7．3.4 正切函数的性质与图象
【课程标准】 1.借助单位圆能画出正切函数的图象.2.了解正切函数的周期性、单调性、奇偶性、最大 (小)值.3.借助图象理解正切函数在(－)上的性质．
教 材 要 点
知识点一 正切函数的图象
1．正切函数的图象：
y＝tan x(x∈R且x≠＋kπ，k∈Z)的图象如图．
2．正切函数的图象称为________．
3．正切函数的图象特征：
正切曲线是由通过点____________________且与________平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．正切曲线是中心对称图形，对称中心是(，0)(k∈Z)．
知识点二 正切函数的性质
1．(1)函数y＝tan x(x∈R且x≠kπ＋，k∈Z)的图象与性质表：
解析式 y＝tan x
图象
定义域 ________________
值域 ________________
周期 ________________
奇偶性 ________________
单调性 在开区间________________内都是增函数
2.函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是________．
【学霸笔记】 正切函数的图象是对称的吗？
[提示] 正切函数是奇函数，其图象关于原点对称，并且有无数个对称中心，对称中心的坐标为(，0)(k∈Z)，正切函数的图象不是轴对称图形．
基 础 自 测
1．下列是函数f(x)＝tan (2x－)的对称中心的是( )
A．(－，0) B．(，0)
C．(0，0) D．(，0)
2．函数y＝tan x(－≤x≤，且x≠0)的值域是( )
A．[－1，1] B．[－1，0)
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
3．函数y＝tan (2x－)的定义域是( )
A．{x，k∈Z}
B．{x＋kπ，k∈Z}
C．{x，k∈Z}
D．{x＋kπ，k∈Z}
4．y＝tan x( )
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上为增函数
D．在每一个闭区间[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)上为增函数
5．若f(n)＝tan (n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝________．
题型1正切函数的定义域、值域问题
例1(1)求下列函数的定义域：
①y＝；
②y＝tan ()．
(2)求函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈[－)的值域．
状元随笔 (1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．
(2)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．
方法归纳
1．求正切函数定义域的方法及求值域的注意点
(1)求正切函数定义域的方法
①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝A tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z；
②求正切函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
(2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
2.解正切不等式的两种方法
(1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；
(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．
跟踪训练1 (1)求函数y＝的定义域．
(2)函数y＝tan2x－tanx＋2，x∈的值域为( )
A．[，＋∞) B．
C． D．[2，4]
题型2正切函数的奇偶性、周期性
(1)函数y＝4tan (3x＋)的周期为________．
(2)判断下列函数的奇偶性：
①y＝3x tan 2x－2x4；
②y＝cos (－x)＋tan x.
状元随笔 (1)函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．
方法归纳
1．函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法：
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则ω的值是________．
(2)已知函数y＝f(x)，其中f(x)＝a tan 3x＋4，若f(5)＝6，则f(－5)＝________．
题型3正切函数的单调性
【思考探究】 1.正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？
[提示] 不是．函数的单调性是相对于定义域内的某个区间而言的．正切函数的图象被直线x ＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(kπ －，kπ ＋)(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1 ＝，x2 ＝，x1 2．正切函数的定义域能写成( －＋kπ，＋kπ) (k∈Z)吗？为什么？
[提示] 不能．因为正切函数的定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，它表示x是不等于＋kπ(k∈Z)的全体实数，而(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)只表示k取某个整数时的一个区间，而不是所有区间的并集．
例3(1)求函数y＝tan (－x＋)的单调区间；
(2)下列各式中正确的是( )
A．tan 735°>tan 800°
B．tan 1>－tan 2
C．tan D．tan 状元随笔 (1)可先令y ＝－tan (x －)，从而把x －整体代入(－ ＋kπ， ＋kπ)，k∈Z这个区间内解出x便可．
(2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2＝tan (2 －π)，tan 3 ＝tan (3 －π)，最后利用y ＝tan x 在(－)上的单调性判断大小关系．
方法归纳
求y＝A tan (ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－<ωx＋φ跟踪训练3 (1)已知函数y＝－2tan (x＋)，则( )
A．增区间为(6k－5，6k＋1)，k∈Z
B．增区间为(6k－1，6k＋5)，k∈Z
C．减区间为(6k－5，6k＋1)，k∈Z
D．减区间为(6k－1，6k＋5)，k∈Z
(2)比较下列各组中三角函数值的大小：
①tan 138°与tan 143°；
②tan (－)与tan (－)．
能 力 提 升 练
1.(多选)关于函数f(x)＝|tan x|的性质，下列叙述正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称
D．f(x)在区间(kπ，kπ＋)(k∈Z)上单调递增
2．已知函数f(x)＝tan (ωx＋)，ω>0.
