四川省成都市石室天府中学2025年5月九年级数学模拟试题
1．（2025·成都模拟）四个有理数，1，0，，其中最小的数是（ ）
A． B．1 C．0 D．
2．（2025·成都模拟）如图是一个正方体的展开图，则与“争”字一面相对的字是（ ）
A．开 B．忠 C．先 D．勇
3．（2025·成都模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·成都模拟）如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·成都模拟）某小组名学生的中考体育分数单位分如下：，，，，，，，，则该组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．（2025·成都模拟）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（ ）
A．4 B．10 C． D．
7．（2025·成都模拟）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·成都模拟）如图，已知平行四边形的顶点，，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；③作射线，交边于点G，则点G的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·成都模拟）如果代数式有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2025·成都模拟）在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为 ．
11．（2025·成都模拟）如果抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为 ．
12．（2025·成都模拟）如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交CD于点P，则∠FPC的度数是 ．
13．（2025·成都模拟）如图，在中，，，点是的中点，连接，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ．
14．（2025·成都模拟）（1）计算∶ ；
（2）解不等式组：
15．（2025·成都模拟）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行共青团团史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
等级 成绩（） 频数 频率
A
B 20
C
D 4
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中___，___；
（2）若全校共有1200名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校成绩为A等级的学生人数为___；
（3）学校拟在成绩为100分的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽取两名学生参加市级比赛，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率．
16．（2025·成都模拟）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）
17．（2025·成都模拟）如图，是的外接圆，点在的延长线上，连接，作于点，交于点，且，连接．
（1）求证：是的切线；
（2），，求线段的长．
18．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点．
（1）求点坐标及反比例函数的表达式；
（2）连接，在反比例函数上取一点，满足求点的坐标；
（3）直线与轴交于点，在（2）的条件下，当点在点的右侧时，平面内是否存在点，使得，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2025·成都模拟）若，则代数式的值为 ．
20．（2025·成都模拟）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为 ．
21．（2025·成都模拟）如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，，，，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是 ．
22．（2025·成都模拟）如图，已知为等边三角形，边长为，，分别为边，上的动点，且满足，连接，，则的最小值为 ．
23．（2025·成都模拟）平面直角坐标系中，的半径为1，A、B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．若点A的坐标为，记线段到的“平移距离”为d，d的取值范围为 ．
24．（2025·成都模拟）某水果店购进了一批苹果和水蜜桃，两种水果总重量为，苹果的进价是水蜜桃进价的倍，苹果的进货费用为元，水密桃的进货费用为元．
（1）求苹果和水蜜桃的进价分别是多少元每千克；
（2）该水果店将这批苹果全部按14元每千克的价格售出．由于水蜜桃不易保存，水果店将这批水蜜桃的按12元每千克的价格售出后，剩余的水蜜桃降价销售，并全部售出．如果这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元，则水蜜桃降价销售的价格最少为多少元每千克？
25．（2025·成都模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧）其顶点为，是抛物线第四象限上一点．
（1）求点A，的坐标；
（2）如图2当时，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点A的直线与轴正半轴交于点，与抛物线交于点，将直接绕点A顺时针旋转使其与轴负半轴交于点，与抛物线交于点，若，试判断直线是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由．
26．（2025·成都模拟）如图1，在中，，点和点分别为边、边上一点，连接，以为直角边，在右侧构造，，连接，使得．
（1）如图2，若点与点重合，
①当时，线段与的数量关系是________，位置关系是________；
②当时，猜想、、之间的数量关系（用表示），并证明猜想．
（2）若点为中点，点为边上的动点，，，如果为等腰三角形，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴最小的数是．
故答案为：A．
【分析】根据有理数大小比较法则"正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小"并结合题意即可求解．
2．【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】
解：如图正方体的展开图，
∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“争”字与“勇”字相对.
故选：．
【分析】根据相对的面之间一定相隔一个正方形即可判断求解．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知x2和y3不是同类项，所以不能合并；
B、根据幂的乘方法则"幂的乘方，底数不变，指数相乘"可求解；
C、根据幂的乘方法则"幂的乘方，底数不变，指数相乘"和单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解；
D、根据同底数幂的除法法则"同底数幂相除，底数不变，指数相减"可求解.
