课时作业(十九) 三角恒等变换的应用
(分值：80分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若α∈[，2π]，则 ＝( )
A．cos α－sin α B．cos α＋sin α
C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α
解析：因为α∈[，2π]，所以sin α<0，cos α>0，则 － ＝ ＝|cosα|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.
答案：B
2．已知α∈(0，π)，sin (－α)＝，则cos 2α＝( )
A． B．－
C．－ D．
解析：因为α∈(0，π)，－α∈(－)，sin (－α)＝>0，所以－α∈(0，)，cos (－α)＝，cos 2α＝cos [2(－α)－]＝sin [2(－α)]＝2sin (－α)cos (－α)＝2×＝.
答案：A
3．在△ABC中，若sin A sin B＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
解析：由sinA sin B＝cos2，得cos(A－B)－cos (A＋B)＝，∴cos (A－B)＋cos C＝cos C，即cos (A－B)＝1，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC是等腰三角形．
答案：B
4．函数f(x)＝sin x(1＋cos x)的最大值为( )
A． B．
C． D．
解析：方法一 不妨设x∈[0，2π]，则f′(x)＝cos x＋2cos2x－，
整理得到f′(x)＝(2cos x－1)(cos x＋1)，
当x∈(0，，2π)时，f′(x)>0；当x∈()时，f′(x)<0，
故f(x)在(0，)，(，2π)上为增函数，在()上为减函数，
而f(2π)＝0，f()＝，故f(x)的最大值为.
方法二 由万能公式得sin x＝，cosx＝，
代入原式并化简得f(x)＝(1＋)＝，
令tan＝t，因为题设中欲求最大值，故可设t>0，
故原式转化为f(t)＝＝＝＝，
当且仅当t＝时取等号，显然最大值为.故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知θ∈(0，)，且cos 2θ＝，则tan θ＝________.
解析：由cos 2θ＝＝＝，
所以3－3tan2θ＝tan2θ，则tan2θ＝＝，
由θ∈(0，)，则tan θ＝.
答案：
6．化简：＝________．
解析：＝
＝＝4sin α.
答案：4sin α
7．在△ABC中，若tan A，tan B是x的方程x2－px＋1－p＝0的两个实根，则角C＝________．
解析：对于方程x2－px＋1－p＝0，则Δ＝p2－4(1－p)＝p2＋4p－4>0，解得p<－2－2或p>－2＋2，
因为tan A，tan B是x的方程x2－px＋1－p＝0的两个实根，
由韦达定理可得tan A＋tan B＝p，tan A tan B＝1－p，
所以tan (A＋B)＝＝＝1，
因为0
答案：
三、解答题(共30分)
8．(15分)已知函数f(x)＝cos2－sin2＋sin x.
(1)求函数f(x)的最小正周期与对称轴方程；
(2)当x0∈(0，π)，且f(x0)＝时，求f(x0＋)的值．
解析：(1)由题设有f(x)＝cos x＋sin x＝sin (x＋)，
所以函数f(x)的最小正周期是T＝2π；
由x＋＝kπ＋(k∈Z)，可得x＝kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)由f(x0)＝，得sin (x0＋)＝，即sin (x0＋)＝，
因为x0∈(0，π)，所以x0＋∈()．
若x0＋∈()，则sin (x0＋)>与sin (x0＋)＝，矛盾，则x0＋∈(，π)．
从而cos (x0＋)＝－
＝－＝－.
于是f(x0＋)＝sin(x0＋)
＝sin [(x0＋)＋]
＝[sin (x0＋)cos ＋cos (x0＋)sin ]
＝)＝.
9．(15分)回答下面两题．
(1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，求sin α－cos α的值．
(2)已知tan α＝4，且sin (α－β)＝，0<β<α<，求角β的值．
解析：(1)因为sin α＋cos α＝，两边平方后得1＋2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝－<0，因为α∈(0，π)，
所以α∈(，π)，所以sin α>0，cos α<0，
因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，sin α－cos α>0，
所以sin α－cos α＝.
(2)因为0<β<α<，所以0<α－β<，
sin (α－β)＝，所以cos (α－β)＝＝，
由tanα＝4，得
解得
sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos α·sin (α－β)＝＝，且0<β<，
所以β＝.
[尖子生题库]
10．(15分)某学校校园内有一个扇形空地AOB(∠AOB<π)，该扇形的周长为20＋，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示．
(1)求扇形空地AOB的半径和圆心角；
(2)取CD的中点M，记∠MOD＝θ.
