11.1 不等式（第1课时）
1．了解不等式的概念，理解不等式的解、不等式的解集和解不等式的含义，会在数轴上表示不等式的解集．
2．会用不等式表示简单的不等关系，经历由具体实例建立不等式模型的过程，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型．
3．经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程，体会类比和数形结合的思想．
正确理解不等式及其相关概念的含义．
能准确运用不等式表示不等关系，会在数轴上表示不等式的解集．
新课导入
观察下图，圆和三角形的数量之间存在着怎样的关系？
【师生活动】学生独立观察、思考后回答：圆有9个，三角形有7个．圆的数量大于三角形的数量，即9＞7．
教师引出本节课所学内容：数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系，现实世界和日常生活中存在大量涉及不等关系的问题．我们常用等式（包括方程）研究相等关系，那么研究不等关系需要用什么？
【设计意图】用简单的比较数量的题目，引出本节课学习的“不等式及其解集”，激发学生的学习兴趣．
新知探究
一、探究学习
【问题】一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6：00时汽车距前方的A地210 km，汽车要在8：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
【思考】汽车在8：00之前驶过A地的意思是什么？
【师生活动】学生小组讨论，对实际问题进行分析，完成作答，教师总结．
从时间上看，汽车行驶210 km（驶过A地）所用时间，必须在6：00～8：00这2 h之内，即所用的时间不到2 h．
从路程上看，汽车在6：00～8：00这2 h之内行驶的路程必须超过210 km．
【追问】设车速是x km/h，如何用式子表示上面的两个不等关系？
【师生活动】教师提示：时间＝，路程＝时间×速度．学生根据提示思考作答．
【答案】解：从时间上看，汽车要在8：00之前驶过A地，就是以x km/h的速度行驶210 km的时间小于2 h，即＜2．
从路程上看，汽车要在8：00之前驶过A地，就是以x km/h的速度行驶2 h的路程要超过210 km，即2x＞210．
【思考】观察下列式子：
9＞7，＜2，2x＞210．
它们有什么共同特点？
【师生活动】学生自由发言，教师总结．
【新知】用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式．
【追问】像a＋2≠a－2这样的式子是不等式吗？
【新知】用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
注意：（1）“＜”是小于号，读作“小于”；“＞”是大于号，读作“大于”；“≠”是不等于号，读作“不等于”，表示“大于或小于”．这3个符号统称不等号．
（2）不等式中可以不含未知数，如“5＞3”．
【设计意图】通过一个具体的行程问题，引导学生从时间和路程两个不同的角度思考问题，学会从实际问题抽象出不等式模型，初步理解不等式的概念．
【练习】有下列式子：
①－1＞－2；②3x＜－1；③x－3；④s＝vt；⑤3x－4＜2y；⑥a2＋2＞0；⑦a2＋b2≠c．
其中是不等式的有____________．（填序号）
【师生活动】学生独立思考作答，教师给出答案．
【解析】③不是等式，也不是不等式；④用等号连接，是等式，不是不等式；①②⑤⑥⑦都是用不等号表示不等关系的式子，都是不等式．
【答案】①②⑤⑥⑦
【归纳】判断一个式子是不是不等式，要把握两点：（1）是否含有不等号；（2）是否表示不等关系．注意，一个式子是不是不等式与不等式是否成立无关．
【设计意图】通过练习，加深学生对不等式的概念的理解．
【问题】对于不等式2x＞210而言，x可以取90吗？110呢？
【师生活动】教师引导学生先求出x取90时2x的值，再与210进行比较．学生独立思考完成作答．
【答案】解：当x＝90时，2x＝180，不等式2x＞210不成立；
当x＝110时，2x＝220，不等式2x＞210成立．
【追问】类比方程的解，你能说出什么叫作不等式的解吗？
【师生活动】教师给出方程的解的定义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．学生类比方程的解归纳出不等式的解的定义．
【新知】与方程的解类似，使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解．
例如110是不等式2x＞210的解，而90不是不等式2x＞210的解．
【设计意图】结合具体例子，类比方程的解给出不等式的解的概念，让学生初步理解不等式的解的概念．
【思考】再取x的一些值试一试，看一看哪些是不等式2x＞210的解．观察不等式
2x＞210的解，它们都满足什么条件？
【师生活动】教师给出表格，学生动手计算完成表格．
x … 90 95 100 105 110 …
2x … 180 190 200 210 220 …
教师引导学生观察表格，可以发现，当x＞105时，不等式2x＞210总成立；而当x＜105或x＝105时，不等式2x＞210不成立．
