广东省深圳市南外外国语集团2025年6月第二学期九年级质量检测数学试卷（三模）
1．（2025·深圳三模）下列四张新能源图标是中心对称图形的是
A．水能 B．风能
C．太阳能 D．氢能
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转： 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形.
选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.
故答案为：C.
【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．（2025·深圳三模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A、两者不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 原选项计算正确，符合题意；
C、计算结果是4，原选项计算错误，不符合题意；
D、计算结果是 ，原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项，积的乘方，算术平方根，单项式乘单项式运算法则逐一排除即可.
3．（2025·深圳三模）正方体表面展开图如图所示，每个面上分别写着“初三中考加油”，如果将这个展开图还原为正方体，其中和“初”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．中 B．加 C．考 D．油
【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解： 由正方体展开图特点可知： “初”与“加”相对，
故答案为：B.
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题即可.
4．（2025·深圳三模）对联是一种传统的中国文化艺术形式，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．一副对联包括上下两联，小鑫无意间将两副内容不同的对联打乱，他从中随机抽取两张，则恰好是一副对联的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：设一张对联的两联为A，a，另一副对联的两联为B，b，从中随机抽取两张的结果为(A，a)(A，B)，(A，b)，(a，B)，(a，b)，(B，b)，其中 恰好是一副对联结果为(A，a)，(B，b)，
∴ 恰好是一副对联的概率是，
故答案为：B.
【分析】利用列举法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算解题.
5．（2025·深圳三模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）
A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵ = ＞3，2+3＞3，∴能组成锐角三角形；
B、∵ = ＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形；
C、∵2+3=5，∴不能组成三角形；
D、∵ =5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形．
故选：A．
【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．
6．（2025·深圳三模）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为：
由题意得：，
故选：A．
【分析】设乙同学的速度是，根据时间=路程÷时间列分式方程即可．
7．（2025·深圳三模）如图，这是物理学中的小孔成像，AB是物体，遮挡板MN上的小孔抽象成点O，AB透过小孔在光屏PQ上成的像是倒立放大的实像和成位似图形，位似中心为点，遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为，此时，像CD的长为12，为了使像CD的长度变成AB的3倍，在物体AB和屏幕PQ位置不变的情况下，可以将遮挡板MN（ ）
A．水平向右移动1cm B．水平向左移动
C．水平向右移动1.5cm D．水平向左移动1.5cm
【答案】B
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E， 延长EO交CD于点Q，
∵△ABO和△DCO成位似图形，位似中心为点O，
∴AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴OE、OF分别为△ABO和△DCO对应边AB、CD上的高，
∴OF=8，
∵△ABO和△DCO成位似图形， AB=6，CD=12，
即
∵像CD的长度变成AB的3倍，在物体AB和屏幕
PQ位置不变的情况下，设( 则
又 即
此时
∴可以将遮挡板MN水平向左移动1cm.
故答案为：B.
【分析】过点O作于点E， 延长EO交CD于点Q，根据位似图形的性质推出 分别求出遮挡板MN水平移动前后OE的长，再进行比较即可.
8．（2025·深圳三模）如图，已知位于第一象限，点A，B，C的坐标分别为，，．若双曲线与有交点，则k的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别为，，．
∴设直线解析式为：，
将，代入可得：，解得：，
∴直线解析式为：，联立可得：，
∵双曲线与有交点，
∴，即，
∴k的最大值为．
故选：D
【分析】利用待定系数法求出直线解析式，联立可得：，利用双曲线与有交点，利用根的判别式解答即可．
9．（2025·深圳三模）若，则的值为 ．
【答案】20
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∴当 时，
原式
故答案为：20.
【分析】先将原代数式化简为 再将 整体代入求解.
10．（2025·深圳三模）在数轴上，介于和之间的整数是 ．
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
∴介于 和 之间的整数是3，
故答案为：3.
【分析】分别估算 的取值范围，即可得出介于 和 之间的整数.
11．（2025·深圳三模）若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可能是 （写出一个）．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 有两个不相等的实数根，
∴实数c的值可能是1(答案不唯一)。
故答案为：1(答案不唯一)。
【分析】利用根的判别式 即可求出c的取值范围，任取其内的一值即可得出结论.
