7．1.1 角的推广
【课程标准】 1.了解任意角的概念.2.掌握象限角的概念．
教 材 要 点
知识点一 角的概念
1．角的形成：角可以看成是________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所成的图形．
2．角的分类：
按旋转方向可将角分为如下三类：
(1)正角：按照______________而成的角；
(2)负角：按照______________而成的角；
(3)零角：当射线______________时，我们也把它看成一个角，称为零角．
知识点二 利用转角给出角的加减法运算的几何
意义1.射线OA绕端点O旋转到OB所成的角，记作∠AOB，其中________叫做∠AOB的始边，__________叫做∠AOB的________．
2．引入正角、负角的概念以后，角的加法运算可以转化为角的终边绕始边逆时针旋转，减法运算可以转化为角的终边绕始边顺时针旋转．
知识点三 象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，那么，角的终边在第几象限，就把这个角称为________________．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
【学霸笔记】 零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合．
知识点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和．
知识点五 轴线角及其集合表示
1．轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角．
2．轴线角的集合表示
角的终边位置 集合表示
x轴的非负半轴 {β|β＝k×360°，k∈Z}
x轴的非正半轴 {β|β＝k×360°＋180°，k∈Z}
x轴上 {β|β＝k×180°，k∈Z}
y轴非负半轴 {β|β＝k×360°＋90°，k∈Z}
y轴非正半轴 {β|β＝k×360°－90°，k∈Z}
y轴上 {β|β＝k×180°＋90°，k∈Z}
基 础 自 测
1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为( )
A．逆时针，270° B．顺时针，270°
C．逆时针，30° D．顺时针，30°
2．下列命题中正确的是( )
A．第一象限角一定不是负角
B．钝角一定是第二象限角
C．小于90°的角一定是锐角
D．第一象限角一定是锐角
3．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在( )
A．x轴的正半轴上
B．x轴的负半轴上
C．y轴的正半轴上
D．y轴的负半轴上
4．1 013°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
5．如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为________________________．
题型1任意角的概念
例1(1)在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角．其中假命题的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角的度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为________．
方法归纳
利用角的概念进行判断
判断角的概念问题的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
跟踪训练1 (1)下列命题正确的是( )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．小于90°的角是锐角
D．集合{α|90°≤α<180°}内的角不一定是钝角
(2)喜羊羊步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟内，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30° C．60° D．－60°
题型2终边相同的角的概念
例2(1)写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
状元随笔 (1)对终边相同的角的说明
所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：
①k是整数，这个条件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360 °与α之间用“＋”号连接，如k·360 °－30 °应看成k·360 °＋(－30 °)(k∈Z)．
(2)在0 °到360 °范围内找出与直线y＝x终边相同的角，再推广到任意角．
(3)终边相同的角的取值是由k的取值决定的．
(2)终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
状元随笔 终边在坐标轴上的角的集合表示
角α的终边位置 角α的集合表示
在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
方法归纳
在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
跟踪训练2 (1)与－2 024°终边相同的最小正角为( )
A．136° B．224°
C．44° D．134°
(2)终边在x轴上的角的集合是( )
A．
B．
C．
D．
题型3象限角与区域角的表示及(k∈N*)所在象限的判定方法
【思考探究】 1.象限角的集合表示
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α2.由角α所在象限如何求(k∈N*)所在象限？
[提示] (1)代数推导法：先表示出角α所在的象限范围，再求出所在的范围，进一步由k值确定．如：当角α在第二象限时，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z，所以在第一、二、四象限．
(2)等分象限法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1，2，3，4，循环下去，直到填满为止，则当角α在第n象限时，就在n号区域．例如：当角α在第二象限时，在图k＝2时的2号区域，在图k＝3时的2号区域．但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时，上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法．
例3(1)如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<α(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围；
(3)已知角α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？
状元随笔 (3)可由角α范围写出2α，的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置．
方法归纳
1．表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°，即得区间角集合．对顶区域，始边、终边再加上k·180°即得区间角集合(k∈Z)．
2．解决所在象限的问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论．跟踪训练3 (1)已知角α的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是________．
(2)已知α为第二象限角，试判断是第几象限角？
题型4关于角的对称问题[逻辑推理]
例4若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
状元随笔 因为α为第一象限角，所以0 °＋n ·360 °<α<90 °＋n ·360 °(n∈Z)，结合不等式判断题中各选项中的角所在象限．
方法归纳
角的终边的对称问题
若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
[提示] (1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180 °－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y ＝x对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
跟踪训练4 (1)若α是第四象限角，则90°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)(多选)若α是第三象限的角，则180°－可能是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
能 力 提 升 练
1.(1)若角α与135°角的终边关于x轴对称，且－360°<α<360°，则α＝________；
(2)若锐角α与角9α的终边关于y轴对称，则α＝________；
(3)若角α为正角，角β为负角，且α与β的终边关于原点对称，则α－β＝________．
2.如图，圆周上点A从点(1，0)开始按逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在1 min内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，2 min到达第三象限，15 min回到起始位置，求θ.