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：B．
【分析】延长交于点，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠BKE、∠CBK的度数，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得∠KBE的度数，然后由角的和差即可求解．
5．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意可得：
42出现的次数最多为3次，故众数为：42
将数据按从小到大的顺序排列：39，40，40，42，42，42，43，44
最中间的两个数为：42和42
故中位数为：
故答案为：C
【分析】根据众数和中位数的定义即可求出答案。
6．【答案】B
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，
∴AB//EF，四边形∽四边形，
∴.
∵AB//EF，
∴△OEF∽△OAB.
又∵，
，
∴.
∵四边形ABCD的周长为25，
四边形的周长．
故答案为：B．
【分析】先根据位似的性质得AB//EF，四边形∽四边形，由相似得周长比=对应边的比，再有平行得△OEF∽△OAB，即可得的比，代入即可得周长比，继而可得四边形EFGH的周长.
7．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马天可追上慢马，此时慢马所行时间为（x+12）天，
由题意得
故选：D．
【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等得：快马追赶时间×快马速度=（慢马先行驶的时间+快马追赶时间）×慢马的速度，据此列出方程即可求解．
8．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图：
∵平行四边形的顶点，，
∴
∴，
∴中，，
由作图可知：平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】如图：在Rt△AOH中，由勾股定理即可求得OA的值，由角平分线的概念和平行线的性质可得，根据等角对等边可得，然后由线段的和差HG=AG-AH求出HG的值即可确定点G的坐标．
9．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件"被开方数为非负数，分式的分母不为0"可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
10．【答案】
【知识点】用坐标表示平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得点，
根据题意，点在直线上，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据点的坐标平移规律可得点平移后的点坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征，即可求得a的值．
11．【答案】(0，1)
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵的的对称轴是y轴，
∴，
解得：
∴抛物线为：，
将代入得：，
∴顶点坐标为．
故答案为：．
【分析】先根据的的对称轴是y轴求出b的值，再根据抛物线解析式求出顶点坐标。
12．【答案】112.5°
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
， ，
∵四边形BEFD为菱形，
∴BF平分∠EBD，
，
．
故答案为：．
【分析】正方形的性质“正方形的四个角都是直角；每条对角线平分一组对角”可得，，再根据菱形的性质“菱形的每条对角线平分一组对角”可得BF平分，所以，然后根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠FPC=∠PBC+∠BCP可求解.
13．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵，点是的中点，
∴，，
在中，，
∴线段与线段关于直线对称，
∴将关于对称得，则点落在线段上，过C作于点F，
∴，
∴，
，分别是，上的动点，
最小值为垂线段的值．
∵，，
∴，
即，
∴，
即
的最小值为．
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得，AD=AC，在Rt△ABD中，用勾股定理求得BD的值，将关于对称得，在三角形ABC中，用面积法可得关于CF的方程，解方程求出CF的值，根据垂线段最短可得：的最小值就是垂线段的值．
14．【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、并且去绝对值，然后进行加减乘除运算即可；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．求不等式组的解集时，同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.
