江西省2025年中考真题数学试题
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置.错选、多选或未选均不得分.
1．（2025·江西）下列各数中，是无理数的是
A．0 B． C．3.14 D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：0是整数，3.14是有限小数， 是分数，它们不是无理数，
是无限不循环小数，它是无理数，
故答案为：B.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可.
2．（2025·江西）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是
晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精
熔点（单位：） -259 -218 -210 -117
A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精
【答案】D
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵
∴熔点最高的是固态酒精，
故答案为：D.
【分析】根据正数和负数的实际意义比较各数的大小即可.
3．（2025·江西）下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可求解.
4．（2025·江西）某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是
A．随机抽取城区三分之一的学校 B．随机抽取乡村三分之一的学校
C．调查全体学校 D．随机抽取三分之一的学校
【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解： 抽样方式较合适的是随机抽取三分之一的学校，
故答案为：D.
【分析】根据抽取样本具有随机性和代表性解答即可.
5．（2025·江西）如图，是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到；再分别取的中点得到依此类推，则的面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：因为点 分别是AC， BC， AB的中点，
所以
所以
则
又因为 的面积为1，
所以 1的面积为
同理可得， 的面积为 的面积为
，
所以 的面积可表示为
故答案为：C.
【分析】根据所给变换方式，依次求出所得三角形的面积，发现规律即可解决问题.
6．（2025·江西）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解： 如图，
根据题意得
根据正比例函数的意义，k值越大，图象越陡，反之图象越陡，k值越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的性质解答即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2025·江西）化简： .
【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
故答案为：2.
【分析】根据立方根的定义：一个数x3=a，则这个数就是a的立方根计算即可得答案.
8．（2025·江西）因式分解： = ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式a，得 = .
故答案为：
【分析】用直接提公因事发即可将原式分解因式。
9．（2025·江西）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为 度.
【答案】720
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据图形知，空白部分为六多边形，六边形的内角和为(
故答案为： 720.
【分析】根据n边形的内角和公式 进行计算即可.
10．（2025·江西）不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答.
11．（2025·江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为 .
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为元，列方程得，
故答案为：.
【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为元，根据“ 燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元 ”列方程即可.
12．（2025·江西）如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点折叠纸片并展开，AB的对应边为，折痕与边BC交于点．当与AB，AD中任意一边的夹角为时，的度数可以是 .
【答案】或或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
如图，若∠BAB'=15°，
则∠BAP=，
∴∠APB=90°-∠BAP=90°-7.5°=82.5°；
如图，当点B'在AD的下方，∠DAB'=15°，
∴∠BAB'=90°-∠DAB'=90°-15°=75°，
∴∠BAP=，
∴∠APB=90°-∠BAP=90°-37.5°=52.5°；
如图，当点B'在AD上方且∠DAB'=15°，
∴∠BAB'=90°+∠DAB'=90°+15°=75°，
∴∠BAP=，
∴∠APB=90°-∠BAP=90°-52.5°=37.5°；
综上所述，的度数可以是或或，
故答案为：或或.
【分析】根据矩形的性质得到∠DAB=∠ABC=90°，然后分为∠BAB'=15°，点B'在AD上方且∠DAB'=15°，或点B'在AD上方且∠DAB'=15°，三种情况根据折叠求出∠BAP的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余解答即可.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2025·江西）
（1）计算：；
（2）如图，已知点在AE上，．求证：．
【答案】（1）原式
（2）证明：，
【知识点】零指数幂；无理数的混合运算；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】(1)根据有理数加减混合运算法则求解即可；
(2)根据平行线的判定定理与性质定理求证即可.
14．（2025·江西）化简：．
【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先把括号里的分式通分的，然后把除法化为乘法，把手分子、分母因式分解后约分化简即可.
