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8．2.2 第2课时 两角和与差的正切
【课程标准】 1.能从两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系.2.能运用上述公式进行简单的恒等变换．
教 材 要 点
知识点一 两角和的正切公式
Tα＋β：tan (α＋β)＝_____________．
知识点二 两角差的正切公式
Tα－β：tan (α－β)＝____________．
答案：D
答案：D
答案：A
5．已知tan (α＋β)＝－2，tan (α－β)＝7，则tan 2α＝________．
题型1利用公式化简求值
例1求下列各式的值：
(1)tan 15°；
状元随笔 把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．
方法归纳
1．公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
(2)计算：(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)＝________．
222
答案：A
状元随笔 先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α， tan β，然后利用Tα＋β求tan (α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan (α＋2β)进而得到α＋2β的值．
3．给值求角的一般步骤：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角．
(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．
题型3公式的变形应用
【思考探究】 (1)判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？
[提示] 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．
(2)在△ABC中，tan (A＋B)与tan C有何关系？
[提示] 根据三角形内角和定理可得A ＋B ＋C ＝π，
∴A＋B ＝π－C，
∴tan (A＋B) ＝tan (π－C) ＝－tan C．
答案：B
答案：BD
答案：B
答案：A
答案：C
答案：BD
10．(17分)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B＝3sin C sin A，求tan A＋tan B＋tan C的最小值．8．2.2 第2课时 两角和与差的正切
【课程标准】 1.能从两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系.2.能运用上述公式进行简单的恒等变换．
教 材 要 点
知识点一 两角和的正切公式
Tα＋β：tan (α＋β)＝________________________．
知识点二 两角差的正切公式
Tα－β：tan (α－β)＝________________________．
注意：Tα±β公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围．
【学霸笔记】 你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？
[提示] (1)tan α±tan β＝tan (α±β)(1 ?tan αtan β)．
(2)1 ?tan αtan β＝.
(3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)．
注意：当α±β为特殊角时，常考虑使用变形(1)，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形(2)．
基 础 自 测
1.tan 255°＝( )
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
2．＝( )
A．－ B．
C．－ D．
3．设角θ的终边过点(2，3)，则tan ＝( )
A． B．－ C．5 D．－5
4．设tan α＝，tan β＝，且角α，β为锐角，则α＋β＝________．
5．已知tan (α＋β)＝－2，tan (α－β)＝7，则tan 2α＝________．
题型1利用公式化简求值
例1求下列各式的值：
(1)tan 15°；
(2)；
(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
状元随笔 把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．
方法归纳
1．公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
跟踪训练1 (1)求的值．
(2)计算：(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)＝________．
(3)α＋β＝－，则1－tan α－tan β＋tan αtan β＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
题型2条件求值(角)问题
例2如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为.
(1)求tan (α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
状元随笔 先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α， tan β，然后利用Tα＋β求tan (α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan (α＋2β)进而得到α＋2β的值．
方法归纳
1．通过先求角的某个三角函数值来求角．
2．选取函数时，应遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
3．给值求角的一般步骤：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角．
跟踪训练2 (1)若α，β为锐角，tan α＝4，cos (α＋β)＝－，则角β＝________．
(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．
题型3公式的变形应用
【思考探究】 (1)判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？
[提示] 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．
(2)在△ABC中，tan (A＋B)与tan C有何关系？
[提示] 根据三角形内角和定理可得A ＋B ＋C ＝π，
∴A＋B ＝π－C，
∴tan (A＋B) ＝tan (π－C) ＝－tan C．
例3已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan B tan C＝，且＋tan B＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状．
状元随笔 →.
跟踪训练3 (1)(变条件)例题中把条件改为“tan B＋tan C－＝－，且tan A＋1＝tan A tan B”，结果如何？
(2)已知tan (α＋β)＝，tan ＝，则＝( )
A． B．
C． D．
方法归纳
公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，
如＝tan ；
tan .