7．1.1 角的推广
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．一条射线 端点 旋转
2．(1)逆时针方向旋转 (2)顺时针方向旋转 (3)没有旋转
知识点二
1．OA OB 终边
知识点三
第几象限角
知识点四
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 整数个周角
[基础自测]
1．解析：由题意可得∠AOB＝120°，设∠BOC＝θ，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，解得θ＝－270°，所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°，故选B.
答案：B
2．解析：对于A，令α＝－300°＝60°－360°，显然α是第一象限角，同时也是负角，故A错误；对于B，不妨设θ是钝角，则90°<θ<180°，所以θ一定是第二象限角，故B正确；对于C，令β＝－60°，显然β是小于90°的角，但不是锐角，故C错误；对于D，令α＝－300°＝60°－360°，显然α是第一象限角，但不是锐角，故D错误．故选B.
答案：B
3．解析：因为角α，β的终边相同，所以α－β＝k·360°，k∈Z，所以α－β的终边落在x轴的正半轴上．故选A.
答案：A
4．解析：因为1 013°＝360°×3－67°，即1 013°与－67°终边相同，所以1 013°是第四象限角，故D正确．故选D.
答案：D
5．解析：由图可知阴影部分下侧终边相同的角为－120°＋k·360°(k∈Z)，上侧终边相同的角为135°＋360°k，且k∈Z，所以阴影部分(包括边界)的角α的集合为{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)因为锐角α∈(0，)，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立；因为钝角β∈(，π)，第二象限角θ∈(＋2kπ，π＋2kπ)，k∈Z，所以钝角一定是第二象限角，故②成立；若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；例如α＝120°，β＝390°，但α<β，故④不成立．故选B.
(2)把35°角的终边按顺时针方向旋转60°得35°－60°＝－25°；把35°角的终边按逆时针方向旋转一周后得35°＋360°＝395°.
【答案】 (1)B (2)－25° 395°
跟踪训练1 解析：(1)A选项，终边与始边重合的角为0°＋k·360°(k∈Z)，故A错误；B选项，终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，故B错误；C选项，小于90°的角可能是0°，还可能是负角，故C错误；D选项，集合{α|90°≤α<180°}内的角包含90°直角，所以不一定是钝角，故D正确．故选D.
(2)利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为360°，所以有×10＝60°，即分针走过的角度是－60°.
答案：(1)D (2)D
例2 【解析】 (1)直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°到360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，
所以S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
(2)终边在坐标轴上的角为90°角或90°的整数倍角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．
【答案】 (1)见解析 (2)D
跟踪训练2 解析：(1)因为－2 024°＝－360°×6＋136°，所以与－2 024°终边相同的最小正角是136°.故选A.
(2)终边在x轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，
终边在x轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}，
所以终边在x轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，故选A.
答案：(1)A (2)A
例3 【解析】 (1)在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α(2)阴影在x轴上方部分的角的集合为A＝{β|k·360°＋60°≤β阴影在x轴下方部分的角的集合为B＝{β|k·360°＋240°≤β所以阴影部分内角β的取值范围是A即{β|k·360°＋60°≤β其中B可以化为{β|k·360°＋180°＋60°≤β即{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}，
集合A可以化为{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}，
故A可化为{β|n·180°＋60°≤β(3)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．
同理45°＋·360°<<90°＋·360°.
当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°，此时，为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°，此时，为第三象限角，
∴为第一或第三象限角．
【答案】 (1)C (2)见解析 (3)见解析
跟踪训练3 解析：(1)终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，
终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，
因此终边在题图中的阴影区域内的角α的取值范围是{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}，
所以角的取值范围是{15°＋k·90°≤<52.5°＋k·90°，k∈Z}．
(2)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z.
