(共59张PPT)
7．3.5 已知三角函数值求角
【课程标准】 会利用已知的三角函数值求相应的角．
arcsin y，即x＝arcsin y
arccos y，即x＝arccos y
arctan y，即x＝arctan y
2．利用三角函数图象求角或角的范围
用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象；
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的________值；
(3)选取一个合适的周期写出sin x>a(或cos x>a)的________，要尽量使解集为一个连续区间．
x的
解集
知识点三 已知三角函数值求角的相关规律
1．对于已知正弦值求角的规律
答案：B
答案：D
(2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合；
方法归纳
1．给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．
2．对于已知正弦值求角有如下规律：sin x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，π－α，再利用周期性可求得{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}．
状元随笔 (1)，(2)利用余弦线、图象求值．
(3)先求出相等时的x值，再写出满足不等式的x的范围．
答案：BC
方法归纳
cos x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}．
(2)当0
能 力 提 升 练
1.如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除了可能重合外，还有可能( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称
答案：A
解析：如图，角α的终边与单位圆相交于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，由三角函数线的定义可知，OM＝cos α，由图知，设角β的终边与单位圆相交于点P1，当角β的终边与角α的终边关于x轴对称时，过点P1作x轴的垂线，则垂足为点M，所以OM＝cos β，所以当角α与β的终边关于x轴对称时，cos α＝cos β，故选A.
答案：C
答案：D
答案：A
答案：C
答案：B
答案：BCD
答案：C
12．(5分)集合{x|cos (πcos x)＝0，x∈[0，π]}＝________．
7．3.5 已知三角函数值求角
【课程标准】 会利用已知的三角函数值求相应的角．
教 材 要 点
知识点一 已知三角函数值求角相关概念
1．已知正弦值求角
对于正弦函数y＝sin x，在区间[－]内，满足sin x＝y(y∈[－1，1])的x只有一个，这个x记作________________．
2．已知余弦值求角
对于余弦函数y＝cos x，在区间[0，π]内，满足cos x＝y(y∈[－1，1])的x只有一个，这个x记作________________．
3．已知正切值求角
对于正切函数y＝tan x，在区间(－)内，满足tan x＝y(y∈R)的x只有一个，这个x记作________________．
知识点二 已知三角函数值求角或角的范围的方法
1．利用三角函数线求角
在单位圆中，是正弦线，是余弦线，是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小．
2．利用三角函数图象求角或角的范围
用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象；
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的________值；
(3)选取一个合适的周期写出sin x>a(或cos x>a)的________，要尽量使解集为一个连续区间．
知识点三 已知三角函数值求角的相关规律
1．对于已知正弦值求角的规律
2.利用余弦值求角、解不等式规律
将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[－π，π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围．
3．已知正切值求角的规律
可先求出(－)内的角，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角，tan x＝a(a∈R)的解集为{x|x＝kπ＋arctan a，k∈Z}．
基 础 自 测
1．若α是锐角，sin (α＋15°)＝，那么锐角α＝( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
2．已知α∈(0，2π)，且cos α＝cos ，则α＝( )
A． B．或
C．或 D．或
3．已知tan 2x＝－，且x∈[0，π]，则x＝________．
4．已知cos x＝－，x∈[－2π，2π]，则满足条件的角x的集合是________________．
5．已知sin α＝，若<α<π，用反正弦符号表示α为____________．
题型1已知正弦值求角
尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．
例1已知sin x＝.
(1)当x∈[－]时，求x的取值集合；
(2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合；
利用三角函数线、图象结合周期性求解集．
(4)求不等式sin x<－的解集．
方法归纳
1．给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．
2．对于已知正弦值求角有如下规律：sin x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，π－α，再利用周期性可求得{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则方程f(x)＝1在(0，π]上的解集为____________.
(2)求不等式sin x>－的解集．
题型2已知余弦值求角
例2(1)已知cos x＝－.
①当x∈[0，π]时，求x的值；
②当x∈R时，求x的取值集合．
(2)已知cos (2x－)＝，求x.
(3)求不等式cos (x＋)>－的解集．
状元随笔 (1)，(2)利用余弦线、图象求值．
(3)先求出相等时的x值，再写出满足不等式的x的范围．
跟踪训练2 (1)(多选)若cos (3x＋)＝，则x可以是( )
A． B．
C． D．
(2)求不等式2cos (2x＋)－<0的解集．
方法归纳
cos x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}．
题型3已知正切值求角
例3(1)已知tan α＝1.
①若α∈(－)，求角α；
②若α∈R，求角α.
(2)已知f(x)＝tan (3x－)，求使f(x)≤－成立的x的集合．
状元随笔 利用正切线或图象求值，先求x的范围，再根据周期写解集．
方法归纳
1．已知角的正切值求角，可先求出(－)内的角α，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角.
