5.3实际问题与一元一次方程暑假预习练（含解析）

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5.3实际问题与一元一次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中m的值为（ ）
A．3 B．1 C．-8 D．-10
2．某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是60元，若按成本计，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中他（ ）
A．赚7元 B．赚8元 C．赔7元 D．赔8元
3．小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定游戏规则为：小明投中1个得2分，小明爸爸投中1个得1分，两人共投中了25个．经计算，发现小明比爸爸多得2分，你知道小明投中几个吗？设小明投中x个，根据题意，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一件夹克衫先按成本价提高70%标价，再将标价打7折出售，结果获利38元．设这件夹克衫的成本价是x元，那么依题意所列方程正确的是( )
A．70%（1+70%）x＝x+38 B．70%（1+70%）x＝x﹣38
C．70%（1+70%x）＝x﹣38 D．70%（1+70%x）＝x+38
5．小明玩游戏：一张纸片，第一次将其撕成四小片，以后每次都将其中一片撕成更小的四片，如此进行下去．当小明撕了次后，共有2023张纸片，则的值是（ ）
A．505 B．506 C．674 D．675
6．有一旅客带行李从郑州到广州，按民航规定，旅客最多可免费携带行李，超过部分每千克按飞机票价的购买行李票，已知该旅客购买的行李票为元，则他的飞机票价为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
7．参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（ ）
A．82分 B．86分 C．87分 D．88分
8．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．小明持会员卡购买一个电动汽车花了144元，则这个电动汽车的原价是（ ）
A．240元 B．180元 C．260元 D．300元
10．三个连续的偶数的和是，其中最大的偶数是（ ）
A． B． C． D．
11．三个连续自然数的和为12，则这三个连续自然数的积为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．60
12．一个数在数轴上所对应的点向左移4个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是（ ）
A．4 B．2 C． D．
二、填空题
13．中国古代数学著作《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，三车空；三人共车，十人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每四人乘一车，最终剩余3辆车，若每3人共乘一车，最终剩余10个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程 ．
14．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学．一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180m/min的速度去追赶小明，并且在途中追上了他．则爸爸追上小明用了 min．
15．在一场篮球比赛中，小明投中的两分球、三分球共得28分，且他投中的两分球比三分球多4个，则小明投中两分球 个，三分球 个．
16．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，3小时后甲船能比乙船多航行60千米，设水流速度是x千米/时，则可列方程 ．
17．某商品标价100元，现在打6折出售仍可获利，则这件商品的进价是 元．
三、解答题
18．【问题引入】
一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是15秒，你能求出这列火车的长度吗？
【情境分析】
设这列火车的长度是x米．
（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是________米，这段时间内火车的平均速度是________米/秒．
（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是________米，这段时间内火车的平均速度是_________米/秒．
（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是_______．
【问题解决】
（4）请列出方程并求出这列火车的长度．
19．一块长方形菜地长18m，如果把它的长增加到22m，宽减少3m，它的面积大小正好没变．这块长方形菜地的面积是多少平方米？
20．甲、乙两人年龄不等，已知当甲是乙现在的年龄时，乙6岁；当乙与甲现在的年龄相同时，甲21岁，求今年甲的年龄．
21．某校七年级社会实践小组到某商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了一部分，因市场原因，为回笼资金，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完．请你帮商场计算一下，降价之前销售的袝衫数量为多少时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？
22．（1）【新知理解】
如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”）
（2）【新知应用】
