7．1.2 弧度制及其与角度制的换算
【课程标准】 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．
教 材 要 点
知识点一 角度制与弧度制的定义
1．角度制：用度作单位来度量角的制度称为________.角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．
2．弧度制：长度等于________的圆弧所对的________为1弧度的角，记作________．以________为单位来度量角的制度称为弧度制．
知识点二 角的弧度数的计算
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α rad，则|α|＝________．
知识点三 角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝()°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×()°＝度数
知识点四 一些特殊角与弧度数的对应关系
角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°
弧度 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 ____ ____ ____ ____ ____
知识点五 扇形的弧长与面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数 α为弧度数
扇形的弧长 l＝____________ l＝________
扇形的面积 S＝____________ S＝________＝________
【学霸笔记】 在弧度制下的扇形面积公式S＝lr可类比哪种图形的面积公式加以记忆？
[提示] 此公式可类比三角形的面积公式来记忆．
基 础 自 测
1．从2024年6月6日13：00到当天13：25，某时钟的分针转动的弧度为( )
A． B．
C．－ D．－
2．与角终边相同的角是( )
A．
B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ－(k∈Z)
D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
3．(多选)下列说法正确的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
4．(多选)下列弧度与角度的转化正确的是( )
A．－240°＝－ B．＝330°
C．225°＝ D．－＝－310°
5．已知扇形的弧长12 cm，面积为36 cm2，则扇形所对的圆心角的弧度数是________．
题型1弧度制的概念及其应用
例1(1)(多选)下列各说法，正确的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．圆周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
状元随笔 由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．
(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
状元随笔 弧度制与角度制的区别与联系
区别：(1)单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；(2)定义不同．
联系：不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．
方法归纳
常用角的弧度数表示
(1)终边相同的角
若α与β的终边相同，则β＝2kπ＋ α(k∈Z)，前后单位要一致．
(2)象限角
第一象限角的集合：{α|2kπ<α<2kπ＋， k∈Z}；
第二象限角的集合：{α|2kπ＋<α<2kπ＋π， k∈Z}；
第三象限角的集合：{α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}；
第四象限角的集合：{α|2kπ＋<α<2kπ＋2π，k∈Z}.
(3)坐标轴上的角
终边在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}；终边在x轴非正半轴上的角的集合为{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}；终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}；终边在y轴非负半轴上的角的集合为；终边在y轴非正半轴上的角的集合为；终边在y轴上的角的集合为；终边在坐标轴上的角的集合为. 跟踪训练1 已知θ＝kπ＋(－1)k·，k∈Z，则角θ所在的象限为( )
A．第一或第二象限 B．第一或第三象限
C．第三或第四象限 D．第二或第四象限
题型2角度制与弧度制的转换
例2设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．
状元随笔 由题目可获取以下主要信息：
(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角，－；
(2) 终边相同的角的表示．
解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2kπ＋α(k∈Z，0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1，β2用角度制表示，再将其写成β＋k ·360°(k∈Z)的形式．
方法归纳
角度制与弧度制的转换中的注意点
1．在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键．由它可以得：度数×＝弧度数，弧度数×()°＝度数．
2．特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记．
3．在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法．
4．判断角α终边所在的象限时，若α [－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限．跟踪训练2 (多选)下列转化结果正确的是( )
A．150°化成弧度是
B．－化成角度是45°
C．－120°化成弧度是－
D．化成角度是30°
【思考探究】 1.用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？
[提示] 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．
2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．
教材反思
角度制与弧度制的比较
角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十 进制
弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制
题型3弧长公式与扇形面积公式的应用
例3(1)已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积；
状元随笔 已知扇形的半径、圆心角， 把圆心角化为弧度制，利用扇形的弧长、面积公式算出即可．
(2)南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖拂华妆，窈窕登高台．”中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形环(扇形环是一个圆环被扇形截得的一部分)制作而成．若一把折扇完全打开时，其扇形环扇面尺寸(单位：cm)如图所示，则该扇面的面积为( )
A．2 700 cm2 B．3 500 cm2
C．4 300 cm2 D．4 800 cm2
状元随笔 可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得．
(3)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
状元随笔 可通过建立扇形面积的目标函数来求解．
方法归纳
弧度制下解决扇形相关问题的步骤
1．明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr(这里α必须是弧度制下的角)；
2．分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式；
3．根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
跟踪训练3 (1)如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形，设弧AD长度是l1，弧BC长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若＝3，则＝( )
A．9 B．8
C．4 D．3
(2)中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用．不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意．如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分(如图2)，经测量知AB＝CD＝4，BC＝4，AD＝8，则该玉佩的面积为( )
A．－4 B．－4
C． D．
教材反思
释疑弧长公式及扇形的面积公式
(1)公式中共四个量分别为α，l，r，S，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．
(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．
(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：
①l＝α·r，α＝，r＝；②S＝αr2，α＝.