这就是说，任何一个大于105的数都是不等式2x＞210的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于105的数都不是不等式2x＞210的解．
因此，x＞105表示了能使不等式2x＞210成立的x的取值范围．
我们称x＞105是不等式2x＞210的解集．
由上可知，在前面的问题中，汽车要在8：00之前驶过A地，车速应大于105 km/h．
【新知】一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫作解不等式．
注意：（1）当不等式的解集只有一个解时，不等式的解集就是它的解；
（2）一个不等式一般有无数个解，但这并不意味着任何一个实数都是它的解．
【设计意图】结合具体例子，让学生利用表格比较发现不等式的解满足的条件，得出不等式的解集的概念，使学生认识到不等式的解集的概念是不等式的解的概念的发展，不等式的解集包括了不等式的全体解．
【思考】除了用不等式x＞105表示不等式2x＞210的解集，还有其他表示方法吗？
【师生活动】学生小组讨论得到答案：用数轴表示．
教师追问：回顾数轴的相关知识，并思考：如何在数轴上表示x＞105？
学生自由发言，教师总结：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以在数轴上表示不等式的解集时应牢记“大于向右画，小于向左画”．
注意：在表示105的点上画空心圆圈，表示解集不包含这个点所对应的数．
【设计意图】让学生知道不等式的解集的表示方法主要有两种：一种是用不等式表示，另一种是用数轴表示，体会数形结合的思想．
二、典例分析
【例1】用不等式表示下列不等关系：
（1）a的一半与3的和大于5；（2）x的3倍与1的差小于2；
（3）a的一半与1的差是正数；（4）m与2的差是负数．
【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表板演，教师讲评．
【分析】这是一道用不等式表示数量关系的题目，关键是抓住表示不等关系的词语．
【答案】解：（1）＋3＞5．（2）3x－1＜2．（3）－1＞0．（4）m－2＜0．
【归纳】解决此类问题要把握两点：一是要用式子表示其中的相关量，二是要把其中表示不等关系的关键词找出来，并用不等号表示出不等关系．
【设计意图】借助例1，巩固学生对不等式的概念的理解．
【例2】在3，0，2，π，－2中，是不等式3x－1＞2的解的有________个．
【师生活动】学生独立思考完成，教师讲评．
【答案】3
【解析】把x＝3代入不等式3x－1＞2的左边，得3x－1＝8＞2，所以不等式成立，故x＝3是不等式3x－1＞2的解．同理可知，x＝2，x＝π也是不等式3x－1＞2的解．
把x＝0代入不等式3x－1＞2的左边，得3x－1＝－1＜2，所以不等式不成立，故x＝0不是不等式3x－1＞2的解．同理可知，x＝－2也不是不等式3x－1＞2的解．
【归纳】判断一个数是不是不等式的解的基本方法：
判断一个数是不是不等式的解，只需用这个数代替不等式中的未知数，看能否使不等式成立．若不等式成立，则该数是不等式的解；若不等式不成立，则该数不是不等式的解．
【设计意图】借助例2，巩固学生对不等式的解的理解．
【例3】直接写出不等式2x＜6的解集，并在数轴上表示出来．
【师生活动】学生独立完成，一名学生代表板演，教师讲评．
【答案】解：不等式2x＜6的解集为x＜3，原不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
【设计意图】借助例3，巩固学生对不等式的解集的理解，让学生掌握用数轴表示不等式的解集的方法．
课堂小结
课后任务
完成教材第123页练习第1～3题．11.1 不等式（第2课时）
1．类比等式的性质，探索并理解不等式的性质，知道等式的性质与不等式的性质的区别．
2．在类比等式性质、观察具体数值、探索归纳不等式的性质的过程中，感受运算中的不变性、规律性，发展符号表达能力，体会类比思想．
探索不等式的性质．
不等式性质3的探索及理解．
知识回顾
对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例如不等式x＋4＞10的解集是
x＞6，不等式2x＜6的解集是x＜3．但是对于比较复杂的不等式，例如，直接得出它的解集就比较困难，因此，还要讨论怎样解不等式.与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质．
等式有哪些基本性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？
【师生活动】学生独立思考后回答，师生共同整理成表格．
项目 文字语言 符号语言
性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果a＝b，那么a±c＝b±c
性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果a＝b，那么ac＝bc． 如果a＝b，c≠0，那么＝
【设计意图】复习学过的等式的性质，巩固基础，建立新旧知识之间的联系，引出本节课学习的“不等式的性质”．
新知探究
一、探究学习
【问题】类比等式的性质1，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），大小关系会发生变化吗？
