数与代数-小升初数学暑假衔接专练
一、单选题
1．（2025六下·南山）如果 (a，b均不为0)，下面比例成立的是( )。
A． B． C． D．
2．（2025五下·期末）一条高速公路已经修了全程的，正好修了300千米，全程为多少千米？设全程为x千米，下列方程正确的是（ ）。
A．x＝300 B．x÷＝300 C．＋x＝300 D．x－＝300
3．要使方程 的解为x=2，□中的数字应该是( )。
A．5 B．6 C．7 D．8
4．四(3)班班委带了100 元去买奖品，1.8元的奖品买了25份，2.5元的奖品买了15份。买这两种奖品一共花去多少元？解决这个问题，需要用到的信息是( )。
A．100元，1.8元，25份，2.5元 B．100元，2.5元，1.8元，15份
C．1.8元，25份，2.5元，15份 D．100元，25份，2.5元，15份
5．（2025四下·）在2y-4=10，9x+2<70，25+6=31，12a-5a，18÷x中，不是方程的有( )个。
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2025六下·南山）下面各选项中，两个量成反比例的是( )。
A．速度一定，路程和时间 B．正方形的周长和边长
C．总价一定，单价和数量 D．被减数一定，减数和差
7．（2025五下·期末）下列生活情境不可以用70x+50x=840 来表示的是( )。
A．淘气家与笑笑家相距840 米，淘气步行速度为70米/分，笑笑步行速度为50米/分，两人同时从家里出发，经过x分相遇
B．甲、乙两个工程队同时修一条长840米的路，甲队每天修70米，乙队每天修50米，经过x天修完
C．王师傅和李师傅合做x分加工了840个零件，已知王师傅每分加工50个零件，李师傅每分加工70个零件
D．王阿姨打一份840字的稿子，前面每分打70个字，后面每分打50个字，共用了x分
8．（2025五下·期末）甲车每时行驶48千米，乙车每时行驶56千米，两车从相距260千米的两地同时出发相向而行，( )时后两车相遇。
A．2.8 B．2.5 C．3 D．3.2
9．（2024六下·惠东期末）龟兔赛跑是一个十分有趣且富有哲理的寓言故事，根据新的龟兔百米赛跑统计图（如图），下列说法错误的是（ ）。
A．比赛开始时乌龟先出发 B．比赛结果是乌龟获胜
C．比赛途中兔子和乌龟相遇三次 D．比赛结果是兔子获胜
10．（2022·府谷）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆……，按此规律排列下去，第20个图形中有（ ）个圆。
A．422 B．412 C．402 D．392
二、填空题
11．（2024四下·南山期末）星期日淘气和爸爸在深圳湾绿道骑自行车，淘气骑行了a千米，比爸爸骑行的路程少2.8千米，爸爸骑行了 千米。
12．（2024六下·东莞期末）摆一摆，找规律。
依次摆下去，第10个图形是 (填图形)；摆第n个图形需要 根小棒。
13．（2025五下·期末）商场开展庆“六一”促销活动，所有商品打八折出售。笑笑在活动期间买了一个原价是90元的书包，现在只要付 元。
14．（2025三下·兴义期中）找规律，填一填。
11×11=121 11×12=132 11×13=143 11×14=
15．（2025五下·期末）六一儿童节，某书店的图书打七折出售。小明用21元买了一本312页的《西游记》，这本书原价是 元。他第一周看了这本书的 ，那么他第二周从第 页看起。
16．（2025五下·期末）常用的温度表示方法是摄氏度(℃)和华氏度(℉)。它们之间的关系：华氏度=摄氏度 当温度是25℃时，华氏度的值是 ℉。
17．（2025三下·竞赛）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行驶30千米，乙车每小时行驶40千米，5小时后两车相遇。A、B两地之间的距离是 千米。
18．（2023六下·仙居期末）观察下列图形的构成情况，按照此规律，第5个图形中●的个数为 个，第n个图形中●个数有 个。
19．（2023六上·汉川期中）已知，2+＝22×，3+，，，…，若符合前面式子的规律，则a+b＝ 。
20．（【新情境新趋势】北师大版数学五年级下册期末情境卷试题（B）卷）思考并完成填空。
根据-=
-=
-=
…
可以得出：+++++=
三、解决问题
21．（2025六下·深圳期中）某品牌小汽车行驶时的油耗与产生的二氧化碳排放量情况如下表：
油耗数/L 1 2 3 4 5
二氧化碳排放量/kg 2.7 5.4 8.1 10.8
（1）请将表格填写完整。
（2）把油耗与二氧化碳排放量排放量的点在图上描出来，并连线。
（3）小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成( )比例。根据以上信息，如果汽车产生18.9kg的二氧化碳，大约耗油多少L？
22．（2025四下·怀集期中）下面是某旅行社“风景一日游”的两种价格方案。成人6人，儿童4人，选哪种方案合算？
方案一 成人每人150元，儿童每人60元。 方案二 团体10人以上（包括10人）每人100元。
23．（2025五下·期末）甲、乙两城市相距745km，一辆客车以每时85km的速度从甲城开往乙城，1时后有一辆货车以每时80km的速度从乙城开往甲城。货车开出多少时两车相遇？(列方程解答)
24．（2025五下·期末）每年农历五月初五是中国传统节日“端午节”。五年级两个班举行包粽子活动，共包粽子204个，其中一班包的粽子数是二班的3倍。两个班各包了多少个粽子？(列方程解答)
25．购物节活动期间，某购物平台有如下促销活动：
①所有商品均支持跨店消费每满300减50元；
②A店铺在满减的基础上还可享受购买该店商品一件九折、两件八折的优惠；
③预售定金翻倍：在10月21日——11月10日期间，提前支付a元定金抵2a元(例如：支付50元定金，可在11月11日结算时抵扣100元)。
王阿姨11月1日看中了A店铺一件预售价是880元的大衣和一条预售价是298元的运动裤，并各自付了50元和20元的定金，请问：王阿姨最后需要支付尾款多少元
