(共92张PPT)
7．3.2 正弦型函数的性质与图象
【课程标准】 1.结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义.2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
教 材 要 点
知识点一 正弦型函数
1．形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数且A≠0，ω≠0)的函数，通常称为正弦型函数．
2．函数y＝A sin (ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝__________，频率f＝__________，初相为__________，值域为________，________也称为振幅，|A|的大小反映了y＝A sin (ωx＋φ)的波动幅度的大小．
φ
[－|A|，|A|]
|A|
知识点二 A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
1.φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响：
左
右
2．ω对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响：
缩短
伸长
3．A对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响：
伸长
缩短
左
右
A
【学霸笔记】 由y ＝sin x的图象，通过怎样的变换可以得到y ＝A sin (ωx＋φ)的图象？
[提示] 变化途径有两条：
(1)y ＝sin x相位变换，y＝sin (x＋φ)周期变换，y＝sin (ωx＋φ)振幅变换，y＝A sin (ωx＋φ)．
(2)y＝sin x周期变换，y＝sin ωx相位变换，y＝sin (ωx＋φ)振幅变换，y＝A sin (ωx＋φ)．
R
[－|A|，|A|]
奇
偶
非奇非偶
递增
递减
答案：C
答案：A
10π
3
【解析】 (1)①列表：
②描点连线作出一周期的函数图象．
状元随笔 先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图象，左、右扩展可得图象，然后根据图象求性质．
2 022
状元随笔 求出函数的周期，然后根据周期的性质进行求解．
答案：AD
状元随笔 由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动．
方法归纳
三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言．
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位长度．
③
答案：A
状元随笔 解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图象所过的点确定φ．
方法归纳
确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知 )或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
方法归纳
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等考查．
2．有关函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质的运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．
答案：B
答案：A
答案：AB
x
ωx＋φ 0 π 2π
A sin (ωx＋φ) 0 2 0 －2 0
(3)A(A>0)对函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把y＝sin (ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
(4)由y＝sin x变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
①先平移后伸缩
②先伸缩后平移
答案：C
答案：C
答案：B
答案：AC
4(答案不唯一)
4π
表格如下：
画出图象，如图．
7．3.1 正弦函数的性质与图象
【课程标准】 1.掌握y＝sin x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.2.会用正弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题.3.会利用五点作图法画出正弦函数的图象．
教 材 要 点
知识点一 正弦函数的图象
1．利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0，2π]的图象____________即可，此时的图象叫做正弦曲线．
2．“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点分别是(0，0)，____________，(π，0)，____________和(2π，0)．
3．作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数；在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接．
知识点二 正弦函数的性质
1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个________，使得定义域内的________x值，都满足________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：对于一个____________函数f(x)，如果在它的________存在一个________，那么这个________就叫做它的最小正周期．
2．正弦函数的性质
函数 y＝sin x
定义域 (－∞，＋∞)
值域 [－1，1]
续表
奇偶性 奇函数
周期性 最小正周期：________
单调性 在____________________(k∈Z)上递增； 在__________________(k∈Z)上递减
最值 x＝__________________时，y最大值＝1； x＝__________________时，y最小值＝－1
【学霸笔记】 观察正弦函数的图象是否具有对称性，它的对称性是怎样的？正弦函数的零点又是怎样的呢？
[提示] 由图(图略)可以看出，正弦函数的图象关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图象，点(π，0)，点(2π，0)，…，点(kπ，0)(k∈Z)也是它的对称中心，由此正弦函数图象有无数个对称中心，且为(kπ，0)(k∈Z)，即图象与x轴的交点，正弦函数的图象还具有轴对称性，对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)，是过图象的最高或最低点，且与x轴垂直的直线．另外要理解熟记，正弦函数y＝sin x的零点是kπ(k∈Z)．
基 础 自 测
1．以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
