四川省眉山市2025中考真题数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小项4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．
1．（2025·眉山）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．（2025·眉山）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：B，C，D选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：A.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.
3．（2025·眉山）在《哪吒之魔童闹海》等影片的带动下，今年的中国电影市场火热开局，一季度的中影票房达到244亿元.244亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 244亿用科学记数法表示为 ，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正整数；当原数的绝对值 时， n是负整数.
4．（2025·眉山）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：与 不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可.
5．（2025·眉山）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为
故答案为：C.
【分析】根据平移规律“左减右加，上加下减”解答即可.
6．（2025·眉山）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：C.
【分析】首先根据正多边形内角和公式确定进而可得 的值，再根据对顶角相等的性质可知 即可获得答案.
7．（2025·眉山）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】A字型相似模型；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 将以点O为位似中心放大后得到，
∴△OBA∽△ODC且OD=2OB，
∴ 则与的周长之比是1：2，
故答案为：B.
【分析】根据位似三角形的周长比等于对应边的比解答即可.
8．（2025·眉山）如图，在四边形ABCD中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得∠BAG=∠DAG，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠AGB，
∴∠BAG=∠AGB，
∴BG=BA=6，
∴CG=BC-BA=10-6=4，
故答案为：A.
【分析】根据作图可得∠BAG=∠DAG，然后根据平行线可得∠DAG=∠AGB，进而得到∠BAG=∠AGB，根据等角对等边得到BG=BA=6，然后根据线段的和差解答即可.
9．（2025·眉山）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得：
故答案为：C.
【分析】根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，列出关于x、y的二元一次方程组即可.
10．（2025·眉山）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则向量，已知，，若，则与互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【解答】解：A：由于，则 则与不垂直；
B：由于， 则与不垂直；
C：由于，则与不垂直；
D：由于，则与互相垂直；
故答案为：D.
【分析】根据互相垂直的运算法则逐项判断解答即可.
11．（2025·眉山）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
【答案】B
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式组 可得，
∵不等式组 至少有两个正整数解，
∴，
解得，
解方程得，
∵方程的解x为正整数，
∴a>2且的偶数，
即a的值为6或8，
∴ 整数a的值之和为6+8=14，
故答案为：B.
【分析】根据不等式组的解集求出，再接分式方程求出a>2且的偶数，然后得到整数a的值，求和计算解题.
12．（2025·眉山）如图1，在中，，点D在AC上，，动点P在的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段BA上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；二次函数的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当t=1时，，故①正确；
由图可得：当点 P 运动到点 B 处时，
当点 P 运动到点A 处时， 抛物线的顶点坐标为(4，2)，
故③错误；
∴M(2，6)，
设 将 M(2，6)代入，得 解得
故②错误；
如图，则
即
∵存在3个时刻 对应的正方形 DPEF 的面积均相等，
在 和 中，
故④正确；
正确结论为：①④；
故答案为：B.
【分析】当t=1时，根据勾股定理求出S值判断①；根据点P在点A和B的位置时的函数值求出BC和AD长，判断③；然后求出函数关系式即可判断②；根据求出BH长，然后证明根据对应边相等得到判断④解答即可.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上．
13．（2025·眉山） 的立方根是 ．
【答案】-3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵-3的立方等于-27，
∴-27的立方根等于-3.
故答案为：-3.
【分析】（-3）3=-27根据立方根的概念求解即可.
14．（2025·眉山）某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是 ．
【答案】8
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这组数据排列5，6，7，8，8，9，10，居于中间的数值为8，
∴中位数为8，
故答案为：8.
【分析】根据数据从小到大排列后居于中间的一个数或两个数的平均是中位数解答即可.
15．（2025·眉山）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程 的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：-2.
【分析】根据根与系数的关系得到，，然后整体代入计算解题即可.
16．（2025·眉山）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当时，人字梯顶端离地面的高度是 m．（结果精确到0.1m，参考依据：，，）
【答案】1.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=2m，
∴，
故答案为：1.8.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据正弦的定义计算解题即可.
17．（2025·眉山）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题可知∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠MON=30°，
∴OB=，
OC=，
……，
∴OG=，
又∵点G在x轴的负半轴上，
∴点G的坐标为，
故答案为：.
