课时作业(十四) 向量数量积的坐标运算
(分值：90分)
一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共21分)
1．已知向量a＝(3，1)，b＝(x，－2)，c＝(0，2)，若a⊥(b－c)，则实数x＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：b－c＝(x，－4)，由a⊥(b－c)知3x－4＝0，∴x＝.故选A.
答案：A
2．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，4)，且a∥b，则|a－b|＝( )
A．5 B．3
C．2 D．2
解析：∵a∥b，∴4＋2x＝0，∴x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，∴|a－b|＝3.故选B.
答案：B
3．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)，则a＋b在a－b方向上的投影的数量为( )
A．4 B．－2
C．2 D．－4
解析：a＝(－1，2)，b＝(3，2)，则a＋b＝(2，4)，a－b＝(－4，0)，
故a＋b在a－b方向上的投影的数量为＝＝＝－2.故选B.
答案：B
4．(多选)已知向量a＝(1，3)，b＝(2，y)，(a＋b)⊥a，则( )
A．b＝(2，－3)
B．a·b＝－10
C．|a＋b|＝
D．向量a，b的夹角为
解析：因为a＝(1，3)，b＝(2，y)，则a＋b＝(3，3＋y)，且(a＋b)⊥a，则3×1＋3×(3＋y)＝0，解得y＝－4，则b＝(2，－4)，故A错误；a·b＝1×2＋3×(－4)＝－10，故B正确；a＋b＝(1，3)＋(1，－2)＝(2，1)，所以|a＋b|＝＝，故C错误；cos 〈a，b〉＝＝＝－，所以〈a，b〉＝，故D正确．故选BD.
答案：BD
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知向量a＝(－1，m)，b＝(n，2)，若a⊥b，且|a－b|＝，则m＋n＝________．
解析：因为a＝(－1，m)，b＝(n，2)，a⊥b，所以a·b＝0，则－n＋2m＝0，得n＝2m，又a－b＝(－1－n，m－2)，所以|a－b|＝＝＝，解得m＝±1，所以m＋n＝3m＝±3.
答案：±3
6．设＝(1，1)，＝(3，0)，＝(3，5)(其中O为坐标原点)，则△ABC的面积为________．
解析：＝(1，1)，＝(3，0)，
所以＝(2，－1)，
所以||＝＝，
同理||＝＝2，||＝＝5，
所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
所以△ABC为直角三角形，
所以S△ABC＝||·||＝×2＝5.
答案：5
7．已知＝(－2，1), ＝(0，2)，且∥， ⊥，则点C的坐标是________．
解析：设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，＝(x，y－2)，＝(2，1)．由∥⊥，得解得∴点C的坐标为(－2，6).
答案：(－2，6)
三、解答题(共32分)
8．(15分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求d.
解析：(1)∵a＝mb＋nc，
∴(3，2)＝(－m＋4n，2m＋n)，
∴解得
(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，∴2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(3)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)，(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1，
∴
解得或
∴d＝()或d＝()．
9．(17分)已知向量a＝(2t，t)，b＝(－3，1)，c＝(－1，4)．
(1)求|a＋b|的最小值及相应t的值；
(2)若＝b，＝c，其中O为坐标原点，点D在BC的延长线上，且|BD|＝3|BC|，求点D坐标．
解析：(1)因为向量a＝(2t，t)，b＝(－3，1)，所以a＋b＝(2t－3，t＋1)，
所以|a＋b|＝
＝，
当t＝1时，|a＋b|取得最小值为＝.
(2)由题意知，＝b＝(－3，1)，＝c＝(－1，4)，即B(－3，1)，C(－1，4)，
因为点D在BC的延长线上，且|BD|＝3|BC|，所以＝3，
设D(m，n)，则＝(m＋3，n－1)，＝(2，3)，
所以所以所以D(3，10)．
[尖子生题库]
10．(5分)若A(1，2)，B(5，－4)，C(9，t)三点不能构成三角形，则t＝________．
解析：由三点不能构成三角形，即三点共线，所以∥，且＝(4，－6)，＝(8，t－2)，
所以＝λ，且λ∈R，则可得
答案：－10
11．(17分)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.
