广东省深圳市松岗中学2025年中考三模数学试卷
1．（2025·深圳三模）以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·深圳三模）每年3月21日为“国际森林日”，提醒着人们对森林问题的关注，善待森林即善待人类自己．根据官方数据，深圳市森林碳储量为217.03万吨，将“217.03万”用科学记数法表示为（ ）
A．21.703×104 B．2.1703×105 C．2.1703×106 D．2.1703×107
3．（2025·深圳三模）下列各式计算正确的是（ ）
A．2a（a+1）＝2a2+2a B．a3+a2＝a5
C．（﹣ab2）3＝a3b6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．（2025·深圳三模）2025年是乙巳年，其中“乙”是天干，“巳”是地支．天干地支纪年法起源于古代中国的历法制定，用于记录年份、月份、日期等时间单位，由十个天干和十二个地支组成．天干包括甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．地支包括子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戍、亥．从“天干”中抽一个，抽到“乙”的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·深圳三模）如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，发现水平放置的水杯底部有一束光线从水中射向空气时要发生折射．当入射光线和水杯的底面成75°，折射光线与水杯口平面成65°时，∠1的度数是（ ）
A．155° B．160° C．165° D．170°
6．（2025·深圳三模）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．（2025·深圳三模）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（x＞8），则x的值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
8．（2025·深圳三模）如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·深圳三模）若关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的一个根是3，则a的值为 ．
10．（2025·深圳三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm．将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，则EB的长为 cm．
11．（2025·深圳三模）如图，以正方形ABCD顶点A为圆心，对角线AC为半径作弧交边AD延长线于点E，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
12．（2025·深圳三模）把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为 ．
13．（2025·深圳三模）如图，在 ABCD中，∠B＝135°，ABBC，将△ABC沿对角线AC翻折至△EAC，AE与CD相交于点F，连接DE，则的值为 ．
14．（2025·深圳三模）计算：．
15．（2025·深圳三模）先化简，再求值：，其中．
16．（2025·深圳三模）青少年是祖国的未来，民族的希望，有效保护、积极促进青少年身心健康成长十分重要．某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图：
组别 体重（kg） 频数（人）
A 39.5～46.5 2
B 46.5～53.5 a
C 53.5～60.5 8
D 60.5～67.5 5
E 67.5～74.5 4
已知C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ▲ ，所抽取学生体重的中位数是 ▲ ；
（2）所抽取学生平均体重为58.8kg，小敏的体重是57kg小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由．
（3）如果该校九年级有600名学生，请估算九年级体重高于60.5kg的学生大约有多少人？
17．（2025·深圳三模）“滨滨”和“妮妮”是2025年第九届亚洲冬季运动会的吉祥物．某亚冬会官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“滨滨”和“妮妮”手办，连续两个月的销售情况如表：
月份 销售量/个 销售额/元
滨滨 妮妮
1月 80 50 6800
2月 100 60 8400
（1）求该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价；
（2）为了扩大销量，增加盈利，该店对两种手办进行降价促销，其中“滨滨”手办八折销售，“妮妮”手办七五折销售，某学校欲购买若干个“滨滨”和“妮妮”手办作为亚冬会知识竞赛活动的奖品，且“滨滨”手办的数量恰好是“妮妮”手办数量的2倍，若总费用不超过1300元，那么该校最多可购买多少个“滨滨”手办？
18．（2025·深圳三模）在正方形中，O为对角线的中点，点E是对角线上的动点，连接，点F在直线上（点F不与点D重合），连接，．
（1）如图1，当E在线段上时，求证：；
（2）如图2，若，当E在线段上，且时，求的长．
19．（2025·深圳三模）项目式学习：圆弧在建筑中的应用
项目主题：圆弧在建筑中的应用
素材1 我国历史上著名的赵州桥，是现存世界上跨径最大、建造最早的单肩石拱桥，这是单圆弧设计在我国古代建筑中的一种成功典范．如图1，赵州桥主桥拱成圆弧形，跨度约37m，拱高约7m．
素材2 在西方建筑中，也有很多应用圆弧设计的元素．例如巴黎圣母院是典型的哥特式建筑．如图2，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做两心尖拱．其中，点A、B称为起拱处，点C称为拱尖，C到AB的距离CD称为拱高．两心尖拱的几何特征就是、的圆心落在直线AB上．
