江苏省宿迁市2015-2016学年高二下学期期末考试数学（理）试题（WORD版）

宿迁市2015-2016学年高二下学期期末考试
数学（理科）
（考试时间120分钟，试卷满分160分)
参考公式：
，其中，，．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
0
1
（第1题）
1．若随机变量的概率分布列如右表所示，则实数的值为
▲
．
2．已知，则的值为
▲
．
3．在复平面内，复数满足（是虚数单位），则复数对应的点的轨迹方程为
▲
．
4．在极坐标系中，为极点，已知，，则三角形的面积为
▲
．
5．已知向量，，且，则的值为
▲
．
6．已知随机变量服从二项分布，则的值为
▲
．
7．在的展开式中，常数项为
▲
．
8．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为
▲
．
9．已知可逆矩阵的逆矩阵为，其中,为实数，则的值
为
▲
．
10．已知，则正整数的值为
▲
．
11．已知平行六面体的所有棱长都为，且，则对角线的长为
▲
．
12．某实验室有10只试验白鼠，其中有3
( http: / / www.21cnjy.com )只感染了某种病毒，另外7只为健康鼠，现随机逐个进行医学检查，直到3只病鼠完全被查出为止，那么最后一只病鼠恰好在第5次检查时被发现的不同情形有
▲
种（用数字作答）．
13．观察下列等式：
…
以上等式右边中，1出现1次，2出现1次，3出现2次，4出现3次，…，则2016出现的次数为
▲
．
14．求的和，可以通过下列方法求解：
构造等式：，
对等式两边求导，得，
在上式中，令，得．
类比上述计算方法，求得的和为，若，则的最小值为
▲
．
二、解答题：本大题共6小题，15-17题每
( http: / / www.21cnjy.com )小题14分，18-20题每小题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在复平面内，已知复数对应的点位于第四象限，且．
（1）求复数；
（2）求的值．
16．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位建立极坐标系，经过极点的圆的圆心为．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）设直线与圆交于，两点，求弦的长．
17．已知，若矩阵所对应的变换把直线变换为自身．
（1）求实数的值；
（2）若向量，计算．
18．甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．如果比赛采用“五局三胜”（即有一方先胜三局即获胜，比赛结束）规则，设比赛场次为随机变量．
（1）求乙胜的概率；
（2）求随机变量的概率分布列及数学期望；
（3）求随机变量的方差．
19．如图，在正四棱柱中，，．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）若，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若二面角的大小为，求的值．
（3）求证：线段上不存在点P，使得直线与平面所成角为．
20．设，其中．
（1）求展开式中的二项式系数最大的项；
（2）设，若，求的值；
（3）若，
设，求证：当时，．
宿迁市2015~2016学年度第二学期高二年级期末调研测试
理科数学参考答案及评分标准
一、填空题：
1．
2．
3．
4．3
5．
6．
7．240
8．
9．
10．9
11．
12．1512
13．1344
14．44
二、解答题：
15．（1）设，，则
……………………2分
因为，
所以，
即
，
……………………4分
所以，因为
，
……………………6分
所以，即．
……………………8分
（2）因为，
……………………10分
所以，
……………………12分
所以．
……………………14分
16．（1）如图，设是圆C上任意一点，…2分
因为圆经过极点，
所以
.
………………………………4分
即．
………………………………………6分
（2）因为直线的参数方程为（为参数）
所以直线的直角坐标方程为：
，……………………8分
由（1）得圆极坐标方程
化为直角坐标方程为：，
……………………10分
所以圆心到直线距离，
……………………12分
所以弦的长．
……………………14分
17．（1）设直线上任意一点在矩阵所对应的变换作用下得到
所以，得到，
……………………2分
又因为，即：，………………………4分
又因为，
所以，即
…………………………………6分
（2）矩阵的特征多项式为
==0，
解得M的特征值为，
……………………8分
若特征值，则特征向量是，
……………………………10分
若特征值，则特征向量是，
…………………………12分
所以=，
=
．
…………………………………14分
18．（1）记“乙获胜”为事件A，
则+，
即．
所以，乙获胜的概率．
…………………………………4分
（2）由题意可知，随机变量可以取：3、4、5．
所以，
，
，…………10分
3
4
5
所以分布列为：
所以随机变量的数学期望：
，
所以随机变量的数学期望．
……………………………12分
（3）随机变量的方差
：
，
=
．
随机变量的方差为．
…………………………………16分
19．（1）当时，，，，，
则，，
…………………………………2分
故．
因为异面直线所成角只能是锐角或直角，
所以异面直线与所成角的余弦值为．……………………4分
（2）由得，，，
设平面的法向量，
则由得，
不妨取，则，
此时，
………………………7分
又平面的法向量，
故，
解得，由图形得二面角大于，所以符合题意．
所以二面角的大小为，的值为．……………10分
（3）假设存在点P，使直线与平面所成角为，则可设，
所以点,，
…………………………12分
由（2）可知平面的法向量，
又因为直线与平面所成角为，
所以
，
即，
……………………14分
化简得，
即，
因为，所以
，而对于任意，
所以不成立，
所以假设不成立．
因此不存在点P，使直线与平面所成角为．
……………………16分
20．（1）因为，
则展开式中二项式系数最大的项是第3项，
为.
……………………………………………………2分
（2）
因为，所以
，
……………………4分
故有.
……………………6分
（2）因为，
令，得=1，
再令，得，
即，
所以．
……………………8分
又因为
，所以,
要证明,
只要证明,
即证明．
……………………10分
下面用数学归纳法证明：
①由上述过程可知，当时，结论成立．
……………………11分
②假设当时结论成立，即，
两边同乘以，得
………………………………12分
而
，
所以，
即时结论也成立．
……………………15分
由①②可知，当时，成立．
综上所述，当时，．
……………………16分
P
(O)
（第19题）
A