(1)求∠EMF的余弦值；
(2)设＝λ，求λ的值及点M的坐标；
(3)若点P自A点逆时针沿正方形的边再运动到A点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由．
解析：(1)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，
则D(0，6)，E(3，0)，A(0，0)，F(6，2)，∴＝(3，－6)，＝(6，2)，
由于∠EMF就是的夹角，
∴cos ∠EMF＝cos 〈〉＝＝，
∴∠EMF的余弦值为.
(2)∵＝λ，则＝(6λ，2λ)，则M(6λ，2λ)，
又D，M，E三点共线，则设＝t，0即(6λ，2λ－6)＝t(3，－6)，则解得λ＝，故M()．
(3)由题意得＝(3，2)，假设存在点P，使得EF⊥MP，
①当点P在AB上时，设P(x，0)(0≤x≤6)，∴＝(x－，－)，
则3x－＝0，则x＝，故P(，0)，|MP|＝＝；
②当点P在BC上时，设P(6，y)，0∴＝(，y－)，
则＋2y－＝0，∴y＝－(舍去)；
③当点P在CD上时，设P(x，6)，0≤x<6，
∴＝(x－)，
则3x－＝0，则x＝－(舍去)；
④当点P在DA上时，设P(0，y)，0则＝(－，y－)，
则－＋2y－＝0，则y＝，故P(0，)，
∴|MP|＝＝.
综上，存在符合题意的点P(，0)，|MP|＝或P(0，)，|MP|＝.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)8．1.3 向量数量积的坐标运算
【课程标准】 1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.3.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．
教 材 要 点
知识点一 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
1．向量数量积的坐标运算：
已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝__________．
2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b ____________．
知识点二 向量的长度、距离和夹角公式
1．向量的长度：
已知a＝(a1，a2)，则|a|＝__________________．
2．两点间的距离：
如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝__________________．
3．两向量的夹角：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则cos 〈a，b〉＝____________________．
4．两个向量垂直的坐标表示：若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
【学霸笔记】 与向量a ＝(a1，a2)同向的单位向量的坐标如何表示？
[提示] 由于单位向量a0 ＝，且|a| ＝，所以a0 ＝ ＝(a1，a2) ＝)，此为与向量a ＝(a1，a2)同向的单位向量的坐标．
基 础 自 测
1.已知a＝(－2，1)，b＝(3，2)，则a·(a＋b)＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，1)，则|2a－b|＝( )
A． B．4 C． D．6
3．(多选)设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝2
C．a∥b D．(a－b)⊥b
4．已知a＝(1，3)，b＝(1，－1)，则a与b夹角的余弦值为( )
A． B．－ C．－ D．
5．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，c＝(3，6)，且a⊥c，b∥c，则向量a＋b与a－c的夹角大小为________．
题型1平面向量数量积的坐标运算
例1(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x＝( )
A． B．－ C． D．－
状元随笔 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．
(2)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)，则a·b＝________，a·(a－b)＝________．
(3)已知a＝(2，－1)，b＝(3，2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________．
方法归纳
(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝，并能灵活运用以下几个关系：
|a|2＝a·a；(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．
(3)向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．
跟踪训练1 在矩形ABCD中，若AB＝1，＝，且·＝·，则·＝( )
A． B．1
C． D．2
题型2向量模的问题
例2(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|＝( )
A．4 B．5
C．3 D．4
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________．
状元随笔 (1)两向量 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2 －x2y1 ＝0.
(2)已知 ＝(x，y)，则||＝.
方法归纳
向量模的问题的解题策略：
(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．
(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝.