素材3 如图3是古塔建筑中的方圆设计，寓意天圆地方．据古塔示意图，以塔底座宽AB为边作正方形ABCD（图4），塔高AF＝AC，分别以点A，B为圆心，AF为半径作圆弧，交于点G．正方形ABCD内部由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．
问题解决
任务1 确定半径 （1）图1中赵州桥主桥拱半径R约为 m．（结果保留整数）
任务2 计算拱高 （2）①请根据两心圆拱的几何特征利用尺规作出图2中、的圆心M、N．（不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若MN＝2m，AB＝3m，求拱高CD．
任务3 计算比值 （3）如图4，若点G落在AM的延长线上，连接GP交DQ于点T，则的值为 ．
20．（2025·深圳三模）【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF＝2OG．
（3）【迁移应用】
记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．
（4）【拓展延伸】
若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B该图形是轴对称图形，符合题意；
C该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
3．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
∴A选项的运算正确，符合题意；
与 不是同类项，不能合并，
∴ B选项的运算不正确，不符合题意；
∴C选项的运算不正确，不符合题意；
∴ D选项的运算不正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用单项式乘多项式的法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质，完全平方公式对每个选项的运算进行逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽到“乙”的概率是：
故答案为：B.
【分析】根据天干中一共有10个，所以用抽到“乙”的一种情况除以总数即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵水面与底面平行，
又
∵水面与水杯口的平面平行，
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质，分别求出∠2和∠3的度数即可解决问题.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得，，，
∴，
，
，
，
点，之间的距离减少了，
故答案为：B．
【分析】连接BD，先证出，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出BD的长，最后求解即可.
7．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由一组调和数：x，8，得
移项，得
合并同类项，得
解得
经检验： 是原分式方程的解.
故答案为：20.
【分析】根据调和数的关系，可得分式方程，根据解分式方程， 可得答案.可解决问题.
8．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接，如图：
由作图痕迹可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，则
；
故选：A．
【分析】连接，由垂直平分线的性质和勾股定理求出，然后得到，再根据勾股定理求出即可．
9．【答案】6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把 代入方程： 得
解得
故答案为： 6.
【分析】把 代入方程得关于a的方程 然后解关于a的方程即可.
10．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设
∵矩形ABCD沿EF折叠， 点A与点C重合，
则
∵ABCD是矩形，
又
解方程得
即EB的长为3cm.
故答案为： 3.
【分析】设 则 ，根据勾股定理列出关于x的方程 解方程得出 EB的长即可得解.
11．【答案】4π﹣8
【知识点】勾股定理；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴阴影的面积 ，
故答案为：
【分析】根据四边形ABCD是正方形，可得，结合扇形面积公式即可求出阴影的面积.
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
13．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J， 过点D作DK⊥AC于K.
∵∠ABC = 135°，
∴∠CBT = 45°，
∵CT⊥BT，
∴CT =BT，
设CT = BT =m， 则.
∴AB=2m，
∴AT=AB+BT=3m，
∵∠BAJ =∠CAT， ∠AJB=∠T =90°，
，
在 和 中，
∵四边形DEJK是矩形，
，
故答案为：
【分析】如图，过点C作 交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J， 过点D作于K.设 想办法求出DE，AC(用m表示)即可解决问题.
14．【答案】解：
＝2+23+1﹣2
＝2+23+1
．
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零指数幂、绝对值和立方根简、特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可.
15．【答案】解：∵a3，
∴a2+1＝3a，即a2﹣3a＝﹣1，
原式＝[]
＝[]
∵a2﹣3a＝﹣1，
∴原式1．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先把 化为 的形式，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把 代入进行计算即可..