15．（2025·江西）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出BC的中点；
（2）在图2中作出的重心．
【答案】（1）如图1
点D为所求
（2）方法一
如图2
答：点P为所求．
方法二
如图3
点P为所求
【知识点】三角形的重心及应用；尺规作图-中线
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质即可作出BC的中点；
(2) 根据 △ABC的重心就是三边中线的交点，即可作出图形.
16．（2025·江西）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
【答案】（1）B
（2）列表法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
用表格列举出所有可能出现的结果．
X Y Z W
X
Y
Z
W
由表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即。
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）．
树状图法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
依据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即（Z，W），（W，Z）．分
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，
故选：B；
【分析】（1）根据事件的分类解答即可；
（2）根据列表法或树状图可得所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算解题.
17．（2025·江西）如图，点A，B，C在上，，以BA，BC为边作．
（1）当BC经过圆心时（如图1），求的度数；
（2）当AD与相切时（如图2），若的半径为6，求的长．
【答案】（1）解：经过圆心，
．
，
四边形ABCD是平行四边形，
（2）方法一
如图2，连接OA，OC，
与相切，
．
四边形ABCD是平行四边形，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
．
方法二
如图2，连接OA，OC，
与相切，
．
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
．
，
，
，
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出∠BAC=90°，即可根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B的度数，然后根据平行四边形的对角相等解答即可；
（2）方法一：连接OA，OC，根据切线的性质得到OA⊥AD，根据平行线可得∠CAD=∠ACB，然后根据三角形的内角和和等边对等角求出∠OCA的度数，进而求出∠AOC的度数，根据弧长公式计算解答即可；方法二：连接OA，OC，根据等弧所对的圆周角相等得到∠B=∠ACB=35°，然后根据圆周角定理求出∠AOC的度数，然后根据弧长公式计算解答即可.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2025·江西）如图，直线与反比例函数的图象交于点．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）将直线向上平移，在轴上方与反比例函数图象交于点，连接OA，OC，当时，求点的坐标及直线平移的距离．
【答案】（1）解：直线与反比例函数的图象交于点，
．
．
一次函数和反比例函数解析式分别为
（2）解：方法一
如图，作轴于点轴于点，
．
，
，
．
，
．
．
．
设，
，
．
点在反比例函数的图象上，
．
解得或（舍去）．
．
设直线平移后的解析式为，
．
．
直线向上平移的距离为
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）把点A(6，2)代入函数解析式求出m和k的值，即可求出函数解析式即可；
（2）方法一：作轴于点轴于点，得到△AOD∽△COE，根据对应边成比例得到OE=3CE，设CE=a，得到点C的坐标代入反比例函数解析式求出a的值，即可求出点C的坐标，再代入一次函数的解析式计算解题.
19．（2025·江西）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点与点重合时，推拉门与门框完全闭合；当点滑动到限位点处时，推拉门推至最大，此时测得．
（1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中，
①的最小值为 ▲ 度，最大值为 ▲ 度；
②面积的变化情况是（ ）
A越来越大B越来越小C先增大后减小
（2）当时，求的面积．
【答案】（1）①0，39
②C
（2）如图2，过点作交BC的延长线于点，
依题意可知：．
，
，
．
，
，
．
，
．
答：当时，的面积为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）①解：当点与点重合时，推拉门与门框完全闭合，这时∠AMN为0°；
当点滑动到限位点处时，，
∴∠CMN=180°-∠C-∠CNM=180°-135°-6°=39°，
故答案为：0，39；
②过点N作NH⊥BC于点H，
则NH=，
∴，
当CM=CN时，三角形的面积最大，
故面积 先增大后减小 ，
故选：C；
【分析】（1）①根据题意的两个位置分别求出∠CMN的最值即可；
②过点N作NH⊥BC于点H，则NH=，表示三角形的面积，得到当CM=CN时，三角形的面积最大，即可得到变化情况；
（2）过点作交BC的延长线于点，利用30°的直角三角形的性质求出NH和MH长，即可求出MC长，利用三角形的面积公式计算解题即可.
