(共31张PPT)
7.2.2 复数乘、除运算
预 学 案
一、复数乘法法则及其运算律
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝________________．
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝________
结合律 (z1z2)z3＝________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝________
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
练习
1．复数i(1＋i)＝( )
A．－1＋i B．2＋i
C．1＋i D．－2－i
答案：A
解析：由题可知i(1＋i)＝－1＋i.故选A.
2．复数z＝(1－3i)2，其中i为虚数单位，则z的虚部为________．
－6
解析：z＝(1－3i)2＝1－6i＋9i2＝－8－6i，
故z的虚部为－6.
二、复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)(a，b，c，d∈R)，则＝＝______________(c＋di≠0)．
i
练习
1．复数z＝化简的结果是( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
答案：A
解析：z＝＝＝＝1－i.故选A.
2．复数的虚部为________．
1
解析：因为＝＝1＋i，所以复数的虚部为1.
微点拨
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
微点拨
(1)分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
(2)注意最后结果要将实部、虚部分开．
共 学 案
【学习目标】
(1)掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(2)理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(3)会利用复数代数形式的乘法和除法及运算律解决相关问题．
题型 1 复数的乘法运算
【问题探究1】 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
提示：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
例1 计算下列各题．
(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解析：(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2＝1－i2＋4＋i2＋4i＝5＋4i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝9－12i＋33i－44i2＋2i
＝53＋23i.
笔记
(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如平方差公式、完全平方公式等．
训练1 (1)若＝(3＋i)(2－i)，则z＝( )
A．5＋i B．7＋i
C．5－i D．7－i
答案：B
解析：(1)因为＝(3＋i)(2－i)＝7－i，所以z＝7＋i.故选B.
(2)设i为虚数单位，若复数(1－i)(1＋ai)是实数，则实数a的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案：C
解析：(1－i)(1＋ai)＝1＋ai－i－ai2＝1＋a＋(a－1)i，它是实数，则a－1＝0，a＝1.故选C.
题型 2 复数的除法运算
【问题探究2】 类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？
提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子和分母都乘以(c－di)，化简后得结果，
即＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
例2 计算：
(1)；
(2)＋.
解析：(1)＝＝＝－i.
(2)方法一 原式＝＋＝i6＋＝－1＋i.
方法二 原式＝＋＝i6＋＝－1＋i.
两个复数代数形式除法运算的一般步骤
训练2 (1)若复数z满足z(1＋i)＝4－3i，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：因为z(1＋i)＝4－3i，所以z＝＝＝＝i，
所以复数z在复平面内所对应的点为(，－)，位于第四象限．故选D.
(2)(多选)已知复数z＝，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部是1
B．在复平面内对应点落在第二象限
C．z(1－i)＝5－3i
D．z＝
答案：AC
解析：(2)由题意得z＝＝＝＝4＋i，
对于A：z的虚部是1，故A正确；
对于B：＝4－i，在复平面内对应点为(4，－1)落在第四象限，故B错误；
对于C：z(1－i)＝(4＋i)(1－i)＝4－4i＋i＋1＝5－3i，故C正确；
对于D：z＝(4＋i)(4－i)＝42－i2＝17，故D错误．故选AC.
题型 3 在复数范围内解方程
例3 在复数范围内解方程：x2＋4x＋6＝0.
解析：方法一 因为x2＋4x＋6＝0，
所以(x＋2)2＝－2，
因为(i)2＝(－i)2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
方法二 由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
所以
又因为b≠0，所以
解得a＝－2，b＝±.所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
在复数范围内，实系数一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
训练3 已知z＝2＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p、q的值及方程的另一个根．
解析：因为z＝2＋i是方程x2＋px＋q＝0的一个根，
所以(2＋i)2＋p(2＋i)＋q＝0，
即3＋q＋2p＋(p＋4)i＝0，
所以解得
所以方程为x2－4x＋5＝0，
因为x1＋x2＝4，
所以方程的另一个根是x＝2－i.
随堂练习
1．(2－i)(1＋i)＝( )
A．3＋i B．1－2i
C．3－i D．3
答案：A
解析：由题意可得：(2－i)(1＋i)＝2＋i－i2＝3＋i.故选A.
2．若复数z＝，则＝( )
A．－i B．i
C．－i D．i
答案：C
解析：由z＝＝＝－i，得＝－i.故选C.