2．下列图象中，符合y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是( )
3．函数y＝10sin x与函数y＝x的图象的交点个数是( )
A．3 B．6
C．7 D．9
4．(多选)已知函数f(x)＝sin x＋1，则( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)是奇函数
C．f(x)的图象关于直线x＝π轴对称
D．f(x)的值域为[0，2]
5．利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
题型1正弦函数的图象
例1作函数y＝sin x，x∈[0，2π]与函数y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的简图，并研究它们之间的关系．
状元随笔 可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图象，然后比较它们的关系．
方法归纳
1．解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取0，，π，，2π，然后相应求出y值，作出图象．
2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．
3．y＝sin x±b的图象可以由y＝sin x的图象上、下平移获得．
跟踪训练1 用五点法作出函数y＝2sin (x－)在一个周期内的图象．
题型2正弦函数的单调性及应用
例2(1)比较下列各组数的大小．
①sin 194°和cos 160°；
②sin 和cos ；
③sin (sin )和sin (cos )．
状元随笔 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．
(2)令a＝sin (－)，b＝sin (－)，判断a与b的大小关系是( )
A．a>b B．aC．a＝b D．无法判断
方法归纳
1．求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性．
2．比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．
跟踪训练2 (1)下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°(2)若a＝sin ，b＝sin ，c＝tan ，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．a题型3正弦函数的值域与最值问题
【思考探究】 函数y＝A sin x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b 吗？
[提示] 不是．因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.
例3(1)函数y＝3sin x＋2(－≤x≤0)的最大值为( )
A．2 B．5
C．8 D．7
(2)求函数y＝3＋2sin (2x－)的值域．
(3)求函数y＝1－2sin2x＋sinx的值域．
状元随笔 (2)用|sin α|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围．
(3)用t代替sin x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y的取值范围．
方法归纳
将正弦函数y＝sin x当作整体，利用换元法(令t＝sin x)将含有正弦函数的表达式简化，结合基本初等函数的单调性求值域．三角函数值域的常见类型有：
(1)形如y＝a sin x＋b型：可利用正弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型：可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
(3)分式型：①分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；②判别式法．
跟踪训练3 (1)函数f(x)＝的值域为( )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－2]
(2)求y＝2sin (2x＋)(－≤x≤)的最大值和最小值．
(3)已知函数f(x)＝2cos2x－1＋4sinx，求f(x)的最大值．
题型4正弦函数有关的零点问题
例4函数f(x)＝sin x－lg x零点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
状元随笔 首先要在坐标系中画出两个函数y＝sin x和y＝lg x的图象，然后根据图象在定义域内交点的个数问题来研究函数f(x)＝sin x－lg x的零点问题．
方法归纳
图象法研究正弦函数的零点问题的求解策略
(1)单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数．
(2)两个函数图象问题：将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0 h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数．
跟踪训练4 方程sin x＝x的实数解的个数为( )
A．1 B．3
C．5 D．7
教材反思
(1)“几何法”和“五点法”画正弦函数图象的优缺点
①“几何法”就是利用单位圆中正弦线作出正弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为繁琐．
②“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
(2)正弦函数周期性的释疑
由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
(3)正弦函数的奇偶性
①正弦函数是奇函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称．
②正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
(4)正弦函数单调性的说明
①正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．
②求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
③确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
(5)正弦函数最值的释疑
①明确正弦函数的有界性，即|sin x|≤1.
②对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要根据函数定义域来决定．
易错点 忽略自变量的范围而出错
例 设|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值．
【错解】 f(x)＝cos2x＋sinx
＝1－sin2x＋sinx
＝＋.
令sin x＝t，则－1≤t≤1，
∴当sin x＝－1时取得最小值－1.
【正解】 f(x)＝cos2x＋sinx
＝1－sin2x＋sinx＝＋.
∵|x|≤，
∴－≤sin x≤，
∴当sin x＝－时取得最小值为.
