广东省深圳市龙岗区宏扬学校2025年中考模拟预测数学试题
1．（2025·龙岗模拟）孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个立体图形的左视图为：
故选：D．
【分析】根据从左面看这个几何体的图形解答即可．
2．（2025·龙岗模拟）新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
思想政治 地理 化学 生物
思想政治 （思想政治，地理） （思想政治，化学） （思想政治，生物）
地理 （地理，思想政治） （地理，化学） （地理，生物）
化学 （化学，思想政治） （化学，地理） （化学，生物）
生物 （生物，思想政治） （生物，地理） （生物，化学）
共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种，
恰好选择化学和生物的概率为．
故选：B．
【分析】列表得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式解答即可．
3．（2025·龙岗模拟）将一副三角板（含，，，角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则的余角度数是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；平行线的性质
4．（2025·龙岗模拟） 已知实数与2的差是非负数，且与1的和是正数，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题可得，
解不等式x-2≥0得x≥2；
解不等式x+1>0得x>-1，
∴在数轴上表示符合的为A，
故答案为：A.
【分析】先根据题意列不等式组，解不等式组求出解集，再根据在数轴上表示逐项判断解题即可.
5．（2025·龙岗模拟） 如图，在直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，为坐标原点，点，都在第二象限内，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点D，
∵ABCD是菱形，
∴AB=AO，AB∥OC，
∴BD⊥y轴，
∴，
∴AB=OA=5，
∴点B的坐标为(-8，4)，
故答案为：C.
【分析】延长BA交y轴于点D，根据菱形的性质得到AB=AO，AB∥OC，即可得到BD⊥y轴，根据勾股定理求出OA长，再根据平移得到点B的坐标即可.
6．（2025·龙岗模拟） 如图，在直角坐标系中，点在反比例函数（，）的图象上，轴，垂足为，点在轴正半轴上，连接，交轴于点.若是的中点，且，则的值为（ ）
A．1 B．0.5 C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解： 轴于点B，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
连接AC，
∵是的中点，
∴CO=CD=AB，
∴四边形ABOM是矩形，
，
∵反比例函数图象在第二象限，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可.
7．（2025·龙岗模拟） 已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把x=-1代入方程得1-a+b-1=0，
∴b=a，
∴ 一次函数解析式为y=ax+a=a(x+1)，
即当x=-1时，y=0，
∴一次函数一定过(-1，0)，
故答案为：B.
【分析】把x=-1代入方程可得b=a，即可得到直线解析式为y=a(x+1)，然后求出顶点坐标即可.
8．（2025·龙岗模拟） 如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，，且，则线段长的最大值是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示， 作△CDB使△CDB≌△CAB，作AE∥x轴交CD于点E， 取AE的中点F， 连接CF、OF.
∵△CDB≌△CAB，
∴∠ABC=∠BCD，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠BCD=90°，
即∠ACD =90°，
∵AE∥x轴，CD∥AB，
∴∠ABO =∠EAB =∠AEC，
又∵∠A0B=∠ACD=90°，
∴△AOB∽△ACE，
，
即
又∵A(0，4)，
在 中，
即
即
∴OC的最大值是8.
故答案为：C.
【分析】先证明△AOB∽△ACE，即可根据对应边成比例和的面积求出AE长，然后根据勾股定理求出OF长，根据两边之和大于第三边，构造三角形，进而找到OC的最大值.
9．（2025·龙岗模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】先提公式法，然后根据平方差公式分解因式解题．
10．（2025·龙岗模拟）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设每个小正方形的面积为1，则每个小正方形的边长为1，根据题意得：
中间每个大正方形的边长为，
∴中间每个大正方形的面积为，
整个图形的面积为，
∴点P落在阴影部分的概率为．
故答案为：.
【分析】设每个小正方形的面积为1，利用几何概率公式计算解题．
11．（2025·龙岗模拟） 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点，位于第一象限，反比例函数（，）的图象经过点且与相交于点，若的面积为，，则的值为 .
