8．1.1-8．1.2向量数量积的概念 向量数量积的运算律
【课程标准】 1.理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量.3.掌握平面向量数量积的运算律，能用数量积的运算性质解决模、垂直、夹角、证明问题．
教 材 要 点
知识点一 向量的夹角
知识点二 向量的数量积
向量数量积的定义：____________________叫做向量a和b的数量积，记作________________．
知识点三 向量的投影与向量数量积的几何意义
1．投影向量的概念：已知向量a和直线l，如图．
作＝a，过点O，A分别作直线l的垂线，垂足分别为O1，A1，则____________________叫做向量a在直线l上的投影向量(简称投影)．
2．投影的数量：向量a的方向与直线l的正向所成的角为θ，________________称作a在________上的数量或在________上的数量．
3．a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积．其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的，投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
知识点四 数量积的性质
1．若e是单位向量，则e·a＝a·e＝______________．
【学霸笔记】 向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
[提示] 向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向，这是二者的区别．
2．若a⊥b，则a·b ＝0；反之，若a·b ＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)．
【学霸笔记】 a·b ＝0与ab ＝0的区别是什么？
[提示] (1)意义和表达方式不同．
a·b表示两个向量的数量积，中间的“·”不能省略，也不能写成“×”．
(2)推出的结果不同．由a·b ＝0可推出以下四种可能，①a＝0，b＝0；②a＝0，b ≠0；③a ≠0，b＝0；④a ≠0，b ≠0.而ab＝0可推出a与b中至少有一个为0.
(3)|a|＝.
(4)cos θ＝(|a|·|b| ≠0)．
(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b 时等号成立．
知识点五 向量数量积的运算律
1．运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c；
(4)两个向量a，b的夹角为锐角 a·b>0，且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角 a·b<0，且a，b不共线．
2．常用公式
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
【学霸笔记】 “若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？请说明原因．
[提示] 不成立．如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等．
基 础 自 测
1.已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为( )
A. B． C． D．
2．等边△ABC中，与的夹角为( )
A.60° B．－60° C．120° D．150°
3．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝( )
A.－2 B．－1 C．1 D．2
4．在等式①0·a＝0；②0·a＝0；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c，其中正确的命题的个数为( )
A.1 B．2 C．3 D．4
5．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，cos 〈a，b〉＝，则b在a上的投影向量为________．
题型1与向量数量积有关的概念
例1(1)以下四种说法中正确的是________．(填序号)
根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；
③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形；
④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影的数量为________，b在a方向上的投影的数量为________．
方法归纳
1．在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．
2．求平面向量数量积的方法：
(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.
(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.
跟踪训练1 (1)给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线 a·b＝|a||b|；④|a||b|
0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长．
其中正确的是________．(填序号)
(2)等边△ABC的边长为2，点G为△ABC的重心，则·＝________．
(3)在等边△ABC中，＝2＋3，则向量在向量上的投影向量为( )
A． B．
C．－ D．－
题型2数量积的基本运算
例2已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积．
状元随笔 (1)当a →∥ b 时，a →与b 夹角可能为0 °或180 °.
(2)当a →⊥b 时，a →与b 夹角为90 °.
(3)若a →与b 夹角及模已知时可利用a →·b ＝|a →|·|b |cos θ(θ为a →，b 夹角)求值．
方法归纳
1．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.
2．非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a||b|.
跟踪训练2我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”．他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则·＝( )
A．9 B．12
C．15 D．16
题型3与向量模有关的问题
例3设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝( )
A． B．
C． D．
方法归纳
1．此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系．
2．利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
跟踪训练3 已知非零向量a＝2b＋2c，|b|＝|c|＝1.若a与b的夹角为，则|a|＝________．
题型4平面向量数量积的性质
例4(1)已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
状元随笔 (1)设与都是非零向量，若⊥，则·等于多少？反之成立吗？
[提示] ⊥ ·＝0.
(2)当与同向时，·等于什么？当与反向时，·等于什么？特别地，·等于什么？
[提示] 当与同向时，·＝||||；当与反向时，·＝－||||；·＝2＝或||＝.