易错点 角度、弧度混用出错
例 与30°角终边相同的角的集合是________．
【错解】 表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}．
【正解】 应为或{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．
【易错警示】
错误原因 纠错心得
同一个式子中，角度、弧度混用． 弧度制与角度制是表示角的两种制度，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱．
能 力 提 升 练
1.古希腊地理学家埃拉托色尼为了估算地球周长，在理论上假定塞伊尼(现在的阿斯旺)和亚历山大城处于同一经线上，分别记塞伊尼和亚历山大城为A和B，已知塞伊尼在北回归线上，夏至日太阳直射北回归线，塞伊尼正午立竿无影，在同一时间，亚历山大城立竿与太阳光线所成的角约为7.2°，平面示意图如图．已知A，B两地的距离＝800 km，则可估算地球的半径约为(参考数据：π≈3.14)( )
A．7 260 km B．6 870 km
C．6 369 km D．5 669 km
2.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成)．已知OA＝10，OB＝x(0(1)求θ关于x的函数解析式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大，并求出最大值．
7．1.2 弧度制及其与角度制的换算
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．角度制
2．半径长 圆心角 1 rad 弧度
知识点二
知识点四
0
π 2π
知识点五
αr lr αr2
[基础自测]
1．解析：因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，所以分针转动的弧度为－＝－.故选C.
答案：C
2．解析：＝2π＋，与角终边相同，故A项错误；2kπ－，k∈Z，当k＝1时，得[0，2π)之间的角为，故与角有相同的终边，故B项错误；2kπ－，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)之间的角为，与角有相同的终边，故C项正确；(2k＋1)π＋，k∈Z，当k＝0时，得[0，2π)之间的角为，与角有相同的终边，故D项错误．
答案：C
3．解析：由题意，对于A，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以是正确的；对于B，周角为360°，所以1°的角是周角的，周角为2π弧度，所以1 rad的角是周角的是正确的；对于C，根据弧度制与角度制的互化，可得1 rad＝>1°，所以是正确；对于D，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D项是错误的．故选ABC.
答案：ABC
4．解析：对于A，－240°＝－，A正确；对于B，＝300°，B错误；对于C，225°＝，C正确；对于D，－＝－315°，D错误．故选AC.
答案：AC
5．解析：设扇形圆心角为α，弧长为l，半径为r，则lr＝36，即×12r＝36，则r＝6，则α＝＝＝2.
答案：2
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)由弧度制的定义可知，长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误；根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，A，B，C的说法正确．故选ABC.
(2)330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，而75°＝75×＝，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．
【答案】 (1)ABC (2)见解析
跟踪训练1 解析：因为(－1)k＝
所以应分为k＝2n(n∈Z)和k＝2n＋1(n∈Z)两种情况讨论．当k＝2n(n∈Z)时，θ＝2nπ＋，角θ在第一象限；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，θ＝2nπ＋，角θ在第二象限．
答案：A
例2 【解析】 (1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z，0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．
α1＝－570°＝－＝－4π＋，
α2＝750°＝＝4π＋，
∴α1在第二象限，α2在第一象限．
(2)β1＝＝108°，设θ＝β1＋k·360°(k∈Z)，
由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°，
∴k＝－2或k＝－1，
∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.