16．【答案】（1）6，56；
（2）解：不正确．
因为小敏的体重57kg是高于中位数56kg，
所以小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平，
故小敏的推测不正确；
（3）解：，
答：估计九年级体重高于60.5kg的学生大约有216人．
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：调查的总人数为2÷8%＝25（人），
∴a＝25﹣2﹣8﹣5﹣4＝6，
∵一共调查了25人，
∴中位数是第13人的体重，
又A组2人，B组6人，C组8人，
∴中位数在C组，
∵C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60，
∴中位数为56，
故答案为：6，56；
【分析】(1)利用A组的人数除以对应的百分数，求出总人数，然后用总人数减去其余各组人数即可求出a的值，根据中位数的定义求解即可；
(2)根据中位数判断即可；
(3)用总人数乘以高于60.5kg所占的百分比即可求解.
17．【答案】（1）设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为x元和y元，则 ，
解得，
答：该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为60元和40元．
（2）设购买a个“妮妮”手办，则购买2a个“滨滨”手办，由题意得60×0.8×2a+40×0.75×a≤1300，
解得a，
∵a为正整数，
∴a≤10，
答：最多可以购买20个“滨滨”手办．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为x元和y元，根据题意列方程组即可得到结论；
(2)设购买a个“妮妮”手办，则购买2a个“滨滨”手办，根据题意列不等式，即可得到结论.
18．【答案】（1）解：如图1，过点作于点， 于点．
四边形是正方形， ，
又点E是对角线上的点，，
，．
和 都是等腰直角三角形，即 ，，
，
四边形是正方形．
在和中，，，
，．
，，即，
．
（2）解：如图2，连接，过E作于H．
∵四边形为正方形，点E是对角线上的点，
，，，，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴．
又∵，∴，
∴是等腰三角形，
∴．
在中
，
设，
在中
，
则，，
∴，，，．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）过点作于点， 于点，即可得到是正方形，然后利用“”得到，即可得到，进而推出证明结论；
（2）连接，过E作于H．即可得到出是等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出，设，根据列方程求出的值，解答即可．
（1）解：如图1，过点作于点， 于点．
四边形是正方形， ，
又点E是对角线上的点，，
，．
和 都是等腰直角三角形，即 ，，
，
四边形是正方形．
在和中，，，
，．
，，即，
．
（2）解：如图2，连接，过E作于H．
∵四边形为正方形，点E是对角线上的点，
，，，，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴．
又∵，∴，
∴是等腰三角形，
∴．
在中
，
设，
在中
，
则，，
∴，，，．
19．【答案】解：⑴28
⑵①如图1，点M、点N即为所求；
作法提示：分别作AC和BC的垂直平分线与AB交于点M、N；
②如图2，连接CN、CM，
∵AB＝3m，MN＝2m∴AD＝BD＝1.5m，DM＝DN＝1m，AN＝BM＝0.5m，
∴NC＝NB＝2.5m，
在Rt△CDN中，CDm，
答：拱高CD为m．
⑶
【知识点】勾股定理；垂径定理；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，设主桥拱半径为R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BDAB（m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，解得R28，
故答案为：28；
（3）解：如图3，连接BG、AC，过点G作GH⊥AB，GK⊥AF垂足分别为H、K，
∴四边形AHGK是矩形，
∴AH＝KG，设正方形边长为a，由题意可知：AG＝BG＝ACa，∠DMA＝∠MNB＝90°，
∴GH⊥AB，AH＝HB＝KGa，MT∥NB，
∵∠KAG＝∠MAD，∠DMA＝∠GKA＝90°，
∴△KAG∽△MAD，
∴，
∴DM，
∵AM，
∴MG＝AG﹣AMa，
∵△AMD≌△BNA，
∴AN＝DM，
∴NG＝AG﹣ANaaa，
又∵MT∥NB，
∴．
故答案为：．
【分析】
(1)根据垂径定理可得 设半径，建立勾股方程求解即可；
(2)①分别作AC和BC的垂直平分线与AB交于点M、N；
②由题易得 ，进而可知半径 再利用勾股定理求解即可；
(3)连接BG、AC， 过点G作( 垂足分别为H、K，设正方形边长为a，易得 证 求得 利用勾股定理求得 继而利用线段和差得到然后求出最后利用平行线分线段成比例即可得解.