(3)|·|与||||的大小关系如何？为什么？对于向量，，如何求它们的夹角θ？
[提示] |·|≤||||，设与的夹角为θ，则 ·＝||||cos θ.
两边取绝对值得：
|·|＝|||||cos θ|≤||||.
当且仅当|cos θ| ＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“ ＝”，
所以|·|≤||||，cos θ＝.
(2)已知a，b是两个非零向量．
①若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；
②若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
状元随笔 (1)由条件计算 ||||，当⊥时，· ＝0，列方程求解m.
(2)①利用向量数量积的公式求解；②利用向量的几何意义求解．
方法归纳
1．已知非零向量a，b，若a⊥b，则a·b＝0，反之也成立．
2．设a与b夹角为θ，利用公式cos θ＝可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围为θ∈[0，π].
跟踪训练4 已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，且a＋b＋c＝0，则cos 〈a－c，b－c〉＝( )
A．－ B．－ C． D．
教材反思
(1)对投影的三点诠释
①a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积．其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的．
②b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成.
③投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
(2)向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
实数a，b，c 向量a，b，c
a≠0，a·b＝0 b＝0 a≠0，a·b＝0 / b＝0
a·b＝b·c(b≠0) a＝c a·b＝b·c(b≠0) / a＝c
|a·b|＝|a|·|b| |a·b|≤|a|·|b|
满足乘法结合律 不满足乘法结合律
能 力 提 升 练
1.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则t的取值范围为____________________________________．
2．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1)·；
(2)在方向上的投影向量；
(3)在方向上的投影的数量．
8．1.1 向量数量积的概念
8．1.2 向量数量积的运算律
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
∠AOB 0°≤θ≤180° 0° a⊥b 零向量
知识点二
|a||b|cos 〈a，b〉 a·b
知识点三
1．向量
2．|a|cos θ 直线l 直线l的方向
知识点四
1．|a|cos 〈a，e〉
[基础自测]
1．解析：向量a在b方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos ＝.故选D.
答案：D
2．解析：延长AB到D，则∠CBD为与的夹角，所以与的夹角为120°.故选C.
答案：C
3．解析：因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9＋8＋0＝－1.故选B.
答案：B
4．解析：零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误；0乘以任何向量都为零向量，故②正确；向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误；a·b＝a·c不一定有b＝c，如a⊥b，c＝0满足条件，结论不成立，故④错误．故选A.
答案：A
5．解析：向量b在a上的投影向量为|b|cos 〈a，b〉·＝a.
答案：a
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cos θ(θ为向量a，b的夹角)．
①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错误；
②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错误；
③由·＝0知，B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；
④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．
(2)设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cos θ＝－12，
所以向量a在向量b方向上的投影的数量为|a|·cos θ＝＝－；向量b在向量a方向上的投影的数量为|b|·cos θ＝＝－＝－4.
【答案】 (1)③④ (2)－ －4
跟踪训练1 解析：(1)由于a2≥0，b2≥0，所以若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，故②正确；a，b共线 a·b＝±|a||b|，故③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b，故④不正确；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，故⑤不正确；a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，故⑦不正确；|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影，而不是投影长，故⑧不正确．综上可知①，②，⑥正确．
(2)由于等边△ABC的重心G为中线(也是角平分线)的三等分点，
则||＝2，||＝·||·sin 60°＝，且向量与的夹角为30°，
所以·＝2×＝2.
(3)由题可知，·＝(2＋3)·＝2·＋3·＝2||·||·cos 120°＋3||·||·cos 60°＝－||2＋||2＝||2，
·＝，所以向量在向量上的投影向量为.故选B.
答案：(1)①②⑥ (2)2 (3)B
例2 【解析】 设向量a与b的夹角为θ，
(1)a∥b时，有两种情况：
①若a和b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝20；
②若a与b反向，则θ＝180°，
a·b＝|a||b|cos 180°＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝0.
(3)当a与b夹角为135°时，
a·b＝|a||b|cos 135°＝－10.
