8．2.2 第1课时 两角和与差的正弦
【课程标准】 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系.2.能运用上述公式进行简单的恒等变换．
教 材 要 点
知识点一 两角和与差的正弦公式
1．Sα＋β：sin (α＋β)＝______________________．
2．Sα－β：sin (α－β)＝______________________．
【公式理解】
1．角α，β都是任意角；
2．两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即sin (α±β)≠sin α±sin β；
3．注意公式的变形运用
(1)逆用：如sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α；
(2)变形运用：变形运用涉及两个方面，一是公式的变形，如sin (α－β)＋cos αsin β＝sin αcos β；第二是角的变形运用，即角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
知识点二 辅助角公式
y＝a sin x＋b cos x＝____________sin (x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝____________，sin θ＝____________.
【学霸笔记】 根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？
[提示] 对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”．
基 础 自 测
1.cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°＝( )
A． B．
C． D．以上都不对
2．已知cos α＝，α∈，角β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点且β∈(0，π)，则α－β＝( )
A． B．－ C． D．－
3．计算sin ＝( )
A． B．
C． D．－
4．已知α为锐角，sin α＝，β是第四象限角，cos (π＋β)＝－，则sin (α＋β)＝________．
5．已知点P(3，4)是角α的终边上一点，则sin ＝________．
题型1利用公式化简求值
例1(1)＝( )
A．－ B．－ C． D．
(2)计算sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝________．
(3)求sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)的值．
状元随笔 (1)化简求值应注意公式的逆用．
(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
方法归纳
1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正负相消的项，消去，求值；
(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．
2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．
跟踪训练1 (1)计算＝________．
(2)化简－2cos (α＋β)．
题型2给值(式)求值
例2(1)设α∈，β∈，若cos α＝sin β＝，求sin (α＋β)的值．
(2)已知sin α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β均为锐角．
①求sin (2α＋β)；②求β.
跟踪训练2 已知α∈，β∈，sin ＝，sin ＝，则sin ＝________．
方法归纳
“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(1)把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝＝－等．
提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．
题型3辅助角公式的应用
【思考探究】 (1)函数y＝sin x＋cos x(x∈R)的最大值为2对吗？为什么？
[提示] 不对．因为sin x＋cos x
＝sin x ＋
＝＋cos x·sin)
＝sin ，
所以函数的最大值为.
(2)函数y＝3sin x ＋4cos x的最大值等于多少？
[提示] 因为y ＝3sin x＋4cos x
＝5(sin x ＋)，
令cos φ＝，sin φ＝，
则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ) ＝5sin (x＋φ)，
所以函数y的最大值为5.
(3)如何推导a sin x ＋b cos x＝sin (x ＋φ)公式？
[提示] a sin x ＋b cos x
＝sin x ＋，
令cos φ ＝，sin φ ＝，则
a sin x ＋b cos x ＝(sin x cos φ ＋cos x sin φ)＝
sin (x ＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ ＝确定，或由sin φ ＝和cos φ ＝共同确定)．
例3(1)函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的单调递增区间是( )
A．[，kπ＋](k∈Z)
B．[，2kπ＋](k∈Z)
C．[，kπ＋](k∈Z)
D．[，2kπ＋](k∈Z)
(2)设函数f(x)＝sin x＋sin .
①求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
②不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到．
状元随笔 辅助角公式?转化成“一角一函数”的形式?将所给函数展开与合并．
跟踪训练3 (1)已知a＝，b＝(sin x，cos x)，x∈R，f(x)＝a·b，求函数f(x)的周期、值域、单调递增区间．
状元随笔 解答此类问题的关键是巧妙构建公式Cα－β，Cα＋β，Sα－β，Sα＋β的右侧， 逆用公式化成一个角的一种三角函数值．
(2)把下列各式化为A sin (α＋φ)(A>0)的形式：
①(sin x－cos x)；
②sin ＋cos ；
③3sin x＋3cos x．
方法归纳
辅助角公式的应用
(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝ sin (α＋φ)或a sin α＋b cos α＝cos (α－φ)将形如a sin α＋b cos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：对于正弦或余弦，要看已知条件而定，变形后角α的系数为正，有利于研究函数的性质．
教材反思
(1)两角和与差的正弦公式的结构特点
①公式中的α，β均为任意角．
②两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．
③两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
(2)两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系
(3)使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式．
能 力 提 升 练
1.已知f(x)＝sin x＋2cos x，当x＝θ时，f(x)取得最大值，则tan θ＝________．
2．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈，则sin (2α－β)＝________，β＝________．
8．2.2 第1课时 两角和与差的正弦
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．sin αcos β＋cos αsin β
2．sin αcos β－cos αsin β
知识点二
[基础自测]
1．解析：原式＝sin (13°＋17°)＝sin 30°＝.
答案：A
2．解析：因为角β的终边经过点P()，所以cos β＝，sin β＝，又cos α＝，α∈(0，)，所以sin α＝，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝＝，因为β∈(0，π)，α∈(0，)，所以α－β∈(－π，)，所以α－β＝.故选A.