【易错警示】
错误原因 纠错心得
忽略了自变量的范围． 要注意不要一见sin x就有－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定．
能 力 提 升 练
1.已知函数f(x)＝sin x·log2(＋x)(a>0)为偶函数，则a＝________．
2．已知关于x的方程cos2x－sinx＋2a＝0在(0，]内有解，那么实数a的取值范围为__________．
7．3.1 正弦函数的性质与图象
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．沿x轴平移±2π，±4π，…
2．(，1) (，－1)
知识点二
1．(1)非零常数T 每一个 f(x＋T)＝f(x)
(2)周期 所有周期中 最小的正数 最小的正数
2．2π [2kπ－，2kπ＋] [2kπ＋，2kπ＋] 2kπ＋(k∈Z) 2kπ－(k∈Z)
[基础自测]
1．解析：观察y＝sin x图象可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B.
答案：B
2．解析：由y＝sin x，x∈[0，2π]上的图象作关于x轴对称的图象，即可得到y＝－sin x，x∈[0，2π]上的图象，故选D.
答案：D
3．解析：y＝10sin x的最小正周期是2π，y＝10sin x∈[－10，10]，y＝x∈[－10，10]时，x∈[－10，10]，作出函数y＝10sin x和y＝x的图象如图，只要观察x∈[－10，10]的图象，由图象知它们有7个交点，故选C.
答案：C
4．解析：对于A，由正弦型函数的性质，可得f(x)的最小正周期为T＝＝2π，所以A正确；对于B，由f(－x)＝－sin x＋1≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，所以B错误；对于C，由f(π)＝sin π＋1＝1不是函数f(x)的最值，所以f(x)的图象不关于x＝π轴对称，所以C错误；对于D，由－1≤sin x≤1，可得0≤sin x＋1≤2，所以函数f(x)的值域为[0，2]，所以D正确．故选AD.
答案：AD
5．解析：取值列表：
描点连线，如图所示．
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 按五个关键点列表：
利用正弦函数的性质描点作图，如图，
由图象可以发现，把y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y＝－1＋sin x，x∈[0，2π]的图象．
跟踪训练1 解析：列表如下：
描点连线，可得函数图象如下：
例2 【解析】因为函数y＝sin x在(－，0)上单调递增，且－<－<－<0，所以a＝sin (－)【答案】B
跟踪训练2 解析：(2)因为y＝sin x在(0，)上单调递增，所以sin sin ，所以b答案：C
(2)
例3 【解析】(3)y＝1－2sin2x＋sinx，
令sin x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－2(t－)2＋.
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图象可知－2≤y≤，
即函数y＝1－2sin2x＋sinx的值域为[－2，].
【答案】 A
(2)(3)见解析
跟踪训练3 解析：(3)函数f(x)＝2cos2x－1＋4sinx
＝2(1－sin2x)－1＋4sinx
＝－2sin2x＋4sinx＋1
＝－2(sin x－1)2＋3，
当sin x＝1时，f(x)有最大值3.
答案：B
(2)(3)见解析
例4 【解析】 画出函数y＝sin x和y＝lg x的图象，其中x>0，如图，
由图可知，
当00，lg x<0，两函数图象没有交点；
当1≤x≤10时，两函数图象有3个交点；
当x>10时，lg x>1≥sin x，两函数图象没有交点．
综上，函数y＝sin x和y＝lg x的图象有3个交点，
所以函数f(x)＝sin x－lg x零点的个数为3.故选C.
【答案】 C
跟踪训练4 解析：方程sin x＝x的实数解的个数为函数y＝sin x与y＝x的图象的交点个数，
如图所示，
由图可知函数y＝sin x与y＝x的图象只有一个交点，
且此时x＝0，即方程sin x＝x的实数解为x＝0，
故方程sin x＝x的实数解的个数为1，故选A.
答案：A
能力提升练
1．解析：因为函数f(x)＝sin x·log2(＋x)(a>0)为偶函数，y＝sin x为奇函数，所以g(x)＝log2(＋x)(a>0)为奇函数，
由g(－x)＋g(x)＝0得log2(－x)＋log2(＋x)＝log2a＝0，所以a＝1.
