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高中数学
人教B版(2019)
必修 第三册
第七章 三角函数
7.3 三角函数的性质与图像
7.3.3 余弦函数的性质与图像
人教B版高中数学必修第三册第七章三角函数7.3.3余弦函数的性质与图象课件+学案+作业含答案
文档属性
名称
人教B版高中数学必修第三册第七章三角函数7.3.3余弦函数的性质与图象课件+学案+作业含答案
格式
zip
文件大小
6.0MB
资源类型
试卷
版本资源
人教B版(2019)
科目
数学
更新时间
2025-06-24 20:47:37
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文档简介
课时作业(十) 余弦函数的性质与图象
(分值:90分)
一、选择题(单选每小题5分,多选每小题6分,共21分)
1.若0
和cos x<同时成立的x的取值范围是( )
A.
C.
解析:当0
因为cos =sin =所以由图象可知,使得sin x>和cos x<同时成立的x的取值范围为
答案:B
2.下列函数中,周期为π,且在上递增的奇函数是( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=cos D.y=sin
解析:化简所给函数的解析式,A.y=sin =cos 2x,该函数周期为π,函数为偶函数,不符合题意;B.y=cos =sin 2x,该函数周期为π,在[]上单调递减,不符合题意;C.y=cos =-sin 2x ,该函数周期为π,在上单调递增,函数是奇函数,符合题意;D.y=sin =-cos x ,该函数周期为2π ,不符合题意.
答案:C
3.当x∈(0,2π)时,函数f(x)=sin x与g(x)=|cos x|的图象所有交点横坐标之和为( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
解析:作出函数f(x)=sin x和g(x)=|cos x|在(0,2π)上的图象如图,
从图象上可得函数f(x)=sin x的图象和g(x)=|cos x|的图象在(0,2π)内有两个交点:sin x=cos x,x∈(0),即tan x=1,x∈(0),得x=sin x=-cos x,x∈(π),即tan x=-1,x∈(π),得x=所有交点横坐标之和为=π.故选A.
答案:A
4.(多选)已知函数f(x)=2sin (2x+)-1,则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)是偶函数
D.f(x)的单调递减区间为[kπ,kπ+],k∈Z
解析:由诱导公式可得f(x)=2sin (2x+)-1=2cos 2x-1.对于A,由三角函数的性质,可得f(x)的最小正周期为T==π,所以A正确;对于B,当2x=2kπ,k∈Z,即x=kπ,k∈Z时,f(x)的最大值为2×1-1=1,所以B错误;对于C,由f(-x)=2cos (-2x)-1=2cos 2x-1=f(x),f(x)是偶函数,所以C正确;对于D,令2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,解得kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即函数的单调递减区间为[kπ+kπ],k∈Z,所以D正确.故选ACD.
答案:ACD
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.已知函数f(x)=2cos (3x+φ)的图象关于点(0)对称,那么|φ|的最小值为________.
解析:∵f(x)=2cos (3x+φ)的图象关于点(0)对称,
∴3×+φ=kπ+k∈Z,即φ=kπ-k∈Z,
令k=4,可得|φ|的最小值为.
答案:
6.函数y=1-2sin2x的最小正周期为________.
解析:因为y=1-2sin2x=cos2x,
所以该函数的最小正周期T===π.
答案:π
7.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是________.
解析:因为y=cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有-π
答案:(-π, 0]
三、解答题(共32分)
8.(15分)已知函数g(x)=cos (4x+)+1,x∈[-].
(1)求g(x)的值域;
(2)若关于x的方程g2(x)+(2-m)g(x)+3-m=0有两个不等的实根,求实数m的取值范围.
解析:(1)当x∈[-]时,4x+∈[π],
所以cos (4x+)∈[-1],
所以g(x)=cos (4x+)+1∈[0],
故g(x)的值域为[0].
(2)令t=g(x),则t∈[0],
令f(t)=t2+(2-m)t+3-m,
根据题意解得2
此时f(t)有两个不同的零点,而t=g(x)在[-]上单调,
所以2
9.(17分)已知函数f(x)=cos (2x-),x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)求函数f(x)在区间[-]上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.
解析:(1)f(x)的最小正周期T===π.