【答案】2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设CE=a，AF=b，
∵ABCD是菱形，
∴OC=OA=AB，BC∥OA，OC∥AB，
∴∠COA=∠B=∠BAF，
∴，
∴OE=3CE=3a，DF=3AF=3b，
∴，
∴点D的坐标为，
∵点C，D再反比例函数上，
∴，
解得①，
又∵，，
∴，
即，
，
把①代入得，
∴，
故答案为：2.
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设CE=a，AF=b，先根据正切得到OE=3CE=3a，DF=3AF=3b，求出菱形的边长，即可得到点D的坐标，然后代入反比例函数解析式求出①，然后根据列方程求出k值即可.
12．（2025·龙岗模拟）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为 ．
【答案】3
【知识点】圆内接正多边形
13．（2025·龙岗模拟） 如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，线段与相交于点，若，，则的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵ 线段绕点顺时针旋转得线段，
∴AB=BD，∠ABD=90°=∠DEB=∠ACB，
∴∠CAB+∠ABC=∠DBE+∠CBA=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
∴△ABC≌△BDE，
∴AC=BE=1，DE=CB，
设CE=x，则CB=DE=x+1，
在Rt△CDE中，，即，
解得x=2，（负值舍去）
∴CE=2，DE=3，
又∵∠AOC=∠DOE，
∴△AOC∽△DOE，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，先证明△ABC≌△BDE，即可得到AC=BE=1，DE=CB，然后在Rt△CDE中利用勾股定理求出CE=2，DE=3，再推理得到AOC∽△DOE，根据对应边成比例求出AO长，利用勾股定理解答即可.
14．（2025·龙岗模拟） 化简：，并从，，这三个数中取一个合适的数求值.
【答案】解：
，
∵x-2≠0，x-3≠0，
∴x≠2，x≠3，
当 时，原式值为：.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分化简，然后把除法化为乘法，分子、分母分解因式约分化简，然后根据分式有意义的条件得到x≠2，x≠3，然后把x=1代入计算解答即可.
15．（2025·龙岗模拟） 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
小悦 83 72 80 78
小涵 86 84 ▲ ▲
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 ▲ 分，众数是 ▲ 分，平均数是 ▲ 分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
【答案】（1）69，69，70
（2）解： (分) ，
答：小涵的总评成绩为82分；
（3）解：不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选，理由如下：
由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小悦78分、小涵82分，所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）七位评委给小涵打出的分数从小到大排列为：67， 68， 69， 69， 71， 72， 74，
所以这组数据的中位数是69(分)，
在这组数据中69出现两次，次数最多，故众数为69，
平均数是 (分) ；
故答案为： 69，69，70；
【分析】(1)分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；
(2)根据加权平均数公式计算即可；
(3)根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案.
16．（2025·龙岗模拟） 如图，码头在码头的正东方向，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可直达小岛.若甲船与乙船分别从码头，同时等速出发，均直接驶向小岛，两船可以同时到达.
（1）在图中，用尺规作图画出小岛的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，过点作正东方向，乙船从点出发，沿行驶且始终保持到，两边的距离相等，请用尺规法作出航向（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）以为直径的半圆在的右侧，若乙船沿运动不能到该半圆弧之外，当时，求乙船运动的最远距离的长（参考数据：，，）.
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：连接BP，
由题可知∠CAB=90°-40°=50°，
∵CA=CB，
∴∠CBA=∠CAB=50°，
又∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠CBA=50°，
又∵CP平分∠DCB，
∴∠PCB=25°，
∵BC是直径，
∴∠CPB=90°，
∴PC=BC×cos∠BCP=20×0.906=18.12km.
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系；方位角；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可；
（2）过点C作CD∥AB，然后作∠BCD的角平分线即可；
（3）根据等边对等角和平行线的性质得到DCB=∠CBA=50°，再根据角平分线得到∠PCB=25°，然后根据余弦的定义解答即可.