20．【答案】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF＝∠AHG＝90°，
∵AH＝AH，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴AF＝AG，
∴△AFG是等腰三角形．
（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠OGL，
∴∠OGL＝∠OLG，
∴OG＝OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OD，
∴BF＝2OL，
∴BF＝2OG．
（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，
∵∠DAK＝∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
∴，
∵S1 OG DK，S2 BF AD，
又∵BF＝2OG，，
∴，设CD＝2x，AC＝3x，则ADx，
∴．
（4）解：设OG＝a，AG＝k．
①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE，
由题意：102aAD （k+2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2+4ka，
∴k＝2a，
∴AD＝2a，
∴BEa，AB＝4a，
∴tan∠BAE．
②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE，
由题意：102aAD （k﹣2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2﹣4ka，
∴ka，
∴ADa，
∴BEa，ABa，
∴tan∠BAE，
综上所述，tan∠BAE的值为或．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)如图1中， 是等腰三角形.利用全等三角形的性质证明即可；
(2)如图2中， 过点O作 交DF于L， 则 首先证明 再证明 即可解决问题；
(3)如图3中， 过点D作 则 ，利用相似三角形的性质解决问题即可.
（4）设OG＝a，AG＝k．分为点F在线段AB上时，点G在OA上或点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上两种情况，连接EF，利用勾股定理表示AD2，然后证明△ABE∽△DAF，根据对应边成比例求出k与a的关系，进而求出AD和BE长，再根据正切的定义解答即可.
1 / 1广东省深圳市松岗中学2025年中考三模数学试卷
1．（2025·深圳三模）以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B该图形是轴对称图形，符合题意；
C该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．（2025·深圳三模）每年3月21日为“国际森林日”，提醒着人们对森林问题的关注，善待森林即善待人类自己．根据官方数据，深圳市森林碳储量为217.03万吨，将“217.03万”用科学记数法表示为（ ）
A．21.703×104 B．2.1703×105 C．2.1703×106 D．2.1703×107
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
3．（2025·深圳三模）下列各式计算正确的是（ ）
A．2a（a+1）＝2a2+2a B．a3+a2＝a5
C．（﹣ab2）3＝a3b6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
∴A选项的运算正确，符合题意；
与 不是同类项，不能合并，
∴ B选项的运算不正确，不符合题意；
∴C选项的运算不正确，不符合题意；
∴ D选项的运算不正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用单项式乘多项式的法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质，完全平方公式对每个选项的运算进行逐一判断即可.
4．（2025·深圳三模）2025年是乙巳年，其中“乙”是天干，“巳”是地支．天干地支纪年法起源于古代中国的历法制定，用于记录年份、月份、日期等时间单位，由十个天干和十二个地支组成．天干包括甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．地支包括子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戍、亥．从“天干”中抽一个，抽到“乙”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽到“乙”的概率是：
故答案为：B.
【分析】根据天干中一共有10个，所以用抽到“乙”的一种情况除以总数即可.
5．（2025·深圳三模）如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，发现水平放置的水杯底部有一束光线从水中射向空气时要发生折射．当入射光线和水杯的底面成75°，折射光线与水杯口平面成65°时，∠1的度数是（ ）
A．155° B．160° C．165° D．170°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵水面与底面平行，
又
∵水面与水杯口的平面平行，
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质，分别求出∠2和∠3的度数即可解决问题.
6．（2025·深圳三模）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得，，，
∴，
，
，
，
点，之间的距离减少了，
故答案为：B．
【分析】连接BD，先证出，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出BD的长，最后求解即可.