2．tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋α，k∈Z}．
跟踪训练3 (1)已知角x∈[0，π)，且满足tan (2x－)＝1，则角x为________．
(2)当0(3)已知集合A＝{x＝}，B＝{x}，则A＝________．
能 力 提 升 练
1.如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除了可能重合外，还有可能( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称
2．下列叙述错误的是( )
A．arctan <
B．若x＝arcsin y，0≤y≤1，则sin x＝y
C．若tan ＝y，则x＝－2arctan y
D．π－arcsin ∈(，π)
温馨提示：请完成课时作业(十二) 章末质量检测(一)
7．3.5 已知三角函数值求角
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．arcsin y，即x＝arcsin y
2．arccos y，即x＝arccos y
3．arctan y，即x＝arctan y
知识点二
2．(2)x的 (3)解集
[基础自测]
1．解析：因为sin (α＋15°)＝，α是锐角，所以α＋15°∈(15°，105°)，α＋15°＝45°，所以α＝30°.故选B.
答案：B
2．解析：cos α＝cos ＝，又α∈(0，2π)，则α＝或.故选D.
答案：D
3．解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π].
∵tan 2x＝－，∴2x＝或2x＝，
∴x＝或.
答案：或
4．解析：因为cos x＝－，x∈[－2π，2π]，解得x＝－或－或或，所以满足条件的角x的集合是{－，－，}．
答案：{－，－}
5．解析：∵sin α＝<α<π，
∴sin (π－α)＝sin α＝，0<π－α<，
∴π－α＝arcsin ，∴α＝π－arcsin .
答案：π－arcsin
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)∵y＝sin x在[－]上是增函数，且sin ＝，∴x＝，∴{}是所求集合．
(2)∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin ＝sin (π－)＝，
∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝，
∴x的取值集合为{}．
(3)当x∈R时，x的取值集合为
{x|x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z}．
(4)方法一 由sin x＝－<0可知，角x对应的正弦线方向朝下，而且长度为，如图所示，
可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′.
又因为sin (－)＝sin (－)＝－，
所以x＝－＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z.
如果x终边在∠POP′中，则有sin x<－，
所以－＋2kπ所以不等式的解集为
{x|－＋2kπ方法二 因为sin x＝－，
如图所示，
由正弦函数的图象，知在[－2π，0]内，sin (－)＝sin (－)＝－，
所以x＝－＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z，
所以－＋2kπ所以不等式的解集为
{x|－＋2kπ跟踪训练1 解析：(1)由题意可得＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝2sin (2x＋)＝1，
可得sin (2x＋)＝，
因为x∈(0，π]，所以2x＋∈(]，
所以2x＋＝或，即x∈{}．
(2)当sin x＝－时，
x＝＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z，
所以－＋2kπ所以不等式的解集为
{x|－＋2kπ答案：(1){} (2)见解析
例2 【解析】 (1)①因为cos x＝－且x∈[0，π]，
所以x＝.
②当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解．
因为cos x＝－，故x是第二或第三象限角，
所以由余弦函数的周期性知，
当x＝＋2kπ或x＝2kπ－(k∈Z)时，
cos x＝－，即所求x值的集合是
{x|x＝＋2kπ或x＝2kπ－(k∈Z)}．
(2)由cos (2x－)＝>0，知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为，
如图所示，
可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP′.
又因为cos ＝cos (－)＝，
所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ(k∈Z)，
所以x＝＋kπ或x＝＋kπ(k∈Z)．
(3)如图所示，
在[－π，π]上，＝－或＝时，
cos ()＝－，
所以＝－＋2kπ或＝＋2kπ，k∈Z时，cos ()＝－.
令－＋2kπ<<＋2kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ所以不等式的解集为
{x|－＋4kπ跟踪训练2 解析：(1)cos (3x＋)＝，则3x＋＝2kπ±(k∈Z)，
解得x＝(k∈Z)，当k＝1时，x＝，
或x＝(k∈Z)，当k＝1时，x＝，
故选BC.
(2)不等式变为cos (2x＋)<，
则＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ所以不等式的解集为{x|＋kπ答案：(1)BC (2)见解析
例3 【解析】 (1)①由正切函数在开区间(－)上是增函数可知，符合条件tan α＝1的角只有一个，即α＝.
②α＝kπ＋(k∈Z)．
(2)方法一 令t＝3x－，作出函数y＝tan t的图象如图，
则－＋kπ即－＋kπ<3x－≤－＋kπ，k∈Z，
解得－所以不等式tan (3x－)≤－的解集为(－]，k∈Z.
方法二 因为tan (3x－)＝－<0，令t＝3x－，
所以角3x－对应的正切线方向朝下，而且长度为，
如图所示，
可知3x－的终边可能是OT，也可能是OT′，
因为tan (－)＝tan ＝－，
即－＋kπ<3x－≤－＋kπ，k∈Z，
解得－所以不等式tan (3x－)≤－的解集为(－]，k∈Z.
