11.3 一元一次不等式组（第1课时）
1．了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，会结合数轴找出各个不等式的解集的公共部分．
2．经历解出不等式组中的每个不等式，利用数轴得到不等式组的解集的过程，掌握不等式组的解法，体会数形结合思想．
理解一元一次不等式组的解集的意义；掌握一元一次不等式组的解法．
一元一次不等式组解集的理解；借助数轴找各个不等式解集的公共部分．
新课导入
某工程队用每小时可抽30 t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过1 200 t而不足1 500 t，求将污水抽完所用时间的范围．
【师生活动】教师引导学生分析题意，得到两个必须同时满足的条件：抽出的污水要超过1 200 t且不足1 500 t．
学生独立思考，设未知数列式表达这两个不等关系．
【答案】解：设用x h将污水抽完，则x同时满足不等式：
30x＞1 200，30x＜1 500．
【设计意图】从抽取污水的问题说起，列出两个不等式，引出本节课学习的“一元一次不等式组”，激发学生的学习兴趣．
新知探究
一、探究学习
【新知】把x＋y＝10，x－y＝6这两个方程合在一起，写成就组成了一个方程组．类似方程组，把30x＞1 200，30x＜1 500这两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，记作
实际上，两个或更多的一元一次不等式合起来，都可以组成一个一元一次不等式组．
【设计意图】类比方程组得出一元一次不等式组的概念，借助对已学知识的认识学习新知识，让学生感受到研究本节课题是一个自然的研究过程．
【问题】怎样确定不等式组中x的取值范围呢？
【师生活动】学生自由发言，教师提示：类比方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中x的取值范围．
学生根据提示，独立解不等式30x＞1 200，30x＜1 500，并把它们的解集在数轴上表示出来．
解：
由不等式①，解得x＞40．
由不等式②，解得x＜50．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
教师追问：观察数轴，你能找出这两个不等式的解集的公共部分吗？
学生小组讨论，得到答案：不等式组中x的取值范围是40＜x＜50．
这就是说，将污水抽完所用时间多于40 h而少于50 h．
【新知】一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是求它的解集．
“公共部分”是指解集中同时满足不等式组中每一个不等式的那部分解集．
如果不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解．
【设计意图】类比方程组得出一元一次不等式组的解集的概念，结合数轴探究一元一次不等式组的解集，让学生初步感受求不等式组的解集的方法，体会数形结合思想．
【问题】利用数轴确定下列不等式组的解集：
（1） （2） （3） （4）
【师生活动】学生独立完成，请4名学生代表板演，教师讲评、总结．
【答案】解：（1）
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
由图可知，不等式组的解集是x＞2．
（2）
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
由图可知，不等式组的解集是x≤－3．
（3）
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
由图可知，不等式组的解集是－1＜x≤3．
（4）
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
由图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，所以不等式组无解．
【归纳】一元一次不等式组的解集的四种情况：
设a＞b，则
（1）关于x的不等式组的解集是x＞a．
不等式组的解集在数轴上的表示（阴影部分）如图所示．
（2）关于x的不等式组的解集是x＜b．
不等式组的解集在数轴上的表示（阴影部分）如图所示．
（3）关于x的不等式组的解集是b＜x＜a．
不等式组的解集在数轴上的表示（阴影部分）如图所示．
（4）关于x的不等式组无解．
不等式组的解集在数轴上的表示（阴影部分）如图所示．
以上四种情况可简记为：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找．
【设计意图】通过具体例子把解集在数轴上表示出来，让学生能熟练地利用数轴找公共部分，进一步感受数形结合的数学思想．
【问题】解不等式组