15．【答案】（1）0.55；12
（2）解：（人．
估计该校成绩为等级的学生人数约为660人．
故答案为：660．
（3）解：解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名学生中至少有1人被选中的结果有10种，
∴甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：抽取的学生人数为（人，
，
等级的频数为，
．
故答案为：0.55；12．
【分析】
（1）由题意，根据样本容量=频数÷百分比可求得抽取的学生人数；根据频数=样本容量×百分比可求得n的值；根据频率=频数÷样本容量可求得m的值；
（2）根据用样本估计总体可求解；
（3）由题意，画出树状图，根据树状图的信息可得所有等可能的结果，以及甲、乙两名学生中至少有1人被选中的结果，再用概率公式可求解．
（1）解：抽取的学生人数为（人，
，
等级的频数为，
．
故答案为：0.55；12．
（2）解：（人．
估计该校成绩为等级的学生人数约为660人．
故答案为：660．
（3）解：解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名学生中至少有1人被选中的结果有10种，
∴甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率为．
16．【答案】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E，
根据题意可得：、垂直于水平面，，，，
∴，
∵米，
∴（米），
设米，则米，
∵，，
∴米，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
答：该风力发电机塔杆的高度为32米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得米，再根据矩形判定定理可得为矩形，则米，米，再根据线段之间的关系可得，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：连接，，如图，
，，
，
，
．
，
．
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知：，
，
，
．
．
．
．
，，
，
．
．
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，，由垂径定理可得，OE⊥AB，由圆周角定理可得∠C=∠AOB，由角的和差可得∠OAF=90°，然后根据圆的切线的判定定理即可求解；
（2）由直角三角形的边角关系定理可得sin∠AOF=，于是可求得OA的值，用勾股定理可求得的值，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△OAE∽△AEF，由相似三角形性质可得比例式求得线段的值，在Rt△BEF中，用勾股定理即可求解．
（1）证明：连接，，如图，
，，
，
，
．
，
．
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知：，
，
，
．
．
．
．
，，
，
．
．
．
18．【答案】（1）解：将点代入一次函数，得到，
一次函数的表达式为，
将点代入一次函数，得到，
点的坐标为，
再将点代入反比例函数，得到，
反比例函数的表达式为；
（2）解：连接，，，
①当点在点的右侧时，作轴，轴，如图：
都在反比例函数的图像上，
又轴，轴，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
②当点在点的左侧时，如图：
同理可得：，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
综上的坐标为或；
（3）解：由（2）可知，
由，可得，
，
，即，
设，
，
解得：或，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）先利用待定系数法求一次函数解析式，进而求出点坐标，即可代入求出反比例函数的表达式；
（2）连接，，，由题意分两种情况：①点在点的右侧，作轴，轴，②点在点的左侧，结合列关于x的方程，解方程并结合点P所在的位置即可求解；
（3）由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，即，用两点距离公式可得关于m、n的方程组，解方程组即可求解．
（1）解：将点代入一次函数，得到，
一次函数的表达式为，
将点代入一次函数，得到，
点的坐标为，
再将点代入反比例函数，得到，
反比例函数的表达式为；
（2）解：连接，，，
①当点在点的右侧时，作轴，轴，如图：
都在反比例函数的图像上，
又轴，轴，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
②当点在点的左侧时，如图：
同理可得：，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
综上的坐标为或；
（3）解：由（2）可知，
由，可得，
，
，即，
设，
，
解得：或，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，或．
19．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据等式得到，再把括号内分式通分，并把除法化为乘法，然后因式分解进行化简，最后再整体代入进行计算即可．
20．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，
即点B为黄金分割点，
设B点下方的琴弦长为，
且二胡的琴弦长为
则有，
解得，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义“把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5-1）：2”可得关于x的方程，解方程即可求解．
21．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：连接、交于点，设半径为1，
∵，，
∴为等边三角形，
∵为弦，为半径，
∴垂直平分，
在中，，，
，，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】连接、交于点，设圆的半径为1，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，根据垂径定理可得垂直平分，解直角三角形性质可得，，，求出，为，分别求出扇形和四边形面积，可求出阴影部分面积，再根据概率公式即可求出答案.
