广东省深圳市南山区多校联考2025年中考数学二模试题
1．（2025·南山模拟）2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图案不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义并结合各选项即可判断求解．
2．（2025·南山模拟）“海葵一号”是我国自主设计建造的亚洲首艘圆筒型浮式生产储卸油装置，是集原油生产、存储、外输等功能于一体的海洋装备，最大储油量达6万吨．将数据60000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据60000用科学记数法表示应为；
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.
3．（2025·南山模拟）若“※”代表一种运算，且，则“※”代表的运算符号可以是（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵，
∴“※”代表的运算符号可以是÷，
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”并结合题意可求解．
4．（2025·南山模拟）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中，买中“藕粉哪吒”的结果有种，
买中“藕粉哪吒”的概率为．
故选：A．
【分析】利用概率公式即可求出答案.
5．（2025·南山模拟）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∵同位角相等，两直线平行，
∴∥，
∴此选项不符合题意；
B、∵内错角相等，两直线平行，
∴∥，
∴此选项不符合题意；
C、∵同旁内角相等，不能判定直线平行于直线，
∴此选项符合题意；
D、∵对顶角相等、同位角相等，两直线平行，
∴∥，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、由作图痕迹，根据同位角相等，两直线平行可判断求解；
B、由作图痕迹，根据内错角相等，两直线平行可判断求解；
C、由作图痕迹，根据同旁内角相等，不能判断两直线平行可判断求解；
D、由作图痕迹，根据同位角相等，两直线平行可判断求解.
6．（2025·南山模拟）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是 （ ）
A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形
C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
∴
∴，
∴以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形，且边长a所对的角是．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根"可得关于a、b、c的整式，整理得，然后根据勾股定理的逆定理可判断三角形的形状．
7．（2025·南山模拟）圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱的高约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解∶在中，，约为，，
，即．
．
故答案为∶B．
【分析】在中，根据锐角三角函数tan∠ABC=可求解．
8．（2025·南山模拟）如图，直线、表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）．
方案一 ①将点A向上平移得到； ②连接交于点M； ③过点M作，交于点N，即桥的位置． 方案二 ①连接交于点M； ②过点M作，交于点N，即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；平移的性质
【解析】【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可．
垂直于河岸，，
连接，与另一条河岸相交于M，作直线，
由平移的性质，知，且，
根据“两点之间线段最短”，最短，即最短．
故方案一符合题意，方案二不是最短，
故答案为：A．
【分析】因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可，然后根据平移的性质即可求解．
9．（2025·南山模拟）已知二元一次方程的一个解，则k的值为 ．
【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：是二元一次方程的一个解，
将代入得：
，
解得：，
故答案为：2．
【分析】根据二元一次方程的解的定义"能使方程成立的未知数的值就是方程的解"可求解，把代入方程可得关于k的方程，解方程即可求解．
10．（2025·南山模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意知，，
故答案为：．
【分析】提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
11．（2025·南山模拟）已知一个扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，则这个扇形的面积是 cm2.
【答案】2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，
∴扇形的面积为： .
故答案为：2π.
【分析】根据扇形面积公式，代入数值进行计算即可.
12．（2025·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为 ．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：过作轴于，过作轴于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，而，
∴的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：8．
【分析】过作轴于，过作轴于，连接，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得，可得，设，而，可得，然后根据梯形AEFB的面积可得关于k、a的方程，解方程即可求解．
13．（2025·南山模拟）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为 ．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图1，
∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，，
∴，
由图可知：④⑥⑤都为等腰直角三角形，③是正方形，⑦是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
设该圆的圆心为I，连接，延长，交于一点J，与交于一点R，
由拼图可知：，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理可知：，
在中，由勾股定理可知：，
∴，
解得：，
∴，
∴；
故答案为．
【分析】如图，由题意得：MN=NP=PD=MD，∠MND=∠PND=∠MDN=∠PDN=∠DMO，，④⑥⑤都为等腰直角三角形，③是正方形，⑦是平行四边形，然后根据拼图前后可知BQ=QC，LT=LV，LU=LV+VU，TS=AT，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形JZUR是矩形，设IJ=x，在Rt△IQC中，用勾股定理可将IC2用含x的代数式表示出来，同理可将IA2用含x的代数式表示出来，根据IC=IA可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后把x的值代入IA2计算即可求解.