同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.
跟踪训练2 解析：150°化成弧度是，A选项正确；－化成角度是－45°，B选项错误；－120°化成弧度是－，C选项正确；化成角度是30°，D选项正确．故选ACD.
答案：ACD
例3 【解析】 (1)已知扇形的圆心角α＝60°＝，半径r＝10 cm，
则弧长l＝α·r＝×10＝(cm)，
于是面积S＝lr＝×10＝(cm2)．
(2)如图，AD与BC交于圆心O，
设圆心角∠AOB＝α，圆的半径OA＝r，
由弧长公式得
解得r＝60，
该扇面的面积为×120×60－×60×(60－30)＝2 700 cm2，故选A.
(3)设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＝20－2r，∴S＝lr＝(20－2r)·r＝－r2＋10r＝＋25(0＜r＜10)，
∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2，
此时α＝＝＝2 rad，
∴当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.
【答案】 (1)见解析 (2)A (3)见解析
跟踪训练3 解析：(1)设OB＝r，OA＝R，则＝＝3，则R＝3r，∴＝＝9，故＝8，故选B.
(2)如图，取AD的中点为M，连接BM，CM，延长AB，DC交于点O，
由题意，△AOD为等腰三角形，
又∵AB＝CD，∴AD∥BC，
又∵M为AD的中点，AD＝8，BC＝4，∴AM与BC平行且相等，
∴四边形ABCM为平行四边形，
∴MC＝AB＝4，同理CD＝MB＝4，
∴△ABM，△CDM都是等边三角形，
∴△BOC是等边三角形，
∴该玉佩的面积S＝×8×8××4×4＝－4.故选B.
答案：(1)B (2)B
能力提升练
1．解析：设地心为O，依题意可得∠AOB＝7.2°，所以∠AOB＝π.设地球的半径为R，则800＝π×R，解得R＝≈6 369(km)．
答案：C
2．解析：(1)根据题意，可得AB＝CD＝10－x，＝xθ，＝10θ，
所以2(10－x)＋xθ＋10θ＝30，
所以θ＝(0(2)铭牌的截面面积y＝S扇形OAD－S扇形OBC＝＝θ×(102－x2)＝θ(10＋x)(10－x)＝(x＋5)×(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－(x－)2＋.
当x＝时，y取得最大值，为，
故当x＝时，铭牌的截面面积最大，最大值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共68张PPT)
7．1.2 弧度制及其与角度制的换算
【课程标准】 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．
教 材 要 点
知识点一 角度制与弧度制的定义
1．角度制：用度作单位来度量角的制度称为________.角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．
2．弧度制：长度等于________的圆弧所对的________为1弧度的角，记作________．以________为单位来度量角的制度称为弧度制．
角度制
半径长
圆心角
1 rad
弧度
知识点二 角的弧度数的计算
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α rad，则|α|＝________．
知识点三 角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
知识点四 一些特殊角与弧度数的对应关系
角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°
弧度
____
____
____
____
____
____
____
____
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度
____
____
____
____
____
0
π
2π
α为度数 α为弧度数
扇形的弧长 l＝____________ l＝________
扇形的面积 S＝____________ S＝________＝________
αr
答案：C
答案：C
答案：ABC
答案：AC
5．已知扇形的弧长12 cm，面积为36 cm2，则扇形所对的圆心角的弧度数是________．
2
题型1弧度制的概念及其应用
例1(1)(多选)下列各说法，正确的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．圆周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【答案】ABC
【解析】由弧度制的定义可知，长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误；根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，A，B，C的说法正确．故选ABC.
