(共64张PPT)
7．2.3 同角三角函数的基本关系式
1
tan α
平方和
商
答案：A
答案：B
答案：C
3
3
状元随笔 对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．
方法归纳
同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．
答案：C
状元随笔 根据商数关系把齐次式的分子分母同时除以cos α的n次方，进行弦化切运算；若题目中没有分母，一般把分母化为1，再利用1＝sin2α＋cos2α转化．
方法归纳
1．已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，是分析解决问题的突破口．
方法归纳
解答此类题目常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
状元随笔 解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较．关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧．
方法归纳
1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差、作比法)．
2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
3．解决此类问题要有整体代换思想．
【易错警示】
错误原因 纠错心得
忽略利用平方关系开方时符号的选择． 利用平方关系开方时符号的确定，要根据角度的范围选择，有时要进行讨论．
答案：ACD
(2)若关于x的方程－sinx cos x＋a(sin x＋cos x)＝1有实数根，求a的最小值．
(2)已知sin α±cos α，整体代入求值
已知sin α±cos α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式：
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α，
所以知道sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α·cos α这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出．
(3)应用平方关系式由sin α求cos α或由cos α求sin α时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号．
1．若sin α＋sin2α＝1，那么cos2α＋cos4α＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：B
解析：由sinα＋sin2α＝1，得sinα＝cos2α，所以cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.
答案：C
答案：B
答案：B
1
7．若sinθ，cos θ是方程x2＋mx＋m＝0的两根，则m＝________．
课时作业(五) 同角三角函数的基本关系式
(分值：80分)
一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共20分)
1．若sin α＋sin2α＝1，那么cos2α＋cos4α＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由sinα＋sin2α＝1，得sinα＝cos2α，所以cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.
答案：B
2．若α∈(0，π)，2sinα＋cos α＝，则tan α＝( )
A．－ B．－ C．－ D．－
解析：由2sin α＋cos α＝，得cos α＝－2sin α，∴sin2α＋cos2α＝sin2α＋(－2sinα)2＝5sin2α－sinα＋＝1，解得sin α＝或sin α＝－，又α∈(0，π)，∴sin α>0，即sin α＝，∴cos α＝＝－，∴tan α＝＝＝－.故选C.
答案：C
3．若α∈[0，2π)，且有＝sinα－cos α，则角α的取值范围为( )
A． B． C． D．
解析：因为＝sinα－cos α，所以又α∈[0，2π)，所以α∈.故选B.
答案：B
4．已知sin α＋cos α＝，且α∈，则cos α－sin α＝( )
A． B．－ C．± D．
解析：∵2＝1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝，∵2＝1－2sin αcos α＝1－＝，∴cos α－sin α＝±，又∵α∈， ∴0答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知△ABC中，tan A＝－，则cos A＝________.
解析：∵tan A＝－，又A是三角形的内角，∴A是钝角．∵＝－，∴－5cos A＝12sin A．又sin2A＋cos2A＝1，∴cosA＝－.
答案：－
6．化简求值：sin x cos x(tan x＋)＝________．
解析：sin x cos x(tan x＋)＝
sin x cos x()＝sin2x＋cos2x＝1.
答案：1
7．若sinθ，cos θ是方程x2＋mx＋m＝0的两根，则m＝________．
解析：由题设，sin θ＋cos θ＝－m，sin θcos θ＝m，且Δ＝m2－4m≥0，
(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ m2＝1＋2m，
且m≥4或m≤0，
所以m2－2m－1＝0，可得m＝1±，故m＝1－.
答案：1－
三、解答题(共30分)
8．(15分)已知tan α＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)sin2α－2sinαcos α＋4cos2α.
解析：(1)
＝＝＝.
(2)＝＝＝.
(3)sin2α－2sinαcos α＋4cos2α
＝
＝
＝＝.
9．(15分)在平面直角坐标系xOy中，已知角θ的终边经过点P(3a，－4a)，其中a≠0.
(1)求cosθ的值；
(2)若θ为第二象限角，求cos θ＋sin θ的值．
解析：(1)因为P(3a，－4a)，a≠0，
所以|OP|＝＝5|a|，
当a>0时，cos θ＝＝＝；
当a<0时，cos θ＝＝＝－.
综上，a>0时，cos θ＝；a<0时，cos θ＝－.
(2)因为θ为第二象限角，所以a<0，cos θ＝－，
则sin θ＝＝＝，
所以cos θ ＋sin θ ＝(－)×＝－×3＋＝－.