答案：A
3．解析：sin (－)＝－sin ＝－sin ()＝－(sin ·cos ＋cos sin )＝－()＝－.故选D.
答案：D
4．解析：∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.又β为第四象限角，且cos (π＋β)＝－cos β＝－，∴cos β＝，sin β＝－，∴sin (α＋β)＝×(－)＝0.
答案：0
5．解析：因为点P(3，4)是角α终边上一点，
所以cos α＝＝，sin α＝＝，
所以sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
(2)sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°＝sin (50°＋10°)＝sin 60°＝.
(3)sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)
＝sin (θ＋15°＋60°)＋cos (θ＋15°＋30°)－cos (θ＋15°)
＝sin (θ＋15°)cos 60°＋cos (θ＋15°)sin 60°＋cos (θ＋15°)cos 30°－sin (θ＋15°)sin 30°－cos (θ＋15°)
＝sin (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)－sin (θ＋15°)－cos (θ＋15°)＝0.
【答案】 (1)C (2) (3)见解析
跟踪训练1 解析：(1)因为sin 68°＝sin 60°cos 8°＋cos 60°sin 8°，cos 68°＝cos 60°cos 8°－sin 60°sin 8°，
所以＝＝tan 60°＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
答案：(1) (2)见解析
例2 【解析】 (1)因为α∈(，π)，cos α＝－，
所以sin α＝，
因为β∈(，2π)，sin β＝－，
所以cos β＝，
所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝＋(－)×(－)＝.
(2)①因为α，β∈(0，)，sin α＝，
所以cos α＝＝.
又因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin (α＋β)＝＝，
所以sin(2α＋β)＝sin (α＋α＋β)
＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)
＝×(－)＋＝－.
②sin β＝sin (α＋β－α)＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝＝＝，
又因为β∈(0，)，所以β＝.
跟踪训练2 解析：∵α∈(0，)，β∈(－，0)，
∴α＋∈()，∈()，
∵sin (α＋)＝，sin ()＝，
∴cos (α＋)＝，cos ()＝，
∴sin (α＋)＝sin ＝sin (α＋)cos ()－cos (α＋)sin ()＝＝.
答案：
例3 【解析】 (1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即函数的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)①f(x)＝sin x＋sin x cos ＋cos x sin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝(sin x cos ＋cos x sin )＝sin (x＋)，
当sin (x＋)＝－1时，f(x)min＝－，
此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝＋2kπ(k∈Z)，
所以f(x)的最小值为－，
x的集合为{x|x＝＋2kπ，k∈Z}．
②将y＝sin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得y＝sin x的图象，
然后将y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得f(x)＝sin (x＋)的图象．
【答案】 (1)A (2)见解析
跟踪训练3 解析：(1)f(x)＝sin x－cos x
＝2(sin x·－cos x·)
＝2(sin x cos －cos x sin )
＝2sin (x－)，
所以T＝＝2π，值域为[－2，2].
由－＋2kπ≤x－＋2kπ，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.
(2)①(sin x－cos x)＝·(sin x·－cos x·)＝2(sin x cos －cos x sin )＝2sin (x－)．
②sin (－x)＋cos (－x)＝sin (－x)＋cos (－x)]＝sin (－x＋)＝sin (－x)．
③3sin x＋3cos x＝6sin x＋cos x)＝6sin (x＋).
能力提升练
1．解析：令cos α＝，sin α＝，其中α为锐角，
则f(x)＝sin x＋2cos x＝sin x＋cos x)＝(sin x cos α＋cos x sin α)＝sin (x＋α)，
因为当x＝θ时，f(x)取得最大值，则θ＋α＝2kπ＋(k∈Z)，
所以θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，
所以sin θ＝sin (2kπ＋－α)＝cos α＝，
cos θ＝cos (2kπ＋－α)＝sin α＝，故tan θ＝＝·＝.
答案：
2．解析：因为α，β∈(0，)，所以α－β∈(－)，
又sin (α－β)＝>0，所以0<α－β<，
所以sin α＝，cos (α－β)＝，所以sin (2α－β)＝sin [α＋(α－β)]＝sin α·cos (α－β)＋cos α·sin (α－β)＝
＝.
又cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos (α－β)＋sin α·sin (α－β)＝
＝，
又β∈(0，)，所以β＝.
答案：
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8．2.2 第1课时 两角和与差的正弦
【课程标准】 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系.2.能运用上述公式进行简单的恒等变换．
教 材 要 点
知识点一 两角和与差的正弦公式
1．Sα＋β：sin (α＋β)＝______________________．
2．Sα－β：sin (α－β)＝______________________．
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
【公式理解】
1．角α，β都是任意角；
2．两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即sin (α±β)≠sin α±sin β；
3．注意公式的变形运用
(1)逆用：如sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α；
(2)变形运用：变形运用涉及两个方面，一是公式的变形，如sin (α－β)＋cos αsin β＝sin αcos β；第二是角的变形运用，即角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
知识点二 辅助角公式
y＝a sin x＋b cos x＝____________sin (x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝____________，sin θ＝____________.