17．（2025·龙岗模拟）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
【答案】（1）一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨
（2）6套
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
18．（2025·龙岗模拟） 你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为．
（1）如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度．
（2）如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到）
【答案】（1）解：设AB=AC1=r，
∴，
∵ ，AC1=AC2，
∴C1E=2，
在Rt△AEC1中，AC12=C1B2+AE2，即r2=22+，
解得r=2.5m；
（2）解：过点A作AF垂直PR于点F，交PQ于点G，过点F作FH⊥PQ于点H，
则∠AGD=45°，
∴DG=AD=2.5+0.5=3，
∴GP=GD-DP=3-2=1，
∴GH=HP=0.5，
∴HD=2.5，
平移后，点F到AD的距离为，
∴平移的距离为.
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可得C1E=2，然后根据勾股定理求出r的值即可；
（2）过点A作AF垂直PR于点F，交PQ于点G，过点F作FH⊥PQ于点H，即可得到∠AGD=45°，进而求出HD的值，然后计算出平移后点F到AD的距离，求差即可得到结论.
19．（2025·龙岗模拟）如图，在矩形中，，，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接交于点E．过点E作，交直线于点F．
（1）当点Q在线段上时，求证：．
（2）当时，求的面积．
（3）在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：当点Q在线段上时，由题意可得：，，，
∴，
∴．
（2）解：①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．
由，得．
由，得，
∴，
∴．
②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．
，．
同理：，
∴，
∴．
同理：，得，
∴．
∴，解得，
∴．
∴的面积为或．
（3）解：①当点Q在上时，设，则．
若点F在Q的右侧，如图3，当，则．
作于点H，而，
∴，则，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴．
若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．
∵，
又∵
∴．
∵由结合对顶角可得：，而，
∴，
∴，即，则，
∴．
②当点Q在AD上时，如图5，，，，
作于点N，于点G．，则，
由，得，
∴，
∴．
同理可得：，
设，则，．
∴，，
由，得，，
∴，．
由题意，，
设，则，，，
由，得，即，
化简，得，
解得（舍去），．
∴．
综上所述，BP的长为或2或．
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）得到，根据对应边成比例解答即可；
（2）①当点Q在上时，过点E作的垂线交于点M，交于点N；②当点Q在上时，作于点M，设，根据相似三角形的性质求出三角形的高，再利用面积公式计算即可；
（3）分三种情况讨论：①当点Q在上时，设，则，分为点F在Q的右侧或点F在Q的左侧，②当点Q在AD上时，，利用相似三角形的对应边成比例，利用方程解答即可．
（1）当点Q在线段上时，由题意可得：，，，
∴，
∴．
（2）①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．
由，得．
由，得，
∴，
∴．
②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．
，．
同理：，
∴，
∴．
同理：，得，
∴．
∴，解得，
∴．
∴的面积为或．
（3）①当点Q在上时，设，则．
若点F在Q的右侧，如图3，当，则．
作于点H，而，
∴，则，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴．
若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．
∵，
又∵
∴．
∵由结合对顶角可得：，而，
∴，
∴，即，则，
∴．
②当点Q在AD上时，如图5，，，，
作于点N，于点G．，则，
由，得，
∴，
∴．
同理可得：，
设，则，．
∴，，
由，得，，
∴，．
由题意，，
设，则，，，
由，得，即，
化简，得，
解得（舍去），．
∴．
综上所述，BP的长为或2或．
20．（2025·龙岗模拟）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G．试判断四边形的形状，并说明理由．
（1）数学思考：请你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题；
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．
证明：．
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）证明：①∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②如图，设，的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
即；
∴；
∵，，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【知识点】正方形的判定；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据内错角相等，两直线平行得到，得到为矩形，然后再根据证明结论即可；
根据，得到，根据等量代换得到结论即可；
②设，的交点为M，过M作于G，即可得，可得点G是的中点，根据勾股定理求得，即可求得，利用余弦的定义求出，然后证明，根据对应边成比例解答即可．
1 / 1广东省深圳市龙岗区宏扬学校2025年中考模拟预测数学试题
1．（2025·龙岗模拟）孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·龙岗模拟）新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·龙岗模拟）将一副三角板（含，，，角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则的余角度数是
A． B． C． D．
4．（2025·龙岗模拟） 已知实数与2的差是非负数，且与1的和是正数，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·龙岗模拟） 如图，在直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，为坐标原点，点，都在第二象限内，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·龙岗模拟） 如图，在直角坐标系中，点在反比例函数（，）的图象上，轴，垂足为，点在轴正半轴上，连接，交轴于点.若是的中点，且，则的值为（ ）
A．1 B．0.5 C． D．
7．（2025·龙岗模拟） 已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·龙岗模拟） 如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，，且，则线段长的最大值是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．
9．（2025·龙岗模拟）因式分解： ．
10．（2025·龙岗模拟）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为 ．
11．（2025·龙岗模拟） 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点，位于第一象限，反比例函数（，）的图象经过点且与相交于点，若的面积为，，则的值为 .
