模块一、正方形中的十字架模型
A E D
(一) 典例精讲
H
【例题 1】 如图，E，G，F，H 分别在正方形 ABCD 的各边上（不与正方形
顶点重合），若 EF⊥GH，求证：EF＝GH.
O
【分析】平移思想，将 EF 和 GH 转化，转化为基本模型. G
【解答】作 AM//EF 交 BC 边于点 M，作 DN//GH 交 AB 边于点 N
∵ 正方形 ABCD B F C
∴ AD＝AB，∠DAN＝∠ABM＝90°
A E D
∵ AD//BC，AB//CD，
H
∴ 四边形 AMFE 和四边形 DNGH 均为平行四边形
∴ O AM//EF，AM＝EF，DN//GH，DN＝GH N
G
∵ EF⊥GH ∴ AM⊥DN，∠AND＋∠DAM＝90°
∵ ∠BAM＋∠DAM＝90°
B M F C
∴ ∠AND＝∠BAM
∴ △DAN≌△ABM（ASA）
∴ AM＝DN，∴ EF＝GH
【例题 2】 如图，正方形 ABCD 中，AB＝4，点 P 从点 B 出发沿着射线 AB 方向匀速运动，点 Q 从
点 C 出发沿着射线 BC 方向匀速运动，P，Q 两点同时出发且运动速度相等，连接 DP，AQ，二者交于
点 E，连接 CE，则 CE 的最小值为__________.
【分析】CE 的值随 E 点位置的变化而变化，尝试分析 E 点的运动轨迹，由十字架模型得知 AQ⊥DP，
A D
由“定弦定角”出隐圆可判断 E 点轨迹，进而确定 CE 的最小值。
【解答】如图，P，Q 处于出发点位置时，E 点为正方形的中心；
∵ 两点同时出发且运动速度相等 E
∴ BP＝CQ，AP＝BQ，则△APD≌△BQA（SAS）
∴ ∠ADP＝∠BAQ B C Q
∵ ∠BAQ＋∠DAQ＝90°，∴ ∠ADP＋∠DAQ＝90° P
∴ ∠AED＝90°，则 E 点的运动轨迹为以 AD 中点 M 为圆心，以 2 为半径的圆弧 OD；
连接 MC 交圆弧 OD 于点 E，此时 CE 最小，此时 EM＝DM＝2，在 Rt△CDM 中，CD＝2√5
则 CE＝CM－EM＝2 5 2 .
【例题 3】 如图，正方形 ABCD 中，AB＝6，E，F 分别在 DC 边 AD 边的延长线上，且 CE＝DF，连
接 AE 和 BF，二者交于点 G，AE 与 BC 边交于点 M，BF 与 CD 边交于点 N，若阴影部分与正方形的面
积之比为 5:9，则△ABG 的周长为__________.
【分析】由十字架模型可知，AE⊥BF，且有 3 组全等三角形，从而得出△ABD 和四边形 GMCN 的面积
关系，求出 Rt△ABG 的面积，于是得到两直角边的乘积，结合勾股定理与完全平方公式，求得其周长.
【解答】由十字架模型可知， △FAB≌△EDA，AE⊥BF， △ABM≌△BCN
∴ = , ∴ = , 即 = 四边形
A D F
∵ AB＝6, ∴正方形面积为 36
N
∵ 阴影部分与正方形的面积之比为 5:9，
∴ 阴影面积为 20，则 + G四边形 =16
∴ = 四边形 = 8
B M C
设 Rt△ABG 的两条直角边分别为 a, b，则 ab＝16，由勾股定理得：a ＋b ＝AB ＝36，
E
∴ a＋b＝2√17，所以△ABG 的周长＝a＋b＋AB＝ 2√17 + 6.
(二) 跟进练习 A H F D
1. 如图，将边长为 4 的正方形纸片 ABCD 折叠，使得点 A 落在边 CD 的中点
E处，折痕为FG，点F，G分别在边AD, BC上，则折痕FG的长度为__________.
E
【解答】过点 G 作 GH⊥AD 于点 H；
则矩形 ABGH 中，HG＝AB，由翻折的性质得 GF⊥AE
∵∠AFG＋∠DAE＝90°，∠AED＋∠DAE＝90°，∴∠AFG＝∠AED B G C
B'
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD＝AB，HG＝AD，∴△ADE≌△GHF（AAS）
1
∴GF＝AE，因为 E 是 CD 的中点，∴DE＝ ＝2
2
在 Rt△ADE 中，由勾股定理得，AE＝2√5，∴FG 的长为2√5
C F B
2. 如图，在正方形 ABCD 中，AB＝2，E 为边 AB 上一点，F 为边 BC 上一点，
连接 DE 与 AF 交于点 G，连接 BG. 若 AE＝BF，则 BG 的最小值为__________.