12．（2025·深圳三模）如图所示是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成。小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到约，即，最小能达到约，即，已知该三脚架的支柱，则该三脚架可调节的部分BC的长度为 ．（答案精确到0.1m，已知
【答案】0.4m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∴BG =sin∠BAG·AB
= sin 60°·AB
≈0.866×1.5
=1.299(m).
在Rt△CDG中，
∴CG=sin∠CDG·CD
= sin37°·CD
≈0.6×1.5
=0.9(m).
∴BC=BG-CG
=1.299-0.9
=0.399
≈0.4(m).
故答案为： 0.4m.
【分析】利用直角三角形的边角间关系分别在Rt△ABC中和Rt△CDG中求出BG、CG，再利用线段的和差关系得结论.
13．（2025·深圳三模）如图，线段AB与CD相交于点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作 过点D作 于点M， 过点B作BC∥AC交CM于点F， 如图所示：
在 中，
由勾股定理得： ，
∴四边形ABFC是平行四边形，
，
∴当 为最小时， 为最小，根据“两点之间线段最短”得：
∴当点D， B， F在同一条直线上时， 为最小，最小值是线段DF的长，
的最小值是线段DF的长，在 中，
由勾股定理得： ，
的最小值是
故答案为：
【分析】过点C作CM∥AB，过点D作DM⊥CM于点M， 过点B作BC'IAC交CM于点F， 则∠MCD=∠AOC =30°， 进而得 证明四边形ABFC是平行四边形， AF= AB=6，AC = BF， 则AC+BD=BF+BD， 由此得当iBF+BD为最小时，AC+BD为最小，根据“两点之间线段最短”得： BF+BD≤DF， 因此当点D， B， F在同一条直线上时，BF+BD为最小，最小值是线段DF的长，然后在Rt△DFM中， 由勾股定理求出 即可得出AC+BD的最小值.
14．（2025·深圳三模）计算：；
【答案】解：
【知识点】零指数幂；无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零次幂、分母有理化，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并计算解题即可.
15．（2025·深圳三模）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得第一步 移项，得第二步 合并同类项，得第三步 系数化成1，得第四步
根据以上材料，解答下列问题：
（1）第一步去分母的依据是 ▲ .
（2）在解答过程中，从第 ▲ 步开始出错，错误原因是 ▲ ．
（3）原不等式的正确解集为 ▲ .
【答案】（1）不等式的基本性质
（2）四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）
（3）
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】(1)第一步去分母的依据是不等式的基本性质2，
故答案为：不等式的基本性质2；
(2)在解答过程中，第四步，系数化1时，不等号的方向没有发生改变，
故答案为：四，系数化1时，不等号的方向没有发生改变；
（3）解：
解：去分母，得。
移项，得．
合并同类项，得。
系数化成1，得。
【分析】(1)根据不等式的性质进行求解即可；
(2)第四步，系数化1时，不等号的方向没有发生改变；
(3)利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式即可解题.
16．（2025·深圳三模）2025年初，某省共发生电动自行车事故96起，从已调查完毕事故原因看，绝大部分的事故源于电动车不遵守交通规则造成；广大初中生及家长作为电动车的使用群体之一，教会他们规范骑行成为校园安全的重要任务．深圳市某中学制作了时长100分钟的电动车交通安全知识的教育视频并组织学生周末观看，学校随机抽查了部分学生观看视频的时长，并绘制如下不完整的统计图表．
部分学生观看教育视频时长扇形统计图
部分学生观看教育视频时长频数分布表
组别 时长x/分钟 频数
A 0≤x＜20 20
B 20≤x<40 40
C 40≤x＜60 ▲
D 60≤x<80 60
E 80≤x≤100 10
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查属于 ▲ 调查，本次调查的样本容量为 ▲ ；
（2）样本数据的中位数落在 ▲ 组；
（3）若本校共2000人，观看视频时长低于40分钟即为“不合格”，请估算本校有多少同学的成绩是“不合格”，并根据调查结果对类似自行观看教育视频的活动提出一条合理化建议．
【答案】（1）抽样；200
（2）C
（3）解：从以上信息可看出，估计全校有的学生观看时间低于40分钟．
建议：学生的思想上还不够重视，要加强教育．（答案不唯一）
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解（1）解：本次调查属于抽样调查，本次调查的样本容量为，
故答案为：抽样；200；
（2）解：C组的频数为，
样本数据的中位数为第100和101个数的平均数，，
样本数据的中位数落在C组，
故答案为：C；
【分析】(1)根据抽样调查的定义判断即可；根据B组的频数和所占的百分比即可求出样本容量；
(2)根据中位数的定义判断即可；
(3)用总人数2000×不合格人数的占比求出“不合格”人数，提出建议合理即可.