令2kπ≤2x-≤2kπ+π,
解得kπ+≤x≤kπ+k∈Z,
此时,f(x)单调递减,
∴f(x)的单调递减区间是[kπ+kπ+],k∈Z.
(2)∵x∈[-],则2x-∈[-],
故cos (2x-)∈[-1],f(x)=cos (2x-)∈[-1],
∴f(x)max=此时cos (2x-)=1,
即2x-=0,即x=;
f(x)min=-1,此时cos (2x-)=-即2x-=即x=.
[尖子生题库]
10.(5分)已知函数y=3cos 2x的定义域为[-],值域为[b,a],那么b-a=( )
A.-6 B.-3
C.--3 D.-
解析:因为x∈[-],
所以-≤2x≤故0≤cos 2x≤1,
所以y=3cos 2x∈[0,3],即a=3,b=0,
所以b-a=-3.
故选B.
答案:B
11.(17分)已知函数f(x)=A cos (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若关于x的方程g(x)=a在[]上有两个不等实根,求实数a的取值范围.
解析:(1)由图象可知,A=2,最小正周期T=2()=ω=
f(x)=2cos (+φ),f()=2cos (+φ)=0,0<φ<π,则φ=
所以f(x)=2cos ().
(2)f(x)的图象向右平移个单位长度,
得到y=2cos [(x-)+]=2cos (x+)的图象,
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍,纵坐标不变,
得到函数g(x)=2cos ()的图象,
x∈[]时∈[],其中x=时,=π,
则g(x)在[]上单调递减,在[]上单调递增,
g()=2cos =g()=2cos π=-2,g()=2cos =-
g(x)=a在[]上有两个不等实根,
则实数a的取值范围为(-2,-].
21世纪教育网(www.21cnjy.com)7.3.3 余弦函数的性质与图象
【课程标准】 1.借助单位圆能画出余弦函数的图象.2.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大 (小)值.3.借助图象理解余弦函数在[0,2π]上的性质.
教 材 要 点
知识点一 余弦函数的图象
1.余弦函数与余弦曲线:对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦cos x与之对应,所以y=cos x是一个函数,一般称为余弦函数.函数y=cos x的图象成为余弦曲线.
2.余弦函数图象的三种画法
(1)描点法:同正弦曲线的画法,通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在[0,2π]上的图象.
(2)五点法:在函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,有5个关键点:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1),描出五个关键点后,用平滑的曲线连接,可得y=cos x,x∈[0,2π]的图象.
(3)平移法:根据诱导公式cos x=sin (x+),可知y=cos x的图象可由y=sin x的图象向左平移个单位得到(如图所示).
知识点二 余弦函数的性质
函数 y=cos x
定义域 R
值域 [-1,1]
奇偶性 偶函数
周期性 以________为周期(k∈Z,k≠0),2π为最小正周期
单调性 当x∈______________________时,递增; 当x∈______________________时,递减
最大值与 最小值 当x=________(k∈Z)时,最大值为____; 当x=________(k∈Z)时,最小值为____
知识点三 余弦型函数y=A cos (ωx+φ)(x∈R)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期T=________.
【学霸笔记】 利用“五点法”作图时需要注意什么?
[提示] 注意的三点:(1)应用的前提条件是精确度要求不高.
(2)利用光滑的曲线连接时,一般最高(低)点的附近要平滑,不要出现“拐角”的现象.
(3)“五点法”作出的余弦函数一个周期上的图象是余弦曲线的一部分.
基 础 自 测
1.用“五点法”作函数y=cos 2x,x∈R的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是( )
A.0,,π,,2π B.0,,π
C.0,π,2π,3π,4π D.0,
2.使cos x=1-m有意义的m的取值范围为( )
A.m≥0 B.0≤m≤2
C.-1
1
3.函数y=2cos x,当x∈[-]时,函数( )
A.在区间[,π]上单调递增,在区间[-]上单调递减
B.在区间[-]上单调递增,在区间[,π]上单调递减
C.在区间[0,π]上单调递增,在区间[-,0],[π,]上单调递减
D.在区间[-,0],[π,]上单调递增,在区间[0,π]上单调递减
4.下列结论正确的是( )
A.sin (-10°)>sin 50°
B.tan 70°
C.cos (-40°)
D.cos 130°>cos 200°
5.如果函数f(x)=cos (ωx+)(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω=________.
