4.1整式暑假预习练（含解析）
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4.1整式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是用正立的“”摆成的图形，第①个图形有个正立的“”，第②个图形有个正立的“”，第③个图形有个正立的“”，，观察图形规律得出第⑧个图形有（ ）个正立的“”．
A． B． C． D．
2．若是的系数，是多项式的次数，则（ ）
A． B． C． D．
3．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（ ）
A． B． C． D．
4．在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．在、、、中，单项式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列说法中正确的是（ ）
A．的系数是，次数是2 B．多项式是三次三项式
C．表示a，b，的积的代数式为 D．是多项式
7．对于多项式，下列说法中错误的是（ ）
A．多项式的次数是3 B．二次项的系数为3
C．一次项系数为0 D．常数项为1
8．在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为，则下列叙述中正确的是（ ）
A．左上角的数字为 B．左下角的数字为
C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
9．多项式是按（ ）
A．的降幂排列 B．的升幂排列 C．的降幂排列 D．的升幂排列
10．一列数，，…，其中，，，…，，则（ ）
A． B．1 C．2020 D．
11．代数式，0.5中整式的个数（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
12．单项式的次数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7．
二、填空题
13．关于的多项式的次数是2，那么 ．
14．单项式系数是 ．
15．一组按规律排列的单项式、、、，…，依这个规律用含字母n（n为正整数，且）的式子表示第n个单项式为 ．
16．一个关于x的二次三项式，二次项的系数是，一次项的系数和常数项都是2，则这个多项式是 ．
17．按规律填写：，，，，，那么第20个数是 ．
三、解答题
18．请按规律写出第5个数，并用含有字母的式子表示第个数：
（1）2，4，6，8， ，…， ；
（2）1，3，5，7， ，…， ；
（3）3，5，7，9， ，…， ；
（4）1，4，9，16， ，…， ；
（5）2，5，10，17， ，…， ；
（6）2，4，8，16， ，…， ．
19．把下列式子分别填在相应的大括号内：
．
单项式：{ …}；
多项式：{ …}
整式：{ …}．
20．[推理能力]将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：
(1)在A位置的数是正数还是负数？
(2)A，，，中哪个位置的数是负数？
(3)第50个数是正数还是负数？排在对应A，，，中的哪个位置上？
21．把降幂排列．
22．填空：
多项式
项
次数
最高次项
几次几项式
23．已知是关于，的四次三项式，写出该多项式，并指出该多项式的项．
24．已知关于x、y的多项式是五次四项式（m，n为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求m，n的值；
(2)将这个多项式按x的降幂排列．
《4.1整式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C B D D D B B
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】观察图形可得，第①个图形有个正立的“”，；第②个图形有个正立的“”，；第③个图形有个正立的“”，；第④个图形有个正立的“”，；根据规律可得答案．
【详解】解：观察图形可得，
第①个图形有个正立的“”，；
第②个图形有个正立的“”，；
第③个图形有个正立的“”，；
第④个图形有个正立的“”，；
……，
所以第⑧个图形正立的“”的个数是：（个）．
故选：C．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，观察图形找到规律并能表示出来是解题关键．
2．D
【分析】本题考查了多项式的次数、单项式的系数．根据单项式中的数字因数就是单项式的系数可知，根据多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数可知，把和的值代入计算即可．
【详解】解：是的系数，
，
是多项式的次数，
，
．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查图形类规律探究，根据前几个图形中三角形的个数找到变化规律即可求解．
【详解】解：第1个图形中的三角形的个数是，
第2个图形中的三角形的个数是，
第3个图形中的三角形的个数是，
……，
第n个图形中的三角形的个数是，
故选：D
4．C
【分析】本题考查整式的定义，单项式与多项式统称为整式，根据整式的概念逐项验证即可得到答案，熟记整式的定义是解决问题的关键．
【详解】解：①； ②； ③； ④；⑤中，整式有①； ②； ③；⑤；共4个，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查单项式的识别，由数与字母的乘积组成的代数式是单项式，单独一个数或一个字母也是单项式，据此即可求解．
【详解】解：、、、中，
、是单项式；是多项式，分母中含字母，不是单项式，
因此单项式的个数有2个，
故选B．
6．D
【分析】本题考查单项式和多项式，根据单项式和多项式的相关概念，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、的系数是，次数是2；原说法错误，不符合题意；
B、多项式是二次三项式；原说法错误，不符合题意；
C、表示a，b，的积的代数式为；原说法错误，不符合题意；
D、是多项式；原说法正确，符合题意；
故选D．
7．D
【分析】此题考查了多项式的有关定义．根据多项式的项数、次数，以及项的次数、系数的定义即可作出判断．
【详解】解：A、多项式的次数是3，正确，不符合题意；
B、二次项系数为3正确，不符合题意；
C、一次项系数为0，正确，不符合题意；
D、常数项为，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
8．D
【详解】A．左上角的数字为，不正确；B．左下角的数字为，不正确；C．右下角的数字为，不正确；D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，正确．
9．B
【分析】本题考查了多项式的项的概念和升幂排列的概念．我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
【详解】解：多项式是按的升幂排列.