14．（2025·南山模拟）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”得（-1）0=1，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”得（）-1=-2，由特殊角的三角函数值可得cos45°=，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
15．（2025·南山模拟）先化简：，再从中选择合适的a的值代入求值．
【答案】解：原式
，
∵，
∴，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】将“1”看作，先利用同分母分式的减法法则计算括号内的部分，同时将除式的分子利用平方差公式分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法得出最简结果；根据分式的分母不为0，选取合适的a的值，代入化简结果计算即可.
16．（2025·南山模拟）年横空出世的可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告，请根据调查报告，回答下列问题：
课题 ××学校学生对掌握情况
调查方式 抽样调查
调查对象 ××学校学生
数据的整理与描述 分组成绩/分频数频率
调查结论 …
（1）上述表格中，______，______，______；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在______组；补全频数分布直方图；
（3）若该校有名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于分的学生有多少名？
【答案】（1），，
（2）解：∵抽取了名学生，
∴学生成绩的中位数由低到高为第名和第名学生成绩的平均数，
∴中位数落在组，
故答案为：；
补全频数分布直方图如下：
（3）解：，
答：估计成绩不低于分的学生有人．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由数据可知，抽取的学生人数为，
∴，，，
故答案为：，，；
【分析】
（）根据样本容量=频数÷频率求出抽取的学生人数，根据频数=样本容量×频率可求出m、n的值，根据频率=频数÷样本容量求出p的值；
（）根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”即可求解，再结合（）的结果可补全频数分布直方图；
（）用样本估计总体可求解．
（1）解：由数据可知，抽取的学生人数为，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）解：∵抽取了名学生，
∴学生成绩的中位数由低到高为第名和第名学生成绩的平均数，
∴中位数落在组，
故答案为：；
补全频数分布直方图如下：
（3）解：，
答：估计成绩不低于分的学生有人．
17．（2025·南山模拟）近日，《我的阿勒泰》在网络上掀起了观剧热潮．该剧集以新疆阿勒泰为舞台，通过一系列温馨感人的故事，鲜活地展示了当地的风情民俗与居民的精神世界．某影视公司受此启发，计划制作两部不同题材但同样扎根现实的文艺作品，分别是关于乡村支教的《希望的田野》和展现传统手工艺传承的《指尖上的传承》．经了解，制作每集《希望的田野》比制作每集《指尖上的传承》的成本多100万元．该公司以8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同．
（1）求制作《希望的田野》和《指尖上的传承》每集成本为多少万元．
（2）该影视公司计划拍摄《希望的田野》和《指尖上的传承》共60集，且《指尖上的传承》的集数不少于《希望的田野》集数的．完成后将两部文艺作品出售给某平台，该视频平台给出收购方案：《希望的田野》按每集450万元收购，《指尖上的传承》按每集320万元收购．若要使该影视公司收益最大化，应该如何制作这两部文艺作品？
【答案】（1）解：设制作《希望的田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本万元．
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，且符合题意．
．
答：制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元．
（2）解：设制作《希望的田野》m集，则制作《指尖上的传承》集，
根据题意，得，
解得．
设该影视公司收益为w万元，
则．
，
w随m的增大而增大．
又，
当时，w取最大值，此时．
答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设制作《希望的田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本万元，根据“ 8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同 ”列分式方程解答即可；
（2）设制作《希望的田野》m集，根据题意列一元一次不等式，求出m的取值范围．设该影视公司收益为w万元，得到关于的关系式，利用一次函数的增减性解答即可．
（1）解：设制作《希望的田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本万元．
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，且符合题意．
．
答：制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元．
（2）解：设制作《希望的田野》m集，则制作《指尖上的传承》集，
根据题意，得，
解得．
设该影视公司收益为w万元，
则．
，
w随m的增大而增大．
又，
当时，w取最大值，此时．
答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大．
18．（2025·南山模拟）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
是的切线；
（2）解：如（1）图，，
又，，
，
，
的半径为6，，
，
，即，
又点为线段的中点，
，
，
，
．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可得，，结合和三角形内角和可得，然后根据圆的切线的判定可求解；
（2）结合（1）的结论，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由勾股定理可求得OE的值，于是可得关于DF的方程，解方程即可求解．
（1）证明：连接，如图，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
是的切线；
（2）解：如（1）图，，
又，，
，
，
的半径为6，，
，
，即，
又点为线段的中点，
，
，
，
．
19．（2025·南山模拟）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，．
（1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________；
（2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为，
∴点M纵坐标为，
当时，代入抛物线解析式得，
解得：（舍去），，
∴，即保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知：，，，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过，
∴当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
∵抛物线必经过平台，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】
（1）
解：过点F作轴于，过点E作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点F的坐标为，
∵，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵抛物线y轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
解得：，
∴抛物线的表达式为；
【分析】
（1）过点F作轴，过点E作，先求出，，然后用待定系数法即可求解；
（2）由平行于x轴和点N的坐标为可得点M的纵坐标为，把点M的纵坐标代入解析式可得关于x的一元二次方程，解方程求出点M的横坐标，根据MN的距离等于这两点的横坐标之差的绝对值即可求解；
（3）由发射点F不变，可得抛物线一定经过，由题意分两种情况：①抛物线经过，②抛物线经过，即可求解.