跟踪训练2 在直角坐标系xOy中，已知a＝(1，3)，b＝(3，1)，若 t∈R，|a－λb|≤|a－tb|恒成立，则λ＝( )
A． B．
C． D．
题型3向量的夹角与垂直问题
【思考探究】 1.设a，b都是非零向量，a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
[提示] cos θ＝＝.
2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a与b的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？
[提示] ∵a ＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b ＝λ－1.
∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1，且λ≠－1，
∴λ的取值范围是(－∞，－1)
例3(1)已知a＝(2，1)，b＝(1，t)，若a·b＝5，则cos 〈a，b〉＝________.
(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞)
B．(－2，，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－2，2)
(3)已知a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m为何值？
状元随笔 (1)可利用，夹角为锐角 求解．
(2)可利用两非零向量⊥ · ＝0来求m.
方法归纳
1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角的余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．
2．求向量夹角的方法技巧
(1)若求向量a与b的夹角，利用公式cos 〈a，b〉＝＝，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角．
(2)非零向量a与b的夹角θ与向量的数量积的关系：
①若θ为直角，则充要条件为向量a⊥b，则转化为a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
②若θ为锐角，则充要条件为a·b>0，且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同)．
③若θ为钝角，则充要条件为a·b<0，且a与b的夹角不能为π(即a与b的方向不能相反)．
3．非零向量a，b垂直问题的解决方法
涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．
跟踪训练3 (1)已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
①求b与c；
②若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
(2)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠APN的余弦值为________．
易错点 忽略向量共线问题
例 已知向量a＝(－2，－1)，b＝(t，1)，且a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是________．
【错解】 设向量a与b的夹角为θ，
∵θ为钝角，∴<θ<π，∴cos θ＝<0，
∴a·b<0，即(－2，－1)·(t，1)＝－2t－1<0，
∴t>－.
【正解】 若a与b的夹角为钝角，则它们数量积小于0，且两向量不为反向向量．
由a·b＝(－2，－1)·(t，1)＝－2t－1<0，
得t>－，若为反向向量，
则a＝λb(λ<0)，∴解得∴t≠2，
∴实数t的取值范围是t>－，且t≠2，
即t∈(－，2)
故答案为(－，2)
【易错警示】
错误原因 纠错心得
忽略了向量共线而错． 向量同向共线数量积大于零，向量反向共线数量积小于零．
教材反思
(1)向量垂直的坐标表示
①记忆口诀和注意问题
注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“a⊥b x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”；“a∥b x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
②可以解决的问题
应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题．
(2)区分向量平行与垂直的坐标公式
①向量的坐标表示与运算不但简化了数量积的运算，而且使有关模(长度)、角度、垂直等问题用坐标运算来解决尤为简单．
②注意向量垂直的充要条件和向量平行的充要条件公式的区别．
题型4用数量积的坐标运算解决平面几何问题[直观想象、数学运算]
例4已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( )
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
方法归纳
用向量方法解决平面几何问题的步骤
跟踪训练4 (多选)已知正三角形ABC的边长为2，动点P为三角形ABC所在平面内一点，且满足|PC|＝1，则·的值可能为( )
A．4－2 B．2－2
C．3＋2 D．7
能 力 提 升 练
1.设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________．
2．P是边长为2的正方形ABCD边界或内部一点，且＝，则·的最大值是________．
8．1.3 向量数量积的坐标运算
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．a1b1＋a2b2
2．a1b1＋a2b2＝0
知识点二
1.
2.
3.
[基础自测]
1．解析：由题意可得a＋b＝(1，3)，所以a·(a＋b)＝－2×1＋1×3＝1.故选A.
答案：A
2．解析：因为a＝(2，1)，b＝(－1，1)，所以2a－b＝(5，1)，所以|2a－b|＝，故选C.
答案：C
3．解析：因为向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，对于A选项，|a|＝2，|b|＝，A错误；对于B选项，a·b＝2＋0＝2，B正确；对于C选项，因为2×1－0×1≠0，故a，b不共线，C错误；对于D选项，a－b＝(1，－1)，则(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b，D正确．故选BD.
