【分析】
（1）观察图象并结合题意可求解；
（2）当时，设，根据图形取点，，用待定系数法可求得相应的函数解析式，然后把代入解析式计算即可求解．
（1）解：由题意得：小云家离体育场的距离为，
故答案为：2.5；
（2）解：设从第到第这段时间，小云离家的距离与她所用时间的解析式为，则有：，解得：．
所以，解析式为
当时，．
答：小云第时离家的距离时．
20．（2025·白云模拟）已知：．
（1）化简；
（2）若函数的对称轴是，求的值．
【答案】（1）解∶
；
（2）解：∵函数的对称轴是，
∴，
∴．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】
（1）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简；
（2）根据二次函数的性质求出a的值，然后代入（1）计算即可求解．
（1）解∶
；
（2）解：∵函数的对称轴是，
∴，
∴．
21．（2025·白云模拟）为培养学生对体育的兴趣并增强学生的体育意识，某初中学校计划开展“阳光体育活动”．活动内容包括篮球、足球、乒乓球、羽毛球和排球五项球类运动．为了解学生对这五项活动的偏好，学校随机调查了部分学生，要求每名被调查学生从五项活动中选择一项且仅能选择一项．调查结果已绘制成统计图表．现根据统计图提供的信息，解答相关问题．
（1）本次被调查的学生有_______名，_______，补全条形统计图，并在条形图上方注明人数；
（2）扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形的圆心角的度数为_______；
（3）在被调查的学生中，有3名男生和2名女生选择排球项目．现从中随机选取2人协助组建排球社（每人被选中的概率均等），求恰好选中1男1女的概率．
【答案】（1）100，5，
补全条形统计图如下：
（2）解：“乒乓球”对应的扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果有12种，
∴恰好选中1男1女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：本次被调查的学生总人数为（人），
喜爱“排球”的人数所占百分比为，
∴，
喜爱“足球”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：100，5；
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可得本次被调查的学生总人数；根据百分比=频数÷样本容量可求得n的值；根据各小组频数之和等于样本容量求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）根据扇形的圆心角的度数=百分比×即可求得扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形的圆心角的度数；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可得所有等可能的结果数，以及恰好选中1男1女的结果数，再根据概率公式计算即可求解．
（1）解：本次被调查的学生总人数为（人），
喜爱“排球”的人数所占百分比为，
∴，
喜爱“足球”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：100，5；
（2）解：“乒乓球”对应的扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果有12种，
∴恰好选中1男1女的概率为．
22．（2025·白云模拟）描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数的图象变化规律．
…
…
…
…
（1）求函数自变量的取值范围；
（2）请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知点是函数图象上的点，若，求的取值范围．
【答案】（1）解：求函数自变量的取值范围为；
（2）解：列表：
0 1 2
3 2 1 0
描点，连线，图象如下，
（3）解：由函数图象可知，在自变量的取值范围内，函数值随着的增大而减小．
当时，，即当时，．
答：若时，的取值范围是．
【知识点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】
（1）根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”即可求解；
（2）根据函数图象作图的步骤"列表、描点、连线"即可；
（3）根据函数的性质结合图形和n的范围即可求解．
（1）解：求函数自变量的取值范围为；
（2）解：列表：
0 1 2
3 2 1 0
描点，连线，图象如下，
（3）解：由函数图象可知，在自变量的取值范围内，函数值随着的增大而减小．
当时，，即当时，．
答：若时，的取值范围是．
23．（2025·白云模拟）如图，在中，．
（1）尺规作图：作的角平分线，交线段于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）作出的图中，若，，求的长度．
【答案】（1）解：如图，射线即为所求．
（2）解：过点D作于点E，
∵为的平分线，，
∴．
在Rt△ACD和Rt△AED中
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】解直角三角形；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据角平分线的作图方法作图即可求解．