20．（2025·江西）某文物考古研究院用1：1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率）如下表：
类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 30%
芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20%
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍.
（1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
（2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
【答案】（1）设第一次实验使用了公斤粮食糟醅和公斤芋头糟醅，则
解这个方程组，得
答：第一次实验使用了40公斤粮食糟醅和20公斤芋头糟醅
（2）解：设需要大米公斤，则
.
解这个方程，得．
答：需要准备37.5公斤大米
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设第一次实验使用了公斤粮食糟醅和公斤芋头糟醅，根据题意列方程组解题即可；
（2）设需要大米公斤，根据题意列方程求出m值即可解题.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2025·江西）某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案A：10毫升；方案B：30毫升；方案C：50毫升），并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以1至10的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）.
数据处理
根据收集到的数据，绘制了下列统计图表．
表1甜度、整体口感评分统计表
甜度 整体口感
平均数 中位数 平均数 中位数
A 2.1 2 m 2
B 6.5 5 7.1 7.5
C 8.5 8 5 n
数据应用
（1）在表1中， ▲ ， ▲ .
请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最受欢迎．
（2）结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数．
（3）补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响．
（4）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为3：7，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于6.5分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案．
【答案】（1）解：m=，
把C的口感排列为2，2，3，3，5，5，5，8，8，9，居于中间的数据为5，故n=5，
故答案为：2.4，5；
方案B最受欢迎．
理由：方案B整体口感评分的平均数最大，中位数最大
（2）10位评分嘉宾中，有3人对方案C的评分最高，即10人中有3人最喜爱方案C，所以：300位嘉宾中，最喜爱方案C的人数为：（人）
（3）补全图2如图所示．
分析一：糖浆的加入量增加，饮品甜度增加．
分析二：随着糖浆的加入量增加，甜度增加，饮品整体口感在一定程度上变好但是糖浆的加入量过多，又会使得饮品整体口感变差。
分析三：糖浆的加入量使得甜度和整体口感达到平衡时，饮品口味最受欢迎
（4）方法一
从以上数据中可以看出方案A两项评分的平均数均低于6.5分，所以综合得分一定低于6.5分；方案B甜度评分平均数等于6.5分，整体口感评分平均数大于6.5分，所以综合得分一定大于6.5分；方案C综合得分：，方案B的得分大于6.5分，所以该店会推出方案B．
方法二
可选用评分平均数进行计算．
方案A综合得分：，
方案B综合得分：，
方案C综合得分：，
方案B的得分大于6.5分，所以该店会推出方案B
【知识点】条形统计图；折线统计图；加权平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用方案A的口感评分计算m值，把方案C的口感评分排列找到居于中间的数值即可得到n的值，然后根据口感的平均数和中位数解答即可；
（2）根据评分得到选择方案C的人数占比×300解答即可；
（3）根据（1）中计算的平均数补图，比较复合统计图数据解答即可；
（4）利用加权平均数计算综合得分解答即可.
22．（2025·江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论：
①是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②是“不动点函数”，且不动点是；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是 ▲ （填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件．
（3）探究2
对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
（4）探究3
某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元．请写出关于的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
【答案】（1）③
（2）解：把(m，m)代入得m=km+b，
整理得(1-k)m=b，
当时，，m为任意实数，故是“不动点函数”；
当且时，为任意实数，m=，故是“不动点函数”
（3）方法一
由二次函数，可得：顶点坐标为，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
，
即．
方法二
由二次函数，可得：对称轴为直线，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
顶点坐标为，
，
即
（4）据题意，得，
即．
令，即．
解得，
该函数是“不动点函数”．
不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】①把(m，m)代入y=x+2得m=m+2，无解，原说法错误；
②把(m，m)代入y=-3x+2得m=-3m+2，解得m=，故不动点为，原说法错误；
③把(m，m)代入y=x得m=m，m为全体实数，则是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确；
故答案为：③；
【分析】（1）把(m，m)代入函数解析式，求出m值，然后根据“不动点函数”的定义判断即可；
（2）把(m，m)代入整理为(1-k)m=b，然后分情况讨论解答即可；
（3）得到抛物线的顶点坐标，再根据不动点的定义解答即可；
（4）根据利润=单利润×销售量列函数关系式，根据“不动点函数”的定义求出x值即可解答即可.