(ⅰ)写出运动场馆CDEF的面积S与角θ的函数关系式；
(ⅱ)求当角θ为何值时，运动场馆CDEF的面积最大？并求出最大面积．
解析：(1)设扇形空地AOB所在圆半径为r，扇形弧长为l，依题意，
解得或
当时，圆心角∠AOB＝＝>π，不符合题意；
当时，圆心角∠AOB＝＝<π，符合题意，
所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为.
(2)(ⅰ)由(1)知，∠AOB＝，则θ∈(0，)，
在Rt△MOD中，OM＝10cos θ，DM＝10sin θ，则EN＝DM＝10sin θ，
在Rt△EON中，∠EON＝，ON＝＝10sin θ，
于是MN＝OM－ON＝10cos θ－10sin θ，
所以S＝2EN·MN＝20sin θ(10cos θ－10sin θ)＝200sin θcos θ－200sin2θ＝100sin 2θ－100(1－cos 2θ)＝100(sin 2θ＋cos 2θ)－100＝200sin (2θ＋)－100，θ∈(0，)．
(ⅱ)由(ⅰ)知，当θ∈(0，)时，2θ＋∈()，
则当2θ＋＝，即θ＝时，Smax＝200－100，
所以当θ＝时，运动场馆CDEF的面积最大，最大面积为200－100.
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8．2.4 三角恒等变换的应用
【课程标准】 1.了解由倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．(一般)
2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．(重点、难点)
3．能根据两角和与差的正弦、余弦公式进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．
知识点二 积化和差公式
cos αcos β＝______________________；
sin αsin β＝______________________；
sin αcos β＝______________________；
cos αsin β＝______________________．
知识点三 和差化积公式
设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝________，β＝________．这样，上面的四个式子可以写成
sin x＋sin y＝________________；
sin x－sin y＝________________；
cos x＋cos y＝________________；
cos x－cos y＝________________．
【学霸笔记】 和差化积公式的适用条件是什么？
[提示] 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．
答案：C
答案：A
答案：D
答案：A
(2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．
2．积化和差公式的功能与关键
(1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).
②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质．
(2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．
题型3三角恒等式的证明
(1)求证：1＋2cos2θ－cos2θ＝2；
状元随笔 (1)可由左向右证：先把左边cos2θ降幂化为同角后整理可证．
(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．
方法归纳
三角恒等式证明的五种常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简．
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
状元随笔 利用三角公式化简函数式，写为f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋b的形式，再讨论函数的性质．
方法归纳
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝A sin (φx＋k)(或y＝A cos ＋φ的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质．
能 力 提 升 练
1.已知2tan2β＝tan2α－1，求证：sin2α－cos2α＝sin2β.
教材反思
常用的三角恒等变换思想方法
(1)常值代换
用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．
答案：B
答案：A
答案：B
答案：D
4sin α
7．在△ABC中，若tan A，tan B是x的方程x2－px＋1－p＝0的两个实根，则角C＝________．
8．2.4 三角恒等变换的应用
【课程标准】 1.了解由倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．(一般)
2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．(重点、难点)
3．能根据两角和与差的正弦、余弦公式进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．
教 材 要 点
知识点一 半角公式
sin ＝____________，cos ＝______________，tan ＝________________．
【半角正切公式的有理化推导】
tan ＝＝＝；
tan ＝＝＝，
所以tan ＝＝.
【学霸笔记】 如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？
[提示] (1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．
(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求角所在范围，然后再根据角所在象限确定符号．
知识点二 积化和差公式
cos αcos β＝________________；
sin αsin β＝________________；
sin αcos β＝________________；
cos αsin β＝________________．
知识点三 和差化积公式
设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝________，β＝________．这样，上面的四个式子可以写成
sin x＋sin y＝________________；
sin x－sin y＝________________；
cos x＋cos y＝________________；
cos x－cos y＝________________．
【学霸笔记】 和差化积公式的适用条件是什么？
[提示] 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．
知识点四 万能公式
sin α＝________________；
cos α＝________________；
tan α＝________________．
万能公式可以把角α的三角函数式转化为用tan 表示的式子．
基 础 自 测
1.若cos α＝，α∈(0，π)，则cos ＝( )
A． B．－
C． D．－
2．cos 15°sin 105°＝( )
A． B．
C．＋1 D．－1
3．若α∈(0，)，sin 2α＝cos2α，则cos2α＝( )
A．－ B．－
C．0 D．
4．在△ABC中，已知sin B sin C＝cos2，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
5．设α∈(π，2π)，则＝________．
题型1化简问题
例1已知π<α<，求的值．
状元随笔 解答本题可先用倍角公式“升幂”，再根据的范围开方化简．
方法归纳
要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cos α＝2cos2，1－cosα＝2sin2，1±sinα＝(sin ±cos )2等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路．
跟踪训练1 化简：(180°题型2求值问题
例2(1)已知tan (π＋θ)＝2，则cos (2θ＋)＝________．
(2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．
(3)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin (α＋β)的值．
利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．
(4)已知sin α＝－，且π<α<，求sin ，cos ，tan 的值．
方法归纳
1．已知θ的某三角函数值，求的相应三角函数值时，常借助于半角公式sin2＝，cos2＝，tan ＝＝来处理，由于上述式子中可能涉及解的不定性，故在求解中应注意分析的范围．
2．积化和差公式的功能与关键
(1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).