（2）过点D作于点E，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，结合已知，用HL定理可得，由全等三角形的对应边相等可得．根据锐角三角函数求出DE的值，可得．根据有两个角相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
（1）解：如图，射线即为所求．
（2）解：过点D作于点E，
∵为的平分线，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴．
24．（2025·白云模拟）如图，点是边上的一点，，（），交于点．
（1）求证：；
（2）若，是否可以为直角，如果可以，求出此时的值；如果不能请说明理由；
（3）已知且，点在线段上运动时，为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：过点作，
则，，
又，
，
，
；
（2）解：在的延长线上截取，连接．
∴，
由（1）知，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
（3）解：延长到J，使得，延长到K，使得．
由（2）中方法可得，
∴，
∴，
所以点E在上运动时，点F在与所在直线成角的线上运动．
即点M在与平行的线上运动（L为的中点，把绕点C旋转度得到，点N为的中点．点M在上运动），
过点L作，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴与D重合，即，
∴，
过D作于点O，
∴点D到线段的最小值等于点D到线段垂线段的长，
∵，
∴，
∴，即的最小值为．
【知识点】平行四边形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）过点F作，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，结合角的和差可得，再根据等边对等角和角的构成即可求解；
（2）在的延长线上截取，连接，用边角边可证，根据全等三角形的对应边（角）相等可得BE=FH，∠H=∠ABC，可得是等腰三角形，再根据角的和差可得关于α的方程，解方程即可求解；
（3）延长到J，使得，延长到K，使得．由（2）可得，，由等边对等角和三角形的内角和等于180°可得，所以点E在上运动时，点F在与所在直线成角的线上运动．于是可得点M的运动轨迹，然后根据锐角三角函数sin∠DLO=可求解．
（1）证明：过点作，
则，，
又，
，
，
．
（2）解：在的延长线上截取，连接．
∴，
由（1）知，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
（3）解：延长到J，使得，延长到K，使得．
由（2）中方法可得，
∴，
∴，
所以点E在上运动时，点F在与所在直线成角的线上运动．
即点M在与平行的线上运动（L为的中点，把绕点C旋转度得到，点N为的中点．点M在上运动），
过点L作，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴与D重合，即，
∴，
过D作于点O，
∴点D到线段的最小值等于点D到线段垂线段的长，
∵，
∴，
∴，即的最小值为．
25．（2025·白云模拟）已知二次函数（、为常数）．该函数图象经过点，与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
（1）试用关于的代数式表示；
（2）用关于的代数式表示的面积，并描述随着的变化，的值如何变化？
（3）若二次函数图象对称轴为直线，过点平行于轴的直线交抛物线于点（不同于点），交对称轴于点，过点的直线（直线不过，两点）与二次函数图象交于，两点，直线与直线相交于点．若，请求出满足条件的直线的解析式．
【答案】（1）解：把代入二次函数解析式得，
，
整理可得：；
（2）解：∵，
∴二次函数解析式为，
当时，，
的坐标为，
当时，，
解得，，
∵点在点左侧，
的坐标为，的坐标为，
∴，
，
画函数图象如下：
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
（3）解：直线的解析式为或，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数解析式为，
令，则，
∴，，
把代入，得，
解得，，
，
设，，由题意知，且均不为，
设直线的解析式为，
由，
解得，
∴直线的解析式为，（记为①式）
直线过点，
，
∴，
同理设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，（记为②式）
同理得直线的解析式为，（记为③式）
由②③式联立得，
解得，
，
∵，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
当时，，
整理得，
，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
当时，，
整理得，
又，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
综上所述，当时，直线的解析式为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（）把代入二次函数解析式整理即可求解；
（）由（）可得，将b代入解析式可求出二次函数解析式，令y=0可得一元二次方程，解之可求出点A、B的坐标，令x=0可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式表示出与的关系式，结合函数图象即可得随着的变化值的变化情况；
（）由对称轴为直线，可得，即得二次函数解析式为，可得，，，设，，用待定系数法求出直线与直线的解析式，将两直线解析式联立解方程组可求出点的坐标，再根据即可求解.