12．（2025·龙岗模拟）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为 ．
13．（2025·龙岗模拟） 如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，线段与相交于点，若，，则的长为 .
14．（2025·龙岗模拟） 化简：，并从，，这三个数中取一个合适的数求值.
15．（2025·龙岗模拟） 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
小悦 83 72 80 78
小涵 86 84 ▲ ▲
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 ▲ 分，众数是 ▲ 分，平均数是 ▲ 分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
16．（2025·龙岗模拟） 如图，码头在码头的正东方向，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可直达小岛.若甲船与乙船分别从码头，同时等速出发，均直接驶向小岛，两船可以同时到达.
（1）在图中，用尺规作图画出小岛的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，过点作正东方向，乙船从点出发，沿行驶且始终保持到，两边的距离相等，请用尺规法作出航向（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）以为直径的半圆在的右侧，若乙船沿运动不能到该半圆弧之外，当时，求乙船运动的最远距离的长（参考数据：，，）.
17．（2025·龙岗模拟）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
18．（2025·龙岗模拟） 你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为．
（1）如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度．
（2）如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到）
19．（2025·龙岗模拟）如图，在矩形中，，，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接交于点E．过点E作，交直线于点F．
（1）当点Q在线段上时，求证：．
（2）当时，求的面积．
（3）在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
20．（2025·龙岗模拟）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G．试判断四边形的形状，并说明理由．
（1）数学思考：请你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题；
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．
证明：．
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个立体图形的左视图为：
故选：D．
【分析】根据从左面看这个几何体的图形解答即可．
2．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
思想政治 地理 化学 生物
思想政治 （思想政治，地理） （思想政治，化学） （思想政治，生物）
地理 （地理，思想政治） （地理，化学） （地理，生物）
化学 （化学，思想政治） （化学，地理） （化学，生物）
生物 （生物，思想政治） （生物，地理） （生物，化学）
共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种，
恰好选择化学和生物的概率为．
故选：B．
【分析】列表得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式解答即可．
3．【答案】A
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；平行线的性质
4．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题可得，
解不等式x-2≥0得x≥2；
解不等式x+1>0得x>-1，
∴在数轴上表示符合的为A，
故答案为：A.
【分析】先根据题意列不等式组，解不等式组求出解集，再根据在数轴上表示逐项判断解题即可.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点D，
∵ABCD是菱形，
∴AB=AO，AB∥OC，
∴BD⊥y轴，
∴，
∴AB=OA=5，
∴点B的坐标为(-8，4)，
故答案为：C.
【分析】延长BA交y轴于点D，根据菱形的性质得到AB=AO，AB∥OC，即可得到BD⊥y轴，根据勾股定理求出OA长，再根据平移得到点B的坐标即可.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解： 轴于点B，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
连接AC，
∵是的中点，
∴CO=CD=AB，
∴四边形ABOM是矩形，
，
∵反比例函数图象在第二象限，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把x=-1代入方程得1-a+b-1=0，
∴b=a，
∴ 一次函数解析式为y=ax+a=a(x+1)，
即当x=-1时，y=0，
∴一次函数一定过(-1，0)，
故答案为：B.