【分析】由题可得∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠MON=30°，然后根据余弦的定义依次计算求出OG长，再根据点的位置得到坐标即可.
18．（2025·眉山）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），，点F在射线DP上，且，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：
①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，在AB上截取AH=AE，连接EH.
∵AE=AH， ∠EAH=90°，
∴EH= AE，
∵DF=AE，
∴DF=EH，
∵∠CDP=∠EHA=45°， ∠ADC=90°，
∴∠FDA=∠EHB=135°，
∵BA =AD， AE=AH，
∴DE=HB，
∴△FDE≌△EHB (SAS)，
∴EF=EB， ∠DEF=∠EBH，
∵∠EBH+∠AEB=90°，
∴∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠EBF=∠EFB=45°，
∴ ，故①正确；
如图2， 延长DA到K， 使得AK=CG，连接BK，
则△BAK≌△BCG (SAS)，
∴∠KBA=∠CBG，BK=BG，
∴∠KBG=∠ABC=90°，
∴∠EBG=∠KBE=45°，
∵BE=BE， BK=BG，
∴△BEK≌△BEG (SAS)，
∴EG=KE，
∵EG=AK+AE， CG=AK，
∴EG=AE+CG，
∴，故②错误；
设AE=x， 则
时，△AEF的面积的最大值为2， 故③正确；
当 时， 设CG=a， 则
在 Rt△AEG中， 则有 解得 故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】在AB上截取AH=AE，连接EH.根据SAS得到△FDE≌△EHB，即可得到EF=EB， ∠DEF=∠EBH， 进而得到∠FEB=90°，即可求出∠EBF=∠EFB=45°， 得到正弦值判断①；设AE=x， 则得到的面积 关于x的二次函数，配方找到最大值即可判断③； 延长DA到K， 使得AK=CG，连接BK，则有△BAK≌△BCG，即可得到∠KBA=∠CBG，BK=BG，然后证明△BEK≌△BEG，得到EG=AE+CG， 判断②；在 Rt△AEG中利用勾股定理求出CG长判断④解答即可.
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
19．（2025·眉山）
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：原式=2-3=-1
（2）解：去括号得2x-2=2+x
移项得2x-x=2+2
合并同类项得x=4
【知识点】解含括号的一元一次方程；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算算术平方根和绝对值，然后运算减法解题即可；
（2）利用去括号、移项、合并同类项解一元一次方程即可.
20．（2025·眉山）先化简，再求值：．其中x、y满足．
【答案】解：
，
∵ ，
∴x+2=0，y-1=0，
解得x=-2，y=1，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法，约分化简，然后根据非负性求出x和y的值，代入计算解答即可.
21．（2025·眉山）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：
请根据图中信息，完成下列问题：
（1）这次抽取的学生总人数为 ▲ 人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为 ▲ 度；
（2）补全条形统计图；
（3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率．
【答案】（1）200，144
（2）解： A类软件的数量为200-80-20-40=60人，
补全条形统计图为：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中 使用A、B两类软件各1人的有6种，
∴ 恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：40÷20%=200人；A类软件所占圆心角为，
故答案为：200，144；
【分析】（1）根据使用D软件的人数除以占比求出总人数，然后利用A软件人数占比乘以360°计算圆心角即可；
（2）求出B软件的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式计算解答即可.
22．（2025·眉山）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点D，过点B作，交⊙O于点E，连接AE、AC．
（1）求证：；
（2）若，⊙O的半径为2，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接OC交BE于点F，
∵CD是 ⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
又∵BE∥CD，
∴∠OFB=90°，
∴
（2）解：∵AB是 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠EAB=60°，
∴∠EBA=30°，
又∵CD∥BE，
∴∠D=30°，
∴OD=2OC=AB=4，
∴，
又∵，
∴∠CAD=∠EAC=30°=∠D，
∴AC=CD=
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OC交BE于点F，即可根据切线得到∠OCD=90°，然后根据平行得到∠OFB=90°，再根据垂径定理得到结论即可；
（2）根据直径可得∠AEB=90°，即可得到∠EBA=30°，由平行线得到∠D=30°，进而求出CD长，然后根据等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠D，再根据等角对等边解答即可.