②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质．
(2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．
3．和差化积公式应用时的注意事项
(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．
(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项．
(3)为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如－cos α＝cos －cos α.
跟踪训练2 已知sin (α＋)＝，α∈(π，)．
(1)求sin (2α＋)的值；
(2)求tan 的值．
题型3三角恒等式的证明
(1)求证：1＋2cos2θ－cos2θ＝2；
(2)求证：＝.
状元随笔 (1)可由左向右证：先把左边cos2θ降幂化为同角后整理可证．
(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．
方法归纳
三角恒等式证明的五种常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简．
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
跟踪训练3 证明恒等式：＝tan ()．
题型4三角恒等变换与三角函数图象性质的综合应用
【思考探究】 (1)如何求函数y＝sin (2x－)＋2sin2(x－)(x∈R)的最小正周期？
[提示] y＝sin(2x－)＋1－cos (2x－)
＝sin (2x－)＋1＝sin (2x－)＋1，
所以函数的最小正周期T＝π.
(2)研究形如f(x)＝a sin2ωx＋b sinωx cos ωx＋c cos2ωx的性质时，应首先把函数f(x)化简成什么形式再解答？
[提示] 研究形如f(x)＝a sin2ωx＋b sinωx·cos ωx＋c cos2ωx的性质时，先化成f(x)＝·sin (ωx＋φ)＋c的形式再解答．
例4已知函数f(x)＝sin (2x－)＋2sin2(x－)(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
状元随笔 利用三角公式化简函数式，写为f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋b的形式，再讨论函数的性质．
方法归纳
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝A sin (φx＋k)(或y＝A cos ＋φ的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝2sin2ωx＋2·cosωx sin ωx(ω>0)的最小正周期T＝π.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)求不等式f(x)>＋1的解集．
能 力 提 升 练
1.已知2tan2β＝tan2α－1，求证：sin2α－cos2α＝sin2β.
2．如图，长方形ABCD，AB＝4，AD＝8，Rt△MPN的直角顶点P为AD中点，点M，N分别在边AB，CD上，令∠DPN＝θ(≤θ≤)．
(1)当tanθ＝时，求梯形BCNM的面积S；
(2)求△MPN的周长l的最小值，并求此时角θ的值.
教材反思
常用的三角恒等变换思想方法
(1)常值代换
用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．
(2)切化弦
当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tan α＝，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称．
(3)降幂与升幂
由C2α变形后得到公式：sin2α＝(1－cos2α)，cos2α＝(1＋cos2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，就是升幂．
(4)角的变换
角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等．
温馨提示：请完成课时作业(十九)
章末质量检测(二) 必修三 模块质量检测
8．2.4 三角恒等变换的应用
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
± ±
± ＝＝
知识点二
[cos (α＋β)＋cos (α－β)] －[cos (α＋β)－cos (α－β)]
[sin (α＋β)＋sin (α－β)] [sin (α＋β)－sin (α－β)]
知识点三
2sin cos 2cos sin 2cos cos －2sin sin
知识点四
[基础自测]
1．解析：由题意知∈(0，)，∴cos>0，
cos ＝ ＝.
答案：C
2．解析：cos 15°sin 105°＝[sin (15°＋105°)－sin (15°－105°)]＝[sin 120°－sin (－90°)]＝×1＝．
答案：A
3．解析：因为α∈(0，)，sin 2α＝cos2α，所以cosα≠0，且2sin αcos α＝cos2α，解得tanα＝，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝.故选D.
答案：D
4．解析：因为sinB sin C＝cos2＝(1＋cosA)＝[1－cos (B＋C)]，
cos (B＋C)＝cos B cos C－sin B sin C，
所以cos B cos C＋sin B sin C＝1，即cos (B－C)＝1，
因为B，C∈(0，π)，所以B－C∈(－π，π)，
所以B＝C，即△ABC为等腰三角形．故选A.
答案：A
5．解析： ＝ ＝ ＝.
∵α∈(π，2π)，∴∈(，π)，∴sin >0，故原式＝sin .
答案：sin
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 原式＝
∵π<α<，∴<<，∴cos <0，sin >0，
∴原式＝
＝－＝－cos .