【解答】过点 G 作 GH⊥AD 于点 H；
G E
如图，取 AD 的中点 T，连接 BT，GT.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°
D T A
∴ △DAE≌△ABF（SAS），∴ ∠EDA＋∠DAF＝90°，∴ ∠AGD＝90°
1
∵ DT＝AT，∴ GT＝ ＝1
2
∵ BG≥BT－GT，∴ BG≥√5 1，∴ BG 的最小值为√5 1
A B(E)
3. 如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 上的动点，满足 AE＝BF，
连接 CE，DF，相交于点 G，连接 AG，若正方形的变成为 2，则线段 AG 的
最小值为__________. O(G)
【解答】在正方形 ABCD 中，AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°
∵AE＝BF，∴BE＝CF，∴△DCF≌△CBE（SAS）
D H C(F)
∴∠CDF＝∠BCE，∠DCE＋∠BCE＝90°，∴∠CDF＋∠DCE＝90°
∴∠CGD＝90°，∴点 G 的轨迹是以 DC 为直径的圆上的一部分
如图，连接 AC，BD 交于点 O，取 DC 的中点 H，由勾股定理得：AC＝2√2
∵E，F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 上的运动，当点 G 在以 H 为圆心，CH 为半径的四分之一圆
1
上运动，当点 G 与 O 重合时，AG 最小，此时 AG＝AO＝ = √2，即 AG 最小值为√2.
2
A F B
4. 如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD 边和 AB 边上，且 EC⊥FD，
垂足为 O，连接 CF，若 FO＝3，OC＝4，则阴影部分面积为__________.
E
【解答】设四边形 AEOF 的面积为 S1，△COD 的面积为 S2，S1＝S2，
O
1 1
∵S△COD＝ 正方形 ，∴S△CDF＝S△ADF＋S△BCF＝ 2 2 正方形
即 S2＋S△COF＝S1＋S 阴，∴S 阴＝S△COF＝6. D C
模型二、长方形中的十字架模型
(一) 典例精讲
AD
【例题】如图，矩形 ABCD 中， = k (k 0)，点 EF 分别在 CD 边和 AD 边上，AE 与 BF 交于点
AB
AE AE
G，证明：（1）若 AE⊥BF，则 = k ；（2）若 = k ，则 AE⊥BF.
BF BF
【分析】由 AE⊥BF，根据同角的余角相等推出△ADE 和△BAF 的一组锐角相等，从而推出△ADE∽△
BAF.
【解答】在矩形 ABCD 中，∠ADE＝∠BAF＝90°
∵ AE⊥BF，∴ ∠AGB＝90°
A F D
∴ ∠ABF＋∠BAG＝90°且∠DAE＋∠BAG＝90°
G
∴ ∠DAE＝∠ABF
∴ △ADE∽△BAF
E
∴ = =
B C
【分析】证明 AE⊥BF，要先证明△ADE∽△BAF，由相似三角形的判定定理得，需要证明 = ，结合
已知条件和勾股定理可推.
【解答】∵ = ，∴ AD＝k · AB
∵ = ，∴ AE＝k · BF
在 Rt△ADE 中，DE＝√ = √( · )2 ( · ) = √ 2 ；
√
√ 2
在 Rt△BAF 中， AF＝ ，∴ = =
√
∴ = = ，又∠ADE＝∠BAF＝90°，∴ △ADE∽△BAF
∴ ∠DAE＝∠ABF，∴ ∠DAE＋∠BAG＝90°，∴ ∠ABF＋∠BAG＝90°,即 AE⊥BF
(二) 跟进练习
1. 如图 1，E，G，F，H 分别是矩形 ABCD 四条边上的点，E F⊥GH，若 AB＝2，BC＝3，则EF : GH =（ ）
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 无法确定
【解答】过 F 作 FM⊥AB 于 M，过 H 作 HN⊥BC 于 N，则∠4＝∠5＝∠AMF＝90°
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD//BC，AB//CD，∠A＝∠D＝∠AMF＝90°
A H D
∴四边形 AMFD 是矩形，∴MF//AD，MF＝AD＝BC＝3，
同理 HN＝AB＝2，HN//AB，∴∠1＝∠2 M F
4
∵HG⊥EF，∴∠HOE＝90°，∴∠1＋∠GHN＝90° 1
2
E
∵∠3＋∠GHN＝90°，∴∠1＝∠2＝∠3，即∠2＝∠3，∠4＝∠5
5 3
B
3 N G C
∴△FME∽△HNG，∴ = =
2
图 1
∴EF：GH＝AD：CD＝3：2
2. 如图 2，在矩形 ABCD 中， AB= 2 ，E 是 EC 的中点，AE⊥BD 于点 F，则 CF 的长是__________.