23．（2025·眉山）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式：
（2）点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标．
【答案】（1）解：把A(1，4)代入得k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为，
把B(4，m)代入得m=1，
∴点B的坐标为(4，1)，
把(1，4)和(4，1)代入y=ax+b得：
，解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：令y=0，则-x+5=0，解得x=5，
∴点C的坐标为(5，0)，即OC=5，
∵点A的坐标为(1，4)，且 点D与点A关于点O对称，
∴，
当△AOC∽△POD时，
则，即，
解得OP=，
∴点P的坐标为；
当△AOC∽△DOP时，
则，即，
解得OP=5，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）求出点C的坐标，即可得到OC=5，然后根据勾股定理求出OA=OD的长，再分为△AOC∽△POD或△AOC∽△DOP两种情况，利用对应边成比例解答即可.
24．（2025·眉山）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为50g，其核心营养素如下：
食品类别 能量（单位：Kcal） 蛋白质（单位：g） 脂肪（单位：g） 碳水化合物（单位：g）
A 240 12 7.5 29.8
B 280 13 9 27.6
（1）若要从这两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质，应运用A、B两种食品各多少份？
（2）若每份午餐选用这两种食品共300g，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？
【答案】（1）解：设应运用A、B两种食品各x份和y份，
，解得，
答：选用A、B两种食品分别为份和2份
（2）解：设A种食品a份，则B种食品为(6-x)份，摄入能量为wkcal，
则w=240a+280(6-a)=-40a+1680，
∵12a+13(6-a)≥76，
解得a≤2，
∴当a=2时，w最小为1600kcal，
∴ 应选用A、B两种食品分别为2份和份
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设应运用A、B两种食品各x份和y份，根据“ 两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质 ”列方程组解答即可；
（2）设A种食品a份，摄入能量为wkcal，即可得到w关于a的函数解析式，再根据摄入蛋白质的总量求出a的取值范围，再根据函数的增减性解答即可.
25．（2025·眉山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；
（3）在线段OC上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： ∵抛物线 关于直线x=-3对称， 与x轴交于A(-1，0)、B两点，
∴B(-5，0).
∴抛物线的解析式为：
（2）解：∵点P在对称轴上，设对称轴与x轴交于点E
∴设P(-3，p)， E(-3，0)；
由旋转可得，PB=PD，∠BPD=90°.
当点P在x轴上方时，
∵A，B关于对称轴对称，
∴PA=PB，
∴当∠APB=90°时， 满足题意， 此时点D与点A重合，
∵A(-1，0). B(-5，0).
∴AB=4，
∴PE=2.
∴P(-3，2)；
当点P在x轴下方时， 如图， 作DF⊥对称轴于点F， 则： ∠DFP=90°=∠BEP=∠BPD.
∴∠BPE=∠PDF=90°-∠DPF.
又∵BP=DP.
∴△BPE≌△PDF.
∴DF=PE，PF=BE.
∵B(-5，0)，E(-3，0)，P(1，p)，
∴DF=PE=-p，PF=BE=2. OE=3.
∴EF=-p+2.
∴D(p-3，p-2).
把D(p-3，p-2)代入 得：
解得： x=-1或x=2 (舍去) ；
∴P(-3，-1)：
综上： P(-3，2)或P(-3， -1)
（3）解：存在；
在x轴上取点M(5，0)， 连接AC，CM， 过点A作AH⊥CM于点H， 交y轴于过点Q作QG⊥CM于点G， 则：OM=5， ∠QGC=90°，
∴当x=0时， y=5.
∴C(0，5).
∴OC=OM=5.
∴△QGC为等腰直角三角形，
∴当点Q与点Q重合时， 的值最小为2AH的长，
∵A(-1，0).
∴OA=1， AM=6.