【师生活动】学生独立思考完成，教师给出答案，师生一起总结解一元一次不等式组的一般步骤．
【答案】解：
解不等式①，得x＞1．
解不等式②，得x≤4．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
由图可知，不等式组的解集是1＜x≤4．
【归纳】解一元一次不等式组的一般步骤：
第1步：分别解出不等式组中各个不等式的解集．
第2步：在同一条数轴上表示出这几个不等式的解集，并找到它们的公共部分．
第3步：用表示不等关系的式子表示出公共部分，得到不等式组的解集；若无公共部分，则不等式组无解．
【设计意图】通过解不等式组，进一步加深学生对不等式组的解集以及解不等式组的认识．让学生总结并掌握解一元一次不等式组的一般步骤，进一步体会化归思想．
二、典例分析
【例1】下列不等式组：
①②③④⑤
其中是一元一次不等式组的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【师生活动】学生独立完成作答，教师给出答案和解析．
【答案】B
【解析】根据一元一次不等式组的概念，知①②④都是一元一次不等式组；③含有同一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以③⑤都不是一元一次不等式组．故共有3个一元一次不等式组．
【归纳】判断一个不等式组是否为一元一次不等式组，要注意两方面：
（1）看有没有唯一相同的未知数；
（2）看每一个不等式是不是一元一次不等式．
【设计意图】借助例1，让学生加深对一元一次不等式组的概念的理解．
【例2】解下列不等式组：
（1）
（2）
【师生活动】学生独立完成作答，请两名学生代表板演，教师讲评．
【答案】解：（1）
解不等式①，得x＞2．
解不等式②，得x＞3．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
所以不等式组的解集为x＞3．
（2）
解不等式①，得x≥8．
解不等式②，得x＜．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
所以不等式组无解．
【设计意图】借助例2，让学生巩固对一元一次不等式组的解法的掌握．
【例3】已知关于x的不等式组无解，求a的取值范围．
【师生活动】学生独立思考，尝试作答，教师给予指导．
【答案】解：解不等式①，得x≤3．
解不等式②，得x＞a．
因为该不等式组无解，
所以不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示（示意图）．
所以a＞3．
当a＝3时，代入不等式组，得x≤3，且x＞3，
此时，不等式组也无解，满足题意，
所以a的取值范围为a≥3．
【归纳】当一元一次不等式（组）化简后未知数的系数中含有字母时，比较已知解集，列不等式（组）或方程（组）来确定字母的值或取值范围是一种常用的基本方法．
【设计意图】借助例3，让学生能根据不等式组的解集求字母的值或取值范围．
课堂小结
课后任务
完成教材第140页练习第1题．11.3 一元一次不等式组（第2课时）
1．能列出不等式组表示问题中的不等关系，会根据不等式组的解集解决特殊解问题．
2．经历实际应用题的解题过程，掌握利用不等式组解决实际问题的步骤，提高分析问题和解决问题的能力．
会求一元一次不等式组的特殊解；掌握列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤．
分析实际问题中的不等关系，建立不等式组．
知识回顾
解一元一次不等式组的一般步骤是什么？
【师生活动】学生独立思考完成作答．
【答案】解一元一次不等式组的一般步骤：
（1）分别解出不等式组中各个不等式的解集．
（2）在同一条数轴上表示出这几个不等式的解集，并找到它们的公共部分．
（3）用表示不等关系的式子表示出公共部分，得到不等式组的解集；若无公共部分，则不等式组无解．
【设计意图】复习一元一次不等式组的解法，巩固基础，引出本节课的“一元一次不等式组的应用”．
新知探究
一、探究学习
【问题】x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与x－1≤7－x都成立？
【师生活动】教师引导学生分析题目：（1）“都成立”说明x同时满足这两个不等式，所以x的取值范围是两个不等式组成的不等式组的解集．（2）解集中的整数值就是x可取的整数值．
学生根据分析，小组讨论，完成作答．
【答案】解：由题意，得
解不等式①，得x＞－．
解不等式②，得x≤4．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
由图可知，不等式组的解集是－＜x≤4．
所以x可取的整数值是－2，－1，0，1，2，3，4．
【归纳】要求不等式组的特殊解，先要求出不等式组的解集，然后在不等式组的解集中找出符合条件的特殊解（如正整数解、最小整数解等）．为了便于观察，还可以借助数轴来找特殊解．