跟踪训练2 解析：因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以AD＝5，EH＝1，设DE＝AH＝x，则AE＝AH＋EH＝x＋1，在Rt△AED中，AD2＝DE2＋AE2，即25＝x2＋(x＋1)2，解得x＝3或－4(舍去)，所以cos ∠DAE＝＝，易知在正方形ABCD中，＝，∠BCF＝∠DAE，FC＝DE＝3，所以·＝·＝||||·cos ∠BCF＝5×3×＝12.故选B.
答案：B
例3 【解析】 由于|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝3，所以|a＋2b|＝，故选B.
【答案】 B
跟踪训练3 解析：由于a＝2b＋2c，得2c＝a－2b，
两边平方得4c2＝a2－4a·b＋4b2，
由于|b|＝|c|＝1，且a与b的夹角为，其中a·b＝|a|·|b|cos ＝|a|，得|a|2－2|a|＝0，得|a|＝2或0(舍去，非零向量a)．
答案：2
例4 【解析】 (1)由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.
由c⊥d，知c·d＝0，
即c·d＝(3a＋5b)·(m a－3b)＝3m a2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即m＝时，c与d垂直．
(2)①因为a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉，
所以|a·b|＝||a||b|cos 〈a，b〉|＝|a||b||cos 〈a，b〉|＝6.
又因为|a|＝3，|b|＝4，
所以|cos 〈a，b〉|＝＝＝，所以cos 〈a，b〉＝±.
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为或.
②如图，在平面内取一点O，作＝a，＝b，以为邻边作 OACB，
因为|a|＝|b|，即||＝||，
所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，
这时＝a＋b，＝a－b，
因为|a|＝|b|＝|a－b|，即||＝||＝||，
所以∠AOB＝，所以∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为.
跟踪训练4
解析：设a＝，b＝，c＝，因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a＋b＋c＝0，可知A，B，C三点不共线，且O既是△ABC的重心也是△ABC的外心，所以△ABC为等边三角形，则a－c＝＝，b－c＝－＝，所以cos 〈a－c，b－c〉＝cos 〈〉＝cos ∠ACB＝.故选C.
答案：C
能力提升练
1．解析：因为a，b的夹角为锐角，所以a·b>0，且a，b不共线，
当a·b>0时，(3e1＋2e2)·(te1＋2e2)＝(6＋2t)e1·e2＋＝3t＋(6＋2t)＋4>0，得t>－，
当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb，
即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以解得
所以当t≠3时，a，b不共线．
综上，t的取值范围为t>－，且t≠3，即(－，3)
答案：(－，3)
2．解析：(1)因为||＝5，||＝4，||＝3，
所以||2＋||2＝||2，即AC⊥BC，所以cos B＝＝，
所以·＝||·||·(－cos B)＝5×4×(－)＝－16．
(2)由(1)知，AC⊥BC，所以cos A＝＝，
所以在方向上的投影为||·cos A·＝3×＝.
(3)由(1)知，cos B＝，
所以在方向上的投影的数量为||·(－cos B)＝5·(－)＝－4.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时作业(十三) 向量数量积的概念 向量数量积的运算律
(分值：80分)
一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共21分)
1．已知非零向量a，b满足|b|＝2|a|，且a⊥(3a＋b)，则a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
解析：因为a⊥(3a＋b)，所以a·(3a＋b)＝3|a|2＋a·b＝0，
设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝－，所以θ＝.故选D.
答案：D
2．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则·＝( )
A．20 B．－20
C．20 D．－20
解析：·＝||||cos 120°＝5×8×＝－20.
答案：B
3．对于非零向量，下列命题中正确的是( )
A．a2＋b2＝0 a＝b＝0
B．a∥b a·b＝|a·b|
C．a2＝b2 a＝±b
D．a·c＝b·c a＝b
解析：A选项，由a2＋b2＝|a|2＋|b|2＝0，可得a＝b＝0，A选项正确；B选项，若a∥b，则当a，b方向相反时，a·b＝－|a·b|，所以B选项错误；C选项，若a2＝b2，则|a|＝|b|，无法推出两向量共线，所以C选项错误；D选项，若a·c＝b·c，可能a⊥c，b⊥c，不一定有a＝b，所以D选项错误．故选A.