（1）解：过点F作轴于，过点E作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点F的坐标为，
∵，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵抛物线y轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为，
∴点M纵坐标为，
当时，代入抛物线解析式得，
解得：（舍去），，
∴，即保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知：，，，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过，
∴当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
∵抛物线必经过平台，
∴．
20．（2025·南山模拟）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
【答案】解：（1）如图，
∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形，
∴设，，
∴，，
∴，，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．
（2）如图，∵，
∴，，
，，
∴，
如图，
结合图形变换可得：；
（3）如图，∵将绕点逆时针旋转，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵为圆外一个定点，
∴当与相切时，最大，
∴，
∴，
由（2）可得：，
∵，，
∴
，
∴；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，
∴，，
再将沿方向平移，使与重合，如图，得，
由（2）可得：，
∴当三点共线时，最短，
∵，，
∴，，
∴；
∴的最小值为；
【知识点】切线的性质；圆内接正多边形；轴对称的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；
（2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案；
（3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可.
1 / 1广东省深圳市南山区多校联考2025年中考数学二模试题
1．（2025·南山模拟）2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·南山模拟）“海葵一号”是我国自主设计建造的亚洲首艘圆筒型浮式生产储卸油装置，是集原油生产、存储、外输等功能于一体的海洋装备，最大储油量达6万吨．将数据60000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·南山模拟）若“※”代表一种运算，且，则“※”代表的运算符号可以是（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
4．（2025·南山模拟）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·南山模拟）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·南山模拟）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是 （ ）
A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形
C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是
7．（2025·南山模拟）圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱的高约为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·南山模拟）如图，直线、表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）．
方案一 ①将点A向上平移得到； ②连接交于点M； ③过点M作，交于点N，即桥的位置． 方案二 ①连接交于点M； ②过点M作，交于点N，即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
9．（2025·南山模拟）已知二元一次方程的一个解，则k的值为 ．
10．（2025·南山模拟）因式分解： ．
11．（2025·南山模拟）已知一个扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，则这个扇形的面积是 cm2.
