课时作业(六) 诱导公式一、二、三、四
(分值：80分)
一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共22分)
1．sin 600°＝( )
A． B．－ C． D．－
解析：sin 600°＝sin ＝sin ＝－sin 120°＝－sin 60°＝－.
答案：B
2．已知cos ，则cos ＝( )
A．－ B． C． D．－
解析：因为－－α＝π，
所以－α＝π－，
所以cos ＝cos
答案：B
3．(多选)在△ABC中，给出下列四个选项中，结果为常数的是( )
A．
B．
C．
D．
解析：
＝
＝
＝
＝
答案：BC
4．(多选)化简的结果是 ( )
A．B．
C．D．
解析：原式＝
答案：AB
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．的化简结果为________．
解析：原式＝1.
答案：1
6．已知，若，则
解析：因为
所以
因为所以
所以
所以
答案：
7．已知f(x)＝则f(－)＝________，f()＝________．
解析：因为f(－)＝sin (－)＝sin (－2π＋)＝sin ＝，f()＝f()－1＝f(－)－2＝sin (－)－2＝－－2＝－.
答案： －
三、解答题(共28分)
8．(13分)(1)计算：sin ＋cos ＋tan .
(2)化简：.
解析：(1)sin ＋cos ＋tan
＝－sin ＋cos ＋tan
＝－＋1＝0.
(2)原式＝＝tan α.
9．(15分)已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解析：(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)因为sin (α－π)＝－sin α＝，
所以sin α＝－.又α是第三象限角，
所以cos α＝－，所以f(α)＝.
(3)因为－＝－6×2π＋，
所以f＝－cos
＝－cos ＝.
[尖子生题库]
10．(15分)设函数f(x)＝a sin (πx＋a)－b cos (πx－b)＋c tan (πx＋c)，其中a，b，c∈R，且abc≠0，且有f(2 018)＝－1，求f(2 020)的值.
解析：f(2 018)＝a sin (2 018π＋a)－b cos (2 018π－b)＋c tan (2 018π＋c)＝a sin a－b cos b＋c tan c，
而f(2 020)＝a sin (2 020π＋a)－b cos (2 020π－b)＋c tan (2 020π＋c)＝a sin a－b cos b＋c tan c，
所以f(2 020)＝f(2 018)＝－1.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)7．2.4 第1课时 诱导公式一、二、三、四
【课程标准】 借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式(α＋2kπ，π±α，－α的正弦、余弦、正切)．
教 材 要 点
知识点一 诱导公式一
sin (α＋k·2π)＝____________；
cos (α＋k·2π)＝____________；
tan (α＋k·2π)＝____________．
【学霸笔记】 角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系
(1)语言表示：终边相同的角，同角三角函数值相等；
(2)式子表示：sin (α＋k·2π)＝sin α；cos (α＋k·2π)＝cos α；tan (α＋k·2π)＝tan α；
(3)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．
知识点二 角的旋转、对称
如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC，
则射线OB是______________，射线OC是______________，所以角α＋θ的终边与角α－θ的终边关于角α的终边所在的直线________．
【学霸笔记】 角的正负与旋转方向之间的关系是什么？
[提示] 将射线逆时针方向旋转得到正角，顺时针方向旋转得到负角．
知识点三 诱导公式二
sin (－α)＝____________；
cos (－α)＝____________；
tan (－α)＝____________．
【学霸笔记】角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos (－α)，sin (－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
[提示] 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称．
知识点四 诱导公式三
sin (π－α)＝____________；
cos (π－α)＝____________；
tan (π－α)＝____________．
【学霸笔记】角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos (π－α)，sin (π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
[提示] 角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称．
知识点五 诱导公式四
sin (π＋α)＝____________；
cos (π＋α)＝____________；
tan (π＋α)＝____________．
【学霸笔记】角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P4(cos (π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
[提示] 角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P4与P也关于原点对称．
基 础 自 测
1．sin (－30°)＝( )
A． B．－
C． D．－
2．计算sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°＝( )
A． B．
C． D．
3．若sin(π－α)＝log8，且α∈(－，0)，则cos (π＋α)＝( )
A． B．－
C．± D．以上都不对
4．若tan (5π＋α)＝m，则＝________．
5．已知cos (＋θ)＝，则cos (－θ)＝________．
题型1利用诱导公式给角求值问题
例1计算：
(1)sin (－)tan －cos ·tan (－)；
(2)sin (－)＋cos ·tan 4π；
先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果．
(3)cos ＋tan (－)；
(4) sin ·cos ·tan .
(5)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin α＝，则sin β＝________.
方法归纳
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用诱导公式一或二来转化．
(2)“大化小”：用诱导公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”：用诱导公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)sin (－1 395°)cos 1 110°＋cos (－1 020°)sin 750°；
(2)sin (－)·cos ·tan .