的最小值为
在Rt△AHM中， ∠AMH=45°，
∴∠MAH=45°，
∴△OAQ为等腰直角三角形，
∴OQ=OQ=OA=1，
∴Q(0，1)；
综上：Q(0，1)， 的最小值为
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】(1) 利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
(2)设对称轴与x轴交于点E，设P(-3，p)， E(-3，0)，当点P在x轴上方时，则PA=PB，即∠APB=90°时，点D与A重合，进而求出点P的坐标；当点P在x轴下方时， 如图， 作DF⊥对称轴于点F，得到△BPE≌△PDF.即可得到DF=PE，PF=BE.即可得到点D(p-3，p-2)，代入二次函数解析式求出点P的坐标即可；
(3)在x轴上取点M(5，0)， 连接AC，CM， 过点A作AH⊥CM于点H， 交y轴于 过点Q作QG⊥CM于点G， 则：OM=5， ∠QGC=90°，求出点C的坐标，可得即可得到，当点Q与点Q重合时， 的值最小为2AH的长，然后根据三角形的面积求出AH长，进而得到点Q的坐标解答即可.
26．（2025·眉山）综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点处，折痕交AB于点E，再沿着过点，的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交CD于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕CE、，连接、、．
（1）【初步猜想】确定CE和的位置关系及线段BE和CF的数量关系．
创新小组经过探究，发现，证明过程如下：
由折叠可知，．由矩形的性质，
可知，．① ▲ ．．
智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为② ▲ ．
经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一：
方法一：证明，得到，再由可得结论．
方法二：过点作AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形，然后证可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．
（2）【推理证明】请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程．
（3）【尝试运用】如图2，在矩形ABCD中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交CE于点G，连接．当为直角三角形时，求出BE的长．
【答案】（1），
（2）法一： ∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，BC=AD，
由折叠得∠EBC=∠B=90°，BD=BD'，BC=BC=AD， ∠D=∠BDF=90°，BE=BE，
∴AD-BD=BC-CD，即： AB=CD， ∠CDF=90°=∠A，
由(1) 知： ∠CBD=∠BCB
又∵∠ABE+∠CBD=180°-∠EBC=90°，∠BCB+∠BCF=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠FCD'，
又∵∠A=∠CDF，AB=CD，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∵BE=BE，
∴BE=CF；
法二： 作BG∥AB交CE于点G， 则： BG∥AB∥CD，
∵CE∥BF.
∴四边形CFBG为平行四边形，
∴BG=CF.
∵矩形ABCD.
∴AB∥CD.
∴AB∥BG.
∴∠BGE=∠BEC.
由折叠得∠BEC=∠BEC，BE=BE，
∴∠BGE=∠BEC.
∴BE=BG.
∴BE=BE=BG=CF
（3） 解： 作BG∥AB交CE于点G， 则： ∠A=∠GBD=90°.
由(2) 可知： BG=BE=BE=CF，CD'=AB，△ABE≌△DCF，
∴DF=AE，
设BE=x， 则：
如图，当△BDG为直角三角形时，则：
∴GD'∥AD∥BC，
∴∠DGC=∠ECB.
又∵∠GCD'=∠ECB
∵BG∥AB∥CD，
∴∠GBD=∠FCD'.
∵在Rt△BGD和Rt△CDF中，
即：
∴x(6-x)=12x-36，
解得： 或 (舍去) ；
故
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解： (1)由折叠可知 由矩形的性质，可知AD∥BC.
∴∠DBC=∠BCB.
∴∠ECB=∠FBC.
∴CE∥BF.
智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为BE=CF；
故答案为：，；
【分析】(1)根据折叠的性质和矩形的性质得到∠ECB=∠FBC，即可得到CE∥BF，通过测量得到BE=CF解答即可；
(2)法一：由矩形的性质和折叠的性质得到AB=CD， ∠CDF=90°=∠A，由（1）得∠CBD=∠BCB，即可得到∠ABE=∠FCD'，进而利用ASA得到△ABE≌△DCF，证明结论；法二： 作BG∥AB交CE于点G，则 BG∥AB∥CD，证明CFBG为平行四边形，进而得到∠BGE=∠BEC.再根据折叠得到∠BEC=∠BEC，进而得到BE=BG，根据等角对等边得到列轮即可；
(3)作BG∥AB交CE于点G，即可得到DF=AE，设BE=x， 表示CD'长，然后根据△BDG为直角三角形得到D'G=D'C的长，然后利用正切的定义得到代入数值求出x值即可解题.