12．（2025·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为 ．
13．（2025·南山模拟）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为 ．
14．（2025·南山模拟）计算：
15．（2025·南山模拟）先化简：，再从中选择合适的a的值代入求值．
16．（2025·南山模拟）年横空出世的可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告，请根据调查报告，回答下列问题：
课题 ××学校学生对掌握情况
调查方式 抽样调查
调查对象 ××学校学生
数据的整理与描述 分组成绩/分频数频率
调查结论 …
（1）上述表格中，______，______，______；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在______组；补全频数分布直方图；
（3）若该校有名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于分的学生有多少名？
17．（2025·南山模拟）近日，《我的阿勒泰》在网络上掀起了观剧热潮．该剧集以新疆阿勒泰为舞台，通过一系列温馨感人的故事，鲜活地展示了当地的风情民俗与居民的精神世界．某影视公司受此启发，计划制作两部不同题材但同样扎根现实的文艺作品，分别是关于乡村支教的《希望的田野》和展现传统手工艺传承的《指尖上的传承》．经了解，制作每集《希望的田野》比制作每集《指尖上的传承》的成本多100万元．该公司以8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同．
（1）求制作《希望的田野》和《指尖上的传承》每集成本为多少万元．
（2）该影视公司计划拍摄《希望的田野》和《指尖上的传承》共60集，且《指尖上的传承》的集数不少于《希望的田野》集数的．完成后将两部文艺作品出售给某平台，该视频平台给出收购方案：《希望的田野》按每集450万元收购，《指尖上的传承》按每集320万元收购．若要使该影视公司收益最大化，应该如何制作这两部文艺作品？
18．（2025·南山模拟）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．
19．（2025·南山模拟）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，．
（1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________；
（2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围．
20．（2025·南山模拟）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图案不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据60000用科学记数法表示应为；
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵，
∴“※”代表的运算符号可以是÷，
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”并结合题意可求解．
4．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中，买中“藕粉哪吒”的结果有种，
买中“藕粉哪吒”的概率为．
故选：A．
【分析】利用概率公式即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∵同位角相等，两直线平行，
∴∥，
∴此选项不符合题意；
B、∵内错角相等，两直线平行，
∴∥，
∴此选项不符合题意；
C、∵同旁内角相等，不能判定直线平行于直线，
∴此选项符合题意；
D、∵对顶角相等、同位角相等，两直线平行，
∴∥，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、由作图痕迹，根据同位角相等，两直线平行可判断求解；
B、由作图痕迹，根据内错角相等，两直线平行可判断求解；
C、由作图痕迹，根据同旁内角相等，不能判断两直线平行可判断求解；
D、由作图痕迹，根据同位角相等，两直线平行可判断求解.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
∴
∴，
∴以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形，且边长a所对的角是．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根"可得关于a、b、c的整式，整理得，然后根据勾股定理的逆定理可判断三角形的形状．
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解∶在中，，约为，，
，即．
．
故答案为∶B．
【分析】在中，根据锐角三角函数tan∠ABC=可求解．
8．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；平移的性质
【解析】【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可．
垂直于河岸，，
连接，与另一条河岸相交于M，作直线，
由平移的性质，知，且，
根据“两点之间线段最短”，最短，即最短．
故方案一符合题意，方案二不是最短，
故答案为：A．
【分析】因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可，然后根据平移的性质即可求解．
9．【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：是二元一次方程的一个解，
将代入得：
，
解得：，
故答案为：2．
【分析】根据二元一次方程的解的定义"能使方程成立的未知数的值就是方程的解"可求解，把代入方程可得关于k的方程，解方程即可求解．
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意知，，
故答案为：．
【分析】提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
11．【答案】2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，
∴扇形的面积为： .
故答案为：2π.
【分析】根据扇形面积公式，代入数值进行计算即可.
12．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：过作轴于，过作轴于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，而，
∴的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：8．
【分析】过作轴于，过作轴于，连接，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得，可得，设，而，可得，然后根据梯形AEFB的面积可得关于k、a的方程，解方程即可求解．
13．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图1，
∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，，
∴，
由图可知：④⑥⑤都为等腰直角三角形，③是正方形，⑦是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
设该圆的圆心为I，连接，延长，交于一点J，与交于一点R，
由拼图可知：，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理可知：，
在中，由勾股定理可知：，
∴，
解得：，
∴，
∴；
故答案为．
【分析】如图，由题意得：MN=NP=PD=MD，∠MND=∠PND=∠MDN=∠PDN=∠DMO，，④⑥⑤都为等腰直角三角形，③是正方形，⑦是平行四边形，然后根据拼图前后可知BQ=QC，LT=LV，LU=LV+VU，TS=AT，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形JZUR是矩形，设IJ=x，在Rt△IQC中，用勾股定理可将IC2用含x的代数式表示出来，同理可将IA2用含x的代数式表示出来，根据IC=IA可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后把x的值代入IA2计算即可求解.
14．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”得（-1）0=1，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”得（）-1=-2，由特殊角的三角函数值可得cos45°=，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
15．【答案】解：原式
，
∵，
∴，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】将“1”看作，先利用同分母分式的减法法则计算括号内的部分，同时将除式的分子利用平方差公式分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法得出最简结果；根据分式的分母不为0，选取合适的a的值，代入化简结果计算即可.