(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan (α±β)的变形公式．
能 力 提 升 练
1.(多选)若0<α<β<，且cos αcos β＝，tan αtan β＝，则( )
A．cos (α＋β)＝ B．sin (α－β)＝－
C．cos 2α＝ D．β<
2．在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知点A，B的横坐标分别为.
(1)求tan (α－β)的值；
(2)求的值．
教材反思
1．公式T(α±β)的适用范围和结构特征
(1)由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
(2)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
2．两角和与差的正切公式的变形
变形公式如：tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan α tan β)；
tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan α tan β)；
tan α tan β＝1－等．
8．2.2 第2课时 两角和与差的正切
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
知识点二
[基础自测]
1．解析：tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D.
答案：D
2．解析：原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝.
答案：D
3．解析：由于角θ的终边过点(2，3)，因此tan θ＝，故tan (θ－)＝＝＝.故选A.
答案：A
4．解析：∵tan α＝，tan β＝，
∴tan (α＋β)＝＝＝1，
又∵α，β均为锐角，即α，β∈(0，)，
∴0<α＋β<π，则α＋β＝.
答案：
5．解析：已知tan (α＋β)＝－2，tan (α－β)＝7，
则tan 2α＝tan ＝＝＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)tan 15°＝tan (45°－30°)
＝
＝＝＝2－.
(2)＝
＝
＝tan (30°－75°)＝tan (－45°)＝－tan 45°＝－1.
(3)∵tan (23°＋37°)＝tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝(1－tan 23°tan 37°)，
∴原式＝(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
跟踪训练1 解析：(1)原式＝＝＝
tan (45°－75°)＝tan (－30°)＝－tan 30°＝－.
(2)因为tan 45°＝tan [θ＋(45°－θ)]＝＝1，
整理得tan θtan (45°－θ)＋[tan θ＋tan (45°－θ)]＝1，
则(1＋tan θ)[1＋tan (45°－θ)]＝tan θtan (45°－θ)＋[tan θ＋tan (45°－θ)]＋1＝2，
所以(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)
＝[(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)]…[(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)]
＝2×…×2＝222，
即(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)＝222.
(3)因为α＋β＝－，
所以tan (α＋β)＝＝tan (－)＝－1，
所以tan α·tan β＝1＋(tan α＋tan β)，
所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝1－tan α－tan β＋1＋(tan α＋tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋1＋(tan α＋tan β)＝2.故选A.
答案：(1)见解析 (2)222 (3)A
例2 【解析】 由条件得cos α＝，cos β＝，
∵α，β为锐角，
∴sin α＝，sin β＝，
∴tan α＝7，tan β＝.
(1)tan (α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝＝＝－1，
∵α，β为锐角，
∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
跟踪训练2 解析：(1)由于α，β为锐角，所以0<α＋β<π，
所以sin (α＋β)＝＝，tan(α＋β)＝－，
所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝，所以β＝.
(2)由题图可知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，
所以tan (α＋β)＝＝＝1.
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
答案：(1) (2)见解析
例3 【解析】 由tan A＝tan [π－(B＋C)]
＝－tan (B＋C)
＝
＝＝－.
而0°＜A＜180°，
∴A＝120°.
由tan C＝tan [π－(A＋B)]
＝＝＝，
而0°＜C＜180°，
∴C＝30°，∴B＝30°，
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
跟踪训练3 解析：(1)由tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝＝＝.
又0°
由tan C＝tan [π－(A＋B)]＝＝＝.
又0°所以C＝60°，所以B＝60°，
所以△ABC是等边三角形．
(2)因为tan (α＋β)＝，tan (β－)＝，
所以tan (α＋)＝tan [(α＋β)－(β－)]＝＝＝，故选B.
答案：(1)见解析 (2)B
能力提升练
1．解析：由题意可得sin αsin β＝cos αcos βtan αtan β＝，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，故A错误；
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，
因为0<α<β<，所以－<α－β<0，
所以sin (α－β)＝－＝－，故B正确；
因为0<α<β<，所以sin(α＋β)＝＝，
所以cos2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝，故C错误；
cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝，即cos 2β＝>>－＝cos ，
因为0<β<，所以0<2β<π，
故2β<，所以β<，故D正确．故选BD.