26．秋收时节，小龙家收获的稻谷堆成了底面周长是9.42m、高是3m的圆锥形，现在要把这些稻谷转移到如图所示的沿墙角围的一个底面是扇形的粮仓，扇形的圆心角为90°，从里面测得半径为2m，粮仓高4m。
（1） 这个粮仓能装下这些稻谷吗？
（2） 若每立方米稻谷重约600kg，则这堆稻谷重约多少千克？
（3）已知稻谷的出米率为70%，将这堆稻谷全部加工成大米后，再按5kg一袋包装，准备600只包装够不够？
四、探究题
27．综合探究题 观察下列各式：
（1）根据你发现的规律填写
（2）计算：
28．在数学的学习过程中，我们常常用“数形结合”的方法让复杂的问题变简单，抽象的问题变具体。
（1）我们在探究分数除法的算理和算法时运用了“数形结合”思想，请你在下面的图形中涂色表示
（2）妙妙在解决“1+2+3+4+5+6+…”时，用两组不同颜色的正方形拼接，构造成如下图所示的长方形来研究。
①根据图形的规律填表。
序号 等式
① 1=1×2÷2
② 1+2=2×3÷2
③
④
②根据规律计算：1+2+3+4+5+6+…+10= 。
29．归纳法是指从特殊到一般的推理方法，用归纳法完成下列思考过程。
（1）
42-12= = =
我的猜想： 。
（2）图中a2 表示 ，b2表示 ，测量a，b的长度得到a= cm，b= cm。
（3）将(）表示的面积涂色 ，涂色部分的面积为 cm2。
（4）把(2)中涂色部分分割，然后拼接成一个长方形，则长方形的长为 cm，宽为 cm，长方形的图形面积为 cm2。
（5）得出结果： 。
30．（2024四上·平湖期末）经过2点可以画一条直线；经过3个点中的任意2点画直线，最多可以画3条直线（如下图）。
（1）经过4个点中的任意2点画直线，最多可以画几条直线呢 5个点呢 6个点呢 请你试一试、想一想，并将结果填写在下面的表格中。
点数 2 3 4 5 6 ……
直线条数 1 3 ……
（2）经过10个点中的任意2点画直线，最多可以画 条直线；经过 个点中的任意2点画直线，最多可以画120条直线。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的基本性质
【解析】【解答】解：A：b=a，与题意不符；
B：，符合；
C：b=a，与题意不符；
D：ab=×，与题意不符；
故答案为：B。
【分析】比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积；据此逐项判断。
2．【答案】A
【知识点】列方程解关于分数问题
【解析】【解答】解： 设全程为x千米， 列方程为：
x＝300
故答案为：A。
【分析】已经修的路程=这条路的全程×，设全程为x千米，据此列乘法算式即可解答。
3．【答案】C
【知识点】含字母式子的化简与求值；列方程解关于分数问题
【解析】【解答】解：4×2－×2
=8－1
=7
故答案为：C。
【分析】直接将x=2代入方程左边计算后即可解答。
4．【答案】C
【知识点】单价、数量、总价的关系及应用；小数乘法混合运算
【解析】【解答】解：买这两种奖品一共花去的钱数是：1.8×25+2.5×15，
需要用到的信息是1.8元，25份，2.5元，15份 。
故答案为：C。
【分析】奖品的单价×买的份数=花的钱数，两种奖品花的钱数相加，和就是买这两种奖品一共花去的钱数，据此解答。
5．【答案】C
【知识点】方程的认识及列简易方程
【解析】【解答】解：在2y-4=10，9x+2<70，25+6=31，12a-5a，18÷x中，不是方程的是9x+2＜70，25+6=31，12a-5a，18÷x，共4个。
故答案为：C。
【分析】含有未知数的等式叫方程，方程一定是等式，等式不一定是方程。
6．【答案】C
【知识点】成反比例的量及其意义
【解析】【解答】解：选项A，路程÷时间=速度，速度一定，路程与时间成正比例；
选项B，正方形的周长÷边长=4（一定），正方形的周长与边长成正比例；
选项C，单价×数量=总价， 总价一定，单价和数量成反比例；
选项D，减数+差=被减数， 被减数一定，减数和差不成比例。
故答案为：C。
【分析】如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用以下关系式表示：y：x=k（一定）；如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用下面关系式表示：xy=k（一定），据此判断。
7．【答案】D
【知识点】相遇问题；列方程解含有一个未知数的应用题；工作效率、时间、工作总量的关系及应用
【解析】【解答】解：A：相遇时淘气走的路程：70x（米），相遇时笑笑走的路程：50x（米），相遇时两人走的总路程：70x+50x=840，所以不符合题意；
B：修完时甲队修的长度：70x（米），修完时乙队修的长度：50x（米），两人一共修的长度：70x+50x=840，所以不符合题意；
C：王师傅做的零件个数：50x（个），李师傅做的零件个数：70x（个），两人合做的零件个数：70x+50x=840，所以不符合题意；
D：前面打字总数：70×前面打字时间，后面打字总数：50×后面打字时间，总的打字字数：70×前面打字时间+50×后面打字时间=840，而x=前面打字时间+后面打字时间，所以不能用70x+50x=840来表示，符合题意。
故答案为：D。
【分析】A：根据题意可得：淘气的速度×相遇时间=相遇时淘气走的路程，笑笑的速度×相遇时间=相遇时笑笑走的路程，淘气的速度×相遇时间+笑笑的速度×相遇时间=淘气家与笑笑家的距离，据此可以判断；
B：根据题意可得：甲队每天修的长度×修的天数=修完时甲队修的长度，乙队每天修的长度×修的天数=修完时乙队修的长度，甲队每天修的长度×修的天数+乙队每天修的长度×修的天数=两队合修的长度，据此可以判断；
C：根据题意可得：王师傅每分加工的零件个数×合做时间=王师傅做的零件个数，李师傅每分加工的零件个数×合做时间=李师傅做的零件个数，李师傅每分加工的零件个数×合做时间+王师傅每分加工的零件个数×合做时间=两人合做的零件个数，据此可以判断；