六、解答题（本大题共12分）
23．（2025·江西）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点．
（1）如图1，可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为 ▲ ，的值为 ▲ ；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点，使得点落在OD上，点落在BC上，求的值；
（3）类比探究
如图3，在菱形ABCD中，是AB的垂直平分线与BD的交点，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点，使得点落在OD上，点落在BC上．猜想的值是否与有关，并说明理由；
（4）若（3）中，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含的式子表示）．
【答案】（1）
（2）如图2，根据题意，得．
，
．
．
．
，
，
（3）的值与无关．
理由：如图3，同理可证，
．
菱形ABCD中，，
．
点在AB的垂直平分线上，
，
．
过点作，垂足为点，
，
，
．
所以，的值与无关
（4）解：同理可证：．
．
，
．
即
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠CAB=45°，AO=OD，∠ADC=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△ADC，
∴，
∴可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为45°，的值为，
故答案为：；
【分析】（1）根据正方形的性质得到得到△AOB∽△ADC，AD=AO，然后回答问题即可；
（2）根据旋转放大得到．即可得到对应边成比例，进而证明，利用对应边成比例解答即可；
（3）根据（2）可得，即可得到，然后根据垂直平分线的性质得到AO=OB，然后过点作，垂足为点，求出的值解答即可；
（4）根据对应边成比得到，即可表示BF和BA长，然后利用线段的和差解答即可．
1 / 1江西省2025年中考真题数学试题
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置.错选、多选或未选均不得分.
1．（2025·江西）下列各数中，是无理数的是
A．0 B． C．3.14 D．
2．（2025·江西）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是
晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精
熔点（单位：） -259 -218 -210 -117
A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精
3．（2025·江西）下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·江西）某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是
A．随机抽取城区三分之一的学校 B．随机抽取乡村三分之一的学校
C．调查全体学校 D．随机抽取三分之一的学校
5．（2025·江西）如图，是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到；再分别取的中点得到依此类推，则的面积为
A． B． C． D．
6．（2025·江西）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2025·江西）化简： .
8．（2025·江西）因式分解： = ．
9．（2025·江西）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为 度.
10．（2025·江西）不等式的解集为 .
11．（2025·江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为 .
12．（2025·江西）如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点折叠纸片并展开，AB的对应边为，折痕与边BC交于点．当与AB，AD中任意一边的夹角为时，的度数可以是 .
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2025·江西）
（1）计算：；
（2）如图，已知点在AE上，．求证：．
14．（2025·江西）化简：．
15．（2025·江西）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出BC的中点；
（2）在图2中作出的重心．
16．（2025·江西）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
17．（2025·江西）如图，点A，B，C在上，，以BA，BC为边作．
（1）当BC经过圆心时（如图1），求的度数；
（2）当AD与相切时（如图2），若的半径为6，求的长．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2025·江西）如图，直线与反比例函数的图象交于点．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）将直线向上平移，在轴上方与反比例函数图象交于点，连接OA，OC，当时，求点的坐标及直线平移的距离．
19．（2025·江西）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点与点重合时，推拉门与门框完全闭合；当点滑动到限位点处时，推拉门推至最大，此时测得．
（1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中，
①的最小值为 ▲ 度，最大值为 ▲ 度；
②面积的变化情况是（ ）
A越来越大B越来越小C先增大后减小
（2）当时，求的面积．
20．（2025·江西）某文物考古研究院用1：1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率）如下表：
类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 30%
芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20%
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍.