22．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为
设，
∵已知为等边三角形，边长为，
∴，
∴
∵，则
∴，
∴
∴
∴
当时，取得最小值，最小值为
∴的最小值为
故答案为：．
【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，设，根据等边三角形的性质，用勾股定理可用含x的代数式分别表示出，然后代入取得最小值，求最小值的算术平方根即可求解．
23．【答案】
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点A的坐标为，
，
线段的位置变换，可以看做是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在内找到与之平行，且长度为1的弦即可，
如图，当点在线段上时，取最小值，
如图，当点在线段的延长线上时，取最大值，
综上可知，d的取值范围为：，
故答案为：．
【分析】由题意知，点A到的距离最小时，d取最小值，点A到的距离最大时，d取最大值，由题意并结合线段的和差可求解．
24．【答案】（1）解：设水蜜桃的进价是x元每千克，则苹果的进价是元每千克，则
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
，
答：水蜜桃的进价是5元每千克，则苹果的进价是元每千克；
（2）解：水蜜桃降价销售的价格为m元，
，
解得，
答：水蜜桃降价销售的价格最少为7元每千克．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设水蜜桃的进价是x元每千克，则苹果的进价是元每千克，根据两种水果总重量为列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）水蜜桃降价销售的价格为m元，根据这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元列出关于m的不等式，解不等式即可求解．
25．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），
∴A，两点的横坐标为方程的解，
∵，
∴，解得：，
∴点A，的坐标分别为：；
（2）解：如图：当时，函数解析式为，
∴，顶点，
如图：过C作轴于点E，交于点F，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点F的坐标为，则，，
∴，即，解得：，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或（不合题意舍弃），
∴，
∴．
（3）解：由（2）可得：当时，函数解析式为，，
设直线的解析式为，
则，
即，
∴直线的解析式为，，
联立，解得：或（不合题意舍弃），
∴；
设直线的解析式为，
同理可得：、，
∵，
∴，解得：，
设直线的解析式为，
则，
①-②可得，
，
，
∵，
∴，
把代入可得：
，
，
，
∴∴直线的解析式为，整理得：
∴当，即时，，
∴直线经过定点．
【知识点】解直角三角形；旋转的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】
（1）由题意，令二次函数的解析式中y=0可得关于x的方程，解方程求出x的值，即为A、B两点的横坐标；
（2）根据二次函数的对称轴x=可得，顶点，如图：过C作轴于点E，交于点F，则，根据锐角三角函数可得，即，由等角对等边可得；设点F的坐标为，由两点间的距离公式可得关于f的方程，解方程求出f的值，则可得点F的坐标；再用待定系数法求得直线的解析式，然后将抛物线解析式和直线AF的解析式联立解方程组即可求解；
（3）由（2）可得：当时，函数解析式为，，设直线的解析式为可得直线的解析式为、，再与抛物线解析式联立可得；设直线的解析式为，同理可得：、，；再由可得；再运用待定系数法求得直线的解析式进行分析即可求解．
（1）解：∵抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），
∴A，两点的横坐标为方程的解，
∵，
∴，解得：，
∴点A，的坐标分别为：．
（2）解：如图：当时，函数解析式为，
∴，顶点，
如图：过C作轴于点E，交于点F，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点F的坐标为，则，，
∴，即，解得：，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或（不合题意舍弃），
∴，
∴．
（3）解：由（2）可得：当时，函数解析式为，，
设直线的解析式为，则，即，
∴直线的解析式为，，
联立，解得：或（不合题意舍弃），
∴；
设直线的解析式为，
同理可得：、，
∵，
∴，解得：，
设直线的解析式为，
则，
①-②可得，
，
，
∵，
∴，
把代入可得：
，
，
，
∴∴直线的解析式为，整理得：
∴当，即时，，
∴直线经过定点．
26．【答案】（1）①；
②，证明如下：
当时，
∵，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴，即
在中，
∴
∴
∴
即；
（2）解：如图，取的中点，连接，
∵在中，，
∴
∴，
∵分别为的中点，
∴，，\
∴
∴
∴
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∵为等腰三角形，
①当时，
当在店的左侧时，如图，
∴，
当在点的右侧时，
，
②当时，如图，
∵
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
③当时，
∴，
综上所述，的长为或或或
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】
（1）
解：①当时，则，为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∵
∴，即
故答案为：．
【分析】
（1）①当时，则，为等腰直角三角形，由题意，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得AD=BF；由角的和差∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，由垂线的定义可得BF⊥AD；
②，证明如下，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式；同理可得，根据锐角三角函数可得，根据并结合比例式即可求解；
（2）取的中点，连接，根据"两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似"可
证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据等腰三角形的性质可分三种情况：①当时，当在店的左侧时；当在点的右侧时；②当时；③当时结合等腰三角形的定义即可求解．
（1）解：①当时，则，为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∵
∴，即
故答案为：．
②，证明如下，
当时，
∵，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴，即
在中，
∴
∴
∴
即；
（2）解：如图，取的中点，连接，
∵在中，，
∴
∴，
∵分别为的中点，
∴，，\
∴
∴
∴
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∵为等腰三角形，
①当时，
当在店的左侧时，如图，
∴，
当在点的右侧时，
，
②当时，如图，
∵
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
③当时，
∴，
综上所述，的长为或或或
1 / 1四川省成都市石室天府中学2025年5月九年级数学模拟试题
1．（2025·成都模拟）四个有理数，1，0，，其中最小的数是（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴最小的数是．
故答案为：A．
【分析】根据有理数大小比较法则"正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小"并结合题意即可求解．
2．（2025·成都模拟）如图是一个正方体的展开图，则与“争”字一面相对的字是（ ）
A．开 B．忠 C．先 D．勇
【答案】D
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】
解：如图正方体的展开图，
∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“争”字与“勇”字相对.