当k＝3n，n∈Z时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，n∈Z，此时为第一象限角；
当k＝3n＋1，n∈Z时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，此时为第二象限角；
当k＝3n＋2，n∈Z时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，n∈Z，此时为第四象限角，
∴为第一、第二或第四象限角．
答案：(1){15°＋k·90°≤<52.5°＋k·90°，k∈Z} (2)见解析
例4 【解析】 因为α是第一象限角，
所以0°＋n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，
所以－n·360°<90°－α<90°－n·360°(n∈Z)，
90°＋n·360°<90°＋α<180°＋n·360°(n∈Z)，
270°－n·360°<360°－α<360°－n·360°(n∈Z)，
180°＋n·360°<180°＋α<270°＋n·360°(n∈Z)，
90°－α位于第一象限，90°＋α位于第二象限，
360°－α位于第四象限，180°＋α位于第三象限．
【答案】 C
跟踪训练4 解析：(1)由题知，α∈(－90°＋360°·k，360°·k)，k∈Z，则90°－α∈(90°－360°·k，180°－360°·k)在第二象限，故选B.
(2)由于α是第三象限的角，故180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，所以90°＋k·180°<<135°＋k·180°，k∈Z，所以45°－k·180°<180°－<90°－k·180°，k∈Z.当k为偶数时，180°－为第一象限角；当k为奇数时，180°－为第三象限角，所以180°－可能是第一象限角，也可能是第三象限角．故选AC.
答案：(1)B (2)AC
能力提升练
1．解析：(1)由题意得α＝－135°＋k·360°，k∈Z.由－360°<－135°＋k·360°<360°，得－(2)由题意得9α＋k·360°＝180°－α(k∈Z)，且0°<α<90°，所以α＝18°－k·36°(k∈Z)，故当k＝0时，α＝18°；当k＝－1时，α＝54°，所以α＝18°或54°.
(3)因为α与β的终边关于原点对称，所以α－β＝(2k＋1)·180°，k∈Z.又角α为正角，角β为负角，所以α－β＝(2k＋1)·180°，k∈N.
答案：(1)－135°或225° (2)18°或54° (3)(2k＋1)·180°，k∈N
2．解析：由题意得
即所以θ为96°或120°.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共74张PPT)
7．1.1 角的推广
【课程标准】
1.了解任意角的概念.
2.掌握象限角的概念．
教 材 要 点
知识点一 角的概念
1．角的形成：角可以看成是________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所成的图形．
一条射线
端点
旋转
2．角的分类：
按旋转方向可将角分为如下三类：
(1)正角：按照______________而成的角；
(2)负角：按照______________而成的角；
(3)零角：当射线________时，我们也把它看成一个角，称为零角．
逆时针方向旋转
顺时针方向旋转
没有旋转
知识点二 利用转角给出角的加减法运算的几何
意义1.射线OA绕端点O旋转到OB所成的角，记作∠AOB，其中________叫做∠AOB的始边，__________叫做∠AOB的________．
2．引入正角、负角的概念以后，角的加法运算可以转化为角的终边绕始边逆时针旋转，减法运算可以转化为角的终边绕始边顺时针旋转．
OA
OB
终边
知识点三 象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，那么，角的终边在第几象限，就把这个角称为___________．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
【学霸笔记】 零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合．
第几象限角
知识点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝____________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和．
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
整数个周角
知识点五 轴线角及其集合表示
1．轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角．
2．轴线角的集合表示
角的终边位置 集合表示
x轴的非负半轴 {β|β＝k×360°，k∈Z}
x轴的非正半轴 {β|β＝k×360°＋180°，k∈Z}
x轴上 {β|β＝k×180°，k∈Z}
y轴非负半轴 {β|β＝k×360°＋90°，k∈Z}
y轴非正半轴 {β|β＝k×360°－90°，k∈Z}
y轴上 {β|β＝k×180°＋90°，k∈Z}
基 础 自 测
1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为( )
A．逆时针，270° B．顺时针，270°
C．逆时针，30° D．顺时针，30°
答案：B
解析：由题意可得∠AOB＝120°，设∠BOC＝θ，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，解得θ＝－270°，所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°，故选B.
2．下列命题中正确的是( )
A．第一象限角一定不是负角
B．钝角一定是第二象限角
C．小于90°的角一定是锐角
D．第一象限角一定是锐角
答案：B
解析：对于A，令α＝－300°＝60°－360°，显然α是第一象限角，同时也是负角，故A错误；对于B，不妨设θ是钝角，则90°<θ<180°，所以θ一定是第二象限角，故B正确；对于C，令β＝－60°，显然β是小于90°的角，但不是锐角，故C错误；对于D，令α＝－300°＝60°－360°，显然α是第一象限角，但不是锐角，故D错误．故选B.
3．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在( )
A．x轴的正半轴上
B．x轴的负半轴上
C．y轴的正半轴上
D．y轴的负半轴上
答案：A
解析：因为角α，β的终边相同，所以α－β＝k·360°，k∈Z，所以α－β的终边落在x轴的正半轴上．故选A.