[尖子生题库]
10．(15分)(1)若π<α<，化简：.
(2)求证：＝cos2θ－sin2θ.
解析：(1)原式＝＋ ＝＝，
因为π<α<，
所以原式＝－.
(2)证明：＝
＝＝cos2θ－sin2θ.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)7．2.3 同角三角函数的基本关系式
【课程标准】 理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
知识点一 同角三角函数的基本关系
1．平方关系：sin2α＋cos2α＝________．
商数关系：＝________(α≠kπ＋，k∈Z)．
2．语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的__________等于1，________等于角α的正切．
【学霸笔记】
(1)“同角”一词的含义：一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1等．
(2)sin2α是(sinα)2的简写．
知识点二 同角三角函数基本关系式的变形
1．平方关系式的变形
sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1±2sinα·cos α＝(sin α±cos α)2.
2．商数关系式的变形
sin α＝cos α·tan α，cos α＝.
基 础 自 测
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α＝( )
A．－ B．－
C． D．
3．已知2cos2θ＋3sinθ＝0，θ∈(－)，则cos θ＝( )
A． B． C． D．
4．如果tan α＝1，那么＝________．
5．已知＝2，则tanθ＝________．
题型1应用同角三角函数关系求值
例1(1)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
(2)若cos α＝，求tan α的值；
(3)若tan α＝－，求sin α的值．
状元随笔 对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．
方法归纳
同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．
跟踪训练1 (1)若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α＝( )
A． B．－ C． D．－
(2)已知角α的终边与单位圆的交点的横坐标为，则sin α＝________．
题型2应用同角三角函数关系化简求值
例2(1)已知sin α＋cos α＝－，0<α<π.
①求sin αcos α的值；
②求sin α－cos α的值．
(2)已知tan α＝2，求下列各式的值．
①；
②；
③2sin2α－sin αcos α＋cos2α.
状元随笔 根据商数关系把齐次式的分子分母同时除以cos α的n次方，进行弦化切运算；若题目中没有分母，一般把分母化为1，再利用1＝sin2α＋cos2α转化．
方法归纳
1．已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，是分析解决问题的突破口．
2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值．
(3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养．
跟踪训练2 (1)若sin α＋3cos α＝0，则＝________；
(2)已知tan α＝，求下列各式的值：
①；
②.
题型3应用同角三角函数关系化简
例3化简求值：
(1)；
(2)；
(3).
方法归纳
解答此类题目常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
跟踪训练3 化简：
(1)sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α；
(2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β；
(3)tan2α－sin2α－tan2αsin2α；
(4).
题型4三角恒等式的证明
【思考探究】 1.证明三角恒等式常用方法
[提示] (1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)证明左右归一．
(4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等．
2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？
[提示] sin2α＋cos2α＝1，tan＝1.
例4求证：＝.
状元随笔 解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较．关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧．
方法归纳
1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差、作比法)．
2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
3．解决此类问题要有整体代换思想．
跟踪训练4 求证：
(1)＝；
(2)tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α.
易错点 忽略利用平方关系开方时符号的选择
例 已知tanα＝，求sin α，cos α的值．
【错解】 由tan α＝＝，
得sin α＝cos α，①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝，
∴cosα＝，
∴sin α＝cos α＝.
【正解】 由tan α＝＝，
得sin α＝cos α，①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝.
当α是第三象限的角，
∴cosα＝－，
∴sin α＝cos α＝－；
当α是第一象限的角，
∴cos α＝，
∴sin α＝cos α＝.
【易错警示】
错误原因 纠错心得
忽略利用平方关系开方时符号的选择． 利用平方关系开方时符号的确定，要根据角度的范围选择，有时要进行讨论．
能 力 提 升 练
1.(多选)若 ＋ ＝－，则α的值可以是( )
A．－ B． C． D．
2．已知sin x＋cos x＝t，t∈[0，].
(1)当t＝，且x是第四象限角时，求sin3x－cos3x的值；
(2)若关于x的方程－sinx cos x＋a(sin x＋cos x)＝1有实数根，求a的最小值．
教材反思
(1)同角三角函数基本关系式的变形形式
①平方关系：1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α.
②商数关系：sinα＝tan α·cos α，cos α＝.
(2)已知sin α±cos α，整体代入求值
已知sin α±cos α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式：
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α，
所以知道sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α·cos α这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出．
(3)应用平方关系式由sin α求cos α或由cos α求sin α时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号．
7．2.3 同角三角函数的基本关系式
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．1 tan α
2．平方和 商
[基础自测]
1．解析：利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算．因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－.