1 / 1四川省眉山市2025中考真题数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小项4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．
1．（2025·眉山）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·眉山）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·眉山）在《哪吒之魔童闹海》等影片的带动下，今年的中国电影市场火热开局，一季度的中影票房达到244亿元.244亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·眉山）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·眉山）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·眉山）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·眉山）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·眉山）如图，在四边形ABCD中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．（2025·眉山）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·眉山）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则向量，已知，，若，则与互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2025·眉山）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
12．（2025·眉山）如图1，在中，，点D在AC上，，动点P在的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段BA上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上．
13．（2025·眉山） 的立方根是 ．
14．（2025·眉山）某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是 ．
15．（2025·眉山）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
16．（2025·眉山）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当时，人字梯顶端离地面的高度是 m．（结果精确到0.1m，参考依据：，，）
17．（2025·眉山）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为
18．（2025·眉山）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），，点F在射线DP上，且，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：
①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
19．（2025·眉山）
（1）计算：；
（2）解方程：．
20．（2025·眉山）先化简，再求值：．其中x、y满足．
21．（2025·眉山）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：
请根据图中信息，完成下列问题：
（1）这次抽取的学生总人数为 ▲ 人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为 ▲ 度；
（2）补全条形统计图；
（3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率．
22．（2025·眉山）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点D，过点B作，交⊙O于点E，连接AE、AC．
（1）求证：；
（2）若，⊙O的半径为2，求AC的长．
23．（2025·眉山）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式：
（2）点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标．
24．（2025·眉山）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为50g，其核心营养素如下：
食品类别 能量（单位：Kcal） 蛋白质（单位：g） 脂肪（单位：g） 碳水化合物（单位：g）
A 240 12 7.5 29.8
B 280 13 9 27.6
（1）若要从这两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质，应运用A、B两种食品各多少份？
（2）若每份午餐选用这两种食品共300g，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？
25．（2025·眉山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；
（3）在线段OC上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
26．（2025·眉山）综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点处，折痕交AB于点E，再沿着过点，的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交CD于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕CE、，连接、、．
（1）【初步猜想】确定CE和的位置关系及线段BE和CF的数量关系．
创新小组经过探究，发现，证明过程如下：
由折叠可知，．由矩形的性质，
可知，．① ▲ ．．
智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为② ▲ ．
经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一：
方法一：证明，得到，再由可得结论．
方法二：过点作AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形，然后证可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．
（2）【推理证明】请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程．
（3）【尝试运用】如图2，在矩形ABCD中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交CE于点G，连接．当为直角三角形时，求出BE的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：B，C，D选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：A.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 244亿用科学记数法表示为 ，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正整数；当原数的绝对值 时， n是负整数.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：与 不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可.
5．【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为
故答案为：C.
【分析】根据平移规律“左减右加，上加下减”解答即可.
6．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：C.
【分析】首先根据正多边形内角和公式确定进而可得 的值，再根据对顶角相等的性质可知 即可获得答案.
7．【答案】B
【知识点】A字型相似模型；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 将以点O为位似中心放大后得到，
∴△OBA∽△ODC且OD=2OB，
∴ 则与的周长之比是1：2，
故答案为：B.
【分析】根据位似三角形的周长比等于对应边的比解答即可.
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得∠BAG=∠DAG，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠AGB，
∴∠BAG=∠AGB，
∴BG=BA=6，
∴CG=BC-BA=10-6=4，
故答案为：A.
【分析】根据作图可得∠BAG=∠DAG，然后根据平行线可得∠DAG=∠AGB，进而得到∠BAG=∠AGB，根据等角对等边得到BG=BA=6，然后根据线段的和差解答即可.
9．【答案】C
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得：
故答案为：C.
【分析】根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，列出关于x、y的二元一次方程组即可.
10．【答案】D
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【解答】解：A：由于，则 则与不垂直；
B：由于， 则与不垂直；
C：由于，则与不垂直；
D：由于，则与互相垂直；
故答案为：D.
【分析】根据互相垂直的运算法则逐项判断解答即可.
11．【答案】B
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式组 可得，
∵不等式组 至少有两个正整数解，
∴，
解得，
解方程得，
∵方程的解x为正整数，
∴a>2且的偶数，
即a的值为6或8，
∴ 整数a的值之和为6+8=14，
故答案为：B.