故选： B．
10．B
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得所求式子的值．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
即这列数依次以，，2循环出现，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字的变化特点，明确题意、发现数字的变化特点是解题的关键．
11．B
【分析】此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．直接利用整式的定义得出答案．
【详解】解：根据整式的定义，代数式，0.5中，整式有：0.5，共有4个．
故选：B
12．B
【分析】本题考查的是单项式的次数，单项式中所有字母的指数和是单项式的次数；把单项式中所有字母的指数相加即可得到单项式的次数．
【详解】解：∵，
∴单项式的次数是5次；
故选B
13．2
【分析】此题主要考查了多项式的定义，多项式的次数，正确把握多项式的定义是解题关键．
直接利用多项式的定义得出，进而得出答案．
【详解】
解：关于的多项式的次数是2，
，，
解得：，，
∴故答案为：2．
14．
【分析】本题考查单项式的有关概念，解题的关键是掌握：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．根据单项式的系数的定义解答即可．
【详解】解：单项式的系数是．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查数字规律问题，单项式定义．根据题意利用数字规律即可得到本题答案．
【详解】解：∵第一个式子为：
第二个式子为：
第三个式子为：
第四个式子为：，
∴第n个单项式为：．
故答案为：．
16．
【分析】由于多项式是由单项式组成的，而多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，而关于x的二次三项式，二次项系数是，一次项系数和常数项是2，根据前面的定义即可确定这个二次三项式．
【详解】解：∵该二次三项式二次项的系数是，一次项的系数和常数项都是2，
∴这个多项式是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式，多项式是由单项式组成的，明确二次项、一次项和常数项的定义是解题的关键．
17．
【分析】观察可得：规律为：，当时，代入即可求解．
【详解】解：观察可得：规律为：，
当时，代入，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律探索，观察数字，找出规律是解题的关键．
18． 10 9 11 25 26 32
【分析】（1）规律是从2开始的连续的偶数；
（2）规律是从1开始的连续的奇数；
（3）规律是从3开始的连续的奇数；
（4）规律是从1开始的连续的平方数；
（5）规律是从1开始的连续的平方数加1；
（6）规律是后一个数是前一个数的2倍．
【详解】（1）2，4，6，8，10，…，；
故答案为：10，；
（2）1，3，5，7，9，…，；
故答案为：9，；
（3）3，5，7，9，11，…，；
故答案为：11，；
（4）1，4，9，16，25，…，；
故答案为：25，；
（5）2，5，10，17，26，…，；
故答案为：26，；
（6）2，4，8，16，32，…，．
故答案为：32，．
【点睛】本题考查了数的规律探求，属于常见规律类型，正确找到规律是解题的关键．
19．单项式：；多项式：；整式：
【分析】根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可．
【详解】解：单项式：；
多项式：；
整式：．
【点睛】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义．
20．(1)在A位置的数是正数．
(2)和位置的数是负数．
(3)第50个数是正数，排在对应的位置上．
【分析】（1）根据题中给出的数据，可以发现向上箭头的上方对应的数是正数，从而得到A处的数是正数还是负数；
（2）根据题中给出的数据，可以发现向下箭头的上方是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，从而可知负数在A，，，中的位置；
（3）根据题中给出的数据，可以发现4的整数倍都在A的位置，从而得到第50个数是正数还是负数，排在A，，，中的哪个位置．
【详解】（1）解：∵A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，