题型1用“五点法”作余弦型函数的图象
例1用“五点法”作函数y=2+cos x,x∈[0,2π]的简图.
状元随笔 在[0,2π]上找出五个关键点,用平滑的曲线连接即可.
方法归纳
1.“五点法”是作三角函数图象的常用方法,“五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点.
2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节,注意用平滑的曲线连接五个关键点.
跟踪训练1 作出函数y=cos (x+),x∈[-]的大致图象.
题型2余弦型函数的单调性
例2(1)函数f(x)=5cos (3x+)的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
(2)设a=cos ,b=sin ,c=cos ,则( )
A.a>c>b B.c>b>a
C.c>a>b D.b>c>a
(3)函数y=cos (-2x)的单调递增区间是____________.
状元随笔 (1)先求出函数在定义域上的单调递减区间,再验证.
(2)利用诱导公式化到一个单调区间,再利用单调性比较.
(3)将x的系数负化正后利用单调性求解.
方法归纳
1.余弦型函数单调区间的求法
(1)如果x的系数为负,则利用诱导公式变为正.
(2)将ωx+φ看作整体,代入到余弦函数的单调区间解出x的范围.
(3)若求具体的或一个范围内的单调区间,则给k赋值,即可求出符合条件的单调区间.
2.关于三角函数值比较大小
利用诱导公式,统一成正弦或余弦函数,统一化到一个单调区间内,利用单调性比较大小.
跟踪训练2 (1)函数y=|cos x|的一个单调递减区间是( )
A.(-) B.()
C.(π,) D.(,2π)
(2)(多选)下列不等式中成立的是( )
A.sin 1
B.cos >cos 2
C.cos (-70°)>sin 18°
D.sin >sin
题型3余弦函数的最值或值域
例3(1)已知函数y1=a-b cos x的最大值是,最小值是-,求函数y=-4a sin 3bx的最大值.
状元随笔 欲求函数y的最大值,须先求出a,b,为此可利用函数y 1的最大、最小值,结合分类讨论求解.
(2)已知函数f(x)=cos (2x-),x∈[0,],则f(x)的最小值为________.
利用余弦函数的单调性求最值.
(3)函数f(x)=的值域是________.
根据余弦函数的有界性,求解函数f(x)的值域.
(4)求函数y=sin2x+cosx的值域.
状元随笔 利用同角三角函数关系转化为关于余弦的二次函数求最值.
方法归纳
1.对于求形如y=a cos x+b的函数值域问题,一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决.注意当x有具体范围限制时,需考虑cos x的范围.
2.求定区间上的最值:可先计算t=ωx+φ的范围,根据y=cos t在所求出的范围内的单调性求最值.
3.关于余弦的二次式求最值:可用换元法或配方法求最值.
跟踪训练3 函数y=sin2x+cosx(-≤x≤)的值域为________.
题型4正、余弦函数的对称性
【思考探究】 1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性,你有何发现?
[提示] 正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y轴对称,是轴对称图形,也是中心对称图形.
2.正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么?
[提示] 正弦曲线的对称中心坐标为(kπ,0)(k∈Z),其对称轴方程为x =+kπ(k∈Z).
余弦曲线的对称中心坐标为(kπ+,0)(k∈Z),对称轴方程为x=kπ(k∈Z).
3.如何求y=A cos (ωx+φ)的对称中心及对称轴方程?
[提示] 只需令ωx+φ=kπ+(k∈Z),即可求得其对称中心的横坐标.
令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得其对称轴方程.
例4已知函数y=2cos (2x+).
(1)在该函数的对称轴中,求离y轴距离最近的那条对称轴的方程;
(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后,图象关于原点对称,求φ的最小正值.
方法归纳
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论:
(1)f(x)=A sin (ωx+φ)(或A cos (ωx+φ))的图象关于x=x0对称 f(x0)=A或-A.