D：根据题意可得：前面每分打的字数×前面打字时间=前面打字总个数，后面每分打的字数×后面打字时间=后面打字总个数，前面每分打的字数×前面打字时间+后面每分打的字数×后面打字时间=稿子总字数，而总时间=前面打字时间+后面打字时间，据此可以判断。
8．【答案】B
【知识点】相遇问题；速度、时间、路程的关系及应用
【解析】【解答】解：260÷（48+56）
=260÷104
=2.5（时）
故答案为：B。
【分析】根据题意可得：两地的距离÷（甲车的速度+乙车的速度）=甲乙两车的相遇时间，据此解答即可。
9．【答案】B
【知识点】从复式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：A：由图可以看出，表示乌龟跑的路线图时间是从0开始，而表示兔子跑的路线图时间是在0之后开始，所以比赛开始时是乌龟先出发的，A说法正确；
B、D：谁先到达谁获胜，由图可知，是兔子先到达终点100米处，B说法错误，D说法正确；
C：两条线有3次交叉，说明比赛途中，兔子和乌龟共相遇三次，C说法正确；
故答案为：B。
【分析】比赛结果由谁先到达100米终点决定。若图中显示乌龟的曲线最终在时间上早于兔子到达100米，则选项B正确而D错误；反之若兔子先到达，则选项B错误而D正确。根据示例中类似情况，原题中选项B和D为矛盾选项，需对比图中终点时间。最终得出结果比赛结果是兔获胜，则B项错误。
10．【答案】A
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：20×（20＋1）＋2
=20×21＋2
=420＋2
=422（个）。
故答案为：A。
【分析】第n个图形中有n（n＋1）＋2个圆。
11．【答案】a+2.8
【知识点】用字母表示数
【解析】【解答】解：爸爸骑行了（a+2.8）千米。
故答案为：a+2.8。
【分析】淘气骑行的路程+比爸爸少骑行的路程=爸爸骑行的路程。
12．【答案】平行四边形；1+2n
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：第1个图形是三角形，需要（1+2）根小棒，
第2个图形是平行四边形，需要（1+2×2）根小棒，
第3个图形是三角形，需要（1+2×3）根小棒，
第4个图形是平行四边形，需要（1+2×4）根小棒，
......
第10个图形是平行四边形，需要（1+2×10）根小棒，
第n个图形是平行四边形，需要（1+2n）根小棒。
故答案为：平行四边形；1+2n。
【分析】规律：第奇数个图形是三角形，第偶数个图形是平行四边形；
第n个图形需要的小棒数是（1+2n）个。
13．【答案】72
【知识点】百分数的应用--折扣
【解析】【解答】解：90×0.8=72（元）
现在只要付72元
故答案为：72。
【分析】原价×折扣=现价。
14．【答案】154
【知识点】算式的规律
【解析】【解答】解：11×11=121
11×12=132
11×13=143
11×14=154
故答案为：154。
【分析】规律：11×14是14个11的和，比11×13多了1个11，即11×13的积加上11就是11×14的积。
15．【答案】30；105
【知识点】分数与整数相乘；百分数的应用--折扣
【解析】【解答】解：21÷70%=30(元)，
312×=104(元)，
104+1=105(元)；
故答案为：30；105。
【分析】21元买了一本312页的《西游记》，这是打七折后的价格，那么原价就是21元除以70%， 第一周看了这本书的 ，那么第二天开始他看了的页数就是312页乘以，据此求解。
16．【答案】77
【知识点】分数乘法的应用；含字母式子的化简与求值
【解析】【解答】解：25
=45+32
=77（℉）；
故答案为：77。
【分析】根据题意，将温度代入式子计算即可。
17．【答案】350
【知识点】速度、时间、路程的关系及应用；1000以内数的四则混合运算
【解析】【解答】解：（30+40）×5
=70×5
=350（千米）
故答案为：350。
【分析】用两人的速度和乘相遇时间即可求出两地之间的距离。
18．【答案】16；（3n＋1）
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：3×5＋1
=15＋1
=16（个）
3×n＋1=（3n＋1）（个）。
故答案为：16；（3n＋1）。
【分析】第n个图形中●个数=（3n＋1）个。
19．【答案】109
【知识点】算式的规律
【解析】【解答】解：10＋1010×10-1=102×1010×10-1
则a=99，b=10
a＋b=99＋10=109
故答案为：109。
【分析】2+＝22×，即2＋=22＋，以此类推10＋1010×10-1=102×1010×10-1=则a=99，b=10，然后把a与b相加。
20．【答案】；；；
【知识点】异分母分数加减法；算式的规律；分数裂项
【解析】【解答】解：-=
-=
-=
…
+++++
=-+-+-+……+
=-
=
故答案为：； ； ； 。
【分析】异分母分数减法，先通分，再计算，据此计算前面算式的结果，计算+++++时，分别拆分各分数，写成两个分数相减的形式，再运用抵消法解答即可。
21．【答案】（1）
油耗数/L 1 2 3 4 5
二氧化碳排放量/kg 2.7 5.4 8.1 10.8 13.5
（2）
（3）解：二氧化碳排放量÷油耗数=2.7（一定），成正比例；
设耗油L，根据题意得：
2.7=18.9
解得=7
答：正； 大约耗油7L。
【知识点】单式折线统计图的特点及绘制；正比例应用题；应用比例解决实际问题
【解析】【分析】（1）观察表格数据，发现二氧化碳排放量与油耗数存在“二氧化碳排放量=油耗数×2.7”的等量关系，据此计算出油耗数为5L时对应的二氧化碳排放量；
（2）根据表格中“油耗数-二氧化碳排放量”对应坐标，在图中找到（1，2.7）、（2，5.4）、（3，8.1）、（4，10.8）、（5，13.5）这些点，并用直线依次连接；
（3）依据正比例定义，判断两个量比值一定则成正比例，这里二氧化碳排放量与油耗数比值恒为2.7，所以成正比例；再设耗油为L，根据正比例关系列出等式，求解即可。