3．设z1＝3＋2i，z2＝1＋mi(其中i为虚数单位)，若z1z2为纯虚数，则实数m＝( )
A． B．－
C．－ D．
答案：D
解析：z1z2＝(3＋2i)(1＋mi)＝3＋3mi＋2i－2m＝3－2m＋(3m＋2)i，因为z1z2为纯虚数，所以有 m＝，故选D.
4．已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，则实数p＝________，实数q＝________．
12
26
解析：∵－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.∴解得
课堂小结
1.复数的乘法运算．
2．复数的除法运算．
3．在复数范围内解方程．(共38张PPT)
7.1.2 复数的几何意义
预 学 案
一、复平面和复数的几何意义
1．如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x轴叫做________，y轴叫做________．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复平面
实轴
虚轴
2．复数的几何意义
(1)按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点________，这是复数的一种几何意义．
Z(a，b)
(2)如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定．因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量，这是复数的另一种几何意义．
练习
1．复平面内的点M(1，2)对应的复数为( )
A．－1＋2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
答案：B
解析：点M(1，2)对应的复数为1＋2i.
故选B.
2．复数z＝－2＋3i在复平面上对应的向量的坐标为________．
(－2，3)
解析：由复数的几何意义知：复数z＝－2＋3i在复平面上对应的向量的坐标为(－2，3)．
二、复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝________．
如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．
练习 若z＝1＋i，则|z|＝( )
A．0 B．1
C． D．2
答案：C
解析：∵z＝1＋i，∴＝＝.故选C.
三、共轭复数
一般地，当两个复数的实部________，虚部____________时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做________．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝________.
相等
互为相反数
共轭虚数
a－bi
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复数即为向量，反之，向量即为复数．( )
(2)复数的模一定是正实数．( )
(3)复数与向量一一对应．( )
(4)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|.( )
×
×
×
√
2．复数z＝3＋4i(i是虚数单位)的共轭复数是________．
3－4i
解析：由共轭复数的定义知z＝3＋4i的共轭复数为＝3－4i.
微点拨
(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．
(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．
(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
(4)复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
微点拨
(1)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小．
(2)几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离．|z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离．
微点拨
(1)结构特点：实部相等，虚部互为相反数．
(2)几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称．
共 学 案
【学习目标】
(1)理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(2)掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念．(3)掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
题型 1 复数与复平面内点的关系
【问题探究1】 根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定；反之也对，由此你能想到复数的几何表示方法吗？
提示：
所以复数集可以与平面直角坐标系中的点集建立一一对应关系，因此可以用点表示复数．
例1 已知复数z＝(m2－7m＋10)＋(m2－5m＋6)i，i为虚数单位，m∈R.
(1)若在复平面上表示复数z的点位于第二象限，求m的取值范围；
(2)若在复平面上表示复数z的点位于直线2x－y－14＝0上，求m的值．
解析：(1)复数z的点位于第二象限则解得3
(2)表示复数z的点位于直线2x－y－14＝0上，则2(m2－7m＋10)－(m2－5m＋6)－14＝0，
解得m＝0或m＝9.
利用复数与点的对应解题的一般步骤
训练1 已知复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－2，－1)
B．(－∞，－2)
C．(－1，＋∞)
D．(－∞，－2)
答案：D
解析：因为复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，
所以解得m<－2，
所以实数m的取值范围为(－∞，－2)．故选D.
题型 2 复数与复平面内向量的关系
【问题探究2】 平面向量可以用有序数对来表示，借助有序数对能建立复数与平面向量的联系吗？
提示：能．
例2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
解析：由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝(－2，－3)．
设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5)．
由题意知，＝，所以即
故点D对应的复数为－3－2i.
笔记：(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
训练2 已知复平面内的点A，B分别对应的复数为z1＝2＋i和z2＝－1－2i，则向量对应的复数为( )
A．1－i B．－1－i
C．－3－3i D．3＋3i
答案：D
解析：由题可得A(2，1)，B(－1，－2)，故＝(3，3)，则向量对应的复数为3＋3i.故选D.
题型 3 复数的模
【问题探究3】 我们知道向量的长度叫向量的模，z＝a＋bi(a，b∈R)与向量一一对应，那么|z|如何表示？
提示：|z|＝||＝|a＋bi|＝.