【分析】把x=-1代入方程可得b=a，即可得到直线解析式为y=a(x+1)，然后求出顶点坐标即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示， 作△CDB使△CDB≌△CAB，作AE∥x轴交CD于点E， 取AE的中点F， 连接CF、OF.
∵△CDB≌△CAB，
∴∠ABC=∠BCD，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠BCD=90°，
即∠ACD =90°，
∵AE∥x轴，CD∥AB，
∴∠ABO =∠EAB =∠AEC，
又∵∠A0B=∠ACD=90°，
∴△AOB∽△ACE，
，
即
又∵A(0，4)，
在 中，
即
即
∴OC的最大值是8.
故答案为：C.
【分析】先证明△AOB∽△ACE，即可根据对应边成比例和的面积求出AE长，然后根据勾股定理求出OF长，根据两边之和大于第三边，构造三角形，进而找到OC的最大值.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】先提公式法，然后根据平方差公式分解因式解题．
10．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设每个小正方形的面积为1，则每个小正方形的边长为1，根据题意得：
中间每个大正方形的边长为，
∴中间每个大正方形的面积为，
整个图形的面积为，
∴点P落在阴影部分的概率为．
故答案为：.
【分析】设每个小正方形的面积为1，利用几何概率公式计算解题．
11．【答案】2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设CE=a，AF=b，
∵ABCD是菱形，
∴OC=OA=AB，BC∥OA，OC∥AB，
∴∠COA=∠B=∠BAF，
∴，
∴OE=3CE=3a，DF=3AF=3b，
∴，
∴点D的坐标为，
∵点C，D再反比例函数上，
∴，
解得①，
又∵，，
∴，
即，
，
把①代入得，
∴，
故答案为：2.
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设CE=a，AF=b，先根据正切得到OE=3CE=3a，DF=3AF=3b，求出菱形的边长，即可得到点D的坐标，然后代入反比例函数解析式求出①，然后根据列方程求出k值即可.
12．【答案】3
【知识点】圆内接正多边形
13．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵ 线段绕点顺时针旋转得线段，
∴AB=BD，∠ABD=90°=∠DEB=∠ACB，
∴∠CAB+∠ABC=∠DBE+∠CBA=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
∴△ABC≌△BDE，
∴AC=BE=1，DE=CB，
设CE=x，则CB=DE=x+1，
在Rt△CDE中，，即，
解得x=2，（负值舍去）
∴CE=2，DE=3，
又∵∠AOC=∠DOE，
∴△AOC∽△DOE，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，先证明△ABC≌△BDE，即可得到AC=BE=1，DE=CB，然后在Rt△CDE中利用勾股定理求出CE=2，DE=3，再推理得到AOC∽△DOE，根据对应边成比例求出AO长，利用勾股定理解答即可.
14．【答案】解：
，
∵x-2≠0，x-3≠0，
∴x≠2，x≠3，
当 时，原式值为：.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分化简，然后把除法化为乘法，分子、分母分解因式约分化简，然后根据分式有意义的条件得到x≠2，x≠3，然后把x=1代入计算解答即可.
15．【答案】（1）69，69，70
（2）解： (分) ，
答：小涵的总评成绩为82分；
（3）解：不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选，理由如下：
由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小悦78分、小涵82分，所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）七位评委给小涵打出的分数从小到大排列为：67， 68， 69， 69， 71， 72， 74，
所以这组数据的中位数是69(分)，
在这组数据中69出现两次，次数最多，故众数为69，
平均数是 (分) ；
故答案为： 69，69，70；
【分析】(1)分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；
(2)根据加权平均数公式计算即可；
(3)根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案.
16．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：连接BP，
由题可知∠CAB=90°-40°=50°，
∵CA=CB，
∴∠CBA=∠CAB=50°，
又∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠CBA=50°，
又∵CP平分∠DCB，
∴∠PCB=25°，
∵BC是直径，
∴∠CPB=90°，
∴PC=BC×cos∠BCP=20×0.906=18.12km.