22．【答案】方案二
【知识点】含括号的运算顺序
23．【答案】解：设货车开出x时两车相遇。
85x+80x=745－85×1
165x=660
165x÷165=660÷165
x=4
答：货车开出4时两车相遇。
【知识点】列方程解相遇问题
【解析】【分析】根据题意可得：客车的速度×相遇时间=货车开出到两车相遇时客车行驶的路程，货车的速度×相遇时间=货车开出到两车相遇时货车行驶的路程，客车的速度×相遇时间+货车的速度×相遇时间=货车开出到两车相遇时两车行驶的总路程；客车的速度×客车先行的时间=客车先行的路程，甲、乙两城市之间的距离－客车的速度×客车先行的时间=货车开出到两车相遇时两车行驶的总路程，因此，客车的速度×相遇时间+货车的速度×相遇时间=甲、乙两城市之间的距离－客车的速度×客车先行的时间，据此关系式设货车开出x时两车相遇，列方程解答即可。
24．【答案】解：设二班包了x个粽子，则一班包了3x个粽子，
3x+x=204
4x=204
4x÷4=204÷4
x=51
51×3=153（个）
答：二班包了51个粽子，一班包了153个粽子。
【知识点】列方程解含有多个未知数的应用题
【解析】【分析】设二班包了x个粽子，则一班包了3x个粽子，二班数量+一班数量=204个，据此列出等式求解即可。
25．【答案】解：两件商品的总价格：880 + 298 = 1178元。
两件商品满减后的价格是：1178 - 150 = 1028元。
A店铺的活动：1028 × 80% = 822.4元。
定金抵扣：822.4 - 140 = 682.4元。
答： 王阿姨最后需要支付尾款682.4元。
【知识点】百分数的应用--折扣；最佳方案：最省钱问题
【解析】【分析】 首先需要计算两件商品的总原价。然后，根据购物平台的满减活动，计算出满减后的价格。接着，根据A店铺的折扣活动，计算出折扣后的价格。最后，根据定金翻倍的活动，计算出最终需要支付的尾款金额。
26．【答案】（1）解：9.42÷3.14÷2=1.5（m）
1.52×3.14×3÷3=7.065（m3）
22×3.14×4÷4=12.56（m3）
12.56＞7.065
答：这个粮仓能装下这些稻谷
（2）解：7.065×600=4239（kg）
答：这堆稻谷重约4239千克。
（3）解：4239×70%÷5=593.46（只）
593.46＜600
够。
【知识点】圆柱的体积（容积）；圆锥的体积（容积）；含百分数的计算
【解析】【分析】（1）分别计算出稻谷体积和谷仓体积，进行比较。
（2）稻谷体积乘以单位稻谷重量即可。
（3）稻谷重量乘以出米率为大米重量，除以5即为需要多少袋，与600比较。
27．【答案】（1）解·：
分子是：19×22=418；分母是20×21=420，故==。
等式右边分子是：2+3+...+20 ； 分母是：1+2+...+20，即。
故答案为：
； 。
（2）
【知识点】分数乘法的应用；算式的规律
【解析】【分析】
（1）观察所给式子：
在==中，分子1×4=4，分母2×3=6，等号右边分子2可看作1+1，分母3可看作1+2；
在==中，分子2×5=10，分母3×4=12，等号右边分子5可看作2+3，分母6可看作1+2+3；
在==中，分子3×6=18，分母4×5=20，等号右边分子9可看作2+3+4，分母10可看作1+2+3+4；
可发现，最后结果都是：分子部分从2开始连续（n+1），加至分子第一个乘数再+1，分母部分从1开始连续（n+1），直至加到分母第一个乘数为止，且分子与分母部分的最大公因数是2。故据此计算即可。
（2）先将每一项进行变形，如==；==；==，以此类推，=。随后进行约分，第一个式子的分子2与第二个式子的分母2约掉，第一个式子的分母4与第二个式子的分子4约掉，以此类推，最后剩下第一个式子的分母1，第一个式子的分子3，最后一个式子的分子100，以及最后一个式子的分母102。即计算即可。
28．【答案】（1）表示将分成3份取其中1份，涂色表示如图所示。
（2）
序号 等式
① 1=1×2÷2
② 1+2=2×3÷2
③ 1+2+3=3×4÷2
④ 1+2+3+4=4×5÷2
55
【知识点】数形结合规律
【解析】【分析】（1）一个大正方形平均分成9分，其中的是3个小正方形，把平均分成3份，其中的1份就是1个小正方形，所以把1个小正方形涂上颜色。（2）根据的规律可知，从1依次加到n的和为n×（n+1)÷2，据此写出表中的的算式； 1+2+3+4+5+6+…+10= 10×（10+1）÷2=55。
29．【答案】（1）(4+1)×(4-1)；5×3；15；(a+b)×(a-b)
（2）大正方形的面积；小正方形的面积；3；2
（3）；5
（4）5；1；5
（5）
【知识点】数形结合规律
【解析】【分析】由算式可知两个数的平方差等于这两个数的和乘两个数的差，据此填空；（2）正方形的面积=边长×边长，所以a平方表示大正方形的面积，b2表示小正方形的面积，测量即可得a、b的长度；（3）a2-b2表示大正方形比小正方形大的面积，在图中给此部分涂色即可，将a=3，b=2代入a2-b2中计算即可；（4）分割的两个长方形中大长方形的长是3cm，宽是2cm，拼成的长方形长是3+2=5（cm），宽是3-2=1（cm），面积是5×1=5（cm2）；（5）由上题可得出结论。
30．【答案】（1）解：4×（4-1）÷2=6（条），5×（5-1）÷2=10（条），
6×（6-1）÷2=15（条），
点数 2 3 4 5 6 ……
直线条数 1 3 6 10 15 ……
（2）45；15
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：（2）10×（10-1）÷2=10×9÷2=45（条）
经过10个点中的任意2点画直线，最多可以画45条直线；
n×（n-1）÷2=120
n×（n-1）=240
因为16×15=240
所以n=15
经过15个点中的任意2点画直线，最多可以画120条直线。
故答案为：（2）45；15。