用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，你能发现其中的规律吗？
（1）5＞3，5＋2_____3＋2，5＋0_____3＋0，5＋（－2）_____3＋（－2）；
（2）－1＜3，－1＋4_____3＋4，－1＋0_____3＋0，－1＋（－7）_____3＋（－7）．
【师生活动】学生完成填空，教师引导学生类比等式性质1，观察加减法运算中不等号的方向是否改变．学生小组讨论，叙述发现的规律，获得猜想1．
【答案】（1）＞ ＞ ＞ （2）＜ ＜ ＜
猜想1：当不等式两边加（或减）同一个数（或式子）时，不等号的方向不变．
【追问】你能换一些其他的数，验证你的猜想吗？
【师生活动】让学生各自列举不等式，选取一些数和式子，加以演算，对猜想1进行验证．教师从中选取典型例子进行展示，例如－4＞－6，－4＋3＞－6＋3，－4－4＞－6－4，－4＋(4＋1)＞－6＋(4＋1)．
师生共同讨论、确认猜想1的正确性，从而获得一般性的结论．
【新知】不等式的性质1：
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
【设计意图】研究运算中的不变性，让学生通过比较具体数字加（或减）同一个数（或式子）之后的大小，观察不等号的变化，发现并归纳其中的规律，从而提出猜想1．通过举例验证，确认猜想1，从而获得不等式的性质1．
【思考】你能用符号语言表示不等式的性质1吗？
【师生活动】学生自由发言，教师总结．
【新知】符号语言：
如果a＞b，那么a±c＞b±c；
如果a＜b，那么a±c＜b±c．
【设计意图】用符号语言表示不等式的性质，让学生体会用字母表示数的优越性，发展学生文字语言与符号语言相互转化的能力．
【练习】结合动图，巩固不等式的性质1．
【设计意图】加深学生对不等式的性质1的理解．
【问题】类比等式的性质2，不等式两边乘（或除以）同一个不为0的数，大小关系会发生变化吗？
用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，你能发现其中的规律吗
（1）6＞2，6×5____2×5，6×(－5)____2×(－5)；
（2）－2＜3，－2×4____3×4，－2×(－0.5)____3×(－0.5)；
（3）12＞8，12÷2____8÷2，12÷(－4)____8÷(－4)；
（4）－6＜－4，－6÷2____－4÷2，－6÷(－2)____－4÷(－2)．
【师生活动】学生完成填空，教师引导学生类比等式性质2，观察乘除法运算中不等号的方向是否改变．学生小组讨论，叙述发现的规律，获得猜想2，3．
【答案】（1）＞ ＜ （2）＜ ＞ （3）＞ ＜ （4）＜ ＞
猜想2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
猜想3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【追问】你能换一些其他的数，验证你的猜想吗？
【师生活动】让学生各自列举不等式，选取一些数和式子，加以演算，对猜想2，3进行验证．教师从中选取典型例子进行展示，例如3＞－9，3×3＞－9×3，3÷3＞－9÷3，3×(－3)＜－9×(－3)，3÷(－3)＜－9÷(－3)．
师生共同讨论、确认猜想2，3的正确性，从而获得一般性的结论．
【新知】不等式的性质2：
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
符号语言：
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．
【新知】不等式的性质3：
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
符号语言：
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc；
如果a＜b，c＜0，那么ac＞bc．
【设计意图】让学生自主探索不等式的性质2，3，类比等式的性质2和不等式性质1的研究过程，经历猜测、验证、纠错、归纳、完善的思考过程，提高分析问题、解决问题的能力，体会类比思想．
【练习】结合动图，巩固不等式的性质2．
【设计意图】加深学生对不等式的性质2的理解．
【思考】等式的性质与不等式的性质的主要区别是什么？
【师生活动】学生自由发言，教师补充，归纳为表格的形式．
项目 等式的性质 不等式的性质
两边加（或减）同一个数（或式子） 相等关系不变 不等关系不变
两边乘（或除以）同一个正数 相等关系不变 不等关系不变
两边乘（或除以）同一个负数 相等关系不变 不等关系改变
【设计意图】引导学生再次将等式的性质与不等式的性质进行对比，帮助学生更好地掌握不等式的性质．
二、典例分析
【例1】填空：
（1）已知a＜b，则a－3_____b－3，依据：_______________；
（2）已知a＞b，则2a_____a＋b，依据：_______________．
【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表回答，教师讲评．
【答案】（1）＜ 不等式的性质1 （2）＞ 不等式的性质1
【解析】（1）已知a＜b，根据不等式的性质1，不等式两边减3，不等号的方向不变，得到a－3＜b－3；
（2）已知a＞b，根据不等式的性质1，不等式两边加a，不等号的方向不变，得到2a＞a＋b．