答案：1
2．解析：因为关于x的方程cos2x－sinx＋2a＝0在(0，]内有解，
所以2a＝sin x－cos2x在(0，]内有解，
令f(x)＝sinx－cos2x，x∈(0，]，
f(x)＝sin2x＋sinx－1＝(sin x＋)2－，
因为x∈(0，]，所以0所以f(0)所以－1所以－1<2a≤1，得－即实数a的取值范围为(－].
答案：(－]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时作业(九) 正弦型函数的性质与图象
(分值：80分)
一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共21分)
1．把函数y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝( )
A．sin () B．sin ()
C．sin (2x－) D．sin (2x－)
解析：把函数y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，可得到函数y＝sin 2x的图象，再把所得图象向右平移个单位长度，可得到y＝sin 2(x－)＝sin (2x－)．故选C.
答案：C
2．函数y＝sin (2x＋)在区间[－π]上的简图是( )
解析：因为y＝f(x)＝sin (2x＋)，所以f(0)＝－所以排除B，D；由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－k∈Z，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋k∈Z，所以可知函数f(x)在[]上单调递增，在[0]上单调递减，所以排除A.故选C.
答案：C
3．若φ是三角形的一个内角，且函数y＝2sin (3x＋φ)在区间(－)上单调，则φ的取值范围为( )
A．[0] B．[]
C．[] D．[]
解析：当x∈(－)时，3x＋φ∈(－＋φ，＋φ)，由于φ是三角形的一个内角，所以0<φ<π，则－<－＋φ<<＋φ<由于函数y＝2sin (3x＋φ)在区间(－)上单调，所以解得≤φ≤即φ的取值范围为[].故选B.
答案：B
4．(多选)关于函数f(x)＝4sin (2x＋)(x∈R)有如下命题，其中正确的有( )
A．y＝f的表达式可改写为f(x)＝4cos (2x－)(x∈R)
B．y＝f是以2π为最小正周期的周期函数
C．y＝f的图象关于点对称
D．y＝f的图象关于直线x＝对称
解析：f(x)＝4sin ＝4cos []＝4cos (x∈R)，A正确；f的最小正周期T＝＝π，B错误；f＝4sin ＝0，则f(x)的图象关于点对称，C正确；f＝4sin ＝0，不是最值，D错误．
答案：AC
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．设函数f(x)＝sin (ωx＋)，若f(x)的图象关于点(0)对称，则ω的值可以是________．(写出一个满足条件的值即可)
解析：因为函数f(x)＝sin (ωx＋)，且f(x)的图象关于点(0)对称，
所以ω·＝kπ，k∈Z，
解得ω＝6k－2，k∈Z，
所以ω的值可以是…，－8，－2，4，10，….(写出一个即可)
答案：4(答案不唯一)
6．函数f(x)＝sin (2x＋)，x∈(－)的值域为________．
解析：因为x∈(－)，所以2x＋∈(－)，
则由正弦函数图象可知sin (2x＋)∈(－1]，
所以f(x)∈(－1].
答案：(－1]
7．已知函数f(x)＝2sin 若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)(x1，x2∈R)成立，则|x1－x2|的最小值为________.
解析：因为对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，
所以f(x1)是最小值，f(x2)是最大值，
所以|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，
因为f(x)＝2sin 的周期T＝8π，
所以|x1－x2|的最小值为4π.
答案：4π
三、解答题(共27分)
8．(10分)某同学用“五点法”画函数f(x)＝2sin (x－)的图象，先列表，并填写了一些数据，如表．
(1)请将表格填写完整，并画出函数f(x)在一个周期内的简图；
(2)写出如何由f(x)＝sin x的图象变换得到f(x)＝2sin 的图象，要求用箭头的形式写出变换的三个步骤．
解析：(1)f(x)＝2sin
当x－＝0时，可得x＝f＝0，
当x－＝时，可得x＝2π，f＝2，
当x－＝π 时，可得x＝f＝0，
当x－＝时，可得x＝5π，f＝－2，
当x－＝2π时，可得x＝f＝0，
表格如下：
画出图象，如图．
(2)第一步：
y＝sin x可得y＝sin ；
第二步：
y＝sin 可得y＝sin ；
第三步：
y＝sin y＝2sin .