【分析】n条直线两两相交，交点最多的个数=n×（n-1）÷2，据此解答。
1 / 1数与代数-小升初数学暑假衔接专练
一、单选题
1．（2025六下·南山）如果 (a，b均不为0)，下面比例成立的是( )。
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的基本性质
【解析】【解答】解：A：b=a，与题意不符；
B：，符合；
C：b=a，与题意不符；
D：ab=×，与题意不符；
故答案为：B。
【分析】比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积；据此逐项判断。
2．（2025五下·期末）一条高速公路已经修了全程的，正好修了300千米，全程为多少千米？设全程为x千米，下列方程正确的是（ ）。
A．x＝300 B．x÷＝300 C．＋x＝300 D．x－＝300
【答案】A
【知识点】列方程解关于分数问题
【解析】【解答】解： 设全程为x千米， 列方程为：
x＝300
故答案为：A。
【分析】已经修的路程=这条路的全程×，设全程为x千米，据此列乘法算式即可解答。
3．要使方程 的解为x=2，□中的数字应该是( )。
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】含字母式子的化简与求值；列方程解关于分数问题
【解析】【解答】解：4×2－×2
=8－1
=7
故答案为：C。
【分析】直接将x=2代入方程左边计算后即可解答。
4．四(3)班班委带了100 元去买奖品，1.8元的奖品买了25份，2.5元的奖品买了15份。买这两种奖品一共花去多少元？解决这个问题，需要用到的信息是( )。
A．100元，1.8元，25份，2.5元 B．100元，2.5元，1.8元，15份
C．1.8元，25份，2.5元，15份 D．100元，25份，2.5元，15份
【答案】C
【知识点】单价、数量、总价的关系及应用；小数乘法混合运算
【解析】【解答】解：买这两种奖品一共花去的钱数是：1.8×25+2.5×15，
需要用到的信息是1.8元，25份，2.5元，15份 。
故答案为：C。
【分析】奖品的单价×买的份数=花的钱数，两种奖品花的钱数相加，和就是买这两种奖品一共花去的钱数，据此解答。
5．（2025四下·）在2y-4=10，9x+2<70，25+6=31，12a-5a，18÷x中，不是方程的有( )个。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】方程的认识及列简易方程
【解析】【解答】解：在2y-4=10，9x+2<70，25+6=31，12a-5a，18÷x中，不是方程的是9x+2＜70，25+6=31，12a-5a，18÷x，共4个。
故答案为：C。
【分析】含有未知数的等式叫方程，方程一定是等式，等式不一定是方程。
6．（2025六下·南山）下面各选项中，两个量成反比例的是( )。
A．速度一定，路程和时间 B．正方形的周长和边长
C．总价一定，单价和数量 D．被减数一定，减数和差
【答案】C
【知识点】成反比例的量及其意义
【解析】【解答】解：选项A，路程÷时间=速度，速度一定，路程与时间成正比例；
选项B，正方形的周长÷边长=4（一定），正方形的周长与边长成正比例；
选项C，单价×数量=总价， 总价一定，单价和数量成反比例；
选项D，减数+差=被减数， 被减数一定，减数和差不成比例。
故答案为：C。
【分析】如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用以下关系式表示：y：x=k（一定）；如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用下面关系式表示：xy=k（一定），据此判断。
7．（2025五下·期末）下列生活情境不可以用70x+50x=840 来表示的是( )。
A．淘气家与笑笑家相距840 米，淘气步行速度为70米/分，笑笑步行速度为50米/分，两人同时从家里出发，经过x分相遇
B．甲、乙两个工程队同时修一条长840米的路，甲队每天修70米，乙队每天修50米，经过x天修完
C．王师傅和李师傅合做x分加工了840个零件，已知王师傅每分加工50个零件，李师傅每分加工70个零件
D．王阿姨打一份840字的稿子，前面每分打70个字，后面每分打50个字，共用了x分
【答案】D
【知识点】相遇问题；列方程解含有一个未知数的应用题；工作效率、时间、工作总量的关系及应用
【解析】【解答】解：A：相遇时淘气走的路程：70x（米），相遇时笑笑走的路程：50x（米），相遇时两人走的总路程：70x+50x=840，所以不符合题意；
B：修完时甲队修的长度：70x（米），修完时乙队修的长度：50x（米），两人一共修的长度：70x+50x=840，所以不符合题意；
C：王师傅做的零件个数：50x（个），李师傅做的零件个数：70x（个），两人合做的零件个数：70x+50x=840，所以不符合题意；
D：前面打字总数：70×前面打字时间，后面打字总数：50×后面打字时间，总的打字字数：70×前面打字时间+50×后面打字时间=840，而x=前面打字时间+后面打字时间，所以不能用70x+50x=840来表示，符合题意。
故答案为：D。
【分析】A：根据题意可得：淘气的速度×相遇时间=相遇时淘气走的路程，笑笑的速度×相遇时间=相遇时笑笑走的路程，淘气的速度×相遇时间+笑笑的速度×相遇时间=淘气家与笑笑家的距离，据此可以判断；
B：根据题意可得：甲队每天修的长度×修的天数=修完时甲队修的长度，乙队每天修的长度×修的天数=修完时乙队修的长度，甲队每天修的长度×修的天数+乙队每天修的长度×修的天数=两队合修的长度，据此可以判断；
C：根据题意可得：王师傅每分加工的零件个数×合做时间=王师傅做的零件个数，李师傅每分加工的零件个数×合做时间=李师傅做的零件个数，李师傅每分加工的零件个数×合做时间+王师傅每分加工的零件个数×合做时间=两人合做的零件个数，据此可以判断；