例3 已知复数z1＝＋i，z2＝－i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
解析：(1)∵z1＝＋i，z2＝－i，
∴|z1|＝ ＝2，|z2|＝ ＝1，
∴>；
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2，
根据复数模的几何意义可知|z|表示复数z对应的点到原点的距离，
所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆及外部所有点组成的集合，
|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆及内部所有点组成的集合，
所以复数z对应的点Z的轨迹是以原点O为圆心，以1和2为半径的圆之间的部分(包括两边界)．
解决与复数的模有关问题的策略
训练3 已知复数z满足2≤|z|≤2，则在复平面中z对应的点所构成的图形的面积为________．
答案：4π
解析：根据题意可知复数z满足2≤|z|≤2，则由复数模的几何意义知z对应的点所构成的图形为半径为2和2的两个同心圆所围成的圆环，则其面积为π[(2)2－22]＝4π.
题型 4 共轭复数
例4 已知复数z满足z＝3＋4i，则共轭复数在复平面内对应的点在( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
答案：A
解析：由z＝3＋4i得＝3－4i，其在复平面内对应的点为(3，－4)，在第四象限，故选A.
笔记：
与共轭复数有关问题的解决方法
(1)若复数z的代数形式已知，根据共轭复数的定义表示出，再进行复数的四则运算；
(2)若复数z的代数形式未知，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式或方程，利用复数相等的充要条件，转化为解方程(组)问题．
训练4 已知a，b∈R，若a＋4i与3－bi互为共轭复数，则|a＋bi|＝( )
A．8 B．7 C．6 D．5
答案：D
解析：a＋4i与3－bi互为共轭复数，∴a＝3，b＝4，则有|a＋bi|＝|3＋4i|＝＝5.故选D.
随堂练习
1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.
2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
答案：D
解析：由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(－1，2)，故向量对应的复数为－1＋2i.故选D.
3．已知a∈R，若有|a－i|＝(i为虚数单位)，则a＝( )
A．1 B．－2 C．±2 D．±1
答案：C
解析：因为a∈R，所以|a－i|＝＝，即a2＋1＝5，解得a＝±2，故选C.
4．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
答案：(3，＋∞)
解析：∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x＞3.
课堂小结
1.复数与复平面内的点、向量之间的一一对应关系．
2．复数的模及其几何意义．
3．共轭复数．(共28张PPT)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
第七章 7.1 复数的概念
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
1.复数
(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 ，满足i2＝ .
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即 ，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
2.复数集
(1)定义： 所构成的集合叫做复数集.
(2)表示：通常用大写字母C表示.
知识点一 复数的有关概念
虚数单位
－1
z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数
知识点二 复数的分类
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(b＝0)，
(b≠0)
纯虚数 ，
非纯虚数 .
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
实数
虚数
a＝0
a≠0
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di ，a＋bi＝0 .
知识点三 复数相等的充要条件
a＝c且b＝d
a＝b＝0
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.( )
2.复数i的实部不存在，虚部为0.( )
3.bi是纯虚数.( )
4.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( )
×
×
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1 下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是
A.① B.②
C.③ D.④
一、复数的概念
√
解析 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数.
对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误.
两个虚数不能比较大小，则②错误.
对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则③错误.
显然，④正确.
反思感悟
复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.
跟踪训练1 (多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法不正确的是
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C.若b＝0，则a＋bi为实数
D.i的平方等于1
√
解析 对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；
对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；
对于D，i的平方为－1.
所以ABD均错误.
√
√
二、复数的分类
(1)是虚数；
即m≠5且m≠－3时，z是虚数.
(2)是纯虚数.
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.
延伸探究
1.本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？
2.已知z＝log2(1＋m)＋i (3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围.
解 ∵z是虚数，
∴ (3－m)≠0，且1＋m>0，
∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3).
反思感悟
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
①z为实数 b＝0.
②z为虚数 b≠0.
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
跟踪训练2 若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为
A.1 B.2
C.1或2 D.－1
√
解析 根据复数的分类知，
即a＝2.
三、复数相等的充要条件
例3 若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值.
延伸探究
若关于x的方程3x2－ －1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.
解 设方程的实根为x＝m，
反思感悟
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.
跟踪训练3 复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝_____.
5
解析 因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
解得m＝5.
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
5
A.0 B.1
C.2 D.3
√
2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.(多选)若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值可以为
A.－1 B.2
C.1 D.－2
√
解析 因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
√
4.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是_______________________.
1
2
3
4
5
(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
1
2
3
4
5
5.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x＝____，y＝_____.
1 1
解析 ∵x2－y2＋2xyi＝2i，
1.知识清单：
(1)数系的扩充.
(2)复数的概念.
(3)复数的分类.
(4)复数相等的充要条件.
2.方法归纳：方程思想.