7．（2025·深圳三模）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（x＞8），则x的值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由一组调和数：x，8，得
移项，得
合并同类项，得
解得
经检验： 是原分式方程的解.
故答案为：20.
【分析】根据调和数的关系，可得分式方程，根据解分式方程， 可得答案.可解决问题.
8．（2025·深圳三模）如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接，如图：
由作图痕迹可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，则
；
故选：A．
【分析】连接，由垂直平分线的性质和勾股定理求出，然后得到，再根据勾股定理求出即可．
9．（2025·深圳三模）若关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的一个根是3，则a的值为 ．
【答案】6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把 代入方程： 得
解得
故答案为： 6.
【分析】把 代入方程得关于a的方程 然后解关于a的方程即可.
10．（2025·深圳三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm．将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，则EB的长为 cm．
【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设
∵矩形ABCD沿EF折叠， 点A与点C重合，
则
∵ABCD是矩形，
又
解方程得
即EB的长为3cm.
故答案为： 3.
【分析】设 则 ，根据勾股定理列出关于x的方程 解方程得出 EB的长即可得解.
11．（2025·深圳三模）如图，以正方形ABCD顶点A为圆心，对角线AC为半径作弧交边AD延长线于点E，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【答案】4π﹣8
【知识点】勾股定理；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴阴影的面积 ，
故答案为：
【分析】根据四边形ABCD是正方形，可得，结合扇形面积公式即可求出阴影的面积.
12．（2025·深圳三模）把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
13．（2025·深圳三模）如图，在 ABCD中，∠B＝135°，ABBC，将△ABC沿对角线AC翻折至△EAC，AE与CD相交于点F，连接DE，则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J， 过点D作DK⊥AC于K.
∵∠ABC = 135°，
∴∠CBT = 45°，
∵CT⊥BT，
∴CT =BT，
设CT = BT =m， 则.
∴AB=2m，
∴AT=AB+BT=3m，
∵∠BAJ =∠CAT， ∠AJB=∠T =90°，
，
在 和 中，
∵四边形DEJK是矩形，
，
故答案为：
【分析】如图，过点C作 交AB的延长线于点T，连接BE交AC于点J， 过点D作于K.设 想办法求出DE，AC(用m表示)即可解决问题.
14．（2025·深圳三模）计算：．
【答案】解：
＝2+23+1﹣2
＝2+23+1
．
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零指数幂、绝对值和立方根简、特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可.
15．（2025·深圳三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：∵a3，
∴a2+1＝3a，即a2﹣3a＝﹣1，
原式＝[]
＝[]
∵a2﹣3a＝﹣1，
∴原式1．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先把 化为 的形式，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把 代入进行计算即可..
16．（2025·深圳三模）青少年是祖国的未来，民族的希望，有效保护、积极促进青少年身心健康成长十分重要．某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图：
组别 体重（kg） 频数（人）
A 39.5～46.5 2
B 46.5～53.5 a
C 53.5～60.5 8
D 60.5～67.5 5
E 67.5～74.5 4
已知C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ▲ ，所抽取学生体重的中位数是 ▲ ；
（2）所抽取学生平均体重为58.8kg，小敏的体重是57kg小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由．
（3）如果该校九年级有600名学生，请估算九年级体重高于60.5kg的学生大约有多少人？
【答案】（1）6，56；
（2）解：不正确．
因为小敏的体重57kg是高于中位数56kg，
所以小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平，
故小敏的推测不正确；
（3）解：，
答：估计九年级体重高于60.5kg的学生大约有216人．
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：调查的总人数为2÷8%＝25（人），
∴a＝25﹣2﹣8﹣5﹣4＝6，
∵一共调查了25人，
∴中位数是第13人的体重，
又A组2人，B组6人，C组8人，
∴中位数在C组，
∵C组的具体体重为（单位：kg）：54，54，55，55，56，57，59，60，
∴中位数为56，
故答案为：6，56；
【分析】(1)利用A组的人数除以对应的百分数，求出总人数，然后用总人数减去其余各组人数即可求出a的值，根据中位数的定义求解即可；
(2)根据中位数判断即可；
(3)用总人数乘以高于60.5kg所占的百分比即可求解.