(2)f(x)=A sin (ωx+φ)(或A cos (ωx+φ))的图象关于点(x0,0)中心对称 f(x0)=0.跟踪训练4 (多选)已知函数f(x)=cos (πx-),则( )
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B.f(x)的图象关于点(-,0)对称
C.f(x)的图象关于点(-,0)对称
D.f(x)的图象关于直线x=对称
能 力 提 升 练
1.已知函数f(x)=cos (ωx-)(ω>0)在[]上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.[0,] B.[1,]
C.[2,] D.[,3]
2.已知函数f(x)=2cos (2ωx+)(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点,则ω的取值范围为________.
教材反思
(1)余弦曲线和正弦曲线的关系
(2)余弦函数周期性的释疑
余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期为2π.
(3)余弦函数的奇偶性
①余弦函数是偶函数,反映在图象上,余弦曲线关于y轴对称.
②余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形.
(4)余弦函数单调性的说明
①余弦函数在定义域R上不是单调函数,但存在单调区间.
②求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步.
③确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时,要注意使用复合函数的判断方法来判断.
(5)余弦函数最值的释疑
①明确余弦函数的有界性,即|cos x|≤1.
②对有些余弦函数,其最值不一定是1或-1,要依据函数定义域来决定.
③形如y=A cos (ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”,即令ωx+φ=z,将函数转化为y=A cos z的形式求最值.
温馨提示:请完成课时作业(十)
7.3.3 余弦函数的性质与图象
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点二
2kπ [2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 2kπ 1 2kπ+π -1
知识点三
[基础自测]
1.解析:令2x=0,,π,和2π,得x=0,,π,故选B.
答案:B
2.解析:∵-1≤cos x≤1,∴-1≤1-m≤1,
解得0≤m≤2.故选B.
答案:B
3.解析:对于A,由[,π] [0,π],得y=2cos x在[,π]上单调递减,A错误;对于B,函数y=2cos x在[-]上不单调,B错误;对于C,函数y=2cos x在[0,π]上单调递减,C错误;对于D,函数y=2cos x在[-,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,在[π,]上单调递增,D正确.故选D.
答案:D
4.解析:对于A,因为sin (-10°)=-sin 10°<0,sin 50°>0,所以sin (-10°)
sin 70°,故B错误;对于C,因为cos (-40°)=cos 40°,cos 310°=cos (360°-50°)=cos 50°,又cos 40°>cos 50°,所以cos (-40°)>cos 310°,故C错误;对于D,因为cos 130°=cos (90°+40°)=-sin 40°,cos 200°=cos (270°-70°)=-sin 70°,又sin 40°
-sin 70°,即cos 130°>cos 200°,故D正确.故选D.
答案:D
5.解析:∵函数f(x)的相邻两个零点之间的距离为,∴周期T=2×=,由=,得ω=6.
答案:6
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 列表:
描点连线,如图.
跟踪训练1 解析:∵x∈[-],∴x+∈[0,2π].
根据五点法列表得,
描点连线,如图所示.
例2 【解析】 (1)f(x)=5cos (3x+),
由2kπ≤3x+≤π+2kπ(k∈Z),
得≤x≤(k∈Z),
所以[-]是f(x)的一个单调递减区间.
(2)sin =sin (8π-)=-sin =sin =cos ,
cos =cos (2π-)=cos (-)=cos ,
因为y=cos x在(0,)上单调递减,
所以cos >cos >cos ,即a>c>b.
(3)函数y=cos (-2x)=cos (2x-),
令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数y=cos (2x-)的单调递增区间是[-+kπ,+kπ],k∈Z.
【答案】 (1)B (2)A (3)[-+kπ,+kπ],k∈Z
跟踪训练2 解析:(1)画出y=|cos x|的图象,如图,
可以看出y=|cos x|的一个单调递减区间为(π,),其他选项不合要求.故选C.
(2)对于A,∵y=sin x在(0,)上单调递增,又0<1<<,∴sin 1
sin 18°,∴cos (-70°)>sin 18°,C正确;对于D,∵sin =sin (π-)=sin ,sin =sin (3π-)=sin ,又sin
sin ,D正确.故选ACD.
答案:(1)C (2)ACD
例3 【解析】 (1)∵函数y1的最大值是,最小值是-,
当b>0时,由题意得∴
当b<0时,由题意得∴
因此y=-2sin 3x或y=2sin 3x,
函数的最大值均为2.