4．1 013°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：D
解析：因为1 013°＝360°×3－67°，即1 013°与－67°终边相同，所以1 013°是第四象限角，故D正确．故选D.
5．如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为_______________________________________．
{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
解析：由图可知阴影部分下侧终边相同的角为－120°＋k·360°(k∈Z)，上侧终边相同的角为135°＋360°k，且k∈Z，所以阴影部分(包括边界)的角α的集合为{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
答案：B
(2)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角的度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为________．
－25°
395°
【解析】把35°角的终边按顺时针方向旋转60°得35°－60°＝－25°；把35°角的终边按逆时针方向旋转一周后得35°＋360°＝395°.
方法归纳
利用角的概念进行判断
判断角的概念问题的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
跟踪训练1 (1)下列命题正确的是( )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．小于90°的角是锐角
D．集合{α|90°≤α<180°}内的角不一定是钝角
答案：D
解析：A选项，终边与始边重合的角为0°＋k·360°(k∈Z)，故A错误；B选项，终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，故B错误；C选项，小于90°的角可能是0°，还可能是负角，故C错误；D选项，集合{α|90°≤α<180°}内的角包含90°直角，所以不一定是钝角，故D正确．故选D.
(2)喜羊羊步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟内，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30° C．60° D．－60°
答案：D
题型2终边相同的角的概念
例2(1)写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
状元随笔
(1)对终边相同的角的说明
所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：
①k是整数，这个条件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360 °与α之间用“＋”号连接，如k·360 °－30 °应看成k·360 °＋(－30 °)(k∈Z)．
(2)在0 °到360 °范围内找出与直线y＝x终边相同的角，再推广到任意角．
(3)终边相同的角的取值是由k的取值决定的．
(2)终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
【答案】D
【解析】终边在坐标轴上的角为90°角或90°的整数倍角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．
状元随笔 终边在坐标轴上的角的集合表示
角α的终边位置 角α的集合表示
在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
方法归纳
在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
跟踪训练2 (1)与－2 024°终边相同的最小正角为( )
A．136° B．224°
C．44° D．134°
答案：A
解析：因为－2 024°＝－360°×6＋136°，所以与－2 024°终边相同的最小正角是136°.故选A.
答案：A
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α例3(1)如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<α【答案】 C
【解析】在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围；
题型4关于角的对称问题[逻辑推理]
例4若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
【答案】 C
【解析】 因为α是第一象限角，
所以0°＋n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，
所以－n·360°<90°－α<90°－n·360°(n∈Z)，
90°＋n·360°<90°＋α<180°＋n·360°(n∈Z)，
270°－n·360°<360°－α<360°－n·360°(n∈Z)，
180°＋n·360°<180°＋α<270°＋n·360°(n∈Z)，
90°－α位于第一象限，90°＋α位于第二象限，
360°－α位于第四象限，180°＋α位于第三象限．
状元随笔 因为α为第一象限角，所以0 °＋n ·360 °<α<90 °＋n ·360 °(n∈Z)，结合不等式判断题中各选项中的角所在象限．
方法归纳
角的终边的对称问题
若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
[提示] (1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180 °－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y ＝x对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
跟踪训练4 (1)若α是第四象限角，则90°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B
解析：由题知，α∈(－90°＋360°·k，360°·k)，k∈Z，则90°－α∈(90°－360°·k，180°－360°·k)在第二象限，故选B.
答案：AC
能 力 提 升 练
1.(1)若角α与135°角的终边关于x轴对称，且－360°<α<360°，则α＝______________；
(2)若锐角α与角9α的终边关于y轴对称，则α＝________；
(3)若角α为正角，角β为负角，且α与β的终边关于原点对称，则α－β＝_________________．
－135°或225°
18°或54°
(2k＋1)·180°，k∈N
2.如图，圆周上点A从点(1，0)开始按逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在1 min内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，2 min到达第三象限，15 min回到起始位置，求θ.
1．下列说法正确的是( )
A．锐角可能不是第一象限角
B．第一象限角一定不是负角
C．小于180°的角是钝角、直角或锐角
D．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
答案：D
解析：锐角是大于0°，且小于90°的角，终边落在第一象限，所以锐角是第一象限角，所以A错误；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．故选D.
2．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要15分钟．这15分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30° C．90° D．－90°
答案：D
3．(多选)已知下列各角：①－120°；②180°；③－240°；④495°，其中是第二象限角的是( )
A．① B．② C．③ D．④
答案：CD
解析：对于①，－120°＝－360°＋240°，而240°是第三象限角，①不是；对于②，180°角的终边为x轴非正半轴，②不是；对于③，－240°＝－360°＋120°，120°是第二象限角，③是；对于④，495°＝360°＋135°，135°是第二象限角，④是．故选CD.