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系；方位角；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可；
（2）过点C作CD∥AB，然后作∠BCD的角平分线即可；
（3）根据等边对等角和平行线的性质得到DCB=∠CBA=50°，再根据角平分线得到∠PCB=25°，然后根据余弦的定义解答即可.
17．【答案】（1）一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨
（2）6套
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
18．【答案】（1）解：设AB=AC1=r，
∴，
∵ ，AC1=AC2，
∴C1E=2，
在Rt△AEC1中，AC12=C1B2+AE2，即r2=22+，
解得r=2.5m；
（2）解：过点A作AF垂直PR于点F，交PQ于点G，过点F作FH⊥PQ于点H，
则∠AGD=45°，
∴DG=AD=2.5+0.5=3，
∴GP=GD-DP=3-2=1，
∴GH=HP=0.5，
∴HD=2.5，
平移后，点F到AD的距离为，
∴平移的距离为.
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可得C1E=2，然后根据勾股定理求出r的值即可；
（2）过点A作AF垂直PR于点F，交PQ于点G，过点F作FH⊥PQ于点H，即可得到∠AGD=45°，进而求出HD的值，然后计算出平移后点F到AD的距离，求差即可得到结论.
19．【答案】（1）证明：当点Q在线段上时，由题意可得：，，，
∴，
∴．
（2）解：①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．
由，得．
由，得，
∴，
∴．
②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．
，．
同理：，
∴，
∴．
同理：，得，
∴．
∴，解得，
∴．
∴的面积为或．
（3）解：①当点Q在上时，设，则．
若点F在Q的右侧，如图3，当，则．
作于点H，而，
∴，则，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴．
若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．
∵，
又∵
∴．
∵由结合对顶角可得：，而，
∴，
∴，即，则，
∴．
②当点Q在AD上时，如图5，，，，
作于点N，于点G．，则，
由，得，
∴，
∴．
同理可得：，
设，则，．
∴，，
由，得，，
∴，．
由题意，，
设，则，，，
由，得，即，
化简，得，
解得（舍去），．
∴．
综上所述，BP的长为或2或．
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）得到，根据对应边成比例解答即可；
（2）①当点Q在上时，过点E作的垂线交于点M，交于点N；②当点Q在上时，作于点M，设，根据相似三角形的性质求出三角形的高，再利用面积公式计算即可；
（3）分三种情况讨论：①当点Q在上时，设，则，分为点F在Q的右侧或点F在Q的左侧，②当点Q在AD上时，，利用相似三角形的对应边成比例，利用方程解答即可．
（1）当点Q在线段上时，由题意可得：，，，
∴，
∴．
（2）①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．
由，得．
由，得，
∴，
∴．
②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．
，．
同理：，
∴，
∴．
同理：，得，
∴．
∴，解得，
∴．
∴的面积为或．
（3）①当点Q在上时，设，则．
若点F在Q的右侧，如图3，当，则．
作于点H，而，
∴，则，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴．
若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．
∵，
又∵
∴．
∵由结合对顶角可得：，而，
∴，
∴，即，则，
∴．
②当点Q在AD上时，如图5，，，，
作于点N，于点G．，则，
由，得，
∴，
∴．
同理可得：，
设，则，．
∴，，
由，得，，
∴，．
由题意，，
设，则，，，
由，得，即，
化简，得，
解得（舍去），．
∴．
综上所述，BP的长为或2或．
20．【答案】（1）证明：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）证明：①∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②如图，设，的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
即；
∴；
∵，，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【知识点】正方形的判定；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据内错角相等，两直线平行得到，得到为矩形，然后再根据证明结论即可；
根据，得到，根据等量代换得到结论即可；
②设，的交点为M，过M作于G，即可得，可得点G是的中点，根据勾股定理求得，即可求得，利用余弦的定义求出，然后证明，根据对应边成比例解答即可．
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