17．（2025·深圳三模）“滨滨”和“妮妮”是2025年第九届亚洲冬季运动会的吉祥物．某亚冬会官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“滨滨”和“妮妮”手办，连续两个月的销售情况如表：
月份 销售量/个 销售额/元
滨滨 妮妮
1月 80 50 6800
2月 100 60 8400
（1）求该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价；
（2）为了扩大销量，增加盈利，该店对两种手办进行降价促销，其中“滨滨”手办八折销售，“妮妮”手办七五折销售，某学校欲购买若干个“滨滨”和“妮妮”手办作为亚冬会知识竞赛活动的奖品，且“滨滨”手办的数量恰好是“妮妮”手办数量的2倍，若总费用不超过1300元，那么该校最多可购买多少个“滨滨”手办？
【答案】（1）设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为x元和y元，则 ，
解得，
答：该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为60元和40元．
（2）设购买a个“妮妮”手办，则购买2a个“滨滨”手办，由题意得60×0.8×2a+40×0.75×a≤1300，
解得a，
∵a为正整数，
∴a≤10，
答：最多可以购买20个“滨滨”手办．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为x元和y元，根据题意列方程组即可得到结论；
(2)设购买a个“妮妮”手办，则购买2a个“滨滨”手办，根据题意列不等式，即可得到结论.
18．（2025·深圳三模）在正方形中，O为对角线的中点，点E是对角线上的动点，连接，点F在直线上（点F不与点D重合），连接，．
（1）如图1，当E在线段上时，求证：；
（2）如图2，若，当E在线段上，且时，求的长．
【答案】（1）解：如图1，过点作于点， 于点．
四边形是正方形， ，
又点E是对角线上的点，，
，．
和 都是等腰直角三角形，即 ，，
，
四边形是正方形．
在和中，，，
，．
，，即，
．
（2）解：如图2，连接，过E作于H．
∵四边形为正方形，点E是对角线上的点，
，，，，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴．
又∵，∴，
∴是等腰三角形，
∴．
在中
，
设，
在中
，
则，，
∴，，，．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）过点作于点， 于点，即可得到是正方形，然后利用“”得到，即可得到，进而推出证明结论；
（2）连接，过E作于H．即可得到出是等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出，设，根据列方程求出的值，解答即可．
（1）解：如图1，过点作于点， 于点．
四边形是正方形， ，
又点E是对角线上的点，，
，．
和 都是等腰直角三角形，即 ，，
，
四边形是正方形．
在和中，，，
，．
，，即，
．
（2）解：如图2，连接，过E作于H．
∵四边形为正方形，点E是对角线上的点，
，，，，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴．
又∵，∴，
∴是等腰三角形，
∴．
在中
，
设，
在中
，
则，，
∴，，，．
19．（2025·深圳三模）项目式学习：圆弧在建筑中的应用
项目主题：圆弧在建筑中的应用
素材1 我国历史上著名的赵州桥，是现存世界上跨径最大、建造最早的单肩石拱桥，这是单圆弧设计在我国古代建筑中的一种成功典范．如图1，赵州桥主桥拱成圆弧形，跨度约37m，拱高约7m．
素材2 在西方建筑中，也有很多应用圆弧设计的元素．例如巴黎圣母院是典型的哥特式建筑．如图2，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做两心尖拱．其中，点A、B称为起拱处，点C称为拱尖，C到AB的距离CD称为拱高．两心尖拱的几何特征就是、的圆心落在直线AB上．
素材3 如图3是古塔建筑中的方圆设计，寓意天圆地方．据古塔示意图，以塔底座宽AB为边作正方形ABCD（图4），塔高AF＝AC，分别以点A，B为圆心，AF为半径作圆弧，交于点G．正方形ABCD内部由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．
问题解决
任务1 确定半径 （1）图1中赵州桥主桥拱半径R约为 m．（结果保留整数）
任务2 计算拱高 （2）①请根据两心圆拱的几何特征利用尺规作出图2中、的圆心M、N．（不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若MN＝2m，AB＝3m，求拱高CD．
任务3 计算比值 （3）如图4，若点G落在AM的延长线上，连接GP交DQ于点T，则的值为 ．
【答案】解：⑴28