(2)因为x∈[0,],所以2x-∈[-],
所以由余弦函数图象和性质可知cos (2x-)∈[-,1],
所以f(x)的最小值为-.
(3)由y=f(x)=,可得(1-2y)cos x=y,
当y=时等式不成立,∴y≠,则有cos x=,
∵|cos x|≤1,∴||≤1,3y2-4y+1≥0,y≤或y≥1,
∴函数f(x)=的值域是(-∞,
(4)y=sin2x+cosx=1-cos2x+cosx
=-cos2x+cosx+1=-(cos x-)2+,
令t=cos x,则y=-(t-)2+,t∈[-1,1].
因为-1≤t≤1,所以当t=时,ymax=;
当t=-1时,ymin=-.
因此函数y=sin2x+cosx的值域为[-].
【答案】 (1)见解析 (2)- (3)(-∞, (4)见解析
跟踪训练3 解析:设cos x=t,因为-≤x≤,
则t∈[,1],所以y=1-cos2x+cosx=-(t-)2+,t∈[,1],即y在区间上单调递减,
故当t=,即x=±时,ymax=;
当t=1,即x=0时,ymin=1,
所以函数的值域为[1,].
答案:[1,]
例4 【解析】 (1)令2x+=kπ(k∈Z),
解得x=(k∈Z).
令k=0时,x=-;
令k=1时,x=,
∴函数y=2cos (2x+)的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x=.
(2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y=f(x),
则f(x)=2cos [2(x-φ)+]=2cos (2x+-2φ).
∵y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称,
∴f(0)=2cos (-2φ)=0,
∴-2φ=kπ+(k∈Z),
解得φ=(k∈Z).
令k=0,得φ=,
∴φ的最小正值是.
跟踪训练4 解析:因为f(x)=cos (πx-),
令πx-=kπ,k∈Z,则x=k+,k∈Z,
所以f(x)的对称轴方程为x=k+,k∈Z,
令k=0,x=,则D正确,A错误;
令πx-=kπ+,k∈Z,则x=k+,k∈Z,
所以f(x)的对称轴中心为(k+,0),k∈Z,
令k=-1,则f(x)的一个对称中心为(-,0),则B正确,C错误.故选BD.
答案:BD
能力提升练
1.解析:因为f(x)在区间[]上单调递减,所以=,得T≥,所以,所以0<ω≤4,由2kπ≤ωx-≤2kπ+π,k∈Z,得2kπ+≤ωx≤2kπ+,k∈Z,得≤x≤,k∈Z,所以函数的单调递减区间为[](k∈Z),因为函数f(x)在区间[]上单调递减,所以(k∈Z),解得8k+1≤ω≤(k∈Z),因为0<ω≤4,所以k=0,得1≤ω≤,所以1≤ω≤,故ω的取值范围为[1,].故选B.
答案:B
2.解析:当x∈[0,π]时,2ωx+∈[,2πω+].
因为f(x)在[0,π]上有且仅有2个零点,
所以≤2πω+<,解得≤ω<.
答案:[)
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7.3.3 余弦函数的性质与图象
【课程标准】 1.借助单位圆能画出余弦函数的图象.2.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大 (小)值.3.借助图象理解余弦函数在[0,2π]上的性质.
教 材 要 点
知识点一 余弦函数的图象
1.余弦函数与余弦曲线:对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦cos x与之对应,所以y=cos x是一个函数,一般称为余弦函数.函数y=cos x的图象成为余弦曲线.
知识点二 余弦函数的性质
函数 y=cos x
定义域 R
值域 [-1,1]
奇偶性 偶函数
周期性 以________为周期(k∈Z,k≠0),2π为最小正周期
单调性 当x∈______________________________时,递增;
当x∈_____________________________时,递减
最大值与
最小值 当x=________(k∈Z)时,最大值为____;
当x=________(k∈Z)时,最小值为____
2kπ
[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)
[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
2kπ
1
2kπ+π
-1
知识点三 余弦型函数y=A cos (ωx+φ)(x∈R)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期T=________.
【学霸笔记】 利用“五点法”作图时需要注意什么?
[提示] 注意的三点:(1)应用的前提条件是精确度要求不高.