【例2】用“＞”或“＜”填空：
（1）若x＞y，则2x_____2y；
（2）若－2a＞4，则a_____－2．
【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表回答，教师讲评．
【答案】（1）＞ （2）＜
【解析】（1）将不等式x＞y的两边乘2，根据不等式的性质2可知，不等号的方向不变；
（2）将不等式－2a＞4的两边除以－2，根据不等式的性质3可知，不等号的方向改变．
【归纳】不等式的两边乘（或除以）同一个不为0的数（或式子）时，先对这个数（或式子）的性质（正负性）进行判断，再运用不等式的性质2或性质3判断是否需要改变不等号的方向．
【例3】若x＞y，则下列式子不一定成立的是（ ）．
A．3－y＞3－x B．x－3＞y－3
C．(c－1)2x＞(c－1)2y D．－＜－
【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表回答，教师讲评．
【答案】C
【解析】选项A：不等式x＞y的两边都乘－1，再都加3，不等号方向改变，故选项A正确；
选项B：不等式x＞y的两边都减3，不等号方向不改变，故选项B正确；
选项C：当c－1＝0，即c＝1时，该不等式不成立，故选项C错误；
选项D：不等式x＞y的两边都除以－3，不等号方向改变，故选项D正确．
【归纳】不等式性质中的“陷阱”：
解答与不等式有关的问题时，应密切关注“0”是否存在，以防掉进“0”的陷阱．如本例C选项，不等式x＞y两边同乘的(c－1)2可能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0＝0．
【设计意图】借助例1、例2、例3，巩固学生对不等式的性质的理解．
课堂小结
课后任务
完成教材第125页练习．11.1 不等式（第3课时）
1．能用不等式的性质对不等式进行变形，会用不等式的性质解决简单的实际问题．
2．进一步了解不等式的概念，知道含“≤”“≥”的不等式，并会在数轴上表示不等式的解集．
3．经历在数轴上表示不等式的解集的过程，发展文字语言、符号语言与图形语言之间的转化能力；通过不等式的性质对不等式进行变形，体会类比和化归的思想．
会用不等式的性质解简单不等式．
会用不等式解决简单的实际问题．
知识回顾
不等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？
【师生活动】学生独立思考作答．
【答案】不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
符号语言：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
符号语言：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc．
不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
符号语言：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．
【设计意图】复习不等式的性质，巩固基础，建立新旧知识之间的联系，为本节课学习“不等式的性质的应用”做准备．
新知探究
一、探究学习
【问题】利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）x－7＞26； （2）3x＜2x＋1；
（3）x＞50； （4）－4x＞3．
【师生活动】教师提示：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞m或x＜m（m为常数）的形式．
学生根据提示，小组讨论，完成第（1）题，教师讲评后独立完成（2）（3）（4）题．
【答案】解：（1）根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，
所以x－7＋7＞26＋7，x＞33．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
（2）根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，
所以3x－2x＜2x＋1－2x，x＜1．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
（3）根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变，
所以×x＞×50，x＞75．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
（4）根据不等式的性质3，不等式两边除以－4，不等号的方向改变，
所以＜，x＜．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
【归纳】利用不等式的性质1可简化为“移项”；利用不等式的性质2或性质3就是把未知数的系数化为1，要注意不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．
【设计意图】通过具体的例子，让学生巩固不等式的性质，学会利用不等式的性质对不等式进行变形，能解简单的不等式．