【解答】方法一、
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABE＝∠BAD＝90°
∵AE⊥BD，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＋∠ABD＝∠ABD＋∠ADB＝90°
A D
∴∠BAE＝∠ADB，∴△ABE∽△ABD，∴ =
∵E 是 BC 的中点，∴AD＝2BE，∴2BE ＝AB ＝2，∴BE＝1，BC＝2
· √6 F
∴AE＝√3，BD＝√6，∴BF＝ =
3
过 F 作 FG⊥BC 于 G，∴FG//CD，∴△BFG∽△BDC
B G E C
√2 2 4
∴ = = ，∴FG＝ ，BG＝ ，CG＝
3 3 3
∴CF＝√2
方法二、
A D
过点 C 作 CG⊥BD，∵AE⊥BD，∴∠BFE＝∠CGD＝90°，EF//CG
G
∵点 E 是 BC 中点，∴BF＝FG，
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB＝CD＝√2，AB//CD F
∴∠ABF＝∠CDG，∴△ABF≌△CDG
B C
∴DG＝BF＝FG，∴CF＝CD＝√2 E
方法三、
延长 AE 交 DC 的延长线于点 T，∵∠ABE＝∠TCE＝90°，∠AEB＝∠TEC，EB＝EC
∴△ABE≌△TCE（AAS），∴AB＝CT A D
∵AB＝CD，∴CD＝CT，∵∠DFT＝90°，∴CF＝CD＝CT＝√2
F
B E C
T
模块三、推理与证明“+”十字架模型
(一) 典例精讲
【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下
列题，请你给出证明：如图 1，在矩形 ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交 AD，BC 于点 E，F，GH 分别
EF AB
交 AB，DC 于点 G，H，求证： = .
GH AD
【结论应用】
（2）如图 2，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使得点 B 和点 D 重合，若 AB=2，BC=3. 求折痕 EF 的长；
【拓展运用】
（3）如图 3，将形 ABCD 沿 EF 折叠，使得点 D 落在 AB 边上的点 G 处，点 C 落在点 P 处，得到四边
2 10
形 EFPG，若 AB = 2, BC = 3, EF = ，请求 BP 的长．
3
A E D A E D A E D
H
G
G
B F C B F C B F C
图 1 图 2
P
图 3
【解答】（1）如图，过点 A 作 AP//EF，交 BC 于点 P，过 B 作 BQ//GH
∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AB//CD，AD//BC
∴ 四边形 AEFP，四边形 BGHQ 都是平行四边形
∴ AP＝EF，GH＝BQ
∵ GH⊥EF，∴ AP⊥BQ，∴ ∠BAT＋∠ABT＝90°
∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC
∴ ∠ABT＋∠CBQ＝90°，∴∠BAP＝∠CBQ
∴ △ABP∽△BCQ，∴ = ，∴ =
（2）连接 BD
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠C＝90°，AB＝CD＝2
∴ BD＝√13
∵ D，B 关于 EF 对称，∴ BD⊥EF
2 2√13
∴ = ，∴ = ，∴ EF＝
√13 3 3
（3）∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°
2√10
3 2∴ = ，∴ DG＝√10，∴ AG＝√ = 1
3
由翻折可知：PG＝CD＝2，ED＝EG，设 ED＝EG＝x
在 Rt△AEG 中，∵ EG ＝AE ＋AG ，∴ x ＝AG ＋AE ，∴ x ＝(3－x) ＋1
5 5 4
∴ x＝ ，∴ DE＝EG＝ ，∴ AE＝AD－DE＝ ，在 Rt△AEG 中，AG＝1，∴ BG＝1
3 3 3
作 PH⊥AB，交 AB 的延长线于 H，则∠PGH＋∠GPH＝∠PGH＋∠AGE＝90°
∴ ∠GPH＝∠AGE，由∵ ∠H＝∠A＝90°
6 8 3
∴ △GPH∽△EGA，∴ = = ，解得 PH＝ ，HG＝ ，∴ BH＝HG－BG＝ ，在 Rt△BPH 中，
5 5 5
3√5
BP＝
5
(二) 跟进练习
【探究证明】
某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问
题，请你给出证明．
(1）如图 1，矩形 ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，
EF AD
H．求证： = .