（1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
（2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2025·江西）某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案A：10毫升；方案B：30毫升；方案C：50毫升），并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以1至10的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）.
数据处理
根据收集到的数据，绘制了下列统计图表．
表1甜度、整体口感评分统计表
甜度 整体口感
平均数 中位数 平均数 中位数
A 2.1 2 m 2
B 6.5 5 7.1 7.5
C 8.5 8 5 n
数据应用
（1）在表1中， ▲ ， ▲ .
请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最受欢迎．
（2）结合图1，估计300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案C的人数．
（3）补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响．
（4）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为3：7，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于6.5分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案．
22．（2025·江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论：
①是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②是“不动点函数”，且不动点是；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是 ▲ （填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件．
（3）探究2
对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
（4）探究3
某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元．请写出关于的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
六、解答题（本大题共12分）
23．（2025·江西）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点．
（1）如图1，可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为 ▲ ，的值为 ▲ ；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点，使得点落在OD上，点落在BC上，求的值；
（3）类比探究
如图3，在菱形ABCD中，是AB的垂直平分线与BD的交点，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点，使得点落在OD上，点落在BC上．猜想的值是否与有关，并说明理由；
（4）若（3）中，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：0是整数，3.14是有限小数， 是分数，它们不是无理数，
是无限不循环小数，它是无理数，
故答案为：B.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵
∴熔点最高的是固态酒精，
故答案为：D.
【分析】根据正数和负数的实际意义比较各数的大小即可.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可求解.
4．【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解： 抽样方式较合适的是随机抽取三分之一的学校，
故答案为：D.
【分析】根据抽取样本具有随机性和代表性解答即可.
5．【答案】C
【知识点】探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：因为点 分别是AC， BC， AB的中点，
所以
所以
则
又因为 的面积为1，
所以 1的面积为
同理可得， 的面积为 的面积为
，
所以 的面积可表示为
故答案为：C.
【分析】根据所给变换方式，依次求出所得三角形的面积，发现规律即可解决问题.
6．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解： 如图，
根据题意得
根据正比例函数的意义，k值越大，图象越陡，反之图象越陡，k值越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的性质解答即可.
7．【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
故答案为：2.
【分析】根据立方根的定义：一个数x3=a，则这个数就是a的立方根计算即可得答案.
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式a，得 = .
故答案为：
【分析】用直接提公因事发即可将原式分解因式。
9．【答案】720
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据图形知，空白部分为六多边形，六边形的内角和为(
故答案为： 720.
【分析】根据n边形的内角和公式 进行计算即可.
10．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答.
11．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为元，列方程得，
故答案为：.
【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为元，根据“ 燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元 ”列方程即可.
12．【答案】或或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
如图，若∠BAB'=15°，
则∠BAP=，
∴∠APB=90°-∠BAP=90°-7.5°=82.5°；
如图，当点B'在AD的下方，∠DAB'=15°，
∴∠BAB'=90°-∠DAB'=90°-15°=75°，
∴∠BAP=，
∴∠APB=90°-∠BAP=90°-37.5°=52.5°；
如图，当点B'在AD上方且∠DAB'=15°，
∴∠BAB'=90°+∠DAB'=90°+15°=75°，
∴∠BAP=，
∴∠APB=90°-∠BAP=90°-52.5°=37.5°；
综上所述，的度数可以是或或，
故答案为：或或.
【分析】根据矩形的性质得到∠DAB=∠ABC=90°，然后分为∠BAB'=15°，点B'在AD上方且∠DAB'=15°，或点B'在AD上方且∠DAB'=15°，三种情况根据折叠求出∠BAP的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余解答即可.
13．【答案】（1）原式
（2）证明：，
【知识点】零指数幂；无理数的混合运算；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】(1)根据有理数加减混合运算法则求解即可；
(2)根据平行线的判定定理与性质定理求证即可.