17．（2025·深圳三模）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．某商家连续两周销售“滨滨”和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示．
销售量（个） 销售额（元）
滨滨 妮妮
第1周 25 10 3080
第2周 40 15 4840
（1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格；
（2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元／个和58元／个，设购进“滨滨”摆件个，两种摆件全部售完时所获的利润为元．求与的函数关系式并确定该商家如何进货才能获得最大利润？
【答案】（1）“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元／件。
解：设“滨滨”摆件的零售价格为元／件，“妮妮”摆件的零售价格为元／件，根据题意，列得方程组，
解得，
答：“滨滨’“妮妮”摆件的零售价格都为88元／件；
（2）①；②购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元。
购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（）个，
根据题意得：，
“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，
，解得：，
因为为正整数，
随的增大而减小，
当取最小值67时，有最大值（最大值为2330）
此时，，
所以购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设“滨滨”摆件的零售价格为x元/件，“妮妮”摆件的零售价格为y元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案；
(2)①设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件 个，根据题意即可确定w与m的函数关系式；②首先确定m的取值范围，再根据一次函数的性质，并结合实际即可确定答案.
18．（2025·深圳三模）如图1，点为上一点，点在直径BA的延长线上．
（1）请你添加一个条件： ▲ ，使得直线CD与相切，并写出你的证明过程；
（2）如图2，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．求作：这个圆的圆心（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．
【答案】（1）条件：
证明：连接OD，
AB是直径，
，
，
，
即，
OD是半径，
CD是的切线；
（2）解：如图，点O即为所作；
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂线
【解析】【分析】(1)连接OD，根据圆周角定理得到 得到 根据切线的判定定理得到结论；
(2)分别过切点A，B作PA和PB的垂线，交于点O即可.
19．（2025·深圳三模）镁在燃烧时发出耀眼的白光．某兴趣小组在操场上做镁球的发射与燃烧实验：质量、大小均相同的镁球从发射器（发射器的高度忽略不计）中竖直向上发射（镁球离开发射器即开始燃烧），以下是镁球发射后的相关数据：
已知镁球到达最高处后再过1.5s会燃烧完．
发射时间 0 2 5 9 12 13 …
离地面的高度 0 92 200 288 312 312 …
（1）①请利用表格数据描点，画出y与x的大致图像，根据图像估计y与x之间的函数关系是 ▲ （填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）。
②求y与x之间的函数关系式．
（2）直接写出发射时间为多少秒时，镁球到达最高处．
（3）已知每个镁球发射后的运动轨迹均相同．该小组先后连续发射了2个镁球，第1个镁球燃烧完时，第2个镁球刚好和它处于对称位置，求这2个镁球发射时间相隔多少秒．
【答案】（1）解：① 二次函数
②设，把，
代入得，
将代入后两个方程得，
化简得，两式相减得，
解得，
把代入
得，
解得，
所以；
（2）解：由二次函数，其对称轴为，
发射时间为12.5秒时，镁球到达最高处；
（3）解：当时，最大，镁球到达最高处后再过1.5s会燃烧完，所以第个镁球燃烧完的时间为，此时，
设第2个镁球发射时间为秒，
则，
即，
解得或（舍去），
所以这2个镁球发射时间相隔秒．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；作图-二次函数图象；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）①因为镁球的运动轨迹是抛物线，所以y与x之间的函数关系是二次函数，
故答案为：二次函数；
【分析】(1)①依据题意，根据表格数据进而可以作图得解，然后即可判断；
②利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
(2)依据题意，由二次函数为 则其对称轴为直线 进而可以判断得解；
(3)依据题意，由当 时，结合镁球到达最高处后再过1.5s会燃烧完，则第1个镁球燃烧完的时间为 此时 又设第2个镁球发射时间为x0秒，则 求出，故可判断得解.