9．(17分)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(|φ|<)的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称．
(1)求φ的值；
(2)设g(x)＝f(x)－2cos2x＋若g(x)在区间(0，m)上有且只有一个零点，求m的取值范围．
解析：(1)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(|φ|<)的图象上所有点向右平移个单位长度，
可得到函数y＝sin [2(x－)＋φ]＝sin (2x＋φ－)，
由题意可知，函数y＝sin (2x＋φ－)为奇函数，则φ－＝kπ(k∈Z)，
可得φ＝＋kπ(k∈Z)，又因为|φ|<则φ＝.
(2)由(1)可知，f(x)＝sin (2x＋)＝sin 2x＋cos 2x，
则g(x)＝f(x)－2cos2x＋＝sin2x＋cos 2x－(1＋cos 2x)＋＝sin 2x－
因为0由g(x)＝0，可得sin 2x＝
因为g(x)在区间(0，m)上有且只有一个零点，则<2m≤解得因此，实数m的取值范围是(].
[尖子生题库]
10．(17分)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象过点P，图象与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
解析：(1)∵图象的一个最高点坐标为
∴A＝5.
∵＝＝∴T＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝5sin (2x＋φ)．
代入点得sin ＝1，
∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．
令k＝0，则φ＝－
∴y＝5sin .
(2)∵函数的增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴增区间为[kπ－kπ＋](k∈Z)．
(3)∵5sin ≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)7．3.2 正弦型函数的性质与图象
【课程标准】 1.结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义.2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
教 材 要 点
知识点一 正弦型函数
1．形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数且A≠0，ω≠0)的函数，通常称为正弦型函数．
2．函数y＝A sin (ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝__________，频率f＝__________，初相为__________，值域为________，________也称为振幅，|A|的大小反映了y＝A sin (ωx＋φ)的波动幅度的大小．
【学霸笔记】 当φ为何值时，正弦型函数为奇函数？当φ为何值时，正弦型函数是偶函数？
[提示] 当φ＝kπ，k∈Z时，正弦型函数是奇函数；
当φ＝＋kπ，k∈Z时，正弦型函数是偶函数．
知识点二 A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
1.φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响：
2．ω对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响：
3．A对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响：
4．用“变换法”作图：
y＝sin x的图象向____(φ＞0)或向____(φ＜0),平移|φ|个单位长度y＝sin (x＋φ)的图象横坐标变为原来的倍,纵坐标不变y＝sin (ωx＋φ)的图象纵坐标变为原来的____倍,横坐标不变y＝A sin (ωx＋φ)的图象．
【学霸笔记】 由y ＝sin x的图象，通过怎样的变换可以得到y ＝A sin (ωx＋φ)的图象？
[提示] 变化途径有两条：
(1)y ＝sin x相位变换，y＝sin (x＋φ)周期变换，y＝sin (ωx＋φ)振幅变换，y＝A sin (ωx＋φ)．
(2)y＝sin x周期变换，y＝sin ωx相位变换，y＝sin (ωx＋φ)振幅变换，y＝A sin (ωx＋φ)．
知识点三 正弦型函数的性质
1．定义域与值域：定义域为________，值域为________．
2．周期：T＝.