3.常见误区：未化成z＝a＋bi的形式.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共28张PPT)
章末复习
第七章 复 数
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识网络
考点突破
随堂演练
1
知识网络
PART ONE
2
考点突破
PART TWO
一、复数的概念
1.复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答.
2.掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养.
例1 z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数；
∴当m＝3时，z是纯虚数.
(2)z是实数；
∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数.
(3)z在复平面上的对应点在复平面的第二象限.
反思感悟
处理复数概念问题的两个注意点
(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部.
(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.
√
(2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为
A.4 B.－1
C.6 D.－1或6
√
解析 由题意可得z1＝z2，即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，
解得m＝－1.
二、复数的几何意义
1.复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题.
2.通过复数几何意义的学习，培养直观想象素养.
例2 (1)在复平面内，复数 (i是虚数单位)所对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
(2)已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若 ，则a＝_____，b＝______.
－3 －10
∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)
反思感悟
在复平面内确定复数对应点的步骤
(1)由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b).
(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b).
跟踪训练2 若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数 的点是
A.E B.F
C.G D.H
√
解析 ∵点Z(3,1)对应的复数为z，
该复数对应的点的坐标是(2，－1)，即H点.
三、复数的四则运算
1.复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主.
2.借助复数运算的学习，提升数学运算素养.
例3 计算：
＝i＋(－i)1 009＋0＝0.
反思感悟
进行复数代数运算的策略
(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算.
①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项).
②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式.
(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化.
跟踪训练3 (1)复数z满足z( ＋1)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z等于
A.1＋i或－2＋i
B.i或1＋i
C.i或－1＋i
D.－1－i或－2＋i
√
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.
故z＝i或z＝－1＋i.
－1＋i
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
5
1.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2等于
A.3－4i B.3＋4i
C.4－3i D.4＋3i
√
解析 ∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，
∴a＝2，b＝－1，
∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
2.复数z满足(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
1
2
3
4
5
√
故z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限.
1
2
3
4
5
A.1 B.－1
C.i D.－i
√
1
2
3
4
5
4.i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
－2＋3i
解析 ∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，
∴z2＝－2＋3i.
1
2
3
4
5
±(7－i)
解析 由题意设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，(共31张PPT)
7.1.2 复数的几何意义
第七章 7.1 复数的概念
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一 复平面
思考 有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
答案 不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数.
实轴
虚轴
知识点二 复数的几何意义
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b).
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量 .
知识点三 复数的模
|z|或|a＋bi|
1.定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫 .
知识点四 共轭复数
相等
互为相反数
共轭虚数
a－bi
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.复平面内的点与复数是一一对应的.( )
2.复数的模一定是正实数.( )
3.若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( )
4.两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.( )
√
×
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1 已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上；
一、复数与复平面内的点的关系
解 若z对应的点Z在实轴上，
(2)在第三象限.
解 若z对应的点Z在第三象限，
反思感悟
利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据.
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
跟踪训练1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.
解 若复数z的对应点在虚轴上，
则m2－m－2＝0，
所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.
若复数z的对应点在实轴负半轴上，
二、复数与复平面内的向量的关系
(2)已知复数1，－1＋2i，－3i,6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量；
如图所示.
(3)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
故点D对应的复数为－3－2i.
反思感悟
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
A.－5＋5i B.5－5i
C.5＋5i D.－5－5i
√
三、复数的模及其应用
例3 (1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于
√
解析 因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，
(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
∴z＝－15＋8i.
反思感悟
复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.
跟踪训练3 (1)已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是
A.z1>z2 B.z1C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|
√
(2)已知0A.(1， ) B.(1， )
C.(1,3) D.(1,10)
√
解析 0核心素养之直观想象
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG
复数模的几何意义
典例 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|<3；
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
x2＋y2<9.
所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界.
(2)|z|＝2.
解 根据模的几何意义，|z|＝2表示复数z对应的点到原点的距离为2.
所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点为圆心，2为半径的圆.
素养提升
复数模的几何意义可以延伸为|z|表示复数z对应的点Z与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养.
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
1.复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
解析 z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.
2.(多选)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值可以为
A.1 B.2
C.3 D.4
1
2
3
4
√
解得m＝1或3.
√
1
2
3
4
3.已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是
A.(－1,2) B.(－2,1)
C.(1，＋∞) D.(－∞，－2)
√
解析 ∵z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，
∴m－1<0，m＋2>0，解得－2则实数m的取值范围是(－2,1).
4.设复数z＝i，则z的共轭复数为_____.
1
2
3
4
－i
1.知识清单：
(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.
(2)复数的模及几何意义.