如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______．
（3）【拓展探究】
已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数．
23．甲容器中有含盐量的盐水80克，乙容器有盐水120克．现将甲、乙两容器中的盐水混合后得到含盐的溶液，求原来乙容器中盐水的浓度．
24．阅读下面的材料：
如图①，若线段在数轴上，A，B点表示的数分别为a，，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为
请用上面材料中的知识解答下面的问题：
如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示
(1)请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置，并直接写出线段的长度；
(2)若数轴上有一点D，且，，则点D表示的数是什么？
(3)若将点A以每秒的速度向右移动，同时点B以每秒的速度向左移动，设移动时间是t秒，请用代数式表示移动后的点表示的数？
《5.3实际问题与一元一次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A C C D B D C
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】根据幻方的特点列出算式m+1-9=-5+0，求出m即可．
【详解】解：根据题意知m+1-9=-5+0，
解得：m=3，
故选A．
【点睛】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则及幻方的特点．
2．D
【分析】设盈利的上衣的进价为x元，亏损的上衣的进价为y元，根据利润＝销售收入成本，即可得出关于x（或y）的一元一次方程，解之即可得出两件上衣的成本，再利用总利润＝两件上衣的总售价 两件上衣的总成本即可求出结论．
【详解】解：设盈利的上衣的成本为x元，亏损的上衣的成本为y元，
依题意，得：，，
解得：，
∵（元）．
∴该商贩亏损8元．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．A
【分析】设小明投中数为x个，根据投中总数25个，可知小明爸爸投中数为25-x个，由题可知小明比爸爸多得2分，根据得分的数量关系列方程求解．
【详解】解：设小明投中数为x个，可知小明爸爸投中数为25-x个，由题可知小明比爸爸多得2分，根据题意列方程：
；
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解实际应用中已知条件和未知数的数量关系．
4．A
【分析】设这件夹克衫的成本价是x元，根据售价＝成本＋利润，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设这件夹克衫的成本价是x元，
依题意，得：70%（1＋70%）x＝x＋38，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．C
【分析】此题主要考查图形的变化规律，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数值等条件，认真分析，找到规律．
根据撕了n次后可得张纸，列出方程求解即可．
【详解】解：小明撕了1次时，有4张纸，而；
小明撕了2次时，有7张纸，而；
小明撕了3次时，有10张纸，而；
……
可以发现：小明撕了n次后可得张纸；
∴，
解得，；
故选：C．
6．C
【分析】设飞机票价为x元，则该旅客行李超重应付的费用为，根据该旅客购买的行李票为元，列方程并解方程即可得到答案．
【详解】解：设飞机票价为x元，则该旅客行李超重应付的费用为，则
解得，
即飞机票价为元．
故选：C
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键．
7．D
【分析】根据题意，可找出数量间的相等关系:女生的平均成绩男生的平均成绩全班平均成绩，设女生的平均成绩是，列方程解答即可．
【详解】解：设女生的平均成绩是x，因为总成绩不变，根据题意列方程：
故答案为D．
【点睛】解答此题关键是先求出全班的总成绩和男生的总成绩，然后求出女生的总成绩，进而求出女生的平均成绩．
8．B
【分析】设这个班有学生x人，图书y本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可．
【详解】解：设这个班有学生x人，图书y本，
由题意得，，，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
9．D
【分析】设这个电动汽车的原价是元，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设这个电动汽车的原价是元，由题意，得：，
解得：；
答：这个电动汽车的原价是300元．
故选D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．
10．C
【分析】本题考查一元一次方程的应用，先设最大的偶数，再根据三个连续的偶数的和是，即可列出相应的方程，然后求解即可．
【详解】解：设最大的偶数为x，则另为两个偶数为，
由题意可得：，
解得，
故选C．
11．D
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出这三个自然数，根据三个连续自然数的和为12，可以列出相应的方程，然后求解即可得到这三个自然数，然后求出这三个连续自然数的积即可．
【详解】解：设最小的自然数为，
则，
解得，
这三个自然数为3，4，5，
，
这三个连续自然数的积为60，
故选：D．
12．B
【分析】设这个数是a,利用平移的距离和方向可得平移后的数为,根据相反数的定义可得这个数的相反数为,根据题意列出方程，解出方程即可.
【详解】解：设这个数是，
根据题意可得，，
解得.
故选B.
【点睛】本题考查一元一次方程，数轴上点的平移，找出等量列方程是解题的关键.