跟踪训练3 解析：(1)由已知得tan (2x－)＝1，tan (2x－)＝，2x－＝＋kπ，x＝，k∈Z，又因为x∈[0，π)，所以x＝或.
(2)由正切函数的图象知，当0若tan x<－1，则即实数x的取值范围是()．
(3)∵cos (－x)＝，
∴－x＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z，
x＝＋2kπ或－＋2kπ，k∈Z，
∵tan x＝－，∴x＝－＋kπ，k∈Z，
那么A＝{x，k∈Z}．
答案：(1)或 (2)()
(3){x，k∈Z}
能力提升练
1．解析：
如图，角α的终边与单位圆相交于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，由三角函数线的定义可知，OM＝cos α，由图知，设角β的终边与单位圆相交于点P1，当角β的终边与角α的终边关于x轴对称时，过点P1作x轴的垂线，则垂足为点M，所以OM＝cos β，所以当角α与β的终边关于x轴对称时，cos α＝cos β，故选A.
答案：A
2．解析：令arctan ＝α，α∈(－)，则tan α＝，∵tan α答案：C
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时作业(十二) 已知三角函数值求角
(分值：80分)
一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共26分)
1．满足tan x＝－的x的集合是( )
A．
B．
C．
D．
解析：∵在上，当x＝－时，tan x＝－，
∴tan x＝－的x的集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}．
答案：D
2．在△ABC中，若sin A＝cos B＝，则∠C＝( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：△ABC中，若sin A＝cos B＝，A，B∈(0，π)，则B＝60°，所以A＝30°，所以C＝180°－30°－60°＝90°，故选A.
答案：A
3．若θ∈[0，2π)，cos θ＝，则适合条件的角θ有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：因为θ∈[0，2π)，cos θ＝，则θ∈(0，)或θ∈(，2π)，又在(0，)只有1个角使得cos θ＝，在θ∈(，2π)也只有1个角使得cos θ＝，即符合条件的角θ有2个，故选C.
答案：C
4．若tan ＝，则在区间[0，2π]上解的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：∵tan ＝，∴2x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝(k∈Z)．∵x∈[0，2π]，∴k＝1，2，3，4时，x分别为.故选B.
答案：B
5．(多选)使得等式2cos ＝1成立的角x可以是( )
A． B．
C． D．－
解析：由已知得cos ＝.因此＝2kπ±，故x＝4kπ±(k∈Z)，故x可以是±.
答案：BCD
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知sin x＝(0解析：由sin x＝(0答案：arcsin
7．arcsin ＋arccos (－)＋arctan (－)＝________．
解析：arcsin ＋arccos (－)＋arctan (－)＝＝.
答案：
8．方程sin (3x)＝1在x∈(，π)内的解集为________．
解析：∵sin (3x)＝1，∴sin (3x)＝，
∴3x＝＋2kπ或3x＝＋2kπ，∴x＝或x＝，∵x∈(，π)，∴x∈.
答案：
三、解答题(共29分)
9．(12分)用反三角函数的形式把下列各式中的x表示出来．
(1)cos x＝－(2)sin x＝－，－(3)3tan x＋1＝0，0解析：(1)∵cos x＝－∴cos (π－x)＝－cos x＝，0<π－x<，
∴π－x＝arccos ，∴x＝π－arccos .
(2)∵sin x＝－，－∴x＝－arcsin .
(3)∵3tan x＋1＝0，0∴tan x＝－∴tan (π－x)＝－tan x＝，0<π－x<，
∴π－x＝arctan ，∴x＝π－arctan .
10．(17分)求下列不等式的解集．
(1)cos x－<0；
(2)3tan x－≥0.
解析：(1)因为cos x－<0，所以cos x<，
利用余弦线或余弦曲线可知所求解集为
{x＋2kπ(2)因为3tan x－≥0，所以tan x≥，
利用正切线或正切曲线可知所求解集为
{x＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z}．
[尖子生题库]
11．(5分)已知cos x＝－，－πA．－π＋arccos
B．－arccos (－)
C．－π＋arccos (－)
D．－π＋arcsin
解析：因为cos θ＝－，由反函数的定义可知θ＝arccos (－)，其中答案：C
12．(5分)集合{x|cos (πcos x)＝0，x∈[0，π]}＝________．
解析：当0≤x≤π时，－1≤cos x≤1，则－π≤πcos x≤π，
由cos (πcos x)＝0，可得πcos x＝±，
所以cos x＝±，
因为0≤x≤π，则x＝或，
因此，{x|cos (πcos x)＝0，x∈[0，π]}＝.
答案：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
