2025年罗湖区中考备考百师助学课程之第三讲《四边形中的十字架模型》教学设计

《四边形中的十字架模》教学设计
一、 课标要求
（一）内容要求
1. 掌握正方形、矩形的基本性质，理解其边、角、对角线的特征及对称性。
2. 能运用三角形全等、相似、三角函数、圆的性质、等面积法等知识，分析并解决四边形中十
字架模型相关问题。
3. 理解点的运动轨迹（如圆弧、半圆等）的确定方法，能利用轨迹特征求解线段最值问题。
（二）学业要求
1. 通过活动化探究与结构化整合，从知识积累进阶到思维提升，形成几何直观与逻辑推理能力。
2. 能从实际情境中抽象出数学模型，运用“十字架模型”解决位置关系（垂直、平行）与数量关
系（全等、相似、线段比值）问题，体现“三会”核心素养（用数学眼光观察、数学思维思考、
数学语言表达）。
二、 教学内容分析
（一）知识地位
“十字架模型”是特殊四边形（正方形、矩形）与几何综合应用的核心模型，融合全等/相似
三角形、圆的轨迹、最值问题等知识点，是中考高频考点。其核心思想是通过构造垂直关系，
利用图形性质实现条件转化，培养学生综合运用知识的能力。
（二）知识联系
1. 与特殊四边形性质（正方形的四边相等、对角线垂直；矩形的邻边比例关系）紧密关联。
2. 涉及三角形全等（正方形中 “知一推二”）、相似（矩形中比例关系）、圆的轨迹（定弦定角、
定点定长）等知识。
3. 最值问题需结合 “两点之间线段最短”“垂线段最短” 及圆的性质（如点与圆的位置关系）
求解。
（三）能力培养
数学抽象：从复杂图形中抽象出 “十字架” 模型，提炼垂直与数量关系的本质特征。
直观想象：通过动态分析点的运动轨迹（如正方形中 G 点的圆弧轨迹），培养空间观念。
逻辑推理：运用 “知一推二”“相似三角形证明比例关系” 等逻辑链条，提升证明能力。
数学建模：将实际问题转化为十字架模型，如折叠问题、轨迹最值问题等。
三、 班级学情分析
班级分层 知识与技能准备 数学活动经验
掌握全等/相似判定、圆的轨迹、最值求解方 能通过分类讨论、转化思想解决综合问
A 层次
法，能自主分析复杂图形中的模型关联。 题，数学表达清晰，具备迁移能力。
熟悉特殊四边形性质及基本模型，但综合应 能借助图形分析问题，但逻辑链条不完
B 层次
用时需提示关联知识点。 整，需引导梳理证明步骤。
掌握正方形、矩形的基础性质，能识别简单 依赖直观图形，需通过具体操作（如尺规
C 层次
模型，但对轨迹分析和比例关系应用困难。 作图）理解模型原理，抽象思维较弱。
四、 教学任务分析
（一）关键能力目标
能识别正方形、矩形中的十字架模型，运用 “知一推二”（正方形）和“比例-垂直等价”（矩形）
解决基础问题。
能通过平移、旋转等变换构造模型，结合圆的轨迹（如定弦定角、定点定长）求解线段最值。
能综合运用全等、相似、圆的性质，解决折叠、动态几何中的复杂问题。
（二）数学思想目标
数形结合：通过图形分析点的运动轨迹，将几何位置关系转化为代数数量关系。
转化与化归：将“线段最值”问题转化为“点与圆的位置关系”或“三角形三边关系”问题。
模型思想：通过提炼十字架模型的特征，形成“识别模型→调用性质→分析路径→求解问题”的
思维流程。
（三）素养达成目标
用数学眼光观察：从生活情境（如折叠、运动轨迹）中抽象出几何模型。
用数学思维思考：通过逻辑推理证明模型性质，如正方形中 DE⊥AF △DAE≌△ABF。
用数学语言表达：规范书写证明过程，用符号语言描述比例关系（如矩形中 AE/BF=k）。
五、 教学重点与难点
重点 难点
1.正方形、矩形中十字架模型的核心性质（垂直与 1.从复杂图形中分离或构造十字架模型（如矩形变
数量关系）。 式中的非顶点交点问题）。
2.利用模型解决线段相等、比例及垂直证明问题。 2.动态问题中轨迹圆心与半径的确定（如折叠问题
3.轨迹分析在最值问题中的应用（如正方形中 G 中 B’点的轨迹圆）。
点的圆弧轨迹）。 3.多模型综合应用。（如十字架模型与 “将军饮马”
模型结合）
六、 教法与学法设计
（一）教法选择
情境驱动法：通过折叠、运动等实际问题引入模型，激发探究兴趣。
分层任务法：设计基础题（C 组）、综合题（B 组）、拓展题（A 组），满足不同层次需求。
信息技术辅助：利用希沃白板动态演示点的运动轨迹，直观呈现模型变化过程。
（二）学法指导
自主探究：通过《自主学习单》梳理模型性质，完成 “知一推二” 的证明推导。
小组合作：讨论复杂轨迹问题（如例 2 中 E 点的运动轨迹），分享构造模型的思路。
反思归纳：总结模型应用的关键条件（如正方形中需 “两组对边或延长线上的垂直线段”），提炼
解题步骤。
七、 教学过程设计
环节 1：知识梳理——模型认知（10 分钟）
教学内容：
回顾正方形、矩形的性质对比表（自主学习单表格），强调对角线特征与对称性差异。
结合 PPT 图示，复习正方形中十字架模型的 “知一推二” 性质（AE=BF DE=AF 且 DE⊥AF），及矩形
中 “比例 - 垂直等价”（AE/BF=k AE⊥BF）。
师生活动：
教师：通过提问引导学生复述模型核心结论，如 “正方形中 DE⊥AF 能推出哪些等量关系？”
学生：独立填写表格，同桌互查模型性质，完成自主学习单 “知识技能梳理” 部分。
设计意图：
激活旧知，明确模型的几何基础，为应用铺垫。
通过对比矩形与正方形的模型差异，强化 “边的比例” 对模型性质的影响。
环节 2：典例剖析 —— 模型应用（20 分钟）
模块 1：正方形中的十字架模型--【例题 1】 如图，E，G，F，H 分别在正
A E D
方形 ABCD 的各边上（不与正方形顶点重合），若 EF⊥GH，求证：EF＝GH.