答案：BD
4．解析：设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝.故选C.
答案：C
5．解析：由题意得3x＋6＝0，2×6－3y＝0，解得x＝－2，y＝4，
故a＋b＝(－2，1)＋(2，4)＝(0，5)，a－c＝(－2，1)－(3，6)＝(－5，－5)，
则cos 〈a＋b，a－c〉＝，
因为〈a＋b，a－c〉∈[0，π]，所以〈a＋b，a－c〉＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)因为a＝(1，2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－.
(2)a·b＝(－1，2)·(3，2)＝(－1)×3＋2×2＝1，
a·(a－b)＝(－1，2)·[(－1，2)－(3，2)]＝(－1，2)·(－4，0)＝4.
(3)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，
所以解得
所以c＝.
【答案】 (1)D (2)1 4 (3)
跟踪训练1 解析：建立如图所示平面直角坐标系，设AD＝t，t>0，A(0，0)，B(1，0)，C(1，t)，D(0，t)，
由可得E＝(1，0)，＝＝(0，t)，
由，可得1＝，解得t＝，或t＝－(舍去)，
则＝·＝1＋1＝2.故选D.
答案：D
例2 【解析】 (1)由a∥b，得y＋4＝0，
y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝4.故选D.
(2)由题意知，a＋b＝(－2，4)，a－b＝(4，0)，
因此|a＋b|＝2＝4.
【答案】 (1)D (2)2 4
跟踪训练2 解析：由题意可得a·b＝1×3＋3×1＝6，|a|＝＝，
若 t∈R，|a－λb|≤|a－tb|恒成立，
则 t∈R，|a|2＋λ2|b|2－2λa·b≤|a|2＋t2|b|2－2ta·b恒成立，
即 t∈R，10＋10λ2－12λ≤10＋10t2－12t恒成立，
即 t∈R，5λ2－6λ≤5t2－6t＝52－恒成立，
而当52－时，等号成立，
故5λ2－6λ≤－，即(5λ－3)2≤0，∴λ＝，故选D.
答案：D
例3 【解析】 (1)由a·b＝5，得2×1＋1×t＝5，解得t＝3，
所以b＝(1，3)，
所以|a|＝＝，
所以cos 〈a，b〉＝.
(2)当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0，得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，故选B.
(3)a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)，因为(a＋mb)⊥(a－b)，所以(a＋mb)·(a－b)＝0，
即(3＋2m)×1＋ (4－m)×5＝0，所以m＝.
【答案】 (1) (2)B (3)见解析
跟踪训练3 解析：(1)①因为a∥b，所以3x＝4×9，所以x＝12.
因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3，
所以b＝(9，12)，c＝(4，－3)．
②m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．
设m，n的夹角为θ，
则cos θ＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即m，n的夹角为.
(2)依题意，以A为原点，AC所在直线为x轴，过A作AC的垂线为y轴，如图所示，
∵AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，
∴A(0，0)，B，C(4，0)，N(2，0)，则M，
∴＝＝，
∵∠APN为向量与的夹角，
∴×1＋＝－1，
＝ ＝ ＝2，
∴cos ∠APN＝.
答案：(1)见解析 (2)－
例4 【解析】 设P(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，＝(x，y)，＝(2，0)，所以＝2x，由题意可得点C的横坐标为3，点F的横坐标为－1，
所以－1【答案】 A
跟踪训练4 解析：因为动点P满足|PC|＝1，所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，如图建立平面直角坐标系，则A，B(－1，0)，C(1，0)，圆C：(x－1)2＋y2＝1，设P(1＋cos α，sin α)，则＝＝(－2－cos α，－sin α)，则＝(－1－cos α)(－2－cos α)＋(－sin α)＝3cos α－sin α＋3＝sin ＋3，所以∈，因为4－2∈，3＋2∈，2－2 ，7 故选AC.