14．【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先把括号里的分式通分的，然后把除法化为乘法，把手分子、分母因式分解后约分化简即可.
15．【答案】（1）如图1
点D为所求
（2）方法一
如图2
答：点P为所求．
方法二
如图3
点P为所求
【知识点】三角形的重心及应用；尺规作图-中线
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质即可作出BC的中点；
(2) 根据 △ABC的重心就是三边中线的交点，即可作出图形.
16．【答案】（1）B
（2）列表法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
用表格列举出所有可能出现的结果．
X Y Z W
X
Y
Z
W
由表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即。
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）．
树状图法：
将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．
依据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即（Z，W），（W，Z）．分
所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，
故选：B；
【分析】（1）根据事件的分类解答即可；
（2）根据列表法或树状图可得所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算解题.
17．【答案】（1）解：经过圆心，
．
，
四边形ABCD是平行四边形，
（2）方法一
如图2，连接OA，OC，
与相切，
．
四边形ABCD是平行四边形，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
．
方法二
如图2，连接OA，OC，
与相切，
．
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
．
，
，
，
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出∠BAC=90°，即可根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B的度数，然后根据平行四边形的对角相等解答即可；
（2）方法一：连接OA，OC，根据切线的性质得到OA⊥AD，根据平行线可得∠CAD=∠ACB，然后根据三角形的内角和和等边对等角求出∠OCA的度数，进而求出∠AOC的度数，根据弧长公式计算解答即可；方法二：连接OA，OC，根据等弧所对的圆周角相等得到∠B=∠ACB=35°，然后根据圆周角定理求出∠AOC的度数，然后根据弧长公式计算解答即可.
18．【答案】（1）解：直线与反比例函数的图象交于点，
．
．
一次函数和反比例函数解析式分别为
（2）解：方法一
如图，作轴于点轴于点，
．
，
，
．
，
．
．
．
设，
，
．
点在反比例函数的图象上，
．
解得或（舍去）．
．
设直线平移后的解析式为，
．
．
直线向上平移的距离为
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）把点A(6，2)代入函数解析式求出m和k的值，即可求出函数解析式即可；
（2）方法一：作轴于点轴于点，得到△AOD∽△COE，根据对应边成比例得到OE=3CE，设CE=a，得到点C的坐标代入反比例函数解析式求出a的值，即可求出点C的坐标，再代入一次函数的解析式计算解题.
19．【答案】（1）①0，39
②C
（2）如图2，过点作交BC的延长线于点，
依题意可知：．
，
，
．
，
，
．
，
．
答：当时，的面积为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）①解：当点与点重合时，推拉门与门框完全闭合，这时∠AMN为0°；
当点滑动到限位点处时，，
∴∠CMN=180°-∠C-∠CNM=180°-135°-6°=39°，
故答案为：0，39；
②过点N作NH⊥BC于点H，
则NH=，
∴，
当CM=CN时，三角形的面积最大，
故面积 先增大后减小 ，
故选：C；
【分析】（1）①根据题意的两个位置分别求出∠CMN的最值即可；
②过点N作NH⊥BC于点H，则NH=，表示三角形的面积，得到当CM=CN时，三角形的面积最大，即可得到变化情况；
（2）过点作交BC的延长线于点，利用30°的直角三角形的性质求出NH和MH长，即可求出MC长，利用三角形的面积公式计算解题即可.
20．【答案】（1）设第一次实验使用了公斤粮食糟醅和公斤芋头糟醅，则
解这个方程组，得
答：第一次实验使用了40公斤粮食糟醅和20公斤芋头糟醅
（2）解：设需要大米公斤，则
.
解这个方程，得．
答：需要准备37.5公斤大米
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设第一次实验使用了公斤粮食糟醅和公斤芋头糟醅，根据题意列方程组解题即可；
（2）设需要大米公斤，根据题意列方程求出m值即可解题.