【学霸笔记】 根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？
[提示] 对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”．
答案：A
答案：A
答案：D
0
【答案】C
(2)计算sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝________．
状元随笔 (1)化简求值应注意公式的逆用．
(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
方法归纳
1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正负相消的项，消去，求值；
(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．
2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．
方法归纳
“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(1)把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
【答案】A
状元随笔 辅助角公式?转化成“一角一函数”的形式?将所给函数展开与合并．
状元随笔 解答此类问题的关键是巧妙构建公式Cα－β，Cα＋β，Sα－β，Sα＋β的右侧， 逆用公式化成一个角的一种三角函数值．
教材反思
(1)两角和与差的正弦公式的结构特点
①公式中的α，β均为任意角．
②两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．
③两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
(2)两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系
(3)使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式．
能 力 提 升 练
1.已知f(x)＝sin x＋2cos x，当x＝θ时，f(x)取得最大值，则tan θ＝________．
答案：C
2．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
答案：B
解析：在△ABC中，因为sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝2sin A cos C，所以sin A cos C－cos A sin C＝0，即sin (A－C)＝0，因为0＜A＜π，0＜C＜π，所以－π＜A－C＜π，所以A－C＝0，即A＝C，所以△ABC一定是等腰三角形，故选B.
答案：A
答案：B
5．sin 15°＝________．
π
课时作业(十六) 两角和与差的正弦
(分值：80分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知角θ的终边过点P(－3，－1)，则sin (－θ)＝( )
A．－ B． C．－ D．
解析：因为角θ的终边过点P(－3，－1)，所以sin θ＝＝－，cos θ＝＝－，所以sin (－θ)＝sin cos θ－cos sin θ＝·(－)－·(－)＝－，故选C.
答案：C
2．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：在△ABC中，因为sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝2sin A cos C，所以sin A cos C－cos A sin C＝0，即sin (A－C)＝0，因为0＜A＜π，0＜C＜π，所以－π＜A－C＜π，所以A－C＝0，即A＝C，所以△ABC一定是等腰三角形，故选B.
答案：B
3．化简sin 200°sin 230°－cos 160°sin 40°＝( )
A． B．sin 200°
C．cos 200° D．
解析：sin 200°sin 230°－cos 160°sin 40°＝sin (180°＋20°)·sin (270°－40°)－cos (180°－20°)sin 40°＝－sin 20°(－cos 40°)＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝.故选A.
答案：A
4．函数f(x)＝sin x－cos (x＋)的值域为( )
A．[－2，2] B．[－]
C．[－1，1] D．[－]
解析：因为f(x)＝sin x－cos (x＋)＝sin x－(cos x－sin x)＝sin x－cos x＝·sin x－cos x)＝sin (x－)，所以－≤f(x)≤，即函数f(x)＝sin x－cos (x＋)的值域为[－].
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．sin 15°＝________．
解析：∵15°＝45°－30°，
∴sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝＝.
答案：
6．已知α，β均为锐角，且cos α＝，sin β＝，则α－β＝________．
解析：因为0<α<，0<β<，且cos α＝，sin β＝，
所以sin α＝ ＝，cos β＝＝，－<α－β<，
故sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝＝－，
由于－<α－β<，所以α－β＝－.
答案：－
7．函数f(x)＝sin (2x－)＋sin (2x＋)的最小正周期为________．
解析：由题意，函数f(x)＝sin (2x－)＋sin (2x＋)＝sin 2x－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝sin 2x，
所以函数的最小正周期为＝π.
答案：π
三、解答题(共30分)
8．(15分)已知函数f(x)＝A sin (x＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．
解析：(1)由f()＝A sin ()＝A sin ＝＝，可得A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝，
则3sin (θ＋)－3sin (－θ)＝，
3(cos θ＋sin θ)－3(cos θ－sin θ)＝，
所以sin θ＝.
因为θ∈(0，)，所以cos θ＝，
f(－θ)＝3sin (－θ＋)＝3sin (－θ)＝3cos θ＝.
9．(15分)已知函数f(x)＝cos 2x＋sin (2x－)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈(0，)，f(α)＝，求cos 2α.
解析：(1)因为f(x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
(2)由f(α)＝可得，sin (2α＋)＝.
因为α∈(0，)，
所以2α＋∈()．
又因为0所以2α＋∈(，π)，
所以cos (2α＋)＝－，
所以cos 2α＝cos [(2α＋)－]
＝cos (2α＋)cos ＋sin (2α＋)sin
＝.
[尖子生题库]
10．(15分)若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x＜.
(1)把f(x)化成A sin (ωx＋φ)的形式；
(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．
解析：(1)f(x)＝(1＋tan x)cos x
＝cos x＋··cos x＝cos x＋sin x
＝2(cos x＋sin x)
＝2
＝2sin .
(2)∵0≤x＜，∴f(x)在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，
∴当x＝时，f(x)有最大值为2.
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