【分析】根据不等式组的解集求出，再接分式方程求出a>2且的偶数，然后得到整数a的值，求和计算解题.
12．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；二次函数的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当t=1时，，故①正确；
由图可得：当点 P 运动到点 B 处时，
当点 P 运动到点A 处时， 抛物线的顶点坐标为(4，2)，
故③错误；
∴M(2，6)，
设 将 M(2，6)代入，得 解得
故②错误；
如图，则
即
∵存在3个时刻 对应的正方形 DPEF 的面积均相等，
在 和 中，
故④正确；
正确结论为：①④；
故答案为：B.
【分析】当t=1时，根据勾股定理求出S值判断①；根据点P在点A和B的位置时的函数值求出BC和AD长，判断③；然后求出函数关系式即可判断②；根据求出BH长，然后证明根据对应边相等得到判断④解答即可.
13．【答案】-3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵-3的立方等于-27，
∴-27的立方根等于-3.
故答案为：-3.
【分析】（-3）3=-27根据立方根的概念求解即可.
14．【答案】8
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这组数据排列5，6，7，8，8，9，10，居于中间的数值为8，
∴中位数为8，
故答案为：8.
【分析】根据数据从小到大排列后居于中间的一个数或两个数的平均是中位数解答即可.
15．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程 的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：-2.
【分析】根据根与系数的关系得到，，然后整体代入计算解题即可.
16．【答案】1.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=2m，
∴，
故答案为：1.8.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据正弦的定义计算解题即可.
17．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题可知∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠MON=30°，
∴OB=，
OC=，
……，
∴OG=，
又∵点G在x轴的负半轴上，
∴点G的坐标为，
故答案为：.
【分析】由题可得∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠MON=30°，然后根据余弦的定义依次计算求出OG长，再根据点的位置得到坐标即可.
18．【答案】①③④
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，在AB上截取AH=AE，连接EH.
∵AE=AH， ∠EAH=90°，
∴EH= AE，
∵DF=AE，
∴DF=EH，
∵∠CDP=∠EHA=45°， ∠ADC=90°，
∴∠FDA=∠EHB=135°，
∵BA =AD， AE=AH，
∴DE=HB，
∴△FDE≌△EHB (SAS)，
∴EF=EB， ∠DEF=∠EBH，
∵∠EBH+∠AEB=90°，
∴∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠EBF=∠EFB=45°，
∴ ，故①正确；
如图2， 延长DA到K， 使得AK=CG，连接BK，
则△BAK≌△BCG (SAS)，
∴∠KBA=∠CBG，BK=BG，
∴∠KBG=∠ABC=90°，
∴∠EBG=∠KBE=45°，
∵BE=BE， BK=BG，
∴△BEK≌△BEG (SAS)，
∴EG=KE，
∵EG=AK+AE， CG=AK，
∴EG=AE+CG，
∴，故②错误；
设AE=x， 则
时，△AEF的面积的最大值为2， 故③正确；
当 时， 设CG=a， 则
在 Rt△AEG中， 则有 解得 故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】在AB上截取AH=AE，连接EH.根据SAS得到△FDE≌△EHB，即可得到EF=EB， ∠DEF=∠EBH， 进而得到∠FEB=90°，即可求出∠EBF=∠EFB=45°， 得到正弦值判断①；设AE=x， 则得到的面积 关于x的二次函数，配方找到最大值即可判断③； 延长DA到K， 使得AK=CG，连接BK，则有△BAK≌△BCG，即可得到∠KBA=∠CBG，BK=BG，然后证明△BEK≌△BEG，得到EG=AE+CG， 判断②；在 Rt△AEG中利用勾股定理求出CG长判断④解答即可.
19．【答案】（1）解：原式=2-3=-1
（2）解：去括号得2x-2=2+x
移项得2x-x=2+2
合并同类项得x=4
【知识点】解含括号的一元一次方程；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算算术平方根和绝对值，然后运算减法解题即可；
（2）利用去括号、移项、合并同类项解一元一次方程即可.
20．【答案】解：
，
∵ ，
∴x+2=0，y-1=0，
解得x=-2，y=1，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法，约分化简，然后根据非负性求出x和y的值，代入计算解答即可.