（1）解：把代入二次函数解析式得，，
；
（2）∵，
∴二次函数解析式为，
当时，，
的坐标为，
当时，，
解得，，
∵点在点左侧，
的坐标为，的坐标为，
∴，
，
画函数图象如下：
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
（3）解：直线的解析式为或，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数解析式为，
令，则，
∴，，
把代入，得，
解得，，
，
设，，由题意知，且均不为，
设直线的解析式为，
由，
解得，
∴直线的解析式为，（记为①式）
直线过点，
，
∴，
同理设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，（记为②式）
同理得直线的解析式为，（记为③式）
由②③式联立得，
解得，
，
∵，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
当时，，
整理得，
，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
当时，，
整理得，
又，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
综上所述，当时，直线的解析式为或．
1 / 1广东省广州市白云区2025年一模数学试题
1．（2025·白云模拟）下列各数中，最大的是（ ）
A． B．0 C．3 D．
2．（2025·白云模拟）下列式子运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2025·白云模拟）如图，在围棋棋盘上建立的平面直角坐标系中，已知黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·白云模拟）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·白云模拟）如图，是的弦，是的切线，经过圆心．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·白云模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·白云模拟）语文老师对全班学生在假期中的阅读量进行了统计，结果如下表所示．请根据表格数据，指出该班学生假期读书数量的平均数与众数分别为（ ）
看书数量/（本） 2 3 4 5 6
人数/（人） 6 6 10 8 5
A．4，4 B．4，5 C．5，4 D．5，5
8．（2025·白云模拟）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·白云模拟）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．（2025·白云模拟）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，则以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．抛物线的顶点坐标为
D．若，则或
11．（2025·白云模拟）因式分解： = .
12．（2025·白云模拟）分式方程的解为 ．
13．（2025·白云模拟）如图，点，，在半径为2的上，与交于点，点是的中点，，则 ．
14．（2025·白云模拟）如图，菱形的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上．若菱形的面积是8，则k的值为 ．
15．（2025·白云模拟）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则阴影部分面积为 ．
16．（2025·白云模拟）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ．
17．（2025·白云模拟）解不等式：，并把不等式解集表示在数轴上．
18．（2025·白云模拟）如图，是边上的点，，，，求证：．
19．（2025·白云模拟）小云从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一小段时间后又走到文具店买了些学习用品，在文具店停留一小段时间后散步走回家．小云离家的距离与她所用的时间的关系如图所示，解答下列问题：
（1）小云家离体育场的距离为_____；
（2）请求出小云第时离家的距离．
20．（2025·白云模拟）已知：．
（1）化简；
（2）若函数的对称轴是，求的值．
21．（2025·白云模拟）为培养学生对体育的兴趣并增强学生的体育意识，某初中学校计划开展“阳光体育活动”．活动内容包括篮球、足球、乒乓球、羽毛球和排球五项球类运动．为了解学生对这五项活动的偏好，学校随机调查了部分学生，要求每名被调查学生从五项活动中选择一项且仅能选择一项．调查结果已绘制成统计图表．现根据统计图提供的信息，解答相关问题．
（1）本次被调查的学生有_______名，_______，补全条形统计图，并在条形图上方注明人数；
（2）扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形的圆心角的度数为_______；
（3）在被调查的学生中，有3名男生和2名女生选择排球项目．现从中随机选取2人协助组建排球社（每人被选中的概率均等），求恰好选中1男1女的概率．
22．（2025·白云模拟）描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数的图象变化规律．
…
…
…
…
（1）求函数自变量的取值范围；
（2）请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知点是函数图象上的点，若，求的取值范围．
23．（2025·白云模拟）如图，在中，．
（1）尺规作图：作的角平分线，交线段于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）作出的图中，若，，求的长度．
24．（2025·白云模拟）如图，点是边上的一点，，（），交于点．
（1）求证：；
（2）若，是否可以为直角，如果可以，求出此时的值；如果不能请说明理由；
（3）已知且，点在线段上运动时，为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
25．（2025·白云模拟）已知二次函数（、为常数）．该函数图象经过点，与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
（1）试用关于的代数式表示；
（2）用关于的代数式表示的面积，并描述随着的变化，的值如何变化？
（3）若二次函数图象对称轴为直线，过点平行于轴的直线交抛物线于点（不同于点），交对称轴于点，过点的直线（直线不过，两点）与二次函数图象交于，两点，直线与直线相交于点．若，请求出满足条件的直线的解析式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是3，
故答案为：C．
【分析】由题意，先估算无理数的大小，然后根据"正数大于0，0大于负数"即可判断求解．
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据合并同类项法则，系数相加减，字母和指数不变，而不是，所以该选项错误；
B、同样依据合并同类项法则，，并非，该选项错误；
C、按照幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，此选项正确；
D、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，，不是，该选项错误．
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A、B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
3．【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由题意，建立直角坐标系如下：
由图可知：黑棋②的坐标是；
故答案为：A．
【分析】根据已知点的坐标，确定原点的位置，建立平面直角坐标系，根据黑棋②在平面直角坐标系中的位置即可求解．
4．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形，可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故答案Wie：A．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状即可．
5．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【解答】连接，由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，由等腰三角形的性质“等边对等角”可得，然后由三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠AOC=∠B+∠OAB求出∠AOC的度数，再由直角三角形的两锐角互余可求解．
6．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得：
．
故答案为：C.