3．奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下，
对于y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)．
当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是________函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是________函数；
当φ≠(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是________函数．
4．单调性：确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的思想是把ωx＋φ看作一个整体．
由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，可得单调________区间；
由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，可得单调________区间．
基 础 自 测
1．下列函数，最小正周期为2π的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝|sin | D．y＝|sin 2x|
2．要得到函数y＝2sin (x＋)的图象，只需将函数y＝2sin x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
3．已知函数y＝3sin (x＋)，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是________，________，________．
4．函数y＝3sin (2x＋φ)图象的一个对称中心为(，0)，图象的对称轴为________________．
5．函数f(x)＝sin (2x＋φ)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ可以为________．(写出一个符合题意的值即可)
题型1正弦型函数的图象与性质
例1(1)用五点法作函数y＝2sin (x－)＋3的图象，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．
状元随笔 先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图象，左、右扩展可得图象，然后根据图象求性质．
(2)已知函数f(x)＝1－sin (x＋)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝________．
状元随笔 求出函数的周期，然后根据周期的性质进行求解．
方法归纳
1．用五点法作y＝A sin (ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图象．
2．求三角函数周期的方法：
(1)定义法，即利用周期函数的定义求解；
(2)公式法，对形如y＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝；
(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可．
3．对于函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象：
(1)对称中心：由ωx＋φ＝kπ，k∈Z，得对称中心为(，0)，k∈Z，即函数值为0的点；
(2)对称轴：由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，得对称轴x＝，k∈Z，即函数取得最值时对应的与x轴垂直的直线．
注意：相邻两条对称轴之间的距离为，相邻的对称轴与对称中心的距离为，可以此求周期T．
跟踪训练1 (1)(多选)已知函数f(x)＝sin (2x＋)，则( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋)是偶函数
D．f(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)
(2)已知f(x)＝2sin ()．
①求函数f(x)的最小正周期和最大值，并求出x为何值时，f(x)取得最大值；
②求函数f(x)在上的单调递增区间；
③若x∈，求f(x)的值域．
题型2三角函数的图象变换
例2函数y＝2sin (2x＋)－2的图象是由函数y＝sin x的图象通过怎样的变换得到的？
状元随笔 由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动．
方法归纳
三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言．
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位长度．
跟踪训练2 (1)为了得到函数y＝sin ()，x∈R的图象，只需把函数y＝sin x，x∈R的图象上所有的点：
①向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
②向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
③向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；
④向右平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．
其中正确的是________．
(2)将函数y＝sin (2x＋)的图象平移后所得的图象对应的函数为y＝cos 2x，则进行的平移是( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
题型3求y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
例3如图所示的是函数y＝A sin (ωx＋φ)(|φ|<)的图象，确定其中一个函数解析式．
状元随笔 解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图象所过的点确定φ．
方法归纳
确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知
)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
跟踪训练3已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的部分函数图象如图所示，求此函数的解析式．
题型4函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性
【思考探究】 1.如何求函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴方程？
[提示] 与正弦曲线一样，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．
函数y＝A sin (ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin (ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
2．如何求函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称中心？
[提示] 与正弦曲线一样，函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．
函数y＝A sin (ωx＋φ)对称中心的求法：令sin (ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象关于点(，0)(k∈Z)成中心对称．
例4已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)．
(1)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
(2)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)关于x＝对称，求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．
方法归纳
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等考查．
2．有关函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质的运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．
跟踪训练4 (1)函数y＝sin (2x＋)的图象( )
A．关于直线x＝对称
B．关于直线x＝－对称
C．关于点(，0)对称
D．关于点(，0)对称
(2)已知函数f(x)＝sin 2x－a cos 2x(a>0)的一个对称中心为(，0)，则函数g(x)＝a sin 2x＋cos 2x的对称轴为( )
A．x＝，k∈Z
B．x＝－，k∈Z
C．x＝，k∈Z
D．x＝－，k∈Z
能 力 提 升 练
1.(多选)已知函数f(x)＝2sin (2x＋)，把f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则( )
A．g(x)是奇函数
B．g(x)的图象关于直线x＝－对称
C．g(x)在[0，]上单调递增
D．不等式g(x)≤0的解集为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z
2．某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并求出函数f(x)的解析式；
(2)先将y＝f(x)图象上的所有点，向左平移m(m>0)个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y＝g(x)的图象，若y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，求当m取得最小值时，函数y＝g(x)的单调递增区间．
教材反思
(1)φ对函数y＝sin (x＋φ)的图象的影响
函数y＝sin (x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
(2)ω(ω>0)对函数y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin (ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin (x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
(3)A(A>0)对函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把y＝sin (ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0(4)由y＝sin x变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
①先平移后伸缩
②先伸缩后平移
7．3.2 正弦型函数的性质与图象
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
2. φ [－|A|，|A|] |A|
知识点二
1．左 右
2．缩短 伸长
3．伸长 缩短
4．左 右 A
知识点三
1．R [－|A|，|A|]
3．奇 偶 非奇非偶
4．递增 递减
[基础自测]
1．解析：函数y＝sin 的最小正周期为T＝＝4π，故A不符合；函数y＝sin 2x，其最小正周期为T＝＝π，故B不符合；因为函数y＝sin 的最小正周期为T＝4π，所以函数y＝的最小正周期为2π，故C符合；因为函数y＝sin 2x的最小正周期为T＝＝π，所以函数y＝，故D不符合．故选C.