答案：A
2．解析：∵cos2α＝1－sin2α＝1－＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝＝－.
答案：B
3．解析：由题设，2sin2θ－3sinθ－2＝(2sin θ＋1)(sin θ－2)＝0，可得sin θ＝－或sin θ＝2(舍)，又θ∈(－)，则cos θ＝＝.故选C.
答案：C
4．解析：由tanα＝1，得＝＝＝3．
答案：3
5．解析：由题意，＝＝2，即＝2，则tan θ＝3.
答案：3
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)∵sin α＝－，α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
tanα＝＝－×(－)＝.
(2)∵cos α＝>0，
∴α是第一、四象限角．
当α是第一象限角时，
sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝；
当α是第四象限角时，
sin α＝－＝－＝－，
∴tan α＝－.
综上tan α＝±.
(3)∵tan α＝－<0，
∴α是第二、四象限角．
由
可得sin2α＝()2.
综上可知，当α是第二象限角时，sinα＝；
当α是第四象限角时，sin α＝－.
跟踪训练1 解析：(1)因为α为第三象限角，
所以cos α＝－＝－，所以tanα＝＝.
(2)由三角函数的定义知，cos α＝>0，
所以α是第一象限角或第四象限角．
由sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝1－cos2α＝1－()2＝，
如果α是第一象限角，那么sinα>0，于是sin α＝ ＝；
如果α是第四象限角，那么sin α<0，于是sin α＝－ ＝－.
答案：(1)C (2)－或
例2 【解析】 (1)①由sin α＋cos α＝－，得(sin α＋cos α)2＝，
sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，sinαcos α＝－.
②因为0<α<π，sin αcos α<0，
所以sin α>0，cos α<0 sin α－cos α>0，
sin α－cos α＝＝＝.
(2)因为tan α＝2，
所以①＝＝－.
②
＝＝＝.
③2sin2α－sinαcos α＋cos2α
＝
＝
＝＝.
跟踪训练2 解析：(1)因为sin α＋3cos α＝0，
所以tan α＝－3，
因此原式＝＝＝－.
(2)①＝＝＝.
②＝＝＝.
答案：(1)－ (2)见解析
例3 【解析】
(1)原式＝＝＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝＝＝－1.
(3)原式＝＝＝＝1.
跟踪训练3 解析：(1)原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
(2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β
＝sin2α＋1－cos2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β
＝sin2α(1－sin2β)＋1－cos2β(1－cos2α)
＝sin2αcos2β＋1－cos2βsin2α＝1.
(3)tan2α－sin2α－tan2αsin2α＝tan2α(1－sin2α)－sin2α
＝·cos2α－sin2α＝0.
(4)方法一 “1”的齐次式代换
原式＝
＝＝.
方法二 降幂公式
原式＝
＝
＝
＝＝.
方法三 降幂
原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
例4 【证明】 左边＝
＝
＝
＝＝＝＝右边，
所以原等式成立．
跟踪训练4 证明：(1)左边＝＝＝＝右边，
即证＝.
(2)左边＝－sin2α＝＝＝tan2αsin2α＝右边，
即证tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α.
能力提升练
1．解析：因为＋ ＝－，所以 ＝＝＝－，所以sin α<0，因为－为第四象限角，所以sin α<0，故A正确；因为为第二象限角，所以sin α>0，故B错误；因为为第三象限角，所以sin α<0，故C正确；因为为第四象限角，所以sin α<0，故D正确．
答案：ACD
2．解析：(1)当t＝，即sin x＋cos x＝时，
由(sin x＋cos x)2＝1＋2sin x cos x＝，得sin x cos x＝－，
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝.
又x是第四象限角，所以sin x－cos x<0，
所以sin x－cos x＝－，
所以sin3x－cos3x＝(sinx－cos x)(sin2x＋sinx cos x＋cos2x)＝－×(1－)＝－.
(2)由(sinx＋cos x)2＝1＋2sin x cos x＝t2，可得sin x cos x＝(t2－1)，则方程－sin x cos x＋a(sin x＋cos x)＝1可化为－t2＋at－＝0，t∈[0，]，
若t＝0，则－＝0，显然不成立，故t≠0，即t∈(0，]，
所以a＝(t＋)．
又t＋≥2 ＝2，当且仅当t＝1时取“＝”，所以a≥1.
故a的最小值是1.
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