GH AB
【结论应用】
EF 11 BN
(2）如图 2，在满足（1）的条件下，又 AM⊥BN，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，若 = ，则
GH 15 AM
的值为__________.
【联系拓展】
(3）如图 3，四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点 M，N 分别在
DN
边 BC，AB 上，求 的值.
AM
D
D F C D F N C
C
G G
M
M
H H
A E B A E B A N B
图 1 图 2 图 3
【解答】（1）过点 A 作 AP//EF，交 CD 于 P，过点 B 作 BQ//GH，交 AD 于 Q，如图 1，
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB//DC，AD//BC
∴四边形 AEFP、四边形 BHGQ 都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT=90°
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°
∴∠AQT＝∠DPA. ∴△PDA∽△QAB，
∴ = ，∴ =
EF AD BN AD BN EF 11
（2）∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得 = ， = ，∴ = =
GH AB AM AB AM GH 15
（3）过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 平行于 BC 的直线于 R，交 BC 的延长线于 S，则四边形
ABSR 是平行四边形
∵∠ABC＝90°，∴四边形 ABSR 是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝BA＝10，AR＝BS
∵AM⊥DN，∴由（1）中结论可知 DN:AM＝AR:AB.
设 SC＝x，DS＝y，则 AR＝BS＝5＋x，RD＝10－y，
∴在 Rt△CSD 中，x ＋y ＝25…①，在 Rt△ARD 中，（5＋x） ＋（10－y） ＝100…②
x2 + y2 = 25 x = 3 x = 5
由②－①得 x＝2y－5…③，解方程组 ，得 或 （舍去）
x = 2y 5 y = 4 y = 0
DN AR 8 4
∴AR＝5＋x＝8，∴ = = = .
AM AB 10 5
D
R S
D P F C
C
G
Q
T
M
H
A E B A N B《四边形中的十字架模》自主学习单
一、 知识技能梳理
根据 2022 年新课标中指出特殊四边形单元以“三会”素养为导向，通过活动化探究、结构化整
合、问题化驱动，实现从知识积累到思维进阶的转化，为后续学习圆、相似图形等奠定方法论基础。
教学中需注重生活情境关联与单元整体设计，以核心素养统领内容与方法的深度融合。特殊四边形
变化多样并且综合性较强，本专题基于特殊四边形的基本性质与概念，结合三角形相似、三角函
数、圆、等面积法、平移与旋转等多个模块进行综合训练。考试中常见的考察题型主要有：（1）正
方形中十字架模型的应用与变化；（2）矩形中十字架模型的应用与变化；（3）推理与证在十字架模
型的结合与应用。从近几年中考真题来看，考察的核心思想是让学生以基本模型为抓手，通过自己
构造创设条件，结合不同的情况综合运用图形的变化与几何证明。熟练理解和运用图形的关系包含
位置关系（垂直、平行）、数量关系（全等、相似）进一步提高对几何与证明等相关知识的综合运
用能力。
二、 正方形与矩形的基本性质
性质分类 矩形 正方形
对边平行且相等 四边相等且对边平行
边与角
四个角均为直角 四个角均为直角
对角线相等且互相平分 对角线相等、垂直且平分
对角线
不垂直 每条对角线平分一组对角
轴对称（2 条对称轴） 轴对称（4 条对称轴）
对称性
中心对称 中心对称
分割图形 对角线分割为 4 个等腰三角形 对角线分割为 4 个等腰直角三角形
是矩形与菱形的交集
特殊属性 是平行四边形的特例（含直角）
（兼具边等、角直、对角线垂直）
平行四边形 → 菱形 → 正方形
几何层级 平行四边形 → 矩形
（或矩形 → 正方形）
说明：
共性：二者均为平行四边形，具有对边平行、对角相等、中心对称性，且四个角均为直角。
差异：正方形四边相等、对角线垂直且平分对角，对称轴更多，是更特殊的四边形。
三、 十字架模型的解读与分析
(一) 正方形中的十字架模型
1. 基本模型
如图 1，正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 边上的点，DE 与 AF 交与点 G，则：①AE＝BF
（或 BE＝CF）；②DE＝AF；③DE⊥AF；“知一推二”，即以其中任意一个作为条件，均可推出另
外两个结论成立.