20．（2025·深圳三模）在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使点与点重合，展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将BC边沿CE翻折得到GC；
第3步：延长EG交AD于点，则点为AD边的三等分点．
证明如下：连接正方形ABCD沿CE折叠， ， 又， ① ..设， 是AB的中点，则， 在Rt中，可列方程：②， 解得：，即是AD边的三等分点．
“破浪”小组进行如下操作：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，展开铺平，折痕AC与折痕DE交于点；
第3步：过点折叠正方形纸片ABCD，使折痕．
（1）【过程思考】
“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是 ▲ ；
②处所列方程是 ▲ ；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为AB边的三等分点，并证明你的结论；
（3）【拓展提升】
①如图3，将矩形纸片ABCD对折，使点A和点重合，展开铺平，折痕为EF，将沿CE翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若，求的值。
②在边长为6的正方形ABCD中，点是射线BA上一动点，连接CE，将沿CE翻折得到，直线EG与直线AD交于点．若，请直接写出BE的长．
【答案】（1）HL；
（2）点是AB边的三等分点，证明如下：
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∵ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
，即，
点是AB边的三等分点．
（3）①
设CD=a
则，根据折叠可知，则
，
．
四边形MDCN是矩形，
，相似比为
设，则
在中，由勾股定理得
（舍），
②当点在线段AD上时，如图所示，
则，
同【探究操作】设，则
在R中，由勾股定理得，
解得
，
当点在AD的延长线上时，连接HC，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为6，
．
由折叠的性质得，
又，
，
．
设，
．
在R，由勾股定理，可知，
，解得．
综上所述，BE的长为3或12．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）连接正方形ABCD沿CE折叠，
，
又，
．设，
是AB的中点，则，
在Rt中，可列方程：，
解得：，即是AD边的三等分点．
故答案为：HL；.
【分析】（1）根据题意得到证明全等的依据为HL，再根据勾股定理列方程即可；
（2）根据正方形的性质可得，根据对应边成比例解答即可；
（3）①设CD=a，即可得到，然后根据全等三角形的性质得到，然后证明敏四边形MDCN是矩形，即可得到，设，求出NG长，再在中，利用勾股定理求出AM，得到比值即可；
②分为点在线段AD上或点在AD的延长线上两种情况，利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可.
1 / 1广东省深圳市南外外国语集团2025年6月第二学期九年级质量检测数学试卷（三模）
1．（2025·深圳三模）下列四张新能源图标是中心对称图形的是
A．水能 B．风能
C．太阳能 D．氢能
2．（2025·深圳三模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·深圳三模）正方体表面展开图如图所示，每个面上分别写着“初三中考加油”，如果将这个展开图还原为正方体，其中和“初”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．中 B．加 C．考 D．油
4．（2025·深圳三模）对联是一种传统的中国文化艺术形式，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．一副对联包括上下两联，小鑫无意间将两副内容不同的对联打乱，他从中随机抽取两张，则恰好是一副对联的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·深圳三模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）
A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5
6．（2025·深圳三模）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·深圳三模）如图，这是物理学中的小孔成像，AB是物体，遮挡板MN上的小孔抽象成点O，AB透过小孔在光屏PQ上成的像是倒立放大的实像和成位似图形，位似中心为点，遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为，此时，像CD的长为12，为了使像CD的长度变成AB的3倍，在物体AB和屏幕PQ位置不变的情况下，可以将遮挡板MN（ ）
A．水平向右移动1cm B．水平向左移动
C．水平向右移动1.5cm D．水平向左移动1.5cm
8．（2025·深圳三模）如图，已知位于第一象限，点A，B，C的坐标分别为，，．若双曲线与有交点，则k的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
9．（2025·深圳三模）若，则的值为 ．
10．（2025·深圳三模）在数轴上，介于和之间的整数是 ．
11．（2025·深圳三模）若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可能是 （写出一个）．
12．（2025·深圳三模）如图所示是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成。小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到约，即，最小能达到约，即，已知该三脚架的支柱，则该三脚架可调节的部分BC的长度为 ．（答案精确到0.1m，已知
13．（2025·深圳三模）如图，线段AB与CD相交于点，则的最小值为 ．
14．（2025·深圳三模）计算：；
15．（2025·深圳三模）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得第一步 移项，得第二步 合并同类项，得第三步 系数化成1，得第四步
根据以上材料，解答下列问题：
（1）第一步去分母的依据是 ▲ .