(1)若ω＝2，求f(x)的最小正周期与函数图象的对称中心；
(2)若f(x)在[0，π]上是严格增函数，求ω的取值范围；
(3)若方程f(x)＝在[a，b]上至少存在2 022个根，且b－a的最小值不小于2 022，求ω的取值范围．
教材反思
(1)对函数y＝A tan (ωx＋φ)＋k(ω≠0)周期的两点说明
①一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝.
②当ω>0时，函数y＝A tan (ωx＋φ)＋k具有周期性，最小正周期是.
(2)“三点两线法”作正切曲线的简图
①“三点”分别为(kπ，0)，(kπ＋，1)，(kπ－，－1)，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．
②作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可．
(3)解答正切函数图象与性质问题应注意的两点
①对称性：正切函数图象的对称中心是(，0)(k∈Z)，不存在对称轴．
②单调性：正切函数在每个(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．
7．3.4 正切函数的性质与图象
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
2．正切曲线
3．(＋kπ，0)(k∈Z) y轴
知识点二
1.{x|x,k} R π 奇函数
(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)
2.
[基础自测]
1．解析：令2x－(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)，所以f(x)的对称中心为(k∈Z)，当k＝1时，，故是f(x)的一个对称中心．故选D.
答案：D
2．解析：由于函数y＝tan x在?上单调递增，当x＝－时，y＝－1；当x＝0时，y＝0；当x＝时，y＝1，故该函数的值域为[－1，0)∪(0，1]，故选B.
答案：B
3．解析：由题意可得2x－≠＋kπ(k∈Z)，解得x≠(k∈Z)，函数y＝tan 的定义域为{x，k∈Z}．故选A.
答案：A
4．解析：函数y＝tan x是周期函数，在每一个开区间(＋kπ，)(k∈Z)上为增函数，但在整个定义域上不是单调函数．故选C.
答案：C
5．解析：因为f(n)＝tan 的周期T＝＝3，
且f(1)＝tan ，f(2)＝tan ，f(3)＝tan π＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
因为＝675，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0.
答案：0
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)①要使函数y＝有意义，需使
∴函数的定义域为{x，且x≠kπ＋，k∈Z}．
②令≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠2kπ＋(k∈Z)，故函数的定义域为{x，k∈Z}．
(2)令t＝tan x，∵x∈，∴t＝tan x∈，
∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1，
∴t＝1时，取最大值6，t＝－时，取最小值2－2，
∴函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈的值域为.
跟踪训练1 解析：(1)根据题意，
得
解得(k∈Z)，
所以函数的定义域为[＋kπ，)∪(＋kπ，)(k∈Z)．
(2)函数y＝tan2x－tanx＋2＝2＋，
由x∈，则tan x∈[－1，1]，
所以函数的值域为.
答案：(1)见解析 (2)C
例2 【解析】 (1)由于ω＝3，故函数的周期为T＝.
(2)①因为y＝3x tan 2x－2x4的定义域为{x，k∈Z}，关于原点对称，
且3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3x tan 2x－2x4，
所以y＝3x tan 2x－2x4为偶函数．
②因为y＝cos ＋tan x＝sin x＋tan x的定义域为{x，k∈Z}，关于原点对称，
且sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－(sin x＋tan x)，
所以y＝cos ＋tan x为奇函数．
【答案】 (1) (2)见解析
跟踪训练2 解析：(1)由题意知函数f(x)＝tan ωx的最小正周期为，∴ω＝＝8.
(2)设g(x)＝a tan 3x，则f(x)＝g(x)＋4，
因为g(－x)＝－a tan 3x＝－g(x)，
所以g(x)＝a tan 3x为奇函数，
f(5)＝g(5)＋4＝6，所以g(5)＝2，
则g(－5)＝－2，所以f(－5)＝g(－5)＋4＝2.