⑵①如图1，点M、点N即为所求；
作法提示：分别作AC和BC的垂直平分线与AB交于点M、N；
②如图2，连接CN、CM，
∵AB＝3m，MN＝2m∴AD＝BD＝1.5m，DM＝DN＝1m，AN＝BM＝0.5m，
∴NC＝NB＝2.5m，
在Rt△CDN中，CDm，
答：拱高CD为m．
⑶
【知识点】勾股定理；垂径定理；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，设主桥拱半径为R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BDAB（m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，解得R28，
故答案为：28；
（3）解：如图3，连接BG、AC，过点G作GH⊥AB，GK⊥AF垂足分别为H、K，
∴四边形AHGK是矩形，
∴AH＝KG，设正方形边长为a，由题意可知：AG＝BG＝ACa，∠DMA＝∠MNB＝90°，
∴GH⊥AB，AH＝HB＝KGa，MT∥NB，
∵∠KAG＝∠MAD，∠DMA＝∠GKA＝90°，
∴△KAG∽△MAD，
∴，
∴DM，
∵AM，
∴MG＝AG﹣AMa，
∵△AMD≌△BNA，
∴AN＝DM，
∴NG＝AG﹣ANaaa，
又∵MT∥NB，
∴．
故答案为：．
【分析】
(1)根据垂径定理可得 设半径，建立勾股方程求解即可；
(2)①分别作AC和BC的垂直平分线与AB交于点M、N；
②由题易得 ，进而可知半径 再利用勾股定理求解即可；
(3)连接BG、AC， 过点G作( 垂足分别为H、K，设正方形边长为a，易得 证 求得 利用勾股定理求得 继而利用线段和差得到然后求出最后利用平行线分线段成比例即可得解.
20．（2025·深圳三模）【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF＝2OG．
（3）【迁移应用】
记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．
（4）【拓展延伸】
若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．
【答案】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF＝∠AHG＝90°，
∵AH＝AH，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴AF＝AG，
∴△AFG是等腰三角形．
（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠OGL，
∴∠OGL＝∠OLG，
∴OG＝OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OD，
∴BF＝2OL，
∴BF＝2OG．
（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，
∵∠DAK＝∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
∴，
∵S1 OG DK，S2 BF AD，
又∵BF＝2OG，，
∴，设CD＝2x，AC＝3x，则ADx，
∴．
（4）解：设OG＝a，AG＝k．
①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE，
由题意：102aAD （k+2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2+4ka，
∴k＝2a，
∴AD＝2a，
∴BEa，AB＝4a，
∴tan∠BAE．
②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE，
由题意：102aAD （k﹣2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2﹣4ka，
∴ka，
∴ADa，
∴BEa，ABa，
∴tan∠BAE，
综上所述，tan∠BAE的值为或．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)如图1中， 是等腰三角形.利用全等三角形的性质证明即可；
(2)如图2中， 过点O作 交DF于L， 则 首先证明 再证明 即可解决问题；
(3)如图3中， 过点D作 则 ，利用相似三角形的性质解决问题即可.
（4）设OG＝a，AG＝k．分为点F在线段AB上时，点G在OA上或点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上两种情况，连接EF，利用勾股定理表示AD2，然后证明△ABE∽△DAF，根据对应边成比例求出k与a的关系，进而求出AD和BE长，再根据正切的定义解答即可.
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