【问题】（1）一辆轿车在一条规定车速不低于60 km/h，且不高于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的关系呢？
（2）铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160 cm．设行李的长、宽、高分别为a cm，b cm，c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式．
【师生活动】学生小组讨论，完成作答，教师根据作答情况进行补充指导．
【答案】（1）根据路程与速度、时间之间的关系可得：s≥60x，且s≤100x．
（2）根据题意可得：a＋b＋c≤160，且a＋b＋c＞0．
【思考】观察式子：s≥60x，s≤100x，a＋b＋c≤160．它们有什么共同特点？
【师生活动】学生自由发言，教师补充总结．
【新知】像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式．
符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”．
【思考】符号“≥”与“＞”的含义有什么区别？“≤”与“＜”呢？
【师生活动】学生小组讨论，得出答案，师生一起总结．
【归纳】x≥a表示x＞a或者x＝a；x≤a表示x＜a或者x＝a．“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”多了一层“等于”的含义．
此外，a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质．
如果a≥b，那么
（1）a＋c≥b＋c，a－c≥b－c；
（2）ac≥bc（c＞0）；
（3）ac≤bc（c＜0）．
【设计意图】通过两个具体的实际问题，引导学生从实际问题抽象出不等式模型，初步了解含“≤”“≥”的不等式．
【问题】如何在数轴上表示x＜－1与x≥3？
【师生活动】教师提示：在数轴上表示不等式的解集时，无等号的画空心圆圈，有等号的画实心圆点．
学生根据提示，小组讨论作答．
【答案】如图所示．
【归纳】在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定“方向”．
（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点；若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈．
（2）确定“方向”：对表示数m的边界点而言，x＞m或x≥m向右画，x＜m或x≤m向左画．
【设计意图】通过两个具体的问题，引导学生总结在数轴上表示不等式的解集的方法．
【问题】如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5 dm，高7 dm．若鱼缸内已有水的高度为1 dm，现准备向鱼缸内继续注水．用V（单位：dm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示．
【师生活动】学生小组讨论，尝试总结，教师进行讲解总结．
【答案】解：因为“已有水的体积＋新注入水的体积V≤鱼缸的容积”，所以
10×3.5×1＋V≤10×3.5×7，
解得V≤210．
又由于新注入水的体积V不能是负数，所以V的取值范围是0≤V≤210．
在数轴上表示V的取值范围如图所示．
【设计意图】通过解决一个具体的问题，帮助学生学会用不等式解决简单的实际问题．
二、典例分析
【例1】用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）x＋5≥12；
（2）－3x≤1－4x．
【师生活动】学生独立完成，请两名学生代表板演，教师讲评．
【答案】解：（1）根据不等式的性质1，不等式两边减5，不等号的方向不变，
所以x＋5－5≥12－5，x≥7．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
（2）根据不等式的性质1，不等式两边加4x，不等号的方向不变，
所以－3x＋4x≤1－4x＋4x，x≤1．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
【归纳】（1）在运用不等式的性质将不等式变形时，首先要注意每一步变形的依据，然后由不等式的性质判断不等号的方向是否改变；
（2）在数轴上表示不等式的解集，定边界点时，要注意是实心圆点还是空心圆圈．
【设计意图】借助例1，巩固学生对利用不等式的性质解不等式的掌握．
【例2】某品牌服装2022年1月份的售价是每件a元，3月份的售价上涨10％，6月份又比3月份下降10％．
（1）用含有a的式子分别表示该品牌服装3月份和6月份的售价；
（2）几月份去购买该品牌服装最便宜？为什么？
【师生活动】学生独立思考完成，教师讲评．
【答案】解：（1）该品牌服装3月份的售价为每件(1＋10％)a＝1.1a（元），
6月份的售价为每件(1－10％)×1.1a＝0.99a（元）；
（2）6月份去购买该品牌服装最便宜．
因为0.99＜1＜1.1，且a＞0，所以0.99a＜a＜1.1a．
所以6月份去购买该品牌服装最便宜．
【设计意图】借助例2，巩固学生对用不等式解决简单的实际问题的掌握．
课堂小结
课后任务
完成教材第128页练习第1～3题．