H
分析：
平移法构造全等：作 AM//EF，DN//GH，转化为证明△DAN≌△ABM。 O
G
学生活动：C 组学生复述作图步骤，B 组学生书写证明过程，A 组思考“若
端点在延长线上，结论是否成立？”
B F C
A D
【例题 2】 如图，正方形 ABCD 中，AB＝4，点 P 从点 B 出发沿着射线 F
AB 方向匀速运动，点 Q 从点 C 出发沿着射线 BC 方向匀速运动，P，Q 两 N
点同时出发且运动速度相等，连接 DP，AQ，二者交于点 E，连接 CE，则
G
CE 的最小值为__________.
分析： B M C
轨迹分析：由 AQ⊥DP，知 E 点在以 AD 为直径的圆上（定弦定角）。
E
教师演示：用希沃白板动态展示 E 点运动轨迹，连接 C 与圆心 M，CE 最小值为 CM-半径。
学生任务：C/B 组完成作图标注，A 组推导“定弦定角”轨迹的原理。
A F D
【例题 3】 如图，正方形 ABCD 中，AB＝6，E，F 分别在 DC 边 AD 边的延长
线上，且 CE＝DF，连接 AE 和 BF，二者交于点 G，AE 与 BC 边交于点 M，BF
E
与 CD 边交于点 N，若阴影部分与正方形的面积之比为 5:9，则△ABG 的周长为
__________.
B G C
B'
A F D
模块 2：矩形中的十字架模型 --【例题】如图，矩形 ABCD 中，
AD G
= k (k 0)，点 EF 分别在 CD 边和 AD 边上，AE 与 BF 交于点 G，
AB
AE AE
证明：（1）若 AE⊥BF，则 = k ；（2）若 = k ，则 AE⊥BF. E
BF BF
分析：
B C
相似三角形证明：由垂直得∠DAE=∠ABF，证△ADE∽△BAF。
学生活动：小组合作完成证明，对比正方形模型的异同点（全等→相似，线段相等→比例）。
设计意图：
通过“低阶证明→高阶轨迹分析”的梯度，逐步提升思维难度。
强化“平移转化”“轨迹定圆”等关键方法，渗透数形结合思想。
A D
环节 3：分层练习 —— 巩固提升（10 分钟）
1. 如图，将边长为 4 的正方形纸片 ABCD 折叠，使得点 A 落在边 CD 的
E
中点 E 处，折痕为 FG，点 F，G 分别在边 AD, BC 上，则折痕 FG 的
长度为__________.
B C Q
P
2. 如图，在正方形 ABCD 中，AB＝2，E 为边 AB 上一点，F 为边 BC 上一点，连接 DE 与 AF 交于点
G，连接 BG. 若 AE＝BF，则 BG 的最小值为__________.
3. 如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 上的动点，满足 AE＝BF，连接 CE，DF，相交于点
G，连接 AG，若正方形的变成为 2，则线段 AG 的最小值为__________.
4. 如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD 边和 AB 边上，且 EC⊥FD，垂足为 O，连接 CF，若
FO＝3，OC＝4，则阴影部分面积为__________.
C F D A E B A F B
E
G E
O
F
G
D A D C D C
题 2 题 3 题 4
5. 如图 1，E，G，F，H 分别是矩形 ABCD 四条边上的点，EF⊥GH，若 AB＝2，BC＝3，则EF : GH =（ ）
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 无法确定
6. 如图 2，在矩形 ABCD 中， AB= 2 ，E 是 EC 的中点，AE⊥BD 于点 F，则 CF 的长是__________.