D：根据题意可得：前面每分打的字数×前面打字时间=前面打字总个数，后面每分打的字数×后面打字时间=后面打字总个数，前面每分打的字数×前面打字时间+后面每分打的字数×后面打字时间=稿子总字数，而总时间=前面打字时间+后面打字时间，据此可以判断。
8．（2025五下·期末）甲车每时行驶48千米，乙车每时行驶56千米，两车从相距260千米的两地同时出发相向而行，( )时后两车相遇。
A．2.8 B．2.5 C．3 D．3.2
【答案】B
【知识点】相遇问题；速度、时间、路程的关系及应用
【解析】【解答】解：260÷（48+56）
=260÷104
=2.5（时）
故答案为：B。
【分析】根据题意可得：两地的距离÷（甲车的速度+乙车的速度）=甲乙两车的相遇时间，据此解答即可。
9．（2024六下·惠东期末）龟兔赛跑是一个十分有趣且富有哲理的寓言故事，根据新的龟兔百米赛跑统计图（如图），下列说法错误的是（ ）。
A．比赛开始时乌龟先出发 B．比赛结果是乌龟获胜
C．比赛途中兔子和乌龟相遇三次 D．比赛结果是兔子获胜
【答案】B
【知识点】从复式折线统计图获取信息；用图像表示变化关系
【解析】【解答】解：A：由图可以看出，表示乌龟跑的路线图时间是从0开始，而表示兔子跑的路线图时间是在0之后开始，所以比赛开始时是乌龟先出发的，A说法正确；
B、D：谁先到达谁获胜，由图可知，是兔子先到达终点100米处，B说法错误，D说法正确；
C：两条线有3次交叉，说明比赛途中，兔子和乌龟共相遇三次，C说法正确；
故答案为：B。
【分析】比赛结果由谁先到达100米终点决定。若图中显示乌龟的曲线最终在时间上早于兔子到达100米，则选项B正确而D错误；反之若兔子先到达，则选项B错误而D正确。根据示例中类似情况，原题中选项B和D为矛盾选项，需对比图中终点时间。最终得出结果比赛结果是兔获胜，则B项错误。
10．（2022·府谷）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆……，按此规律排列下去，第20个图形中有（ ）个圆。
A．422 B．412 C．402 D．392
【答案】A
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：20×（20＋1）＋2
=20×21＋2
=420＋2
=422（个）。
故答案为：A。
【分析】第n个图形中有n（n＋1）＋2个圆。
二、填空题
11．（2024四下·南山期末）星期日淘气和爸爸在深圳湾绿道骑自行车，淘气骑行了a千米，比爸爸骑行的路程少2.8千米，爸爸骑行了 千米。
【答案】a+2.8
【知识点】用字母表示数
【解析】【解答】解：爸爸骑行了（a+2.8）千米。
故答案为：a+2.8。
【分析】淘气骑行的路程+比爸爸少骑行的路程=爸爸骑行的路程。
12．（2024六下·东莞期末）摆一摆，找规律。
依次摆下去，第10个图形是 (填图形)；摆第n个图形需要 根小棒。
【答案】平行四边形；1+2n
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：第1个图形是三角形，需要（1+2）根小棒，
第2个图形是平行四边形，需要（1+2×2）根小棒，
第3个图形是三角形，需要（1+2×3）根小棒，
第4个图形是平行四边形，需要（1+2×4）根小棒，
......
第10个图形是平行四边形，需要（1+2×10）根小棒，
第n个图形是平行四边形，需要（1+2n）根小棒。
故答案为：平行四边形；1+2n。
【分析】规律：第奇数个图形是三角形，第偶数个图形是平行四边形；
第n个图形需要的小棒数是（1+2n）个。
13．（2025五下·期末）商场开展庆“六一”促销活动，所有商品打八折出售。笑笑在活动期间买了一个原价是90元的书包，现在只要付 元。
【答案】72
【知识点】百分数的应用--折扣
【解析】【解答】解：90×0.8=72（元）
现在只要付72元
故答案为：72。
【分析】原价×折扣=现价。
14．（2025三下·兴义期中）找规律，填一填。
11×11=121 11×12=132 11×13=143 11×14=
【答案】154
【知识点】算式的规律
【解析】【解答】解：11×11=121
11×12=132
11×13=143
11×14=154
故答案为：154。
【分析】规律：11×14是14个11的和，比11×13多了1个11，即11×13的积加上11就是11×14的积。
15．（2025五下·期末）六一儿童节，某书店的图书打七折出售。小明用21元买了一本312页的《西游记》，这本书原价是 元。他第一周看了这本书的 ，那么他第二周从第 页看起。
【答案】30；105
【知识点】分数与整数相乘；百分数的应用--折扣
【解析】【解答】解：21÷70%=30(元)，
312×=104(元)，
104+1=105(元)；
故答案为：30；105。
【分析】21元买了一本312页的《西游记》，这是打七折后的价格，那么原价就是21元除以70%， 第一周看了这本书的 ，那么第二天开始他看了的页数就是312页乘以，据此求解。
16．（2025五下·期末）常用的温度表示方法是摄氏度(℃)和华氏度(℉)。它们之间的关系：华氏度=摄氏度 当温度是25℃时，华氏度的值是 ℉。
【答案】77
【知识点】分数乘法的应用；含字母式子的化简与求值
【解析】【解答】解：25
=45+32
=77（℉）；
故答案为：77。
【分析】根据题意，将温度代入式子计算即可。
17．（2025三下·竞赛）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行驶30千米，乙车每小时行驶40千米，5小时后两车相遇。A、B两地之间的距离是 千米。
【答案】350
【知识点】速度、时间、路程的关系及应用；1000以内数的四则混合运算
【解析】【解答】解：（30+40）×5
=70×5
=350（千米）
故答案为：350。
【分析】用两人的速度和乘相遇时间即可求出两地之间的距离。
18．（2023六下·仙居期末）观察下列图形的构成情况，按照此规律，第5个图形中●的个数为 个，第n个图形中●个数有 个。
【答案】16；（3n＋1）