21．【答案】（1）解：m=，
把C的口感排列为2，2，3，3，5，5，5，8，8，9，居于中间的数据为5，故n=5，
故答案为：2.4，5；
方案B最受欢迎．
理由：方案B整体口感评分的平均数最大，中位数最大
（2）10位评分嘉宾中，有3人对方案C的评分最高，即10人中有3人最喜爱方案C，所以：300位嘉宾中，最喜爱方案C的人数为：（人）
（3）补全图2如图所示．
分析一：糖浆的加入量增加，饮品甜度增加．
分析二：随着糖浆的加入量增加，甜度增加，饮品整体口感在一定程度上变好但是糖浆的加入量过多，又会使得饮品整体口感变差。
分析三：糖浆的加入量使得甜度和整体口感达到平衡时，饮品口味最受欢迎
（4）方法一
从以上数据中可以看出方案A两项评分的平均数均低于6.5分，所以综合得分一定低于6.5分；方案B甜度评分平均数等于6.5分，整体口感评分平均数大于6.5分，所以综合得分一定大于6.5分；方案C综合得分：，方案B的得分大于6.5分，所以该店会推出方案B．
方法二
可选用评分平均数进行计算．
方案A综合得分：，
方案B综合得分：，
方案C综合得分：，
方案B的得分大于6.5分，所以该店会推出方案B
【知识点】条形统计图；折线统计图；加权平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用方案A的口感评分计算m值，把方案C的口感评分排列找到居于中间的数值即可得到n的值，然后根据口感的平均数和中位数解答即可；
（2）根据评分得到选择方案C的人数占比×300解答即可；
（3）根据（1）中计算的平均数补图，比较复合统计图数据解答即可；
（4）利用加权平均数计算综合得分解答即可.
22．【答案】（1）③
（2）解：把(m，m)代入得m=km+b，
整理得(1-k)m=b，
当时，，m为任意实数，故是“不动点函数”；
当且时，为任意实数，m=，故是“不动点函数”
（3）方法一
由二次函数，可得：顶点坐标为，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
，
即．
方法二
由二次函数，可得：对称轴为直线，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
顶点坐标为，
，
即
（4）据题意，得，
即．
令，即．
解得，
该函数是“不动点函数”．
不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】①把(m，m)代入y=x+2得m=m+2，无解，原说法错误；
②把(m，m)代入y=-3x+2得m=-3m+2，解得m=，故不动点为，原说法错误；
③把(m，m)代入y=x得m=m，m为全体实数，则是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确；
故答案为：③；
【分析】（1）把(m，m)代入函数解析式，求出m值，然后根据“不动点函数”的定义判断即可；
（2）把(m，m)代入整理为(1-k)m=b，然后分情况讨论解答即可；
（3）得到抛物线的顶点坐标，再根据不动点的定义解答即可；
（4）根据利润=单利润×销售量列函数关系式，根据“不动点函数”的定义求出x值即可解答即可.
23．【答案】（1）
（2）如图2，根据题意，得．
，
．
．
．
，
，
（3）的值与无关．
理由：如图3，同理可证，
．
菱形ABCD中，，
．
点在AB的垂直平分线上，
，
．
过点作，垂足为点，
，
，
．
所以，的值与无关
（4）解：同理可证：．
．
，
．
即
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠CAB=45°，AO=OD，∠ADC=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△ADC，
∴，
∴可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为45°，的值为，
故答案为：；
【分析】（1）根据正方形的性质得到得到△AOB∽△ADC，AD=AO，然后回答问题即可；
（2）根据旋转放大得到．即可得到对应边成比例，进而证明，利用对应边成比例解答即可；
（3）根据（2）可得，即可得到，然后根据垂直平分线的性质得到AO=OB，然后过点作，垂足为点，求出的值解答即可；
（4）根据对应边成比得到，即可表示BF和BA长，然后利用线段的和差解答即可．
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