（2）在解答过程中，从第 ▲ 步开始出错，错误原因是 ▲ ．
（3）原不等式的正确解集为 ▲ .
16．（2025·深圳三模）2025年初，某省共发生电动自行车事故96起，从已调查完毕事故原因看，绝大部分的事故源于电动车不遵守交通规则造成；广大初中生及家长作为电动车的使用群体之一，教会他们规范骑行成为校园安全的重要任务．深圳市某中学制作了时长100分钟的电动车交通安全知识的教育视频并组织学生周末观看，学校随机抽查了部分学生观看视频的时长，并绘制如下不完整的统计图表．
部分学生观看教育视频时长扇形统计图
部分学生观看教育视频时长频数分布表
组别 时长x/分钟 频数
A 0≤x＜20 20
B 20≤x<40 40
C 40≤x＜60 ▲
D 60≤x<80 60
E 80≤x≤100 10
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查属于 ▲ 调查，本次调查的样本容量为 ▲ ；
（2）样本数据的中位数落在 ▲ 组；
（3）若本校共2000人，观看视频时长低于40分钟即为“不合格”，请估算本校有多少同学的成绩是“不合格”，并根据调查结果对类似自行观看教育视频的活动提出一条合理化建议．
17．（2025·深圳三模）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．某商家连续两周销售“滨滨”和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示．
销售量（个） 销售额（元）
滨滨 妮妮
第1周 25 10 3080
第2周 40 15 4840
（1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格；
（2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元／个和58元／个，设购进“滨滨”摆件个，两种摆件全部售完时所获的利润为元．求与的函数关系式并确定该商家如何进货才能获得最大利润？
18．（2025·深圳三模）如图1，点为上一点，点在直径BA的延长线上．
（1）请你添加一个条件： ▲ ，使得直线CD与相切，并写出你的证明过程；
（2）如图2，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．求作：这个圆的圆心（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．
19．（2025·深圳三模）镁在燃烧时发出耀眼的白光．某兴趣小组在操场上做镁球的发射与燃烧实验：质量、大小均相同的镁球从发射器（发射器的高度忽略不计）中竖直向上发射（镁球离开发射器即开始燃烧），以下是镁球发射后的相关数据：
已知镁球到达最高处后再过1.5s会燃烧完．
发射时间 0 2 5 9 12 13 …
离地面的高度 0 92 200 288 312 312 …
（1）①请利用表格数据描点，画出y与x的大致图像，根据图像估计y与x之间的函数关系是 ▲ （填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）。
②求y与x之间的函数关系式．
（2）直接写出发射时间为多少秒时，镁球到达最高处．
（3）已知每个镁球发射后的运动轨迹均相同．该小组先后连续发射了2个镁球，第1个镁球燃烧完时，第2个镁球刚好和它处于对称位置，求这2个镁球发射时间相隔多少秒．
20．（2025·深圳三模）在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使点与点重合，展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将BC边沿CE翻折得到GC；
第3步：延长EG交AD于点，则点为AD边的三等分点．
证明如下：连接正方形ABCD沿CE折叠， ， 又， ① ..设， 是AB的中点，则， 在Rt中，可列方程：②， 解得：，即是AD边的三等分点．
“破浪”小组进行如下操作：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，展开铺平，折痕AC与折痕DE交于点；
第3步：过点折叠正方形纸片ABCD，使折痕．
（1）【过程思考】
“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是 ▲ ；
②处所列方程是 ▲ ；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为AB边的三等分点，并证明你的结论；
（3）【拓展提升】
①如图3，将矩形纸片ABCD对折，使点A和点重合，展开铺平，折痕为EF，将沿CE翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若，求的值。
②在边长为6的正方形ABCD中，点是射线BA上一动点，连接CE，将沿CE翻折得到，直线EG与直线AD交于点．若，请直接写出BE的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转： 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形.
选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.
故答案为：C.
【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A、两者不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 原选项计算正确，符合题意；
C、计算结果是4，原选项计算错误，不符合题意；
D、计算结果是 ，原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项，积的乘方，算术平方根，单项式乘单项式运算法则逐一排除即可.
3．【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解： 由正方体展开图特点可知： “初”与“加”相对，
故答案为：B.
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题即可.