16．【答案】（1），，
（2）解：∵抽取了名学生，
∴学生成绩的中位数由低到高为第名和第名学生成绩的平均数，
∴中位数落在组，
故答案为：；
补全频数分布直方图如下：
（3）解：，
答：估计成绩不低于分的学生有人．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由数据可知，抽取的学生人数为，
∴，，，
故答案为：，，；
【分析】
（）根据样本容量=频数÷频率求出抽取的学生人数，根据频数=样本容量×频率可求出m、n的值，根据频率=频数÷样本容量求出p的值；
（）根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”即可求解，再结合（）的结果可补全频数分布直方图；
（）用样本估计总体可求解．
（1）解：由数据可知，抽取的学生人数为，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）解：∵抽取了名学生，
∴学生成绩的中位数由低到高为第名和第名学生成绩的平均数，
∴中位数落在组，
故答案为：；
补全频数分布直方图如下：
（3）解：，
答：估计成绩不低于分的学生有人．
17．【答案】（1）解：设制作《希望的田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本万元．
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，且符合题意．
．
答：制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元．
（2）解：设制作《希望的田野》m集，则制作《指尖上的传承》集，
根据题意，得，
解得．
设该影视公司收益为w万元，
则．
，
w随m的增大而增大．
又，
当时，w取最大值，此时．
答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设制作《希望的田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本万元，根据“ 8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同 ”列分式方程解答即可；
（2）设制作《希望的田野》m集，根据题意列一元一次不等式，求出m的取值范围．设该影视公司收益为w万元，得到关于的关系式，利用一次函数的增减性解答即可．
（1）解：设制作《希望的田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本万元．
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，且符合题意．
．
答：制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元．
（2）解：设制作《希望的田野》m集，则制作《指尖上的传承》集，
根据题意，得，
解得．
设该影视公司收益为w万元，
则．
，
w随m的增大而增大．
又，
当时，w取最大值，此时．
答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大．
18．【答案】（1）证明：连接，如图，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
是的切线；
（2）解：如（1）图，，
又，，
，
，
的半径为6，，
，
，即，
又点为线段的中点，
，
，
，
．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可得，，结合和三角形内角和可得，然后根据圆的切线的判定可求解；
（2）结合（1）的结论，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由勾股定理可求得OE的值，于是可得关于DF的方程，解方程即可求解．
（1）证明：连接，如图，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
是的切线；
（2）解：如（1）图，，
又，，
，
，
的半径为6，，
，
，即，
又点为线段的中点，
，
，
，
．
19．【答案】（1），
（2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为，
∴点M纵坐标为，
当时，代入抛物线解析式得，
解得：（舍去），，
∴，即保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知：，，，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过，
∴当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
∵抛物线必经过平台，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】
（1）
解：过点F作轴于，过点E作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点F的坐标为，
∵，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵抛物线y轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
解得：，
∴抛物线的表达式为；
【分析】
（1）过点F作轴，过点E作，先求出，，然后用待定系数法即可求解；
（2）由平行于x轴和点N的坐标为可得点M的纵坐标为，把点M的纵坐标代入解析式可得关于x的一元二次方程，解方程求出点M的横坐标，根据MN的距离等于这两点的横坐标之差的绝对值即可求解；
（3）由发射点F不变，可得抛物线一定经过，由题意分两种情况：①抛物线经过，②抛物线经过，即可求解.
（1）解：过点F作轴于，过点E作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点F的坐标为，
∵，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵抛物线y轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为，
∴点M纵坐标为，
当时，代入抛物线解析式得，
解得：（舍去），，
∴，即保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知：，，，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过，
∴当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
∵抛物线必经过平台，
∴．
20．【答案】解：（1）如图，
∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形，
∴设，，
∴，，
∴，，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．
（2）如图，∵，
∴，，
，，
∴，
如图，
结合图形变换可得：；
（3）如图，∵将绕点逆时针旋转，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵为圆外一个定点，
∴当与相切时，最大，
∴，
∴，
由（2）可得：，
∵，，
∴
，
∴；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，
∴，，
再将沿方向平移，使与重合，如图，得，
由（2）可得：，
∴当三点共线时，最短，
∵，，
∴，，
∴；
∴的最小值为；
【知识点】切线的性质；圆内接正多边形；轴对称的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；
（2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案；
（3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可.
1 / 1