A D A M D
2 2
1 1
3 3
E G E G
O
B F C B F C
图 1 图 2
2. 模型解读与分析
（1） 线段 AF 与 DE 构成十字架图形；
（2） 将①AE＝BF（或 BE＝CF）；②DE＝AF；③DE⊥AF；“知一推二”，即以其中任意一个作
为条件，均能证明△DAE≌△ABF，进而推出另外两个结论成立，从而得出△ADG 的面积和四
边形 BEGF 的面积相等；
（3） 当 AF⊥DE 时，图中的 4 个直角三角形均相似（含全等）；
（4） 如图 2，当 AF⊥DE 时，随着 E，F 在 AB 边和 BC 边上位置的变化，G 点的运动轨迹是
以 AD 的中点 M 为圆心，MA 长为半径的圆弧 AGO（包含 O 点，不包含 A 点，其中 O 为正方
形的中心）；已知正方形边长时，可连接 BG，则 BG 的最小值为 BM 减去圆弧半径 MG，此时
B，G，M 共线；若 E，F 分别在射线 AB 和射线 BC 上运动，且 AF⊥DE，则点 G 的轨迹是以
AD 为直径的半圆（包含 A 点，不包含 D 点）；
（5） 当 AF⊥DE 时，D，C，F，G 四点共圆，B，E，G，F 四点共圆；
（6） 如图 3，十字架的端点不与正方形的顶点重合，但每条线段的两个端点分别在正方形的一
组对边（或延长线）上时，由 EF⊥GH 可推出 EF＝GH；但由 EF＝GH 不能推出 EF⊥GH；如
图 4，EF＝GH，但 EF 与 GH 不垂直；
（7） 不满足“十字架”的每条线段的两个端点分别在正方形的一组对边上（或延长线）上时，
由 EF⊥GH 不能推出 EF＝GH，如图 5，EF⊥GH，但 EF≠GH.
A E D A E D A E H D
H
H
G
O
G
G
B F C B F C B F C
图 3 图 4 图 5
(二) 矩形中的十字架模型
1. 基本模型
AD
如图 1，矩形 ABCD 中， = k (k 0)，点 E，F 分别在 CD 边和 AD 边上，AE 与 BF 交与点 G，
AB
AE
则：① = k 与②AE⊥BF 等价，即以其中任意一个作为条件，另一个结论都成立.
BF
A F D A F D
G G
M
E O
E
B C B C
图 1 图 2
2. 模型解读与分析
（1） 线段 AE 与 BF 形成十字架图形；
AE
（2） 将① = k ；②AE⊥BF 中任意一个作为条件，均可推出△ADE∽△BAF，从而得出另一
BF
个结论成立；
（3） 当 AE⊥BF 时，图中的 4 个直角三角形均相似；
（4） 当 AE⊥BF 时，如图 2，随着 E，F 在 CD 边和 AD 边上位置的变化，点 G 的轨迹是以 AB
的中点为圆心，AB 长的一半为半径的圆弧（圆弧的另一个端点为 A，另一个端点随矩形邻
边之比 k 的变化为变化）；若 E，F 在射线 DC 和射线 AD 上运动，且 AE⊥BF，则点 G 的
轨迹时以 AB 为至今的半圆（包含 A 点，不包含 B 点）；
（5） 当 AE⊥BF 时，B，C，E，G 四点共圆，D，E，G，F 四点共圆；
（6） 如图 3，十字架的端点不与矩形的顶点重合，但每条线段的两个端点分别在矩形的一组对边
EG EG
（或延长线）上时，由 EG⊥FH 可推出 = k ；但由 = k 不能推出 EG⊥FH，如图
FH FH
EG
4，我们在图 3 中 EG⊥FH 的基础上做一个等腰△EHH′，使得 FH′＝FH，则 = k ，
FH '
但 EG 与 FH′不垂直；
A F D A F D A F D
G G
O O G
E E
B H C B H H' C B H E C
图 3 图 4 图 5
（7） 不满足十字架的每条线段的两个端点分别在矩形的一组对边（或延长线）上时由 EG⊥FH
EG EG
不能推出 = k ，如图 5，EG⊥FH，但 k .