跟踪训练1 解析：因为180°所以原式＝
＝
＝
＝－(sin2－cos2)＝cosx.
例2 【解析】 (1)∵tan (π＋θ)＝2，∴tan θ＝2，
∴cos (2θ＋)＝－sin 2θ＝－＝－＝－＝－.
(2)原式＝cos10°cos 30°cos 50°cos 70°
＝cos 10°cos 50°cos 70°
＝(cos 60°＋cos 40°)·cos 70°]
＝cos 70°＋cos 40°cos 70°
＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°)
＝cos 70°＋cos 110°＋＝.
(3)∵cos α－cos β＝，
∴－2sin sin ＝， ①
又∵sin α－sin β＝－，
∴2cos sin ＝－， ②
∵sin ≠0，
∴由①②得－tan ＝－，即tan ＝，
∴sin (α＋β)＝＝＝＝．
(4)因为sinα＝－，π<α<，
所以cos α＝－.
又<<，
所以sin ＝ ＝ ＝，
cos ＝－ ＝－ ＝－，
tan ＝＝－4.
【答案】 (1)－ (2)(3)(4)见解析
跟踪训练2 解析：(1)因为sin (α＋)＝－cos α＝，所以cos α＝－，
因为α∈(π，)，
所以sin α＝－＝－＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－)×(－)＝，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×(－)2－1＝－，
所以sin(2α＋)＝sin 2α＋cos 2α＝×(－)＝.
(2)方法一 因为α∈(π，)，所以∈()，
则sin >0，cos <0，
所以sin ＝ ＝，cos ＝－ ＝－，则tan ＝＝＝－2.
方法二 tan ＝＝＝
＝＝－2.
方法三 tan α＝＝＝＝，解得tan＝或－2，
因为α∈(π，)，所以∈()，则tan <0，
故tan ＝－2.
例3 【证明】 (1)左边＝1＋2×－cos 2θ＝2＝右边，所以原等式成立．
(2)左边＝
＝
＝＝＝＝＝右边，
所以原等式成立．
跟踪训练3 证明：右边＝tan ()＝
＝＝
＝
＝＝＝左边，
∴＝tan ()．
例4 【解析】 (1)因为f(x)＝sin (2x－)＋2sin2(x－)
＝sin[2(x－)]＋1－cos [2(x－)]
＝2{sin [2(x－)]－cos [2(x－)]}＋1
＝2sin [2(x－)－]＋1＝2sin (2x－)＋1，
所以T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin (2x－)＝1，
有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，
所以所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
跟踪训练4 解析：(1)依题意，f(x)＝sin 2ωx－cos 2ωx＋1＝2(sin 2ωx－cos 2ωx)＋1
＝2(sin 2ωx cos －cos 2ωx sin )＋1
＝2sin (2ωx－)＋1，
由f(x)的最小正周期T＝＝π，解得ω＝1，则f(x)＝2sin (2x－)＋1.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)；
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
(3)由f(x)>＋1，得2sin (2x－)＋1>＋1，
即sin (2x－)>，
则2kπ＋<2x－<2kπ＋(k∈Z)，解得x∈(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)，
所以不等式f(x)>＋1的解集为(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．
能力提升练
1．证明：因为2tan2β＝tan2α－1，所以tan2α＝2tan2β＋1，
即＝2×＋1，
去分母，得sin2αcos2β＝2cos2αsin2β＋cos2αcos2β.
又2cos2αsin2β＋cos2αcos2β
＝2cos2α(1－cos2β)＋cos2αcos2β＝2cos2α－cos2αcos2β＝cos2α(2－cos2β)＝cos2α(1＋sin2β)，
所以sin2αcos2β＝cos2α(1＋sin2β)，
即sin2α(1－sin2β)＝cos2α＋cos2αsin2β，
所以sin2α－sin2αsin2β＝cos2α＋cos2αsin2β，
于是sin2α－cos2α＝(sin2α＋cos2α)sin2β＝sin2β，
故sin2α－cos2α＝sin2β.
2．解析：(1)DN＝DP tanθ＝4×＝2，
∵∠DPN＝∠PMA＝θ，∴tan ∠PMA＝＝，∴AM＝4×＝，∴NC＝2，MB＝，∴S＝(2)×8×＝.
(2)由(1)可知，PN＝，PM＝∴MN＝4 ＝4＝，∴l＝＝4()，
sin θ＋cos θ＝sin (θ＋)，∵θ＋∈，
∴sin (θ＋)∈，
令sin θ＋cos θ＝t∈，则sin θcos θ＝(t2－1)，即l＝＝，
当t＝，即θ＝时，lmin＝＝8(＋1)．
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