答案：BC
5．将－885°化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．
(－3)×360°＋195°
解析：由题可得，－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°．
6．角θ的终边在第二象限，
则角2θ的终边在________________________．
第三、四象限或y轴非正半轴
解析：∵θ是第二象限角，∴k·360°＋90°<θ∴2θ的终边的位置是第三或第四象限，y的非正半轴．
7．如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为______________________________________．
{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
解析：由图，阴影部分下侧终边相同的角为－120°＋360°k，上侧终边相同的角为135°＋360°k，且k∈Z，
所以阴影部分(包括边界)的角α的集合为{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
9．(15分)若角α的终边与60°角的终边关于直线y＝x对称，且－360°<α<360°，求角α的值．
解析：根据对称性先找到锐角α，写出终边相同的角，适当取整数k，即可求出．如图，设60°角的终边为OA，
射线OA关于直线y＝x对称的射线为OB，
则以射线OB为终边的一个角为90°－60°＝30°，
∴以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．又－360°<α<360°，∴－360°当k＝－1时，α＝－330°；当k＝0时，α＝30°，∴角α的值为－330°或30°.
10. (15分)如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.课时作业(一) 角的推广
(分值：80分)
一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共22分)
1．下列说法正确的是( )
A．锐角可能不是第一象限角
B．第一象限角一定不是负角
C．小于180°的角是钝角、直角或锐角
D．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
解析：锐角是大于0°，且小于90°的角，终边落在第一象限，所以锐角是第一象限角，所以A错误；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．故选D.
答案：D
2．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要15分钟．这15分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30° C．90° D．－90°
解析：∵分针是顺时针走的，∴形成的角度是负角，又分针走过了15分钟，∴走过的角度大小为×360°＝90°.综上，分针走过的角度是－90°.故选D.
答案：D
3．(多选)已知下列各角：①－120°；②180°；③－240°；④495°，其中是第二象限角的是( )
A．① B．② C．③ D．④
解析：对于①，－120°＝－360°＋240°，而240°是第三象限角，①不是；对于②，180°角的终边为x轴非正半轴，②不是；对于③，－240°＝－360°＋120°，120°是第二象限角，③是；对于④，495°＝360°＋135°，135°是第二象限角，④是．故选CD.
答案：CD
4．(多选)已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A，B，C关系是( )
A．B＝A B.＝C
C．B＝B D．A＝B＝C
解析：对于A选项，A除了锐角，还包括其它角，比如－330°，所以A选项错误；对于B选项，锐角是小于90°的角，故B选项正确；对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确；对于D选项，A，B，C中角的范围不一样，所以D选项错误．故选BC.
答案：BC
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．将－885°化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．
解析：由题可得，－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°．
答案：(－3)×360°＋195°
6．角θ的终边在第二象限，则角2θ的终边在________________．
解析：∵θ是第二象限角，∴k·360°＋90°<θ∴2θ的终边的位置是第三或第四象限，y的非正半轴．
答案：第三、四象限或y轴非正半轴
7．如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为________．
解析：由图，阴影部分下侧终边相同的角为－120°＋360°k，上侧终边相同的角为135°＋360°k，且k∈Z，
所以阴影部分(包括边界)的角α的集合为{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
三、解答题(共28分)
8．(13分)已知角α是第三象限角，求，所在的象限．
解析：角α是第三象限角，即π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
对于，＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
当k为偶数时，在第二象限，当k为奇数时，在第四象限，
故在第二或第四象限；
对于，kπ<当k＝3m，m∈Z时，在第一象限，当k＝3m＋1，m∈Z时，在第三象限，当k＝3m＋2，m∈Z时，在第四象限，
故在第一、第三或第四象限．
9．(15分)若角α的终边与60°角的终边关于直线y＝x对称，且－360°<α<360°，求角α的值．
解析：根据对称性先找到锐角α，写出终边相同的角，适当取整数k，即可求出．如图，
设60°角的终边为OA，
射线OA关于直线y＝x对称的射线为OB，
则以射线OB为终边的一个角为90°－60°＝30°，
∴以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．又－360°<α<360°，
∴－360°当k＝－1时，α＝－330°；当k＝0时，α＝30°，
∴角α的值为－330°或30°.
[尖子生题库]
10.
(15分)如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.
解析：因为0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ则当k＝0时，90°<θ<135°.
又因为14θ＝n·360°(n∈Z)，
所以θ＝n·°，从而90°所以当n＝4时，θ＝°；当n＝5时，θ＝°.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