FH FH
四、 学习过程
模块一、正方形中的十字架模型
A E D
(一) 典例精讲
H
【例题 1】 如图，E，G，F，H 分别在正方形 ABCD 的各边上（不与正方形
顶点重合），若 EF⊥GH，求证：EF＝GH.
O
G
B F C
A
E D
H
O
G
B F C
（备）
【例题 2】 如图，正方形 ABCD 中，AB＝4，点 P 从点 B 出发沿着射线 AB A D
方向匀速运动，点 Q 从点 C 出发沿着射线 BC 方向匀速运动，P，Q 两点同
时出发且运动速度相等，连接 DP，AQ，二者交于点 E，连接 CE，则 CE 的
E
最小值为__________.
B C Q
P
【例题 3】 如图，正方形 ABCD 中，AB＝6，E，F 分别在 DC 边 AD 边的 A D F
延长线上，且 CE＝DF，连接 AE 和 BF，二者交于点 G，AE 与 BC 边交于点
N
M，BF 与 CD 边交于点 N，若阴影部分与正方形的面积之比为 5:9，则△ABG
G
的周长为__________.
B M C
E
(二) 跟进练习 A F D
1. 如图，将边长为 4 的正方形纸片 ABCD 折叠，使得点 A 落在边 CD 的中点
E处，折痕为FG，点F，G分别在边AD, BC上，则折痕FG的长度为__________.
E
B G C
B'
C F D
2. 如图，在正方形 ABCD 中，AB＝2，E 为边 AB 上一点，F 为边 BC 上一
点，连接 DE 与 AF 交于点 G，连接 BG. 若 AE＝BF，则 BG 的最小值为
__________.
G E
D A
A E B
3. 如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 上的动点，满足 AE＝BF，
连接 CE，DF，相交于点 G，连接 AG，若正方形的变成为 2，则线段 AG 的
最小值为__________.
F
G
D C
A
F B
4. 如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD 边和 AB 边上，且 EC⊥FD，
E
垂足为 O，连接 CF，若 FO＝3，OC＝4，则阴影部分面积为__________.
O
D C
模型二、长方形中的十字架模型
(一) 典例精讲
AD
【例题】如图，矩形 ABCD 中， = k (k 0)，点 EF 分别在 CD 边和 AD 边上，AE 与 BF 交于点
AB
AE AE
G，证明：（1）若 AE⊥BF，则 = k ；（2）若 = k ，则 AE⊥BF.
BF BF
A F D
G
E
B C
(二) 跟进练习
1. 如图 1，E，G，F，H 分别是矩形 ABCD 四条边上的点，EF⊥GH，若 AB＝2，BC＝3，则EF :GH =（ ）
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 无法确定
2. 如图 2，在矩形 ABCD 中， AB= 2 ，E 是 EC 的中点，AE⊥BD 于点 F，则 CF 的长是__________.
A D
A H D
F
F
E
B G C B E C
图 1 图 2
模块三、推理与证明“+”十字架模型
(一) 典例精讲
【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下
列题，请你给出证明：如图 1，在矩形 ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交 AD，BC 于点 E，F，GH 分别
EF AB
交 AB，DC 于点 G，H，求证： = .
GH AD
【结论应用】
（2）如图 2，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使得点 B 和点 D 重合，若 AB=2，BC=3. 求折痕 EF 的长；
【拓展运用】
（3）如图 3，将形 ABCD 沿 EF 折叠，使得点 D 落在 AB 边上的点 G 处，点 C 落在点 P 处，得到四边
2 10
形 EFPG，若 AB = 2, BC = 3, EF = ，请求 BP 的长．
3
A E D A E D A E D
H
G
G
B F C B F C B F C
图 1 图 2
P
图 3
(二) 跟进练习
【探究证明】
某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问
题，请你给出证明．
(1）如图 1，矩形 ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，
EF AD
H．求证： = .
GH AB
【结论应用】
EF 11 BN
(2）如图 2，在满足（1）的条件下，又 AM⊥BN，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，若 = ，则
GH 15 AM
的值为__________.
【联系拓展】
(3）如图 3，四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点 M，N 分别在
DN
边 BC，AB 上，求 的值.
AM
D
D F C D F N C
C
G G
M
M
H H
A E B A E B A N B
图 1 图 2 图 3