(2)利用光滑的曲线连接时,一般最高(低)点的附近要平滑,不要出现“拐角”的现象.
(3)“五点法”作出的余弦函数一个周期上的图象是余弦曲线的一部分.
答案:B
2.使cos x=1-m有意义的m的取值范围为( )
A.m≥0 B.0≤m≤2
C.-1
1
答案:B
解析:∵-1≤cos x≤1,∴-1≤1-m≤1,解得0≤m≤2.故选B.
答案:D
4.下列结论正确的是( )
A.sin (-10°)>sin 50°
B.tan 70°
C.cos (-40°)
D.cos 130°>cos 200°
答案:D
6
题型1用“五点法”作余弦型函数的图象
例1用“五点法”作函数y=2+cos x,x∈[0,2π]的简图.
【解析】 列表:
描点连线,如图.
状元随笔 在[0,2π]上找出五个关键点,用平滑的曲线连接即可.
方法归纳
1.“五点法”是作三角函数图象的常用方法,“五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点.
2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节,注意用平滑的曲线连接五个关键点.
【答案】B
【答案】A
状元随笔
(1)先求出函数在定义域上的单调递减区间,再验证.
(2)利用诱导公式化到一个单调区间,再利用单调性比较.
(3)将x的系数负化正后利用单调性求解.
方法归纳
1.余弦型函数单调区间的求法
(1)如果x的系数为负,则利用诱导公式变为正.
(2)将ωx+φ看作整体,代入到余弦函数的单调区间解出x的范围.
(3)若求具体的或一个范围内的单调区间,则给k赋值,即可求出符合条件的单调区间.
2.关于三角函数值比较大小
利用诱导公式,统一成正弦或余弦函数,统一化到一个单调区间内,利用单调性比较大小.
答案:C
答案:ACD
状元随笔 欲求函数y的最大值,须先求出a,b,为此可利用函数y 1的最大、最小值,结合分类讨论求解.
状元随笔 利用同角三角函数关系转化为关于余弦的二次函数求最值.
方法归纳
1.对于求形如y=a cos x+b的函数值域问题,一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决.注意当x有具体范围限制时,需考虑cos x的范围.
2.求定区间上的最值:可先计算t=ωx+φ的范围,根据y=cos t在所求出的范围内的单调性求最值.
3.关于余弦的二次式求最值:可用换元法或配方法求最值.
题型4正、余弦函数的对称性
【思考探究】 1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性,你有何发现?
[提示] 正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y轴对称,是轴对称图形,也是中心对称图形.
方法归纳
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论:
(1)f(x)=A sin (ωx+φ)(或A cos (ωx+φ))的图象关于x=x0对称 f(x0)=A或-A.
(2)f(x)=A sin (ωx+φ)(或A cos (ωx+φ))的图象关于点(x0,0)中心对称 f(x0)=0.
答案:BD
答案:B
教材反思
(1)余弦曲线和正弦曲线的关系
(2)余弦函数周期性的释疑
余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期为2π.
(3)余弦函数的奇偶性
①余弦函数是偶函数,反映在图象上,余弦曲线关于y轴对称.
②余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形.
(4)余弦函数单调性的说明
①余弦函数在定义域R上不是单调函数,但存在单调区间.
②求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步.
③确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时,要注意使用复合函数的判断方法来判断.
(5)余弦函数最值的释疑
①明确余弦函数的有界性,即|cos x|≤1.
②对有些余弦函数,其最值不一定是1或-1,要依据函数定义域来决定.
③形如y=A cos (ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”,即令ωx+φ=z,将函数转化为y=A cos z的形式求最值.
答案:B
答案:C
3.当x∈(0,2π)时,函数f(x)=sin x与g(x)=|cos x|的图象所有交点横坐标之和为( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
答案:A
答案:ACD
6.函数y=1-2sin2x的最小正周期为________.
π
7.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是________.
(-π, 0]
解析:因为y=cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有-π
答案:B
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同课章节目录
第七章 三角函数
7.1 任意角的概念与弧度制
7.2 任意角的三角函数
7.3 三角函数的性质与图像
7.4 数学建模活动:周期现象的描述
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.1 向量的数量积
8.2 三角恒等变换
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