答案：A
4．(多选)已知向量a，b满足|a＋2b|＝|a|，a·b＋a2＝0，且|a|＝2，则( )
A．|b|＝2 B．a＋b＝0
C．|a－2b|＝6 D．a·b＝4
解析：因为|a＋2b|＝|a|，所以|a＋2b|2＝|a|2，即a2＋4a·b＋4b2＝a2，整理可得a·b＋b2＝0，再由a·b＋a2＝0，且|a|＝2，可得a2＝b2＝4，所以|b|＝2，a·b＝－4，A选项正确，D选项错误；cos 〈a，b〉＝＝－1，即向量a，b的夹角〈a，b〉＝π，故向量a，b共线且方向相反，所以a＋b＝0，B选项正确；|a－2b|＝＝＝＝6，C选项正确．故选ABC.
答案：ABC
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝________．
解析：∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，
∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，
∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，
∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos 90°－2＝0，
∴12λ－2＝0，∴λ＝.
答案：
6．在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝，则···＝________．
解析：由△ABC的三边分别为AB＝1，BC＝，AC＝，
则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，得B＝，
则cos A＝＝，cos C＝＝，
所以···＝||·||cos B＋||·||cos (π－C)＋||·||cos (π－A)＝1××0＋×(－)＋×1×(－)＝－3.
答案：－3
7．已知O是△ABC的外心，外接圆半径为2，且满足2＝，若在上的投影向量为，则·＝________．
解析：∵2＝，
∴O为BC中点，则BC为直径，∴∠BAC＝90°，
又∵在上的投影向量为，如图，
过A作AM⊥BC，垂足为点M，∴＝，
∴M为BO中点，则AB＝AO＝BO＝CO＝2，
∴·＝||||cos ＝2×4×＝4.
答案：4
三、解答题(共27分)
8．(10分)已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°.
(1)求|a＋2b|的值；
(2)若向量(2a－λb)与(λa－3b)的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
解析：(1)∵|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，
∴|a＋2b|＝
＝
＝＝.
(2)∵(2a－λb)与(λa－3b)的夹角是锐角，
∴(2a－λb)·(λa－3b)>0，且(2a－λb)与(λa－3b)不能同向共线，
由(2a－λb)·(λa－3b)>0得2λ|a|2－(λ2＋6)a·b＋3λ·|b|2>0，即λ2－7λ＋6<0，
解得1<λ<6；
若(2a－λb)与(λa－3b)同向共线，则存在实数k>0，使得2a－λb＝k(λa－3b)，
所以解得λ＝；
又(2a－λb)与(λa－3b)不能同向共线，所以λ≠，
因此，1<λ<或<λ<6.
9．(17分)已知在△ABC中，N是边AB的中点，且4＝，设AM与CN交于点P.记＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量；
(2)若2|a|＝|b|，且⊥，求〈a，b〉的余弦值．
解析：(1)＝＝b－a，
＝＝＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＝－＝a－b.
(2)∵N，P，C三点共线，∴由⊥得⊥，
·＝(a－b)·a＝0，即|a|2＝b·a，
∴|a|2＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2|a|2cos 〈a，b〉，
∴cos 〈a，b〉＝，即〈a，b〉的余弦值为.
[尖子生题库]
10．(17分)已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，与的夹角为θ.求θ的取值范围．
解析：
因为·＝||||·cos θ＝6>0，
所以cos θ＞0，所以θ为锐角，如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，则|CD|＝|BC|sin θ.
由题意知，·＝||||cos θ＝6， ①
S＝|AB||CD|＝|||| sin θ， ②
由②÷①得＝tan θ，即3tan θ＝S.
因为≤S≤3，所以≤3tan θ≤3，即≤tan θ≤1.
又因为θ为与的夹角，θ∈[0，π]，
所以θ∈[].