∴在位置的数是正数；
（2）∵向下箭头的上方是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数；
∴和位置的数是负数；
（3）由图形可以发现4的整数倍都在A的位置；
∵，
∴第50个数是正数，排在对应的位置上．
【点睛】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
21．
【分析】本题考查了将多项式按升幂（降幂）排列，根据多项式中每项的次数从高到低排列即可．
【详解】解：根据题意可得，多项式中的次数为，的次数为，的次数为0，的次数为，
按照降幂排列为．
22．见解析
【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有个单项式，单项式最高次数是，那么这个多项式就叫次项式，根据多项式的定义进行解答即可．
【详解】解：
多项式
项 ， ，， ，，
次数 1 4 5
最高次项
几次几项式 一次二项式 四次三项式 五次三项式
23．该多项式为，该多项式的项为，，1
【分析】根据多项式的定义，若干个单项式的和组成的式子叫做多项式．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，据此求解即可．
【详解】解：由题意，得，且，
解得.
所以该多项式为．
该多项式的项为，，1．
【点睛】本题考查了多项式的次数和项的定义．解此类题目的关键是弄清多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是单项式的个数．
24．(1)，
(2)
【分析】本题考查整式的项与次数．
（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，求解即可；
（2）按x的指数从大到小排列即可．
【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，
∴，，
解得：，．
（2）由（1）可知，这个多项式为，
将这个多项式按x的降幂排列为．
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4.1整式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是用正立的“”摆成的图形，第①个图形有个正立的“”，第②个图形有个正立的“”，第③个图形有个正立的“”，，观察图形规律得出第⑧个图形有（ ）个正立的“”．
A． B． C． D．
2．若是的系数，是多项式的次数，则（ ）
A． B． C． D．
3．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（ ）
A． B． C． D．
4．在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．在、、、中，单项式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列说法中正确的是（ ）
A．的系数是，次数是2 B．多项式是三次三项式
C．表示a，b，的积的代数式为 D．是多项式
7．对于多项式，下列说法中错误的是（ ）
A．多项式的次数是3 B．二次项的系数为3
C．一次项系数为0 D．常数项为1
8．在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为，则下列叙述中正确的是（ ）
A．左上角的数字为 B．左下角的数字为
C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
9．多项式是按（ ）
A．的降幂排列 B．的升幂排列 C．的降幂排列 D．的升幂排列
10．一列数，，…，其中，，，…，，则（ ）
A． B．1 C．2020 D．
11．代数式，0.5中整式的个数（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
12．单项式的次数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7．
二、填空题
13．关于的多项式的次数是2，那么 ．
14．单项式系数是 ．
15．一组按规律排列的单项式、、、，…，依这个规律用含字母n（n为正整数，且）的式子表示第n个单项式为 ．
16．一个关于x的二次三项式，二次项的系数是，一次项的系数和常数项都是2，则这个多项式是 ．
17．按规律填写：，，，，，那么第20个数是 ．
三、解答题
18．请按规律写出第5个数，并用含有字母的式子表示第个数：