题型2利用诱导公式给值(式)求值问题[数学运算]
例2(1)已知cos (－70°)＝k，那么tan 110°＝( )
A． B．－
C．－ D．
(2)已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos (α－2π)＝( )
A．－ B．
C．± D．
状元随笔 (1)110°＝180°－70°，结合诱导公式求解．
(2)由sin (π＋α)＝求得sin α，又cos (α－2π)＝cos α，结合α的范围求得结果．
方法归纳
解决给值求值问题的策略
(1)解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
(3)经常出现α＋或α－；α＋或－α＋等这样的角，通常是利用“整体思想”，一般把含有参变量的两个角相加或相减，寻找两个角之间的关系，如(α＋)－(α－)＝2π；(α＋)＋(－α＋)＝π，然后将所求用已知和π的形式表示出来并求解．
跟踪训练2 (1)已知cos (π＋α)＝－，π<α<2π，则sin (α－3π)＋cos (α－π)＝________．
(2)已知cos (－α)＝，求cos (＋α)－sin2(α－)的值．
题型3利用诱导公式化简求值
(1)化简：；
(2)计算：cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝________；
(3)已知tan (π＋α)＝m，求值：
.
状元随笔 (1) 应用诱导公式尽可能将角统一，去根号时注意三角函数的正负．
(2) 观察与与与的关系，分别用诱导公式化简．
(3) 先利用诱导公式求出tan α，再将所要求的式子化简后代入求值．
方法归纳
三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“弦化切”法，即表达式中的弦函数通常化为切函数．
(3)注意“1”的变式应用：如sin2α＋cos2α＝1＝tan.
跟踪训练3 (1).
(2)已知cos (π＋α)＝－，且α是第四象限角，计算：
①sin (2π－α)；
②(n∈Z)．
能 力 提 升 练
1.(多选)下列化简正确的是( )
A．tan (π＋1)＝tan 1
B．＝cos α
C．＝tan α
D．＝1
2．已知sin (4π＋α)＝sin β，cos (6π＋α)＝cos (2π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求α和β的值．
教材反思
(1)诱导公式的记忆
诱导公式一、二、三、四的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
(2)利用诱导公式一和二，还可以得出如下公式
sin (2π－α)＝－sin α，
cos (2π－α)＝cos α，
tan (2π－α)＝－tan α.
7．2.4 第1课时 诱导公式一、二、三、四
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
sin α cos α tan α
知识点二
角α＋θ的终边 角α－θ的终边 对称
知识点三
－sin α cos α －tan α
知识点四
sin α －cos α －tan α
知识点五
－sin α －cos α tan α
[基础自测]
1．解析：sin (－30°)＝－sin 30°＝－.
答案：B
2．解析：原式＝sin230°＋sin245°－2sin30°＋cos 245°＝－1＋＝.
答案：A
3．解析：因为sin (π－α)＝sin α＝－2＝－，所以cos (π＋α)＝－cos α＝－＝－＝－.
答案：B
4．解析：由tan (5π＋α)＝m，得tan α＝m，
于是原式＝＝＝.
答案：
5．解析：因为－θ＋＋θ＝π，所以－θ＝π－(＋θ)，所以cos (－θ)＝cos [π－(＋θ)]＝－cos (＋θ)＝－.
答案：－
课堂探究·素养提升
例1 【解析】
(1)原式＝(－sin )·tan (2π＋)－cos (2π＋)·tan (－5×2π－)
＝－sin (3×2π＋)·tan －cos ·tan (－)
＝－×(－1)＝0.
(2)原式＝－sin ＋cos ·tan 0
＝－sin (2π＋)＋0＝－sin ＝－.
(3)原式＝cos (8π＋)－tan
＝cos －tan (4π＋)
＝－tan ＝－1＝－.
(4)原式＝sin ·cos (2π＋)·tan (4π＋)
＝sin ·cos ·tan ＝sin (π＋)·cos (π＋)·tan (π＋)
＝(－sin )·(－cos )·tan ＝(－)×(－)×1＝.
(5)因为角α与角β均以Ox为始边，
它们的终边关于y轴对称，
所以α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，所以β＝π＋2kπ－α，
sin β＝sin (π＋2kπ－α)＝sin (π－α)＝sin α＝.
【答案】 (1)(2)(3)(4)见解析 (5)
跟踪训练1 解析：(1)原式＝sin (－4×360°＋45°)cos (3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)sin (2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝＝＝.
(2)原式＝sin (－4π＋)·cos (4π－)·tan (6π＋)＝sin ·cos (－)·tan
＝sin (π＋)·cos ·tan
＝－sin ·cos ·tan
＝－＝－.
例2 【解析】 (1)因为cos (－70°)＝k，
所以sin (－70°)＝－＝－，
所以tan(－70°)＝＝，
所以tan 110°＝tan (180°－70°)＝tan (－70°)＝.
(2)由sin (π＋α)＝，得sin α＝－，
而cos (α－2π)＝cos α，且α是第四象限角，
所以cos α＝＝.