故选：．
【分析】根据相对的面之间一定相隔一个正方形即可判断求解．
3．（2025·成都模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知x2和y3不是同类项，所以不能合并；
B、根据幂的乘方法则"幂的乘方，底数不变，指数相乘"可求解；
C、根据幂的乘方法则"幂的乘方，底数不变，指数相乘"和单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解；
D、根据同底数幂的除法法则"同底数幂相除，底数不变，指数相减"可求解.
4．（2025·成都模拟）如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：B．
【分析】延长交于点，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠BKE、∠CBK的度数，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得∠KBE的度数，然后由角的和差即可求解．
5．（2025·成都模拟）某小组名学生的中考体育分数单位分如下：，，，，，，，，则该组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意可得：
42出现的次数最多为3次，故众数为：42
将数据按从小到大的顺序排列：39，40，40，42，42，42，43，44
最中间的两个数为：42和42
故中位数为：
故答案为：C
【分析】根据众数和中位数的定义即可求出答案。
6．（2025·成都模拟）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（ ）
A．4 B．10 C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，
∴AB//EF，四边形∽四边形，
∴.
∵AB//EF，
∴△OEF∽△OAB.
又∵，
，
∴.
∵四边形ABCD的周长为25，
四边形的周长．
故答案为：B．
【分析】先根据位似的性质得AB//EF，四边形∽四边形，由相似得周长比=对应边的比，再有平行得△OEF∽△OAB，即可得的比，代入即可得周长比，继而可得四边形EFGH的周长.
7．（2025·成都模拟）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马天可追上慢马，此时慢马所行时间为（x+12）天，
由题意得
故选：D．
【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等得：快马追赶时间×快马速度=（慢马先行驶的时间+快马追赶时间）×慢马的速度，据此列出方程即可求解．
8．（2025·成都模拟）如图，已知平行四边形的顶点，，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；③作射线，交边于点G，则点G的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图：
∵平行四边形的顶点，，
∴
∴，
∴中，，
由作图可知：平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】如图：在Rt△AOH中，由勾股定理即可求得OA的值，由角平分线的概念和平行线的性质可得，根据等角对等边可得，然后由线段的和差HG=AG-AH求出HG的值即可确定点G的坐标．
9．（2025·成都模拟）如果代数式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件"被开方数为非负数，分式的分母不为0"可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
10．（2025·成都模拟）在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为 ．
【答案】
【知识点】用坐标表示平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得点，
根据题意，点在直线上，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据点的坐标平移规律可得点平移后的点坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征，即可求得a的值．
11．（2025·成都模拟）如果抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为 ．
【答案】(0，1)
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵的的对称轴是y轴，
∴，
解得：
∴抛物线为：，
将代入得：，
∴顶点坐标为．
故答案为：．
【分析】先根据的的对称轴是y轴求出b的值，再根据抛物线解析式求出顶点坐标。
12．（2025·成都模拟）如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交CD于点P，则∠FPC的度数是 ．
【答案】112.5°
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
， ，
∵四边形BEFD为菱形，
∴BF平分∠EBD，
，
．
故答案为：．
【分析】正方形的性质“正方形的四个角都是直角；每条对角线平分一组对角”可得，，再根据菱形的性质“菱形的每条对角线平分一组对角”可得BF平分，所以，然后根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠FPC=∠PBC+∠BCP可求解.