【分析】设第一次分钱的人数为x人，根据题意列分式方程方程解题．
7．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：由题意可知，假期里该班学生看书数量的平均数（本），
∵看书数量为4本的有10人，人数最多，
∴众数为4本，
故答案为：A．
【分析】根据平均数定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”及众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合表格中的信息即可求解．
8．【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：点P的纵坐标为7，
把代入，得：，
解得：，
∴点P的坐标为，
∵一次函数与的图象相交于点P，
∴关于x的方程的解是．
故答案为：B．
【分析】由题意，把点P的纵坐标代入直线y=2x-1可求得点P的横坐标，结合图象，关于x的方程ax+2=2x-1的解就是两条直线的交点P的横坐标的值可求解.
9．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组解集中每一个值均不在的范围中，
∴或，
解得或，
故答案为：．
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据解集 中每一个值均不在的范围中 可得关于a的不等式组，解不等式组即可求解．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：A. 因为二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，可判断出抛物线开口向下，对称轴位于轴的左侧，
∴，
，
∴此选项不符合题意；
B. 因为二次函数（）与轴交于、两点，当函数值为0时，即当时，，
，，
∴，
，
∵抛物线与轴交点的纵坐标是，且，
∴，
即，
解得，
∴此选项不符合题意；
C.由B选项可得抛物线的对称轴为直线，
∴顶点的横坐标为，
根据抛物线顶点纵坐标公式可得，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴此选项不符合题意；
D.当时，抛物线的函数值为，此时，根据对称轴可得该点的对称点的横坐标为，
由选项A可知抛物线开口向下，
∴当时，，
即当时，，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的关系，顶点坐标，对称轴等知识点依次进行判断即可求解．
11．【答案】a(a+b)(a-b)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= a(a+b)(a-b).
故答案为a(a+b)(a-b).
【分析】本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.