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：3×5＋1
=15＋1
=16（个）
3×n＋1=（3n＋1）（个）。
故答案为：16；（3n＋1）。
【分析】第n个图形中●个数=（3n＋1）个。
19．（2023六上·汉川期中）已知，2+＝22×，3+，，，…，若符合前面式子的规律，则a+b＝ 。
【答案】109
【知识点】算式的规律
【解析】【解答】解：10＋1010×10-1=102×1010×10-1
则a=99，b=10
a＋b=99＋10=109
故答案为：109。
【分析】2+＝22×，即2＋=22＋，以此类推10＋1010×10-1=102×1010×10-1=则a=99，b=10，然后把a与b相加。
20．（【新情境新趋势】北师大版数学五年级下册期末情境卷试题（B）卷）思考并完成填空。
根据-=
-=
-=
…
可以得出：+++++=
【答案】；；；
【知识点】异分母分数加减法；算式的规律；分数裂项
【解析】【解答】解：-=
-=
-=
…
+++++
=-+-+-+……+
=-
=
故答案为：； ； ； 。
【分析】异分母分数减法，先通分，再计算，据此计算前面算式的结果，计算+++++时，分别拆分各分数，写成两个分数相减的形式，再运用抵消法解答即可。
三、解决问题
21．（2025六下·深圳期中）某品牌小汽车行驶时的油耗与产生的二氧化碳排放量情况如下表：
油耗数/L 1 2 3 4 5
二氧化碳排放量/kg 2.7 5.4 8.1 10.8
（1）请将表格填写完整。
（2）把油耗与二氧化碳排放量排放量的点在图上描出来，并连线。
（3）小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成( )比例。根据以上信息，如果汽车产生18.9kg的二氧化碳，大约耗油多少L？
【答案】（1）
油耗数/L 1 2 3 4 5
二氧化碳排放量/kg 2.7 5.4 8.1 10.8 13.5
（2）
（3）解：二氧化碳排放量÷油耗数=2.7（一定），成正比例；
设耗油L，根据题意得：
2.7=18.9
解得=7
答：正； 大约耗油7L。
【知识点】单式折线统计图的特点及绘制；正比例应用题；应用比例解决实际问题
【解析】【分析】（1）观察表格数据，发现二氧化碳排放量与油耗数存在“二氧化碳排放量=油耗数×2.7”的等量关系，据此计算出油耗数为5L时对应的二氧化碳排放量；
（2）根据表格中“油耗数-二氧化碳排放量”对应坐标，在图中找到（1，2.7）、（2，5.4）、（3，8.1）、（4，10.8）、（5，13.5）这些点，并用直线依次连接；
（3）依据正比例定义，判断两个量比值一定则成正比例，这里二氧化碳排放量与油耗数比值恒为2.7，所以成正比例；再设耗油为L，根据正比例关系列出等式，求解即可。
22．（2025四下·怀集期中）下面是某旅行社“风景一日游”的两种价格方案。成人6人，儿童4人，选哪种方案合算？
方案一 成人每人150元，儿童每人60元。 方案二 团体10人以上（包括10人）每人100元。
【答案】方案二
【知识点】含括号的运算顺序
23．（2025五下·期末）甲、乙两城市相距745km，一辆客车以每时85km的速度从甲城开往乙城，1时后有一辆货车以每时80km的速度从乙城开往甲城。货车开出多少时两车相遇？(列方程解答)
【答案】解：设货车开出x时两车相遇。
85x+80x=745－85×1
165x=660
165x÷165=660÷165
x=4
答：货车开出4时两车相遇。
【知识点】列方程解相遇问题
【解析】【分析】根据题意可得：客车的速度×相遇时间=货车开出到两车相遇时客车行驶的路程，货车的速度×相遇时间=货车开出到两车相遇时货车行驶的路程，客车的速度×相遇时间+货车的速度×相遇时间=货车开出到两车相遇时两车行驶的总路程；客车的速度×客车先行的时间=客车先行的路程，甲、乙两城市之间的距离－客车的速度×客车先行的时间=货车开出到两车相遇时两车行驶的总路程，因此，客车的速度×相遇时间+货车的速度×相遇时间=甲、乙两城市之间的距离－客车的速度×客车先行的时间，据此关系式设货车开出x时两车相遇，列方程解答即可。
24．（2025五下·期末）每年农历五月初五是中国传统节日“端午节”。五年级两个班举行包粽子活动，共包粽子204个，其中一班包的粽子数是二班的3倍。两个班各包了多少个粽子？(列方程解答)
【答案】解：设二班包了x个粽子，则一班包了3x个粽子，
3x+x=204
4x=204
4x÷4=204÷4
x=51
51×3=153（个）
答：二班包了51个粽子，一班包了153个粽子。
【知识点】列方程解含有多个未知数的应用题
【解析】【分析】设二班包了x个粽子，则一班包了3x个粽子，二班数量+一班数量=204个，据此列出等式求解即可。
25．购物节活动期间，某购物平台有如下促销活动：
①所有商品均支持跨店消费每满300减50元；
②A店铺在满减的基础上还可享受购买该店商品一件九折、两件八折的优惠；
③预售定金翻倍：在10月21日——11月10日期间，提前支付a元定金抵2a元(例如：支付50元定金，可在11月11日结算时抵扣100元)。
王阿姨11月1日看中了A店铺一件预售价是880元的大衣和一条预售价是298元的运动裤，并各自付了50元和20元的定金，请问：王阿姨最后需要支付尾款多少元
【答案】解：两件商品的总价格：880 + 298 = 1178元。
两件商品满减后的价格是：1178 - 150 = 1028元。
A店铺的活动：1028 × 80% = 822.4元。
定金抵扣：822.4 - 140 = 682.4元。
答： 王阿姨最后需要支付尾款682.4元。
【知识点】百分数的应用--折扣；最佳方案：最省钱问题
【解析】【分析】 首先需要计算两件商品的总原价。然后，根据购物平台的满减活动，计算出满减后的价格。接着，根据A店铺的折扣活动，计算出折扣后的价格。最后，根据定金翻倍的活动，计算出最终需要支付的尾款金额。
26．秋收时节，小龙家收获的稻谷堆成了底面周长是9.42m、高是3m的圆锥形，现在要把这些稻谷转移到如图所示的沿墙角围的一个底面是扇形的粮仓，扇形的圆心角为90°，从里面测得半径为2m，粮仓高4m。