【设计意图】通过具体例子，让学生学会求一元一次不等式组的特殊解，巩固一元一次不等式组的解法，提高分析问题、解决问题的能力．
【问题】有2条生产线计划在一个月（30天）内组装520台产品（每天的产品产量相同），按原来的组装速度，不能完成任务；若加班生产，则每条生产线每天多组装2台产品，能提前完成任务．每条生产线原来每天最多能组装多少台产品？
【师生活动】教师引导学生找出题目的关键信息：若按原来的组装速度，则30天组装的数量小于520台；若在原来的组装速度上每条生产线每天多组装2台，则30天组装的数量大于520台．
【思考】你能根据问题中的不等关系列出一元一次不等式吗？
【师生活动】学生小组讨论，设未知数，列出方程：设每条生产线原来每天组装x台产品，则加班生产后每条生产线每天组装(x＋2)台产品．
由题意，得
【思考】你能完成解答吗？
【师生活动】学生独立思考，完成作答，教师进行总结．
【答案】解：设每条生产线原来每天组装x台产品，则加班生产后每条生产线每天组装(x＋2)台产品．
由题意，得
解得＜x＜．
因为x只能取正整数，
所以x＝7或x＝8．
所以x最大为8．
答：每条生产线原来每天最多能组装8台产品．
【设计意图】通过具体的问题，引导学生学会分析问题，找出问题中的两个不等关系，并能根据不等关系列出一元一次不等式组，让学生体会不等式组在解决实际问题中的工具作用，渗透数学模型的思想．
【思考】列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤是什么？
【师生活动】学生小组讨论，得出答案，教师总结．
【新知】列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的两个不等关系．
（2）设：设出适当的未知数．
（3）列：根据两个不等关系分别列出不等式，从而得到不等式组．
（4）解：解不等式组．
（5）验：检验解（或解集）是否符合实际意义．
（6）答：写出答案．
二、典例分析
【例1】解不等式组并求出它的整数解的和．
【师生活动】学生独立完成作答，请一名学生代表板演，教师讲评．
【答案】解：解不等式①，得x＜3．
解不等式②，得x≥－4．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示．
由图可知，不等式组的解集是－4≤x＜3．
所以这个不等式组的整数解有－4，－3，－2，－1，0，1，2．
所以这个不等式组的整数解的和是－4－3－2－1＋0＋1＋2＝－7．
【设计意图】借助例1，让学生能熟练地求一元一次不等式组的特殊解．
【例2】某商店需要购进甲、乙两种商品共120件，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价）
商品 甲 乙
进价/(元/件) 15 35
售价/(元/件) 20 45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1 000元，则甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4 000元，且销售完这批商品后获利多于1 135元，求有哪几种购货方案，并指出获利最大的购货方案．
【师生活动】学生独立思考，尝试作答，教师提示：（1）若设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件，则有 x＋y＝120 ；由所给表可知，甲的每件利润是 5 元，甲的总利润是 5x 元，乙的每件利润是 10 元，乙的总利润是 10y 元．
（2）如果设甲种商品购进a件，那么乙种商品购进 (120－a) 件，购进两种商品需要的资金是 [15a＋35(120－a)] 元，获得的利润是 [5a＋10(120－a)] 元，根据题目条件得到不等式组求解即可．
学生根据提示，完成作答．
【答案】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
由题意，得解得
答：甲种商品应购进40件，乙种商品应购进80件．
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进(120－a)件．
由题意，得
解不等式组，得10＜a＜13．
因为a为非负整数，
所以a可取11，12．
所以有2种购货方案：
方案1：甲种商品购进11件，乙种商品购进109件，利润是5×11＋10×109＝1 145（元）．
方案2：甲种商品购进12件，乙种商品购进108件，利润是5×12＋10×108＝1 140（元）．
答：有2种购货方案，其中获利最大的方案是甲种商品购进11件，乙种商品购进109件．
【设计意图】借助例2，让学生巩固对列一元一次不等式组解决实际问题的掌握．
课堂小结
课后任务
完成教材第140页练习第2题，第141页习题11.3第5题．