12．【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得，，
解得，，
经检验是分式方程的解，
故答案为：1．
【分析】方程两边同时乘以x+2（右边的1不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验可得方程的解.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的相关概念；垂径定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：点是的中点，，
，，
，
，，
在△ABD和△COD中
，
，
又，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
【分析】由题意，用角角边可得，根据全等三角形的对应边相等可得，根据三边都相等的三角形是等边三角形可得是等边三角形，在Rt△AOD中，由锐角三角函数sin∠AOD=求出的长，再由垂径定理得AC=2AD即可求解．
14．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，
菱形，
，
，
菱形的面积是，
，
点A在反比例函数的图象上
，
点在第二象限，
，
故答案为： ．
【分析】连接交于点，由菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得AC⊥BD，根据三角形的面积公式求得直角三角形ADO的面积，然后根据反比例函数值几何意义并结合反比例函数经过的象限即可求解。
15．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∵圆心C恰好是的内心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴弓形的面积为：，
∴阴影部分面积为：，
故答案为：．
【分析】过点C作，根据正多边形的性质并结合有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得为等边三角形，再由内心的性质可得，得出，根据锐角三角函数cos∠CAE=求出AC的值，根据sin∠CAE=求出CE的值，再根据弓形的面积=S扇形ACB-S△ACB求出弓形的面积，然后根据阴影部分的面积等于6个弓形的面积可求解．
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，连接，作，垂足分别为点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
在中，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
，
外接圆半径的最小值为．
故答案为：．
【分析】作的外接圆，连接，，垂足分别为点，由圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”可得，结合已知，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据锐角三角函数sin∠ABC=求出AM的值，在Rt△ABM中，用勾股定理求得BM的值，设的半径为，则，结合比例式可将OG用含r的代数式表示出来，再根据垂线段最短即可求解．
17．【答案】解：，
，
，
．
不等式解集在数轴上的表示为：
．
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解一元一次不等式的步骤“移项、合并同类项、系数化为1”求出不等式的解集，并根据“＞”空心向右将解集在数轴上表示出来即可．
18．【答案】证明：，
．
又，
．
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，根据三角形的内角和为180度可得，然后用角角边可证，再根据全等三角形的对应边相等可求解．
19．【答案】（1）2.5
（2）解：设从第到第这段时间，小云离家的距离与她所用时间的解析式为，则有：
，
解得：．
所以，解析式为
当时，．
答：小云第时离家的距离时．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）解：由题意得：小云家离体育场的距离为，
故答案为：2.5；
【分析】
（1）观察图象并结合题意可求解；
（2）当时，设，根据图形取点，，用待定系数法可求得相应的函数解析式，然后把代入解析式计算即可求解．
（1）解：由题意得：小云家离体育场的距离为，
故答案为：2.5；
（2）解：设从第到第这段时间，小云离家的距离与她所用时间的解析式为，则有：，解得：．
所以，解析式为
当时，．
答：小云第时离家的距离时．
20．【答案】（1）解∶
；
（2）解：∵函数的对称轴是，
∴，
∴．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】
（1）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简；
（2）根据二次函数的性质求出a的值，然后代入（1）计算即可求解．
（1）解∶
；
（2）解：∵函数的对称轴是，
∴，
∴．
21．【答案】（1）100，5，
补全条形统计图如下：
（2）解：“乒乓球”对应的扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果有12种，
∴恰好选中1男1女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：本次被调查的学生总人数为（人），
喜爱“排球”的人数所占百分比为，
∴，
喜爱“足球”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：100，5；
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可得本次被调查的学生总人数；根据百分比=频数÷样本容量可求得n的值；根据各小组频数之和等于样本容量求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）根据扇形的圆心角的度数=百分比×即可求得扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形的圆心角的度数；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可得所有等可能的结果数，以及恰好选中1男1女的结果数，再根据概率公式计算即可求解．
（1）解：本次被调查的学生总人数为（人），
喜爱“排球”的人数所占百分比为，
∴，
喜爱“足球”的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：100，5；
（2）解：“乒乓球”对应的扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果有12种，
∴恰好选中1男1女的概率为．
22．【答案】（1）解：求函数自变量的取值范围为；
（2）解：列表：
0 1 2
3 2 1 0
描点，连线，图象如下，
（3）解：由函数图象可知，在自变量的取值范围内，函数值随着的增大而减小．
当时，，即当时，．
答：若时，的取值范围是．
【知识点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】