A D
A H D
F
F
E
B G C B E C
图 1 图 2
【跟进练习】（自主学习单习题）
C 组：基础题（如折叠求折痕长度），侧重模型直接应用。
B 组：综合题（如已知比例求周长），需结合相似与方程思想。
A 组：拓展题（如四边形中类比模型），挑战非特殊四边形的迁移应用。
师生活动：
教师巡视指导，针对 B 组学生重点辅导轨迹作图；对 S 组学生引导类比正方形模型，探索一般四边
形的规律。
学生独立完成后，组内互批，分享错因（如忽略 “对边或延长线” 的模型条件）。
设计意图：
分层练习满足差异化需求，强化 “模型条件” 的精准识别。
通过错题分析，深化对 “垂直未必等长”“比例需满足邻边比” 等易错点的理解。
模块三、推理与证明“+”十字架模型
(一) 典例精讲
【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下
列题，请你给出证明：如图 1，在矩形 ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交 AD，BC 于点 E，F，GH 分别
EF AB
交 AB，DC 于点 G，H，求证： = .
GH AD
【结论应用】
（2）如图 2，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使得点 B 和点 D 重合，若 AB=2，BC=3. 求折痕 EF 的长；
【拓展运用】
（3）如图 3，将形 ABCD 沿 EF 折叠，使得点 D 落在 AB 边上的点 G 处，点 C 落在点 P 处，得到四边
2 10
形 EFPG，若 AB = 2, BC = 3, EF = ，请求 BP 的长．
3
A E D A E D A E D
H
G
G
B F C B F C B F C
图 1 图 2
P
图 3
(二) 跟进练习
【探究证明】
某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问
题，请你给出证明．
(1）如图 1，矩形 ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，
EF AD
H．求证： = .
GH AB
【结论应用】
EF 11 BN
(2）如图 2，在满足（1）的条件下，又 AM⊥BN，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，若 = ，则
GH 15 AM
的值为__________.
【联系拓展】
(3）如图 3，四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点 M，N 分别在
DN
边 BC，AB 上，求 的值.
AM
D
D F C D F N C
C
G G
M
M
H H
A E B A E B A N B
图 1 图 2 图 3
环节 4：归纳小结——模型升华（5 分钟）
教学内容：
知识图谱：
十字架模型
├─ 正方形：垂直 全等 线段相等，轨迹为圆弧/半圆
└─ 矩形：垂直 相似 比例 k，轨迹为半圆（随 k 变化）
核心方法：
正方形：平移构造全等，定弦定角定轨迹。
矩形：相似证明比例，邻边比 k 为关键参数。
通用：遇垂直想模型，遇最值找轨迹（圆或圆弧）。
数学思想：数形结合、转化与化归、模型思想。
师生活动：
教师引导学生对照思维导图，复述模型关键点；学生自主整理笔记，标注易错点（如矩形中 “仅当
线段在对边时，垂直才推比例”）。
设计意图：
结构化梳理知识，强化模型间的联系与区别。
提炼通性通法，提升学生面对复杂问题的迁移能力。
八、课后作业设计
（一）基础巩固（C 组）
完成自主学习单 “正方形跟进练习 1-2”（折叠求折痕、BG 最小值）。
复述矩形模型中 “AE⊥BF AE/BF=k” 的证明过程，录制 1 分钟讲解视频。
（二）能力提升（B 组）
完成自主学习单 “矩形跟进练习 1”（求 EF:GH 比例），用两种方法证明（相似 + 面积法）。
探究：若矩形变为菱形，十字架模型的垂直与数量关系如何变化？尝试画图分析。
（三）拓展挑战（A 组）
完成自主学习单 “推理与证明” 模块（折叠求 EF 长、BP 长），结合圆的性质与勾股定理求解。
项目式学习：设计一道融合十字架模型与圆的综合题，要求包含轨迹最值与相似证明，写出题设与解答
思路。
九、板书设计
四边形中的十字架模型
一、模型对比
图形 核心性质 关键条件 数学思想
正方形 垂直 全等 线段相等 端点在对边或延长线 平移、定弦定角
矩形 垂直 相似 比例 k 邻边比 k，端点在对边 相似、轨迹分析
二、典型方法
1. 正方形：平移构造全等△，轨迹为圆（如 AD 为直径）。
2. 矩形：相似△证明比例，最值=定点到圆心距离±半径。
三、易错提醒
- 矩形中：垂直→比例 k，但比例 k→/垂直（需附加条件）。
- 轨迹分析：先定圆心（如中点），再算半径（如边长一半）。
十、教学反思（预设）
成功点：通过分层任务与动态演示，帮助不同层次学生理解模型本质，尤其轨迹分析部分通过希沃白板
直观呈现，突破抽象难点。
改进点：部分学生对 “定弦定角” 轨迹的原理理解不透彻，可增加尺规作图环节，让学生亲手绘制轨迹
圆，加深体验。
延伸思考：后续可拓展至菱形、梯形中的十字架模型，进一步培养模型迁移能力，衔接高中解析几何的
轨迹思想。