答案：BD
2．解析：(1)根据三角函数的定义得cos α＝，cos β＝，
因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝，
因此tan α＝2，tan β＝，
所以tan (α－β)＝＝＝.
(2)＝·＝tan [(α－β)＋β]＝tan α＝×2＝.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时作业(十七) 两角和与差的正切
(分值：80分)
一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共21分)
1．＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：
＝tan (105°－45°)＝tan 60°＝.
答案：B
2．tan ＝( )
A．2－ B．－2
C．－1 D．2＋
解析：tan ＝tan ＝tan ＝＝.故选A.
答案：A
3．在△ABC中，cos A＋2sin B＝2，sin A＋2cos B＝，则C的大小为( )
A．或 B．
C． D．或
解析：由cos A＋2sin B＝2，sin A＋2cos B＝，等式两边平方相加得cos2A＋4cos A sin B＋4sin2B＋sin2A＋4sin A cos B＋4cos2B＝4＋3＝7，即1＋4＋4sin (B＋A)＝7，故sin (A＋B)＝sin C＝，故C＝或.由sin A＋2cos B＝，得sin A＝－2cos B＋>0，得cos B<，故答案：C
4．(多选)下列式子化简正确的是( )
A．sin 8°sin 52°－sin 82°cos 52°＝
B．cos 15°－sin 15°＝
C．
D．sin 15°sin 30°sin 75°＝
解析：对于A选项，sin 8°sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin (90°－82°)sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin 52°cos 82°－cos 52°sin 82°＝sin (52°－82°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－，A错误；对于B选项，cos 15°－sin 15°＝－＝－2sin (15°－60°)＝－2sin (－45°)＝2sin 45°＝2×，B正确；对于C选项，＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝，C错误；对于D选项，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin (90°－15°)＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，D正确．
答案：BD
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知tan α＝2，tan (α＋β)＝－1，则＝________．
解析：因为tan α＝2，所以tan β＝tan ＝3，所以.
答案：
6．已知sin (60°＋α)＝，60°<α<120°，则tan α＝________．
解析：∵60°<α<120°，∴120°<60°＋α<180°，
又sin (60°＋α)＝，∴cos (60°＋α)＝－，tan (60°＋α)＝－，
∴tan α＝tan [(60°＋α)－60°]
＝.
答案：
7．已知tan α，tan β是方程x2－3x＋10＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝________.
解析：因为tan α，tan β是方程x2－3x＋10＝0的两根，
所以故tan α>0，tan β>0，
而α，β∈，故α，β∈，故α＋β∈(0，π)，
而tan (α＋β)＝，所以α＋β＝.
答案：
三、解答题(共27分)
8．(10分)已知tan ＝，tan ＝2.
(1)求tan 的值；
(2)求tan (α＋β)的值．
解析：(1)tan
＝tan
＝
(2)
＝
9．(17分)已知函数
(1)化简f(x)的解析式；
(2)若
解析：(1)
＝
(2)由于
所以
由于
所以
故
故＝sin (α＋β)cos 2β－cos (α＋β)sin 2β＝－－，
所以α－β＝.
[尖子生题库]
10．(17分)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B＝3sin C sin A，求tan A＋tan B＋tan C的最小值．
解析：由题意知，在锐角△ABC中，sin B＝sin (A＋C)＝3sin C sin A，
sin A cos C＋sin C cos A＝3sin C sin A，
等式两边同时除以cos A cos C，得tan A＋tan C＝3tan A tan C，
又tan B＝－tan (A＋C)＝>0，
所以tan A＋tan C＝tan B(tan A tan C－1)，
得tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C，且tan A tan C－1>0，
所以tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan C·，
令tan A tan C－1＝m，则m>0，
故tan A＋tan B＋tan C＝(m＋1)·＝(m＋1)·＝(m＋1)·＝12，
当且仅当3m＝，即m＝1时等号成立，此时tan A tan C＝2，
所以tan A＋tan B＋tan C的最小值为12.
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