答案：AC
能力提升练
1．解析：∵A，B，C三点能构成三角形，
∴不共线．
又∵＝(1，1)，＝(m－2，4)，
∴1×4－1×(m－2)≠0，解得m≠6，
∴m的取值范围是{m|m≠6}．
答案：{m|m≠6}
2．解析：方法一 以B为坐标原点，以BC方向为x轴正方向，以BA方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，
则A(0，2)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，2)，
设P(x，y)，0≤x≤2，0≤y≤2，则＝(x，y－2)，
因为，则＝(2－x，－2－y)，
则＝x(2－x)＋(y－2)(－2－y)＝5－[(x－1)2＋y2]，
故当x＝1，y＝0时，取得最大值为5.
方法二 令，则E为BC中点，E为PM中点，则E(1，0)，
所以＝5，
当P为BC中点时取等号．
答案：5
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8．1.3 向量数量积的坐标运算
【课程标准】 1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.3.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．
教 材 要 点
知识点一 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
1．向量数量积的坐标运算：
已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝__________．
2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b ____________．
a1b1＋a2b2
a1b1＋a2b2＝0
3．两向量的夹角：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则cos 〈a，b〉＝____________________．
4．两个向量垂直的坐标表示：若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
基 础 自 测
1.已知a＝(－2，1)，b＝(3，2)，则a·(a＋b)＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：A
解析：由题意可得a＋b＝(1，3)，所以a·(a＋b)＝－2×1＋1×3＝1.故选A.
答案：C
3．(多选)设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝2
C．a∥b D．(a－b)⊥b
答案：BD
答案：C
5．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，c＝(3，6)，且a⊥c，b∥c，则向量a＋b与a－c的夹角大小为________．
【答案】D
状元随笔 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．
(2)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)，则a·b＝________，a·(a－b)＝________．
1
4
【解析】 a·b＝(－1，2)·(3，2)＝(－1)×3＋2×2＝1，
a·(a－b)＝(－1，2)·[(－1，2)－(3，2)]＝(－1，2)·(－4，0)＝4.
(3)已知a＝(2，－1)，b＝(3，2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________．
答案：D
【答案】D
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________．
4
答案：D
例3(1)已知a＝(2，1)，b＝(1，t)，若a·b＝5，则cos 〈a，b〉＝________.
【答案】B
(3)已知a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m为何值？
(2)非零向量a与b的夹角θ与向量的数量积的关系：
①若θ为直角，则充要条件为向量a⊥b，则转化为a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
②若θ为锐角，则充要条件为a·b>0，且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同)．
③若θ为钝角，则充要条件为a·b<0，且a与b的夹角不能为π(即a与b的方向不能相反)．
3．非零向量a，b垂直问题的解决方法
涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．
跟踪训练3 (1)已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
①求b与c；
②若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
(2)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠APN的余弦值为________．
【易错警示】
错误原因 纠错心得
忽略了向量共线而错． 向量同向共线数量积大于零，向量反向共线数量积小于零．
教材反思
(1)向量垂直的坐标表示
①记忆口诀和注意问题
注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“a⊥b x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”；“a∥b x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
②可以解决的问题
应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题．
(2)区分向量平行与垂直的坐标公式
①向量的坐标表示与运算不但简化了数量积的运算，而且使有关模(长度)、角度、垂直等问题用坐标运算来解决尤为简单．
②注意向量垂直的充要条件和向量平行的充要条件公式的区别．
【答案】 A
方法归纳
用向量方法解决平面几何问题的步骤
答案：AC
{m|m≠6}
5
答案：A
答案：B
3．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)，则a＋b在a－b方向上的投影的数量为( )
A．4 B．－2 C．2 D．－4
答案：B
答案：BD
±3
5
(－2，6)
8．(15分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求d.
10．(5分)若A(1，2)，B(5，－4)，C(9，t)三点不能构成三角形，则t＝________．
－10