答案：C
2．解析：根据相位变换的左加右减有y＝2sin x向左移动个单位得到y＝2sin .
答案：A
3．解析：由函数y＝3sin 的解析式知，振幅为3，最小正周期为T＝＝10π，初相为.
答案：10π 3
4．解析：函数y＝3sin (2x＋φ)的图象对称中心为，
可知2×＋φ＝kπ，可得φ＝kπ－π(k∈Z)，
y＝3sin (k∈Z)，
令2x－π＝kπ＋，
得x＝(k∈Z)．
答案：x＝(k∈Z)
5．解析：因为函数f(x)＝sin (2x＋φ)图象的一条对称轴是直线x＝，
所以2×＋kπ(k∈Z)，
所以φ＝＋kπ(k∈Z)，
所以当k＝0时，φ可以为.
答案：(答案不唯一)
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)①列表：
②描点连线作出一周期的函数图象．
③把此图象左、右扩展，即得y＝2sin ＋3的图象如图所示．
由图象可知函数的定义域为R，值域为[1，5]，
周期为T＝＝2π，频率为f＝，初相为φ＝－，最大值为5，最小值为1.
令2kπ－≤2kπ＋(k∈Z)得原函数的增区间为[，2kπ＋](k∈Z)；
令2kπ＋≤2kπ＋(k∈Z)得原函数的减区间为[，2kπ＋](k∈Z)．
令x－＝kπ＋(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)易知函数f(x)＝1－sin 的最小正周期T＝＝6，
而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)
＝(1－1)＋＋＋[1－(－1)]＋＋＝6，
由周期性知，这样连续六项的和均为6，
而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)共有2 023项，2 023＝6×337＋1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝337×6＋f(1)＝2 022＋(1－1)＝2 022.
【答案】 (1)见解析 (2)2 022
跟踪训练1 解析：(1)对于A，由三角函数的性质，可得f(x)的最小正周期为T＝＝π，所以A正确；
对于B，当x＝时，可得f＝sin ＝≠±1，
所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，所以B错误；
对于C，由f＝sin [＋]＝sin ，
此时函数f为非奇非偶函数，所以C错误；
对于D，令＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数的单调递减区间为[，kπ＋]，k∈Z，所以D正确．故选AD.
(2)①T＝＝4π，当＋2kπ(k∈Z)，
即x＝＋4kπ，k∈Z时，f(x)的最大值为2.
②令－＋2kπ≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
设A＝[－2π，2π]，B＝[＋4kπ，]，k∈Z，
所以A∩B＝，即函数f(x)在[－2π，2π]上的单调递增区间为.
③由x∈[0，2π]得∈，
根据正弦函数图象可知sin ∈，
所以f(x)∈.
答案：(1)AD (2)见解析
例2 【解析】 方法一
y＝sin x
y＝sin 2x
y＝sin
y＝2sin
y＝2sin －2.
方法二 y＝sin x
y＝sin
y＝sin
y＝2sin
y＝2sin －2.