13．
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，根据题意找到等量关系是解题的关键．设有x辆车，根据每四人乘一车，最终剩余3辆车，若每3人共乘一车，最终剩余10个人无车可乘，进而表示出两种情况的总人数，得出等式即可．
【详解】解：设有x辆车，则可列方程为，
，
故答案为：．
14．4
【分析】设小明爸爸追上小明用了x min，根据速度差×时间＝路程差，列出方程求解即可．
【详解】解：设爸爸追上小明用了x min，
依题意有（180 80）x＝80×5，
解得x＝4．
即：爸爸追上小明用了4min长时间．
故答案是：4．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
15． 8 4
【分析】设投中的两分球为x个，三分球为个， 根据得28分列方程即可得答案．
【详解】解：设投中的两分球为x个，三分球为个， 根据题意可得：
解得：，则，
答：小明投中的两分球8个，三分球4个．
故答案为：8，4．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
16．
【分析】分别求出甲、乙两人3小时行驶的路程，再根据3小时后甲船能比乙船多航行60千米列出方程即可．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键．
17．
【分析】设这件商品的进价为x元，根据利润=销售价格进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设这件商品的进价为x元，
根据题意得：，
解得：．
答：这件商品的进价为元．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由售价找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
18．（1）， （2）， （3）相等 （4）这列火车的长度为米
【分析】本题考查了一元一次方程的应用,解答本题注意理解“完全通过”的含义,完全通过:火车所走的路程=隧道长度+火车长度．
（1）火车长度为，根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出代数式即可；
（3）上述问题中火车的平均速度不发生变化；
（4）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：（1）设这列火车的长度是x米，从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒，
故答案为：，；
（2）设这列火车的长度是x米，从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒，
故答案为：，；
（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是相等，
故答案为：相等；
（4）列方程为：，
解得，
答：这列火车的长度为米．
19．这块长方形菜地的面积是297平方米
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设原长方形的宽为米，根据题意和长方形的面积长宽列方程求解即可．
【详解】解：设原长方形的宽为米，
由题意得：，
解得：，
（平方米），
答：这块长方形菜地的面积是297平方米．
20．今年甲的年龄是16岁
【分析】设甲与乙的年龄差是岁，根据“当甲是乙现在的年龄时，乙6岁”可知甲与乙的年龄差是乙现在的年龄减去6岁；根据“当乙与甲现在的年龄相同时，甲21岁”可知甲与乙的年龄差是21岁减去甲现在的年龄；也就是从6岁到乙现在的年龄，从乙现在的年龄到甲现在的年龄，从甲现在的年龄到21岁，三段年龄差相等，从而列出方程求解即可．
【详解】解：设甲与乙的年龄差是岁．
根据题意，得，
解得．
(岁)．
答：今年甲的年龄是16岁．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系列方程是解题的关键．
21．件
【分析】设降价之前销售的衬衫数量为件时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标，根据题意，列出方程，即可．
【详解】解：设降价之前销售的衬衫数量为件时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标，
∴，
解得：，
∴降价之前销售的衬衫数量为件时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，列出方程，进行求解．
22．（1）是；（2）；（3）或
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用．
（1）根据“妙点”的定义即可判断；
（2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可；
（3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数．
【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点，
∴，
∴点为线段的“妙点”
故答案为：是
（2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7，
∴，
又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为，
∵，
∴，
解得：，
点对应的数为，
故答案为：
（3），
∴，
∴
设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则，
依题意：或，
即或，
解得：或，
又当点，相遇时，，得，
即，
当时，，故点在数轴上对应的数为，
当时，，故点在数轴上对应的数为，
故答案为：或
23．原来乙容器中的盐水浓度是
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系，列出方程．设原来乙容器中盐水的浓度是，根据甲、乙两容器中的盐水混合后得到含盐的溶液，列方程，求出即可．
【详解】解：设原来乙容器中盐水的浓度是，
由题意可得，
解得．
答：原来乙容器中的盐水浓度是．
24．(1)图见解析，
(2)或7
(3)；
【分析】本题考查了数轴上点的运动，掌握数轴上两点之间的距离求解是解决问题的关键．
（1）根据题意容易画出图形；由题意容易得出的长度；
（2）设点表示的数是，由绝对值的意义容易得出结果；
（3）根据“数轴上的点,越往右越大”可得出点A移动后所表示的数，反之，点A移动后所表示的数．
【详解】（1）解：由题意可得：A，B，C三点的位置如下所示，
（2）解：设点表示的数是，
解得：或7，
∴点表示的数是或7；
（3）解：将点A以每秒的速度向右移动，移动时间是t秒，请用代数式表示移动后的点表示的数，则移动后的点表示的数为；
B以每秒的速度向左移动，移动时间是t秒，则移动后的点表示的数为；
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