13．（2025·成都模拟）如图，在中，，，点是的中点，连接，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵，点是的中点，
∴，，
在中，，
∴线段与线段关于直线对称，
∴将关于对称得，则点落在线段上，过C作于点F，
∴，
∴，
，分别是，上的动点，
最小值为垂线段的值．
∵，，
∴，
即，
∴，
即
的最小值为．
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得，AD=AC，在Rt△ABD中，用勾股定理求得BD的值，将关于对称得，在三角形ABC中，用面积法可得关于CF的方程，解方程求出CF的值，根据垂线段最短可得：的最小值就是垂线段的值．
14．（2025·成都模拟）（1）计算∶ ；
（2）解不等式组：
【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、并且去绝对值，然后进行加减乘除运算即可；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．求不等式组的解集时，同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.
15．（2025·成都模拟）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行共青团团史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
等级 成绩（） 频数 频率
A
B 20
C
D 4
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中___，___；
（2）若全校共有1200名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校成绩为A等级的学生人数为___；
（3）学校拟在成绩为100分的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽取两名学生参加市级比赛，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率．
【答案】（1）0.55；12
（2）解：（人．
估计该校成绩为等级的学生人数约为660人．
故答案为：660．
（3）解：解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名学生中至少有1人被选中的结果有10种，
∴甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：抽取的学生人数为（人，
，
等级的频数为，
．
故答案为：0.55；12．
【分析】
（1）由题意，根据样本容量=频数÷百分比可求得抽取的学生人数；根据频数=样本容量×百分比可求得n的值；根据频率=频数÷样本容量可求得m的值；
（2）根据用样本估计总体可求解；
（3）由题意，画出树状图，根据树状图的信息可得所有等可能的结果，以及甲、乙两名学生中至少有1人被选中的结果，再用概率公式可求解．
（1）解：抽取的学生人数为（人，
，
等级的频数为，
．
故答案为：0.55；12．
（2）解：（人．
估计该校成绩为等级的学生人数约为660人．
故答案为：660．
（3）解：解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名学生中至少有1人被选中的结果有10种，
∴甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率为．
16．（2025·成都模拟）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）
【答案】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E，
根据题意可得：、垂直于水平面，，，，
∴，
∵米，
∴（米），
设米，则米，
∵，，
∴米，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
答：该风力发电机塔杆的高度为32米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得米，再根据矩形判定定理可得为矩形，则米，米，再根据线段之间的关系可得，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
17．（2025·成都模拟）如图，是的外接圆，点在的延长线上，连接，作于点，交于点，且，连接．
（1）求证：是的切线；
（2），，求线段的长．
【答案】（1）证明：连接，，如图，
，，
，
，
．
，
．
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知：，
，
，
．
．
．
．
，，
，
．
．
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，，由垂径定理可得，OE⊥AB，由圆周角定理可得∠C=∠AOB，由角的和差可得∠OAF=90°，然后根据圆的切线的判定定理即可求解；
（2）由直角三角形的边角关系定理可得sin∠AOF=，于是可求得OA的值，用勾股定理可求得的值，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△OAE∽△AEF，由相似三角形性质可得比例式求得线段的值，在Rt△BEF中，用勾股定理即可求解．
（1）证明：连接，，如图，
，，
，
，
．
，
．
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知：，
，
，
．
．
．
．
，，
，
．
．
．
18．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点．
（1）求点坐标及反比例函数的表达式；
（2）连接，在反比例函数上取一点，满足求点的坐标；
（3）直线与轴交于点，在（2）的条件下，当点在点的右侧时，平面内是否存在点，使得，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点代入一次函数，得到，
一次函数的表达式为，
将点代入一次函数，得到，
点的坐标为，
再将点代入反比例函数，得到，
反比例函数的表达式为；
（2）解：连接，，，
①当点在点的右侧时，作轴，轴，如图：
都在反比例函数的图像上，
又轴，轴，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