4．【答案】B
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：设一张对联的两联为A，a，另一副对联的两联为B，b，从中随机抽取两张的结果为(A，a)(A，B)，(A，b)，(a，B)，(a，b)，(B，b)，其中 恰好是一副对联结果为(A，a)，(B，b)，
∴ 恰好是一副对联的概率是，
故答案为：B.
【分析】利用列举法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算解题.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵ = ＞3，2+3＞3，∴能组成锐角三角形；
B、∵ = ＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形；
C、∵2+3=5，∴不能组成三角形；
D、∵ =5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形．
故选：A．
【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．
6．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为：
由题意得：，
故选：A．
【分析】设乙同学的速度是，根据时间=路程÷时间列分式方程即可．
7．【答案】B
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E， 延长EO交CD于点Q，
∵△ABO和△DCO成位似图形，位似中心为点O，
∴AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴OE、OF分别为△ABO和△DCO对应边AB、CD上的高，
∴OF=8，
∵△ABO和△DCO成位似图形， AB=6，CD=12，
即
∵像CD的长度变成AB的3倍，在物体AB和屏幕
PQ位置不变的情况下，设( 则
又 即
此时
∴可以将遮挡板MN水平向左移动1cm.
故答案为：B.
【分析】过点O作于点E， 延长EO交CD于点Q，根据位似图形的性质推出 分别求出遮挡板MN水平移动前后OE的长，再进行比较即可.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别为，，．
∴设直线解析式为：，
将，代入可得：，解得：，
∴直线解析式为：，联立可得：，
∵双曲线与有交点，
∴，即，
∴k的最大值为．
故选：D
【分析】利用待定系数法求出直线解析式，联立可得：，利用双曲线与有交点，利用根的判别式解答即可．
9．【答案】20
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∴当 时，
原式
故答案为：20.
【分析】先将原代数式化简为 再将 整体代入求解.
10．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
∴介于 和 之间的整数是3，
故答案为：3.
【分析】分别估算 的取值范围，即可得出介于 和 之间的整数.
11．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 有两个不相等的实数根，
∴实数c的值可能是1(答案不唯一)。
故答案为：1(答案不唯一)。
【分析】利用根的判别式 即可求出c的取值范围，任取其内的一值即可得出结论.
12．【答案】0.4m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∴BG =sin∠BAG·AB
= sin 60°·AB
≈0.866×1.5
=1.299(m).
在Rt△CDG中，
∴CG=sin∠CDG·CD
= sin37°·CD
≈0.6×1.5
=0.9(m).
∴BC=BG-CG
=1.299-0.9
=0.399
≈0.4(m).
故答案为： 0.4m.
【分析】利用直角三角形的边角间关系分别在Rt△ABC中和Rt△CDG中求出BG、CG，再利用线段的和差关系得结论.
13．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作 过点D作 于点M， 过点B作BC∥AC交CM于点F， 如图所示：
在 中，
由勾股定理得： ，
∴四边形ABFC是平行四边形，
，
∴当 为最小时， 为最小，根据“两点之间线段最短”得：
∴当点D， B， F在同一条直线上时， 为最小，最小值是线段DF的长，
的最小值是线段DF的长，在 中，
由勾股定理得： ，
的最小值是
故答案为：
【分析】过点C作CM∥AB，过点D作DM⊥CM于点M， 过点B作BC'IAC交CM于点F， 则∠MCD=∠AOC =30°， 进而得 证明四边形ABFC是平行四边形， AF= AB=6，AC = BF， 则AC+BD=BF+BD， 由此得当iBF+BD为最小时，AC+BD为最小，根据“两点之间线段最短”得： BF+BD≤DF， 因此当点D， B， F在同一条直线上时，BF+BD为最小，最小值是线段DF的长，然后在Rt△DFM中， 由勾股定理求出 即可得出AC+BD的最小值.
14．【答案】解：
【知识点】零指数幂；无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零次幂、分母有理化，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并计算解题即可.
15．【答案】（1）不等式的基本性质
（2）四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）
（3）
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】(1)第一步去分母的依据是不等式的基本性质2，
故答案为：不等式的基本性质2；
(2)在解答过程中，第四步，系数化1时，不等号的方向没有发生改变，
故答案为：四，系数化1时，不等号的方向没有发生改变；
（3）解：
解：去分母，得。
移项，得．
合并同类项，得。
系数化成1，得。
【分析】(1)根据不等式的性质进行求解即可；
(2)第四步，系数化1时，不等号的方向没有发生改变；
(3)利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式即可解题.