答案：(1)8 (2)2
例3 【解析】 (1)y＝tan ＝－tan ，
由kπ－<得2kπ－∴函数y＝tan 的单调递减区间是(，2kπ＋)(k∈Z)，无单调递增区间．
(2)对于A，tan 735°＝tan (720°＋15°)＝tan 15°，tan 800°＝tan (720°＋80°)＝tan 80°，因为0°<15°<80°<90°，所以tan 15°【答案】 (1)见解析 (2)D
跟踪训练3 解析：(1)由－＋kπ<<＋kπ，k∈Z，解得6k－5(2)①因为当90°所以tan 138°②因为tan ＝tan ＝tan ，
tan ＝tan ＝tan ，且0<<<，
结合函数y＝tan x在上单调递增，
所以tan 答案：(1)C (2)见解析
能力提升练
1．解析：作出函数f(x)的图象，且函数f(x)的定义域为{x，k∈Z}，由函数f(x)＝|tan x|的图象可知，最小正周期为π，A错误；又f(－x)＝|tan (－x)|＝|tan x|＝f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，B正确；根据函数f(x)的图象知，f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称，C正确；根据f(x)的图象知，f(x)在区间(k∈Z)上单调递增，D正确．故选BCD.
答案：BCD
2．解析：(1)由题可得f(x)＝tan ，所以函数的最小正周期为，
由2x＋(k∈Z)，可得x＝(k∈Z)，
所以函数f(x)的图象的对称中心为(k∈Z)．
(2)因为f(x)在[0，π]上是严格增函数，
所以x∈[0，π] ωx＋∈[，ωπ＋] ，所以ωπ＋<，
又ω>0，所以ω∈.
(3)因为f(x)＝ tan ＝ ωx＋＋kπ，k∈Z，
所以x＝，k∈Z，至少存在2 022个根，
所以可得b－a至少包含2 021个周期，即b－a≥2 021T＝2 021·，
所以b－a的最小值为2 021·，又b－a的最小值不小于2 022，
所以2 021·≥2 022，所以ω∈.
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7．3.4 正切函数的性质与图象
正切曲线
y轴
解析式 y＝tan x
图象
定义域 ________________
值域 ________________
周期 ________________
奇偶性 ________________
单调性 在开区间____________________________内都是增函数
R
π
奇函数
2.函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是________．
答案：D
答案：B
答案：A
答案：C
0
状元随笔
(1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．
(2)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．
(2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
2.解正切不等式的两种方法
(1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；
(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．
答案：C
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
8
(2)已知函数y＝f(x)，其中f(x)＝a tan 3x＋4，若f(5)＝6，则f(－5)＝________．
2
解析：设g(x)＝a tan 3x，则f(x)＝g(x)＋4，
因为g(－x)＝－a tan 3x＝－g(x)，
所以g(x)＝a tan 3x为奇函数，
f(5)＝g(5)＋4＝6，所以g(5)＝2，
则g(－5)＝－2，所以f(－5)＝g(－5)＋4＝2.
【答案】D
答案：C
答案：BCD
答案：A
答案：C
答案：A
答案：BD
6．f(x)＝a sin x＋b tan x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________．
－5
解析：∵f(5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，
∴a sin 5＋b tan 5＝6，
∴f(－5)＝a sin (－5)＋b tan (－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5.
[－1，0)
8．(15分)画出函数y＝|tan x|的图象．
(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；
(2)求不等式|tan x|≤1的解集．
10．(5分)函数f(x)＝tan (sin x)的最小正周期为________．
2π
解析：因为y＝sin x的最小正周期为2π，
而f(2π＋x)＝tan [sin (2π＋x)]＝tan (sin x)＝f(x)，
所以函数f(x)的最小正周期为2π.课时作业(十一) 正切函数的性质与图象
(分值：90分)
一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共21分)
1．函数f(x)＝的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
解析：由题可得解得x≠(k∈Z)，
∴函数f(x)＝的定义域为.故选A.