（1）2，4，6，8， ，…， ；
（2）1，3，5，7， ，…， ；
（3）3，5，7，9， ，…， ；
（4）1，4，9，16， ，…， ；
（5）2，5，10，17， ，…， ；
（6）2，4，8，16， ，…， ．
19．把下列式子分别填在相应的大括号内：
．
单项式：{ …}；
多项式：{ …}
整式：{ …}．
20．[推理能力]将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：
(1)在A位置的数是正数还是负数？
(2)A，，，中哪个位置的数是负数？
(3)第50个数是正数还是负数？排在对应A，，，中的哪个位置上？
21．把降幂排列．
22．填空：
多项式
项
次数
最高次项
几次几项式
23．已知是关于，的四次三项式，写出该多项式，并指出该多项式的项．
24．已知关于x、y的多项式是五次四项式（m，n为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求m，n的值；
(2)将这个多项式按x的降幂排列．
《4.1整式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C B D D D B B
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】观察图形可得，第①个图形有个正立的“”，；第②个图形有个正立的“”，；第③个图形有个正立的“”，；第④个图形有个正立的“”，；根据规律可得答案．
【详解】解：观察图形可得，
第①个图形有个正立的“”，；
第②个图形有个正立的“”，；
第③个图形有个正立的“”，；
第④个图形有个正立的“”，；
……，
所以第⑧个图形正立的“”的个数是：（个）．
故选：C．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，观察图形找到规律并能表示出来是解题关键．
2．D
【分析】本题考查了多项式的次数、单项式的系数．根据单项式中的数字因数就是单项式的系数可知，根据多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数可知，把和的值代入计算即可．
【详解】解：是的系数，
，
是多项式的次数，
，
．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查图形类规律探究，根据前几个图形中三角形的个数找到变化规律即可求解．
【详解】解：第1个图形中的三角形的个数是，
第2个图形中的三角形的个数是，
第3个图形中的三角形的个数是，
……，
第n个图形中的三角形的个数是，
故选：D
4．C
【分析】本题考查整式的定义，单项式与多项式统称为整式，根据整式的概念逐项验证即可得到答案，熟记整式的定义是解决问题的关键．
【详解】解：①； ②； ③； ④；⑤中，整式有①； ②； ③；⑤；共4个，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查单项式的识别，由数与字母的乘积组成的代数式是单项式，单独一个数或一个字母也是单项式，据此即可求解．
【详解】解：、、、中，
、是单项式；是多项式，分母中含字母，不是单项式，
因此单项式的个数有2个，
故选B．
6．D
【分析】本题考查单项式和多项式，根据单项式和多项式的相关概念，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、的系数是，次数是2；原说法错误，不符合题意；
B、多项式是二次三项式；原说法错误，不符合题意；
C、表示a，b，的积的代数式为；原说法错误，不符合题意；
D、是多项式；原说法正确，符合题意；
故选D．
7．D
【分析】此题考查了多项式的有关定义．根据多项式的项数、次数，以及项的次数、系数的定义即可作出判断．
【详解】解：A、多项式的次数是3，正确，不符合题意；
B、二次项系数为3正确，不符合题意；
C、一次项系数为0，正确，不符合题意；
D、常数项为，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
8．D
【详解】A．左上角的数字为，不正确；B．左下角的数字为，不正确；C．右下角的数字为，不正确；D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，正确．
9．B
【分析】本题考查了多项式的项的概念和升幂排列的概念．我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
【详解】解：多项式是按的升幂排列.