（1） 这个粮仓能装下这些稻谷吗？
（2） 若每立方米稻谷重约600kg，则这堆稻谷重约多少千克？
（3）已知稻谷的出米率为70%，将这堆稻谷全部加工成大米后，再按5kg一袋包装，准备600只包装够不够？
【答案】（1）解：9.42÷3.14÷2=1.5（m）
1.52×3.14×3÷3=7.065（m3）
22×3.14×4÷4=12.56（m3）
12.56＞7.065
答：这个粮仓能装下这些稻谷
（2）解：7.065×600=4239（kg）
答：这堆稻谷重约4239千克。
（3）解：4239×70%÷5=593.46（只）
593.46＜600
够。
【知识点】圆柱的体积（容积）；圆锥的体积（容积）；含百分数的计算
【解析】【分析】（1）分别计算出稻谷体积和谷仓体积，进行比较。
（2）稻谷体积乘以单位稻谷重量即可。
（3）稻谷重量乘以出米率为大米重量，除以5即为需要多少袋，与600比较。
四、探究题
27．综合探究题 观察下列各式：
（1）根据你发现的规律填写
（2）计算：
【答案】（1）解·：
分子是：19×22=418；分母是20×21=420，故==。
等式右边分子是：2+3+...+20 ； 分母是：1+2+...+20，即。
故答案为：
； 。
（2）
【知识点】分数乘法的应用；算式的规律
【解析】【分析】
（1）观察所给式子：
在==中，分子1×4=4，分母2×3=6，等号右边分子2可看作1+1，分母3可看作1+2；
在==中，分子2×5=10，分母3×4=12，等号右边分子5可看作2+3，分母6可看作1+2+3；
在==中，分子3×6=18，分母4×5=20，等号右边分子9可看作2+3+4，分母10可看作1+2+3+4；
可发现，最后结果都是：分子部分从2开始连续（n+1），加至分子第一个乘数再+1，分母部分从1开始连续（n+1），直至加到分母第一个乘数为止，且分子与分母部分的最大公因数是2。故据此计算即可。
（2）先将每一项进行变形，如==；==；==，以此类推，=。随后进行约分，第一个式子的分子2与第二个式子的分母2约掉，第一个式子的分母4与第二个式子的分子4约掉，以此类推，最后剩下第一个式子的分母1，第一个式子的分子3，最后一个式子的分子100，以及最后一个式子的分母102。即计算即可。
28．在数学的学习过程中，我们常常用“数形结合”的方法让复杂的问题变简单，抽象的问题变具体。
（1）我们在探究分数除法的算理和算法时运用了“数形结合”思想，请你在下面的图形中涂色表示
（2）妙妙在解决“1+2+3+4+5+6+…”时，用两组不同颜色的正方形拼接，构造成如下图所示的长方形来研究。
①根据图形的规律填表。
序号 等式
① 1=1×2÷2
② 1+2=2×3÷2
③
④
②根据规律计算：1+2+3+4+5+6+…+10= 。
【答案】（1）表示将分成3份取其中1份，涂色表示如图所示。
（2）
序号 等式
① 1=1×2÷2
② 1+2=2×3÷2
③ 1+2+3=3×4÷2
④ 1+2+3+4=4×5÷2
55
【知识点】数形结合规律
【解析】【分析】（1）一个大正方形平均分成9分，其中的是3个小正方形，把平均分成3份，其中的1份就是1个小正方形，所以把1个小正方形涂上颜色。（2）根据的规律可知，从1依次加到n的和为n×（n+1)÷2，据此写出表中的的算式； 1+2+3+4+5+6+…+10= 10×（10+1）÷2=55。
29．归纳法是指从特殊到一般的推理方法，用归纳法完成下列思考过程。
（1）
42-12= = =
我的猜想： 。
（2）图中a2 表示 ，b2表示 ，测量a，b的长度得到a= cm，b= cm。
（3）将(）表示的面积涂色 ，涂色部分的面积为 cm2。
（4）把(2)中涂色部分分割，然后拼接成一个长方形，则长方形的长为 cm，宽为 cm，长方形的图形面积为 cm2。
（5）得出结果： 。
【答案】（1）(4+1)×(4-1)；5×3；15；(a+b)×(a-b)
（2）大正方形的面积；小正方形的面积；3；2
（3）；5
（4）5；1；5
（5）
【知识点】数形结合规律
【解析】【分析】由算式可知两个数的平方差等于这两个数的和乘两个数的差，据此填空；（2）正方形的面积=边长×边长，所以a平方表示大正方形的面积，b2表示小正方形的面积，测量即可得a、b的长度；（3）a2-b2表示大正方形比小正方形大的面积，在图中给此部分涂色即可，将a=3，b=2代入a2-b2中计算即可；（4）分割的两个长方形中大长方形的长是3cm，宽是2cm，拼成的长方形长是3+2=5（cm），宽是3-2=1（cm），面积是5×1=5（cm2）；（5）由上题可得出结论。
30．（2024四上·平湖期末）经过2点可以画一条直线；经过3个点中的任意2点画直线，最多可以画3条直线（如下图）。
（1）经过4个点中的任意2点画直线，最多可以画几条直线呢 5个点呢 6个点呢 请你试一试、想一想，并将结果填写在下面的表格中。
点数 2 3 4 5 6 ……
直线条数 1 3 ……
（2）经过10个点中的任意2点画直线，最多可以画 条直线；经过 个点中的任意2点画直线，最多可以画120条直线。
【答案】（1）解：4×（4-1）÷2=6（条），5×（5-1）÷2=10（条），
6×（6-1）÷2=15（条），
点数 2 3 4 5 6 ……
直线条数 1 3 6 10 15 ……
（2）45；15
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：（2）10×（10-1）÷2=10×9÷2=45（条）
经过10个点中的任意2点画直线，最多可以画45条直线；
n×（n-1）÷2=120
n×（n-1）=240
因为16×15=240
所以n=15
经过15个点中的任意2点画直线，最多可以画120条直线。
故答案为：（2）45；15。
【分析】n条直线两两相交，交点最多的个数=n×（n-1）÷2，据此解答。
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