【答案】 (1)B (2)B
跟踪训练2 解析：(1)因为cos(π＋α)＝－cos α＝－，
所以cos α＝，
因为π<α<2π，所以<α<2π，
所以sin α＝－，
所以sin (α－3π)＋cos (α－π)＝－sin (3π－α)＋cos (π－α)＝－sin (π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－(－)＝.
(2)因为cos (＋α)＝cos [π－(－α)]＝－cos (－α)＝－，
sin2(α－)＝sin2(－α)＝1－cos2(－α)＝1－()2＝，
所以cos(＋α)－sin2(α－)＝－＝－.
答案：(1) (2)见解析
例3 【解析】 (1)原式＝
＝＝
＝＝－1.
(2)原式＝cos ＋cos ＋cos ＋cos (π－)＋cos (π－)＋cos (π－)
＝cos ＋cos ＋cos －cos －cos －cos ＝0.
(3)因为tan (π＋α)＝m，所以tan α＝m，
原式＝
＝＝－
＝－tan α＝－m.
【答案】 (1)见解析 (2)0 (3)见解析
跟踪训练3 解析：(1)原式＝
＝＝
＝
(2)①由cos (π＋α)＝－可得cos α＝，
而sin (2π－α)＝－sin α，因为α是第四象限角，
所以sin α＝－，故sin (2π－α)＝.
②原式＝＝－＝－4.
能力提升练
1．解析：利用诱导公式，及tan α＝，
A选项，tan (π＋1)＝tan 1，故A正确；
B选项，＝＝＝cos α，故B正确；
C选项，＝＝－tan α，故C不正确；
D选项，＝＝
－＝－1，故D不正确．
答案：AB
2．解析：因为sin (4π＋α)＝sin β，
所以sin α＝sin β，①
因为cos (6π＋α)＝cos (2π＋β)，
所以cos α＝cos β，②
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)＝2，
所以cos2α＝，即cosα＝±.
又0<α<π，所以α＝或α＝.
又0<β<π，当α＝时，由②得β＝；
当α＝时，由②得β＝，
所以α＝，β＝或α＝，β＝.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共58张PPT)
7．2.4 第1课时 诱导公式一、二、三、四
【课程标准】 借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式(α＋2kπ，π±α，－α的正弦、余弦、正切)．
教 材 要 点
知识点一 诱导公式一
sin (α＋k·2π)＝____________；
cos (α＋k·2π)＝____________；
tan (α＋k·2π)＝____________．
sin α
cos α
tan α
【学霸笔记】 角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系
(1)语言表示：终边相同的角，同角三角函数值相等；
(2)式子表示：sin (α＋k·2π)＝sin α；cos (α＋k·2π)＝cos α；tan (α＋k·2π)＝tan α；
(3)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．
知识点二 角的旋转、对称
如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC，
则射线OB是______________，射线OC是______________，所以角α＋θ的终边与角α－θ的终边关于角α的终边所在的直线________．
角α＋θ的终边
角α－θ的终边
对称
【学霸笔记】 角的正负与旋转方向之间的关系是什么？
[提示] 将射线逆时针方向旋转得到正角，顺时针方向旋转得到负角．
知识点三 诱导公式二
sin (－α)＝____________；
cos (－α)＝____________；
tan (－α)＝____________．
－sin α
cos α
－tan α
【学霸笔记】角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos (－α)，sin (－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
[提示] 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称．
知识点四 诱导公式三
sin (π－α)＝____________；
cos (π－α)＝____________；
tan (π－α)＝____________．
sin α
－cos α
－tan α
【学霸笔记】角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos (π－α)，sin (π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
[提示] 角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称．
知识点五 诱导公式四
sin (π＋α)＝____________；
cos (π＋α)＝____________；
tan (π＋α)＝____________．
－sin α
－cos α
tan α
【学霸笔记】角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P4(cos (π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
[提示] 角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P4与P也关于原点对称．
答案：B
答案：A
答案：B
方法归纳
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用诱导公式一或二来转化．
(2)“大化小”：用诱导公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”：用诱导公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
【答案】B
【答案】B
方法归纳
解决给值求值问题的策略
(1)解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
0
答案：AB
教材反思
(1)诱导公式的记忆
诱导公式一、二、三、四的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
(2)利用诱导公式一和二，还可以得出如下公式
sin (2π－α)＝－sin α，
cos (2π－α)＝cos α，
tan (2π－α)＝－tan α.
答案：B
答案：B
答案：BC
答案：AB
1
10．(15分)设函数f(x)＝a sin (πx＋a)－b cos (πx－b)＋c tan (πx＋c)，其中a，b，c∈R，且abc≠0，且有f(2 018)＝－1，求f(2 020)的值.
解析：f(2 018)＝a sin (2 018π＋a)－b cos (2 018π－b)＋c tan (2 018π＋c)＝a sin a－b cos b＋c tan c，
而f(2 020)＝a sin (2 020π＋a)－b cos (2 020π－b)＋c tan (2 020π＋c)＝a sin a－b cos b＋c tan c，
所以f(2 020)＝f(2 018)＝－1.