故选： B．
10．B
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得所求式子的值．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
即这列数依次以，，2循环出现，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字的变化特点，明确题意、发现数字的变化特点是解题的关键．
11．B
【分析】此题主要考查了整式，正确把握整式的定义是解题关键．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．直接利用整式的定义得出答案．
【详解】解：根据整式的定义，代数式，0.5中，整式有：0.5，共有4个．
故选：B
12．B
【分析】本题考查的是单项式的次数，单项式中所有字母的指数和是单项式的次数；把单项式中所有字母的指数相加即可得到单项式的次数．
【详解】解：∵，
∴单项式的次数是5次；
故选B
13．2
【分析】此题主要考查了多项式的定义，多项式的次数，正确把握多项式的定义是解题关键．
直接利用多项式的定义得出，进而得出答案．
【详解】
解：关于的多项式的次数是2，
，，
解得：，，
∴故答案为：2．
14．
【分析】本题考查单项式的有关概念，解题的关键是掌握：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．根据单项式的系数的定义解答即可．
【详解】解：单项式的系数是．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查数字规律问题，单项式定义．根据题意利用数字规律即可得到本题答案．
【详解】解：∵第一个式子为：
第二个式子为：
第三个式子为：
第四个式子为：，
∴第n个单项式为：．
故答案为：．
16．
【分析】由于多项式是由单项式组成的，而多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，而关于x的二次三项式，二次项系数是，一次项系数和常数项是2，根据前面的定义即可确定这个二次三项式．
【详解】解：∵该二次三项式二次项的系数是，一次项的系数和常数项都是2，
∴这个多项式是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式，多项式是由单项式组成的，明确二次项、一次项和常数项的定义是解题的关键．
17．
【分析】观察可得：规律为：，当时，代入即可求解．
【详解】解：观察可得：规律为：，
当时，代入，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律探索，观察数字，找出规律是解题的关键．
18． 10 9 11 25 26 32
【分析】（1）规律是从2开始的连续的偶数；
（2）规律是从1开始的连续的奇数；
（3）规律是从3开始的连续的奇数；
（4）规律是从1开始的连续的平方数；
（5）规律是从1开始的连续的平方数加1；
（6）规律是后一个数是前一个数的2倍．
【详解】（1）2，4，6，8，10，…，；
故答案为：10，；
（2）1，3，5，7，9，…，；
故答案为：9，；
（3）3，5，7，9，11，…，；
故答案为：11，；
（4）1，4，9，16，25，…，；
故答案为：25，；
（5）2，5，10，17，26，…，；
故答案为：26，；
（6）2，4，8，16，32，…，．
故答案为：32，．
【点睛】本题考查了数的规律探求，属于常见规律类型，正确找到规律是解题的关键．
19．单项式：；多项式：；整式：
【分析】根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可．
【详解】解：单项式：；
多项式：；
整式：．
【点睛】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义．
20．(1)在A位置的数是正数．
(2)和位置的数是负数．
(3)第50个数是正数，排在对应的位置上．
【分析】（1）根据题中给出的数据，可以发现向上箭头的上方对应的数是正数，从而得到A处的数是正数还是负数；
（2）根据题中给出的数据，可以发现向下箭头的上方是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，从而可知负数在A，，，中的位置；
（3）根据题中给出的数据，可以发现4的整数倍都在A的位置，从而得到第50个数是正数还是负数，排在A，，，中的哪个位置．
【详解】（1）解：∵A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，
∴在位置的数是正数；
（2）∵向下箭头的上方是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数；
∴和位置的数是负数；
（3）由图形可以发现4的整数倍都在A的位置；
∵，
∴第50个数是正数，排在对应的位置上．
【点睛】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
21．
【分析】本题考查了将多项式按升幂（降幂）排列，根据多项式中每项的次数从高到低排列即可．
【详解】解：根据题意可得，多项式中的次数为，的次数为，的次数为0，的次数为，
按照降幂排列为．
22．见解析
【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有个单项式，单项式最高次数是，那么这个多项式就叫次项式，根据多项式的定义进行解答即可．
【详解】解：
多项式
项 ， ，， ，，
次数 1 4 5
最高次项
几次几项式 一次二项式 四次三项式 五次三项式
23．该多项式为，该多项式的项为，，1
【分析】根据多项式的定义，若干个单项式的和组成的式子叫做多项式．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，据此求解即可．
【详解】解：由题意，得，且，
解得.
所以该多项式为．
该多项式的项为，，1．
【点睛】本题考查了多项式的次数和项的定义．解此类题目的关键是弄清多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是单项式的个数．
24．(1)，
(2)
【分析】本题考查整式的项与次数．
（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，求解即可；
（2）按x的指数从大到小排列即可．
【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，
∴，，
解得：，．
（2）由（1）可知，这个多项式为，
将这个多项式按x的降幂排列为．
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