跟踪训练2 解析：(1)y＝sin xy＝sin
y＝sin .故③正确．
(2)对于A，y＝sin 向左平移个单位，
可得到y＝sin [＋]＝sin ＝cos 2x，符合；
对于B，y＝sin 向右平移个单位，
可得到y＝sin [＋]＝sin 2x≠cos 2x，不符合；
对于C，y＝sin 向右平移个单位，
可得到y＝sin [＋]＝sin ≠cos 2x，不符合；
对于D，y＝sin 向左平移个单位，
可得到y＝sin [＋]＝sin ≠cos 2x，不符合．故选A.
答案：(1)③ (2)A
例3 【解析】 由图象，知A＝3，T＝－＝π，
∴ω＝＝2，
又图象过点，则sin ＝0，
解得φ＝，∴y＝3sin .
跟踪训练3 解析：由图象可知A＝2，
＝1，
∴T＝2，
∴T＝＝2，∴ω＝π，
∴y＝2sin (πx＋φ)，
代入得2sin ＝2，
∴sin ＝1，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∵，∴φ＝，∴y＝2sin .
例4 【解析】 (1)∵f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋(k∈Z)，
又φ∈(0，π)，∴φ＝.
(2)∵f(x)＝sin (2x＋φ)关于x＝对称，
∴f(0)＝f，即sin φ＝sin ＝cos φ，
∴tan φ＝1，φ＝kπ＋(k∈Z)．
又φ∈(0，π)，∴φ＝，
∴f(x)＝sin .
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，
由2x＋＝kπ，得x＝(k∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程为x＝(k∈Z)，
对称中心为(k∈Z)．
跟踪训练4 解析：(1)f＝sin ＝sin ≠±1，所以函数不关于直线x＝对称，故A错误；
f＝sin [＋]＝sin ＝－1，所以函数关于直线x＝－对称，故B正确；
f＝sin ＝sin ＝1≠0，所以函数不关于点对称，故C错误；
f＝sin ＝sin ≠0，所以函数不关于点对称，故D错误．故选B.
(2)因为f(x)＝sin 2x－a cos 2x＝sin (2x＋φ)，其中tan φ＝－a，
因为函数的对称中心为，
令2x＋φ＝kπ，k∈Z，
代入x＝，得φ＝－＋kπ，k∈Z，
所以tan φ＝tan ＝－，k∈Z，
所以a＝，则g(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，
令2x＋＋kπ，k∈Z，
解得x＝，k∈Z，即函数g(x)＝a sin 2x＋cos 2x的对称轴方程为x＝，k∈Z.故选A.
答案：(1)B (2)A
能力提升练
1．解析：A选项，g(x)＝2sin ＝2sin (2x＋π)＝－2sin 2x，由于g(x)的定义域为R，且g(－x)＝－2sin (－2x)＝2sin 2x＝－g(x)，故g(x)为奇函数，故A正确；B选项，＝－2sin ＝2，故g(x)的图象关于直线x＝－对称，故B正确；C选项，x∈时，2x∈[0，π]，其中y＝－sin 2x在2x∈[0，π]上不单调，故g(x)＝－2sin 2x在x∈上不单调，故C错误；D选项，g(x)≤0，则sin 2x≥0，则2x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，故x∈，k∈Z，故D错误．故选AB.
答案：AB
2．解析：(1)根据表中已知数据，得A＝2，T＝4×()＝π，可得ω＝2，
当x＝时，2×＋φ＝π，解得φ＝－，
所以f(x)＝2sin (2x－)．
数据补全如下表．
x
ωx＋φ 0 π 2π
A sin (ωx＋φ) 0 2 0 －2 0
(2)将f(x)图象上所有的点向左平移m(m>0)个单位长度，
得到y＝2sin (2x＋2m－)的图象，
再把所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y＝g(x)的图象，
所以g(x)＝2sin (4x＋2m－)，
因为y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，
所以4×＋2m－＝kπ＋，k∈Z，
解得m＝，k∈Z，
因为m>0，所以mmin＝，
此时g(x)＝2sin (4x＋)，
由2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
可得≤x≤，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[]，k∈Z.
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