（1）根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”即可求解；
（2）根据函数图象作图的步骤"列表、描点、连线"即可；
（3）根据函数的性质结合图形和n的范围即可求解．
（1）解：求函数自变量的取值范围为；
（2）解：列表：
0 1 2
3 2 1 0
描点，连线，图象如下，
（3）解：由函数图象可知，在自变量的取值范围内，函数值随着的增大而减小．
当时，，即当时，．
答：若时，的取值范围是．
23．【答案】（1）解：如图，射线即为所求．
（2）解：过点D作于点E，
∵为的平分线，，
∴．
在Rt△ACD和Rt△AED中
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】解直角三角形；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据角平分线的作图方法作图即可求解．
（2）过点D作于点E，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，结合已知，用HL定理可得，由全等三角形的对应边相等可得．根据锐角三角函数求出DE的值，可得．根据有两个角相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
（1）解：如图，射线即为所求．
（2）解：过点D作于点E，
∵为的平分线，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴．
24．【答案】（1）证明：过点作，
则，，
又，
，
，
；
（2）解：在的延长线上截取，连接．
∴，
由（1）知，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
（3）解：延长到J，使得，延长到K，使得．
由（2）中方法可得，
∴，
∴，
所以点E在上运动时，点F在与所在直线成角的线上运动．
即点M在与平行的线上运动（L为的中点，把绕点C旋转度得到，点N为的中点．点M在上运动），
过点L作，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴与D重合，即，
∴，
过D作于点O，
∴点D到线段的最小值等于点D到线段垂线段的长，
∵，
∴，
∴，即的最小值为．
【知识点】平行四边形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）过点F作，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，结合角的和差可得，再根据等边对等角和角的构成即可求解；
（2）在的延长线上截取，连接，用边角边可证，根据全等三角形的对应边（角）相等可得BE=FH，∠H=∠ABC，可得是等腰三角形，再根据角的和差可得关于α的方程，解方程即可求解；
（3）延长到J，使得，延长到K，使得．由（2）可得，，由等边对等角和三角形的内角和等于180°可得，所以点E在上运动时，点F在与所在直线成角的线上运动．于是可得点M的运动轨迹，然后根据锐角三角函数sin∠DLO=可求解．
（1）证明：过点作，
则，，
又，
，
，
．
（2）解：在的延长线上截取，连接．
∴，
由（1）知，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
（3）解：延长到J，使得，延长到K，使得．
由（2）中方法可得，
∴，
∴，
所以点E在上运动时，点F在与所在直线成角的线上运动．
即点M在与平行的线上运动（L为的中点，把绕点C旋转度得到，点N为的中点．点M在上运动），
过点L作，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴与D重合，即，
∴，
过D作于点O，
∴点D到线段的最小值等于点D到线段垂线段的长，
∵，
∴，
∴，即的最小值为．
25．【答案】（1）解：把代入二次函数解析式得，
，
整理可得：；
（2）解：∵，
∴二次函数解析式为，
当时，，
的坐标为，
当时，，
解得，，
∵点在点左侧，
的坐标为，的坐标为，
∴，
，
画函数图象如下：
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
（3）解：直线的解析式为或，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数解析式为，
令，则，
∴，，
把代入，得，
解得，，
，
设，，由题意知，且均不为，
设直线的解析式为，
由，
解得，
∴直线的解析式为，（记为①式）
直线过点，
，
∴，
同理设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，（记为②式）
同理得直线的解析式为，（记为③式）
由②③式联立得，
解得，
，
∵，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
当时，，
整理得，
，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
当时，，
整理得，
又，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
综上所述，当时，直线的解析式为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（）把代入二次函数解析式整理即可求解；
（）由（）可得，将b代入解析式可求出二次函数解析式，令y=0可得一元二次方程，解之可求出点A、B的坐标，令x=0可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式表示出与的关系式，结合函数图象即可得随着的变化值的变化情况；
（）由对称轴为直线，可得，即得二次函数解析式为，可得，，，设，，用待定系数法求出直线与直线的解析式，将两直线解析式联立解方程组可求出点的坐标，再根据即可求解.
（1）解：把代入二次函数解析式得，，
；
（2）∵，
∴二次函数解析式为，
当时，，
的坐标为，
当时，，
解得，，
∵点在点左侧，
的坐标为，的坐标为，
∴，
，
画函数图象如下：
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
（3）解：直线的解析式为或，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数解析式为，
令，则，
∴，，
把代入，得，
解得，，
，
设，，由题意知，且均不为，
设直线的解析式为，
由，
解得，
∴直线的解析式为，（记为①式）
直线过点，
，
∴，
同理设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，（记为②式）
同理得直线的解析式为，（记为③式）
由②③式联立得，
解得，
，
∵，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
当时，，
整理得，
，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
当时，，
整理得，
又，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
综上所述，当时，直线的解析式为或．
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