状元随笔 由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．
(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
状元随笔 弧度制与角度制的区别与联系
区别：(1)单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；(2)定义不同．
联系：不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．
方法归纳
常用角的弧度数表示
(1)终边相同的角
若α与β的终边相同，则β＝2kπ＋ α(k∈Z)，前后单位要一致．
答案：A
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．
3．在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法．
4．判断角α终边所在的象限时，若α [－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限．
答案：ACD
2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．
教材反思
角度制与弧度制的比较
角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十
进制
弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制
题型3弧长公式与扇形面积公式的应用
例3(1)已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积；
状元随笔 已知扇形的半径、圆心角， 把圆心角化为弧度制，利用扇形的弧长、面积公式算出即可．
(2)南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖拂华妆，窈窕登高台．”中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形环(扇形环是一个圆环被扇形截得的一部分)制作而成．若一把折扇完全打开时，其扇形环扇面尺寸(单位：cm)如图所示，则该扇面的面积为( )
A．2 700 cm2 B．3 500 cm2
C．4 300 cm2 D．4 800 cm2
【答案】A
状元随笔 可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得．
(3)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
状元随笔 可通过建立扇形面积的目标函数来求解．
答案：B
答案：B
【易错警示】
错误原因 纠错心得
同一个式子中，角度、弧度混用． 弧度制与角度制是表示角的两种制度，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱．
答案：C
(1)求θ关于x的函数解析式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大，并求出最大值．
答案：D
答案：D
答案：D
答案：ABD
6．把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0，2π))的形式是________．
9．(17分)已知扇形的圆心角为α，半径为R.
(1)若α＝60°，R＝8 cm，求该扇形的弧长和面积；
(2)若该扇形的面积为20 cm2，求扇形周长的最小值，并指出此时α的值．课时作业(二) 弧度制及其与角度制的换算
(分值：90分)
一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共21分)
1．－的角是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
解析：因为－＝－－4π，所以－与－的终边相同，为第四象限角．
答案：D
2．已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是( )
A． B．
C． D．5π
解析：因为相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，所以当大轮转动一周时，大轮转动了50个齿，所以小轮此时转动＝周，即小轮转动的角度为×2π＝5π，故选D.
答案：D
3．已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为( )
A． B． C． D．2
解析：设扇形的半径为r，弧长为l，由已知得2r＋l＝8，扇形面积为S＝lr＝(8－2r)r＝(4－r)r≤＝4，当且仅当4－r＝r，即r＝2时等号成立，此时l＝4，则圆心角α＝＝2，故选D.
答案：D
4．(多选)下列转化结果正确的是( )
A．67°30′化成弧度是π
B．－π化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D．化成角度是15°
解析：对于A，67°30′化成弧度是×67.5°＝π，故A正确；对于B，－π＝－×180°＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150°×＝－π，故C错误；对于D，＝×180°＝15°，故D正确，故选ABD.
答案：ABD
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A＝________．
解析：如图所示，
所以A＝[－4，－π]
答案：[－4，－π]
6．把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0，2π))的形式是________．
解析：－570°＝－rad＝－π rad，
－＝－4π＋.
答案：－4π＋
三、解答题(共42分)
7．(10分)已知扇形的圆心角为弧度，周长为7米，求扇形的面积．
解析：设扇形半径为r，由扇形弧长公式可知弧长为l＝，周长为2r＋＝，
故＝7，r＝3.故面积S＝lr＝×1×3＝.
8．(15分)把下列各角从弧度化为度：
(1)－；(2)π；(3)－1.5；(4).
解析：(1)－＝－90°.
(2)＝600°.
(3)－1.5×＝－°.
(4)＝°.
9．(17分)已知扇形的圆心角为α，半径为R.
(1)若α＝60°，R＝8 cm，求该扇形的弧长和面积；
(2)若该扇形的面积为20 cm2，求扇形周长的最小值，并指出此时α的值．
解析：(1)由题意，知α＝，
根据扇形弧长l＝αR＝(cm)；
扇形面积S＝αR2＝(cm2)．
(2)由S＝＝20，即l＝，
而扇形的周长为2R＋l＝2R＋≥2 ＝8，当且仅当R＝2 cm时等号成立，
∴由l＝αR＝知，α＝＝2.
[尖子生题库]
10．(17分)如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动地翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积.
解析：所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为；所在的圆半径是 dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，
即2×＋1×＝(dm)．
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋×1＋＝(dm2)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