16．【答案】（1）抽样；200
（2）C
（3）解：从以上信息可看出，估计全校有的学生观看时间低于40分钟．
建议：学生的思想上还不够重视，要加强教育．（答案不唯一）
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解（1）解：本次调查属于抽样调查，本次调查的样本容量为，
故答案为：抽样；200；
（2）解：C组的频数为，
样本数据的中位数为第100和101个数的平均数，，
样本数据的中位数落在C组，
故答案为：C；
【分析】(1)根据抽样调查的定义判断即可；根据B组的频数和所占的百分比即可求出样本容量；
(2)根据中位数的定义判断即可；
(3)用总人数2000×不合格人数的占比求出“不合格”人数，提出建议合理即可.
17．【答案】（1）“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元／件。
解：设“滨滨”摆件的零售价格为元／件，“妮妮”摆件的零售价格为元／件，根据题意，列得方程组，
解得，
答：“滨滨’“妮妮”摆件的零售价格都为88元／件；
（2）①；②购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元。
购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（）个，
根据题意得：，
“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，
，解得：，
因为为正整数，
随的增大而减小，
当取最小值67时，有最大值（最大值为2330）
此时，，
所以购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设“滨滨”摆件的零售价格为x元/件，“妮妮”摆件的零售价格为y元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案；
(2)①设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件 个，根据题意即可确定w与m的函数关系式；②首先确定m的取值范围，再根据一次函数的性质，并结合实际即可确定答案.
18．【答案】（1）条件：
证明：连接OD，
AB是直径，
，
，
，
即，
OD是半径，
CD是的切线；
（2）解：如图，点O即为所作；
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂线
【解析】【分析】(1)连接OD，根据圆周角定理得到 得到 根据切线的判定定理得到结论；
(2)分别过切点A，B作PA和PB的垂线，交于点O即可.
19．【答案】（1）解：① 二次函数
②设，把，
代入得，
将代入后两个方程得，
化简得，两式相减得，
解得，
把代入
得，
解得，
所以；
（2）解：由二次函数，其对称轴为，
发射时间为12.5秒时，镁球到达最高处；
（3）解：当时，最大，镁球到达最高处后再过1.5s会燃烧完，所以第个镁球燃烧完的时间为，此时，
设第2个镁球发射时间为秒，
则，
即，
解得或（舍去），
所以这2个镁球发射时间相隔秒．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；作图-二次函数图象；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）①因为镁球的运动轨迹是抛物线，所以y与x之间的函数关系是二次函数，
故答案为：二次函数；
【分析】(1)①依据题意，根据表格数据进而可以作图得解，然后即可判断；
②利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
(2)依据题意，由二次函数为 则其对称轴为直线 进而可以判断得解；
(3)依据题意，由当 时，结合镁球到达最高处后再过1.5s会燃烧完，则第1个镁球燃烧完的时间为 此时 又设第2个镁球发射时间为x0秒，则 求出，故可判断得解.
20．【答案】（1）HL；
（2）点是AB边的三等分点，证明如下：
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∵ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
，即，
点是AB边的三等分点．
（3）①
设CD=a
则，根据折叠可知，则
，
．
四边形MDCN是矩形，
，相似比为
设，则
在中，由勾股定理得
（舍），
②当点在线段AD上时，如图所示，
则，
同【探究操作】设，则
在R中，由勾股定理得，
解得
，
当点在AD的延长线上时，连接HC，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为6，
．
由折叠的性质得，
又，
，
．
设，
．
在R，由勾股定理，可知，
，解得．
综上所述，BE的长为3或12．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）连接正方形ABCD沿CE折叠，
，
又，
．设，
是AB的中点，则，
在Rt中，可列方程：，
解得：，即是AD边的三等分点．
故答案为：HL；.
【分析】（1）根据题意得到证明全等的依据为HL，再根据勾股定理列方程即可；
（2）根据正方形的性质可得，根据对应边成比例解答即可；
（3）①设CD=a，即可得到，然后根据全等三角形的性质得到，然后证明敏四边形MDCN是矩形，即可得到，设，求出NG长，再在中，利用勾股定理求出AM，得到比值即可；
②分为点在线段AD上或点在AD的延长线上两种情况，利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可.
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