21．【答案】（1）200，144
（2）解： A类软件的数量为200-80-20-40=60人，
补全条形统计图为：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中 使用A、B两类软件各1人的有6种，
∴ 恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：40÷20%=200人；A类软件所占圆心角为，
故答案为：200，144；
【分析】（1）根据使用D软件的人数除以占比求出总人数，然后利用A软件人数占比乘以360°计算圆心角即可；
（2）求出B软件的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式计算解答即可.
22．【答案】（1）证明：连接OC交BE于点F，
∵CD是 ⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
又∵BE∥CD，
∴∠OFB=90°，
∴
（2）解：∵AB是 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠EAB=60°，
∴∠EBA=30°，
又∵CD∥BE，
∴∠D=30°，
∴OD=2OC=AB=4，
∴，
又∵，
∴∠CAD=∠EAC=30°=∠D，
∴AC=CD=
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OC交BE于点F，即可根据切线得到∠OCD=90°，然后根据平行得到∠OFB=90°，再根据垂径定理得到结论即可；
（2）根据直径可得∠AEB=90°，即可得到∠EBA=30°，由平行线得到∠D=30°，进而求出CD长，然后根据等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠D，再根据等角对等边解答即可.
23．【答案】（1）解：把A(1，4)代入得k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为，
把B(4，m)代入得m=1，
∴点B的坐标为(4，1)，
把(1，4)和(4，1)代入y=ax+b得：
，解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：令y=0，则-x+5=0，解得x=5，
∴点C的坐标为(5，0)，即OC=5，
∵点A的坐标为(1，4)，且 点D与点A关于点O对称，
∴，
当△AOC∽△POD时，
则，即，
解得OP=，
∴点P的坐标为；
当△AOC∽△DOP时，
则，即，
解得OP=5，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）求出点C的坐标，即可得到OC=5，然后根据勾股定理求出OA=OD的长，再分为△AOC∽△POD或△AOC∽△DOP两种情况，利用对应边成比例解答即可.
24．【答案】（1）解：设应运用A、B两种食品各x份和y份，
，解得，
答：选用A、B两种食品分别为份和2份
（2）解：设A种食品a份，则B种食品为(6-x)份，摄入能量为wkcal，
则w=240a+280(6-a)=-40a+1680，
∵12a+13(6-a)≥76，
解得a≤2，
∴当a=2时，w最小为1600kcal，
∴ 应选用A、B两种食品分别为2份和份
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设应运用A、B两种食品各x份和y份，根据“ 两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质 ”列方程组解答即可；
（2）设A种食品a份，摄入能量为wkcal，即可得到w关于a的函数解析式，再根据摄入蛋白质的总量求出a的取值范围，再根据函数的增减性解答即可.
25．【答案】（1）解： ∵抛物线 关于直线x=-3对称， 与x轴交于A(-1，0)、B两点，
∴B(-5，0).
∴抛物线的解析式为：
（2）解：∵点P在对称轴上，设对称轴与x轴交于点E
∴设P(-3，p)， E(-3，0)；
由旋转可得，PB=PD，∠BPD=90°.
当点P在x轴上方时，
∵A，B关于对称轴对称，
∴PA=PB，
∴当∠APB=90°时， 满足题意， 此时点D与点A重合，
∵A(-1，0). B(-5，0).
∴AB=4，
∴PE=2.
∴P(-3，2)；
当点P在x轴下方时， 如图， 作DF⊥对称轴于点F， 则： ∠DFP=90°=∠BEP=∠BPD.
∴∠BPE=∠PDF=90°-∠DPF.
又∵BP=DP.
∴△BPE≌△PDF.
∴DF=PE，PF=BE.
∵B(-5，0)，E(-3，0)，P(1，p)，
∴DF=PE=-p，PF=BE=2. OE=3.
∴EF=-p+2.
∴D(p-3，p-2).
把D(p-3，p-2)代入 得：
解得： x=-1或x=2 (舍去) ；
∴P(-3，-1)：
综上： P(-3，2)或P(-3， -1)
（3）解：存在；
在x轴上取点M(5，0)， 连接AC，CM， 过点A作AH⊥CM于点H， 交y轴于过点Q作QG⊥CM于点G， 则：OM=5， ∠QGC=90°，
∴当x=0时， y=5.