②当点在点的左侧时，如图：
同理可得：，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
综上的坐标为或；
（3）解：由（2）可知，
由，可得，
，
，即，
设，
，
解得：或，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）先利用待定系数法求一次函数解析式，进而求出点坐标，即可代入求出反比例函数的表达式；
（2）连接，，，由题意分两种情况：①点在点的右侧，作轴，轴，②点在点的左侧，结合列关于x的方程，解方程并结合点P所在的位置即可求解；
（3）由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，即，用两点距离公式可得关于m、n的方程组，解方程组即可求解．
（1）解：将点代入一次函数，得到，
一次函数的表达式为，
将点代入一次函数，得到，
点的坐标为，
再将点代入反比例函数，得到，
反比例函数的表达式为；
（2）解：连接，，，
①当点在点的右侧时，作轴，轴，如图：
都在反比例函数的图像上，
又轴，轴，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
②当点在点的左侧时，如图：
同理可得：，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
综上的坐标为或；
（3）解：由（2）可知，
由，可得，
，
，即，
设，
，
解得：或，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，或．
19．（2025·成都模拟）若，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据等式得到，再把括号内分式通分，并把除法化为乘法，然后因式分解进行化简，最后再整体代入进行计算即可．
20．（2025·成都模拟）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，
即点B为黄金分割点，
设B点下方的琴弦长为，
且二胡的琴弦长为
则有，
解得，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义“把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5-1）：2”可得关于x的方程，解方程即可求解．
21．（2025·成都模拟）如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，，，，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：连接、交于点，设半径为1，
∵，，
∴为等边三角形，
∵为弦，为半径，
∴垂直平分，
在中，，，
，，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】连接、交于点，设圆的半径为1，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，根据垂径定理可得垂直平分，解直角三角形性质可得，，，求出，为，分别求出扇形和四边形面积，可求出阴影部分面积，再根据概率公式即可求出答案.
22．（2025·成都模拟）如图，已知为等边三角形，边长为，，分别为边，上的动点，且满足，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为
设，
∵已知为等边三角形，边长为，
∴，
∴
∵，则
∴，
∴
∴
∴
当时，取得最小值，最小值为
∴的最小值为
故答案为：．
【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，设，根据等边三角形的性质，用勾股定理可用含x的代数式分别表示出，然后代入取得最小值，求最小值的算术平方根即可求解．
23．（2025·成都模拟）平面直角坐标系中，的半径为1，A、B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．若点A的坐标为，记线段到的“平移距离”为d，d的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点A的坐标为，
，
线段的位置变换，可以看做是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在内找到与之平行，且长度为1的弦即可，
如图，当点在线段上时，取最小值，
如图，当点在线段的延长线上时，取最大值，
综上可知，d的取值范围为：，
故答案为：．
【分析】由题意知，点A到的距离最小时，d取最小值，点A到的距离最大时，d取最大值，由题意并结合线段的和差可求解．
24．（2025·成都模拟）某水果店购进了一批苹果和水蜜桃，两种水果总重量为，苹果的进价是水蜜桃进价的倍，苹果的进货费用为元，水密桃的进货费用为元．
（1）求苹果和水蜜桃的进价分别是多少元每千克；
（2）该水果店将这批苹果全部按14元每千克的价格售出．由于水蜜桃不易保存，水果店将这批水蜜桃的按12元每千克的价格售出后，剩余的水蜜桃降价销售，并全部售出．如果这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元，则水蜜桃降价销售的价格最少为多少元每千克？
【答案】（1）解：设水蜜桃的进价是x元每千克，则苹果的进价是元每千克，则
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
，
答：水蜜桃的进价是5元每千克，则苹果的进价是元每千克；
（2）解：水蜜桃降价销售的价格为m元，
，
解得，
答：水蜜桃降价销售的价格最少为7元每千克．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设水蜜桃的进价是x元每千克，则苹果的进价是元每千克，根据两种水果总重量为列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解；
（2）水蜜桃降价销售的价格为m元，根据这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元列出关于m的不等式，解不等式即可求解．
25．（2025·成都模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧）其顶点为，是抛物线第四象限上一点．
（1）求点A，的坐标；