答案：A
2．已知函数f(x)＝tan ，下列判断正确的是( )
A．f(x)是定义域上的增函数，且周期是
B．f(x)在(k∈Z)上是增函数，且周期是2π
C．f(x)在上是减函数，且周期是
D．f(x)在上是减函数，且周期是2π
解析：∵f(x)＝tan (－2x)＝－tan (2x－)，－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，－答案：C
3．函数f(x)＝图象的对称轴方程为( )
A．x＝(k∈Z) B．x＝(k∈Z)
C．x＝(k∈Z) D．x＝(k∈Z)
解析：由函数y＝|tan x|的对称轴为x＝(k∈Z)，令2x－＝(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，所以函数f(x)＝图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．故选A.
答案：A
4．(多选)已知函数f(x)＝tan x－，则( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)有最小值
D．f(x)在()上为增函数
解析：由函数f(x)＝tan x－＝＝＝－，对于A，因为f(x＋)＝f(x)，所以f(x)的最小正周期为，所以A错误；对于B，因为f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝－＝＝－f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称，所以B正确；对于C，由函数y＝tan 2x的值域为R，可得f(x)＝－∈R，所以C错误；对于D，由x∈()，可得2x∈(，π)，可得函数y＝tan 2x单调递增，所以f(x)在x∈()上也单调递增，所以D正确．故选BD.
答案：BD
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．设函数f(x)＝2tan (ωx－)(ω>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则f(x)的一个最小正周期可以是________．(填写一个符合要求的即可)
解析：由题意可知ω×＝(k∈Z)，
∴ω＝，则T＝＝，
显然当k＝1时，T＝是f(x)的一个最小正周期．
答案：
6．f(x)＝a sin x＋b tan x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________．
解析：∵f(5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，
∴a sin 5＋b tan 5＝6，
∴f(－5)＝a sin (－5)＋b tan (－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5.
答案：－5
7．已知函数y＝tan ωx在(－)内是减函数，则ω的取值范围为________；若函数y＝tan (3ax－)(a≠0)的最小正周期为，则a＝________．
解析：由题意可知ω<0，又(ω，－ω) (－)，故－1≤ω<0，即ω的取值范围为[－1，0)；
因为＝，所以|a|＝，所以a＝±.
答案：[－1，0) ±
三、解答题(共32分)
8．(15分)画出函数y＝|tan x|的图象．
(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；
(2)求不等式|tan x|≤1的解集．
解析：(1)函数y＝|tan x|，
化为y＝k∈Z，
函数y＝|tan x|的图象如下：
观察图象知，函数y＝|tan x|的定义域为{x∈R|x≠＋kπ，k∈Z}；值域为[0，＋∞)；
函数y＝|tan x|的单调递减区间是(－＋kπ，kπ](k∈Z)，单调递增区间为[kπ，＋kπ)(k∈Z)；
函数y＝|tan x|是偶函数；周期是π.
(2)由|tan x|≤1，得－1≤tan x≤1，
而函数y＝tan x在(－)上单调递增，且是周期为π的周期函数，
于是－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以不等式|tan x|≤1的解集是{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}．
9．(17分)已知x∈[－]，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值．
解析：f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tan x＋1)2＋1，
∵x∈[－]，∴tan x∈[－，1]，
∴当tan x＝－1，即x＝－时，f(x)有最小值1；
当tan x＝1，即x＝时，f(x)有最大值5.
[尖子生题库]
10．(5分)函数f(x)＝tan (sin x)的最小正周期为________．
解析：因为y＝sin x的最小正周期为2π，
而f(2π＋x)＝tan [sin (2π＋x)]＝tan (sin x)＝f(x)，
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
答案：2π
11．(17分)已知函数f(x)＝.
(1)求函数y＝ln f(tan x)的定义域，并判断奇偶性；
(2)若存在x∈()，使得不等式f(tan x)＋a tan x≤0能成立，试求实数a的取值范围.
解析：(1)g(x)＝ln f(tan x)＝ln ，
所以>0，
－1因为定义域关于原点对称，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－g(x)，
所以函数为奇函数．
(2)令tan x＝t∈(1，＋∞)，不等式＋a tan x≤0转化为＋at≤0有解，
a≤＝，令t－1＝s∈(0，＋∞)，则a≤＝，
因为s＋≥2，当且仅当s＝时取等号，的最大值为，
所以a≤＝3－2.
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