∴C(0，5).
∴OC=OM=5.
∴△QGC为等腰直角三角形，
∴当点Q与点Q重合时， 的值最小为2AH的长，
∵A(-1，0).
∴OA=1， AM=6.
的最小值为
在Rt△AHM中， ∠AMH=45°，
∴∠MAH=45°，
∴△OAQ为等腰直角三角形，
∴OQ=OQ=OA=1，
∴Q(0，1)；
综上：Q(0，1)， 的最小值为
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】(1) 利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
(2)设对称轴与x轴交于点E，设P(-3，p)， E(-3，0)，当点P在x轴上方时，则PA=PB，即∠APB=90°时，点D与A重合，进而求出点P的坐标；当点P在x轴下方时， 如图， 作DF⊥对称轴于点F，得到△BPE≌△PDF.即可得到DF=PE，PF=BE.即可得到点D(p-3，p-2)，代入二次函数解析式求出点P的坐标即可；
(3)在x轴上取点M(5，0)， 连接AC，CM， 过点A作AH⊥CM于点H， 交y轴于 过点Q作QG⊥CM于点G， 则：OM=5， ∠QGC=90°，求出点C的坐标，可得即可得到，当点Q与点Q重合时， 的值最小为2AH的长，然后根据三角形的面积求出AH长，进而得到点Q的坐标解答即可.
26．【答案】（1），
（2）法一： ∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，BC=AD，
由折叠得∠EBC=∠B=90°，BD=BD'，BC=BC=AD， ∠D=∠BDF=90°，BE=BE，
∴AD-BD=BC-CD，即： AB=CD， ∠CDF=90°=∠A，
由(1) 知： ∠CBD=∠BCB
又∵∠ABE+∠CBD=180°-∠EBC=90°，∠BCB+∠BCF=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠FCD'，
又∵∠A=∠CDF，AB=CD，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∵BE=BE，
∴BE=CF；
法二： 作BG∥AB交CE于点G， 则： BG∥AB∥CD，
∵CE∥BF.
∴四边形CFBG为平行四边形，
∴BG=CF.
∵矩形ABCD.
∴AB∥CD.
∴AB∥BG.
∴∠BGE=∠BEC.
由折叠得∠BEC=∠BEC，BE=BE，
∴∠BGE=∠BEC.
∴BE=BG.
∴BE=BE=BG=CF
（3） 解： 作BG∥AB交CE于点G， 则： ∠A=∠GBD=90°.
由(2) 可知： BG=BE=BE=CF，CD'=AB，△ABE≌△DCF，
∴DF=AE，
设BE=x， 则：
如图，当△BDG为直角三角形时，则：
∴GD'∥AD∥BC，
∴∠DGC=∠ECB.
又∵∠GCD'=∠ECB
∵BG∥AB∥CD，
∴∠GBD=∠FCD'.
∵在Rt△BGD和Rt△CDF中，
即：
∴x(6-x)=12x-36，
解得： 或 (舍去) ；
故
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解： (1)由折叠可知 由矩形的性质，可知AD∥BC.
∴∠DBC=∠BCB.
∴∠ECB=∠FBC.
∴CE∥BF.
智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为BE=CF；
故答案为：，；
【分析】(1)根据折叠的性质和矩形的性质得到∠ECB=∠FBC，即可得到CE∥BF，通过测量得到BE=CF解答即可；
(2)法一：由矩形的性质和折叠的性质得到AB=CD， ∠CDF=90°=∠A，由（1）得∠CBD=∠BCB，即可得到∠ABE=∠FCD'，进而利用ASA得到△ABE≌△DCF，证明结论；法二： 作BG∥AB交CE于点G，则 BG∥AB∥CD，证明CFBG为平行四边形，进而得到∠BGE=∠BEC.再根据折叠得到∠BEC=∠BEC，进而得到BE=BG，根据等角对等边得到列轮即可；
(3)作BG∥AB交CE于点G，即可得到DF=AE，设BE=x， 表示CD'长，然后根据△BDG为直角三角形得到D'G=D'C的长，然后利用正切的定义得到代入数值求出x值即可解题.
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