（2）如图2当时，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点A的直线与轴正半轴交于点，与抛物线交于点，将直接绕点A顺时针旋转使其与轴负半轴交于点，与抛物线交于点，若，试判断直线是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），
∴A，两点的横坐标为方程的解，
∵，
∴，解得：，
∴点A，的坐标分别为：；
（2）解：如图：当时，函数解析式为，
∴，顶点，
如图：过C作轴于点E，交于点F，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点F的坐标为，则，，
∴，即，解得：，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或（不合题意舍弃），
∴，
∴．
（3）解：由（2）可得：当时，函数解析式为，，
设直线的解析式为，
则，
即，
∴直线的解析式为，，
联立，解得：或（不合题意舍弃），
∴；
设直线的解析式为，
同理可得：、，
∵，
∴，解得：，
设直线的解析式为，
则，
①-②可得，
，
，
∵，
∴，
把代入可得：
，
，
，
∴∴直线的解析式为，整理得：
∴当，即时，，
∴直线经过定点．
【知识点】解直角三角形；旋转的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】
（1）由题意，令二次函数的解析式中y=0可得关于x的方程，解方程求出x的值，即为A、B两点的横坐标；
（2）根据二次函数的对称轴x=可得，顶点，如图：过C作轴于点E，交于点F，则，根据锐角三角函数可得，即，由等角对等边可得；设点F的坐标为，由两点间的距离公式可得关于f的方程，解方程求出f的值，则可得点F的坐标；再用待定系数法求得直线的解析式，然后将抛物线解析式和直线AF的解析式联立解方程组即可求解；
（3）由（2）可得：当时，函数解析式为，，设直线的解析式为可得直线的解析式为、，再与抛物线解析式联立可得；设直线的解析式为，同理可得：、，；再由可得；再运用待定系数法求得直线的解析式进行分析即可求解．
（1）解：∵抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），
∴A，两点的横坐标为方程的解，
∵，
∴，解得：，
∴点A，的坐标分别为：．
（2）解：如图：当时，函数解析式为，
∴，顶点，
如图：过C作轴于点E，交于点F，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点F的坐标为，则，，
∴，即，解得：，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或（不合题意舍弃），
∴，
∴．
（3）解：由（2）可得：当时，函数解析式为，，
设直线的解析式为，则，即，
∴直线的解析式为，，
联立，解得：或（不合题意舍弃），
∴；
设直线的解析式为，
同理可得：、，
∵，
∴，解得：，
设直线的解析式为，
则，
①-②可得，
，
，
∵，
∴，
把代入可得：
，
，
，
∴∴直线的解析式为，整理得：
∴当，即时，，
∴直线经过定点．
26．（2025·成都模拟）如图1，在中，，点和点分别为边、边上一点，连接，以为直角边，在右侧构造，，连接，使得．
（1）如图2，若点与点重合，
①当时，线段与的数量关系是________，位置关系是________；
②当时，猜想、、之间的数量关系（用表示），并证明猜想．
（2）若点为中点，点为边上的动点，，，如果为等腰三角形，求的长．
【答案】（1）①；
②，证明如下：
当时，
∵，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴，即
在中，
∴
∴
∴
即；
（2）解：如图，取的中点，连接，
∵在中，，
∴
∴，
∵分别为的中点，
∴，，\
∴
∴
∴
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∵为等腰三角形，
①当时，
当在店的左侧时，如图，
∴，
当在点的右侧时，
，
②当时，如图，
∵
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
③当时，
∴，
综上所述，的长为或或或
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】
（1）
解：①当时，则，为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∵
∴，即
故答案为：．
【分析】
（1）①当时，则，为等腰直角三角形，由题意，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得AD=BF；由角的和差∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，由垂线的定义可得BF⊥AD；
②，证明如下，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式；同理可得，根据锐角三角函数可得，根据并结合比例式即可求解；
（2）取的中点，连接，根据"两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似"可
证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据等腰三角形的性质可分三种情况：①当时，当在店的左侧时；当在点的右侧时；②当时；③当时结合等腰三角形的定义即可求解．
（1）解：①当时，则，为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∵
∴，即
故答案为：．
②，证明如下，
当时，
∵，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴，即
在中，
∴
∴
∴
即；
（2）解：如图，取的中点，连接，
∵在中，，
∴
∴，
∵分别为的中点，
∴，，\
∴
∴
∴
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∵为等腰三角形，
①当时，
当在店的左侧时，如图，
∴，
当在点的右侧时，
，
②当时，如图，
∵
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
③当时，
∴，
综上所述，的长为或或或
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