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8．1.1-8．1.2向量数量积的概念
向量数量积的运算律
【课程标准】 1.理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量.3.掌握平面向量数量积的运算律，能用数量积的运算性质解决模、垂直、夹角、证明问题．
教 材 要 点
知识点一 向量的夹角
∠AOB
0°≤θ≤180°
0°
a⊥b
零向量
知识点二 向量的数量积
向量数量积的定义：________叫做向量a和b的数量积，记作________________．
|a||b|cos
〈a，b〉 a·b
2．投影的数量：向量a的方向与直线l的正向所成的角为θ，_______称作a在________上的数量或在__________上的数量．
3．a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积．其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的，投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
|a|cos θ
直线l
直线l的方向
知识点四 数量积的性质
1．若e是单位向量，则e·a＝a·e＝______________．
【学霸笔记】 向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
[提示] 向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向，这是二者的区别．
|a|cos 〈a，e〉
2．若a⊥b，则a·b ＝0；反之，若a·b ＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)．
【学霸笔记】 a·b ＝0与ab ＝0的区别是什么？
[提示] (1)意义和表达方式不同．
a·b表示两个向量的数量积，中间的“·”不能省略，也不能写成“×”．
知识点五 向量数量积的运算律
1．运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c；
(4)两个向量a，b的夹角为锐角 a·b>0，且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角 a·b<0，且a，b不共线．
2．常用公式
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
【学霸笔记】 “若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？请说明原因．
[提示] 不成立．如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等．
答案：D
答案：C
3．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝( )
A.－2 B．－1 C．1 D．2
答案：B
解析：因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9＋8＋0＝－1.故选B.
4．在等式①0·a＝0；②0·a＝0；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c，其中正确的命题的个数为( )
A.1 B．2 C．3 D．4
答案：A
解析：零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误；0乘以任何向量都为零向量，故②正确；向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误；a·b＝a·c不一定有b＝c，如a⊥b，c＝0满足条件，结论不成立，故④错误．故选A.
③④
－4
方法归纳
1．在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．
2．求平面向量数量积的方法：
(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.
(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.
跟踪训练1 (1)给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线 a·b＝|a||b|；④|a||b|0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长．
其中正确的是________．(填序号)
①②⑥
解析：由于a2≥0，b2≥0，所以若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，故②正确；a，b共线 a·b＝±|a||b|，故③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b，故④不正确；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，故⑤不正确；a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，故⑦不正确；|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影，而不是投影长，故⑧不正确．综上可知①，②，⑥正确．
2
答案：B
题型2数量积的基本运算
例2已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积．
状元随笔 (1)当a →∥ b 时，a →与b 夹角可能为0 °或180 °.
(2)当a →⊥b 时，a →与b 夹角为90 °.
(3)若a →与b 夹角及模已知时可利用a →·b ＝|a →|·|b |cos θ(θ为a →，b 夹角)求值．
方法归纳
1．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.
2．非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a||b|.
答案：B
【答案】 B
2
题型4平面向量数量积的性质
例4(1)已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
(2)已知a，b是两个非零向量．
①若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；
②若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
答案：C
(2)向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
实数a，b，c 向量a，b，c
a≠0，a·b＝0 b＝0 a≠0，a·b＝0 / b＝0
a·b＝b·c(b≠0) a＝c a·b＝b·c(b≠0) / a＝c
|a·b|＝|a|·|b| |a·b|≤|a|·|b|
满足乘法结合律 不满足乘法结合律
能 力 提 升 练
1.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则t的取值范围为_________________．
答案：D
答案：B
3．对于非零向量，下列命题中正确的是( )
A．a2＋b2＝0 a＝b＝0
B．a∥b a·b＝|a·b|
C．a2＝b2 a＝±b
D．a·c＝b·c a＝b
答案：A
解析：A选项，由a2＋b2＝|a|2＋|b|2＝0，可得a＝b＝0，A选项正确；B选项，若a∥b，则当a，b方向相反时，a·b＝－|a·b|，所以B选项错误；C选项，若a2＝b2，则|a|＝|b|，无法推出两向量共线，所以C选项错误；D选项，若a·c＝b·c，可能a⊥c，b⊥c，不一定有a＝b，所以D选项错误．故选A.
4．(多选)已知向量a，b满足|a＋2b|＝|a|，a·b＋a2＝0，且|a|＝2，则( )
A．|b|＝2 B．a＋b＝0
C．|a－2b|＝6 D．a·b＝4
答案：ABC
5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝________．
－3
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