(3)共轭复数.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合.
3.常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小；|z－(a＋bi)|表示复平面内的点到点(a，b)的距离.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共31张PPT)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
预 学 案
一、复数的有关概念
1．复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做________，其中i叫做________，满足i2＝________.
2．复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做________．
3．复数的表示方法
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的________，b叫做复数z的________．
复数
虚数单位
－1
复数集
实部
虚部
练习 1－i的实部等于________，虚部等于________．
1
－1
解析：1－i的实部为1，虚部为－1.
二、复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当____________．
a＝c且b＝d
练习 若复数3＋4i＝3＋bi，i为虚数单位，则b＝( )
A．1 B．2 C．4 D．5
答案：C
解析：因为3＋4i＝3＋bi，所以b＝4.故选C.
三、复数的分类
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)
2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
实数
虚数
a＝0
a≠0
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)复数i的实部不存在，虚部为0.( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
×
×
×
√
2．在下列数中，属于虚数的是__________________________，属于纯虚数的是________．
0，1＋i，πi，＋2i，i，i.
1＋i，πi，＋2i，i，i
πi，i
解析：根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．
微点拨
(1)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
(2)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(3)复数a＋bi的实部、虚部不一定是a、b，只有当a∈R，b∈R时，a、b才是该复数的实部、虚部．
微点拨
(1)应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，即分离实部和虚部．
(2)只有当a＝c且b＝d的时候才有a＋bi＝c＋di，a＝c和b＝d有一个不成立时，就有a＋bi≠c＋di.
(3)由a＋bi＝0，a，b∈R，可得a＝0且b＝0.
微点拨
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．
共 学 案
【学习目标】
(1)了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．
(2)理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．
(3)掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
题型 1 复数的概念
【问题探究1】 (1)方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
(2)添加i之后，我们知道i2＝－1，i与原来的实数之间进行加法、乘法运算的时候，会产生怎样的新数？
提示：(1)没有解；有解x＝±i.
(2)若i与实数b相乘再与实数a相加，可得到形式为a＋bi的新数．
例1 已知复数(x＋y)＋(2－x)i的实部和虚部分别为3和4，则实数x和y的值分别是( )
A．2，－4 B．2，5
C．－2，4 D．－2，5
答案：D
解析：x，y∈R，复数(x＋y)＋(2－x)i的实部和虚部分别为3和4，因此解得x＝－2，y＝5，所以实数x和y的值分别是－2，5.故选D.
笔记
若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
训练1 设i是虚数单位，若复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a＝( )
A．5 B．－5
C．3 D．－3
答案：A
解析：∵复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，∴3＋2a＝－(2－3a)，解得a＝5.故选A.
题型 2 复数的分类
【问题探究2】 (1)复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？
(2)如何利用集合关系表示实数集R和复数集C
提示：(1)b＝0.
(2)R?C.
例2 实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解析：(1)当x满足即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
笔记
(1)利用复数的分类求参数时，应将复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)．特别注意z为纯虚数，则b≠0，且a＝0.
(2)要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
训练2 实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解析：(1)当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数．
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数．
(3)当即m＝－1时，复数z是纯虚数．
题型 3 复数相等的应用
【问题探究3】 我们知道集合相等，向量相等，都必须满足一定的条件．结合向量相等的条件，你能说出复数相等的充要条件是什么吗？
提示：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
例3 设z1＝m2＋2＋(m2＋m－2)i，z2＝3m＋(m2－5m＋4)i，若z1＝z2，求实数m的值．
解析：由复数相等的条件可知解得m＝1.
一题多变 本例条件改为“z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，且z1解析：∵z1∴解得：m＝1；
当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1笔记
复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．
基本思路是：
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组．
训练3 复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，求m.
解析：因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
由复数相等的充要条件得
解得m＝5.
随堂练习
1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A．，1 B．，5
C．±，5 D．±，1
答案：C
解析：令得a＝±，b＝5.故选C.
2．给出下列三个命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)2i－1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案：B
解析：(1)错误，例如z＝i，则z2＝－1；(2)错误，因为2i－1虚部是2；(3)正确，因为2i＝0＋2i.故选B.
3．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－1或1
答案：B
解析：由题意知∴m＝0.故选B.
4．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x＝________，y＝________．
答案：±1 ±1
解析：∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或
课堂小结
1. 数系的扩充与复数的概念．
2．复数的分类．
3．复数相等的充要条件．(共29张PPT)
7.2.2 复数的乘、除运算
第七章 7.2 复数的四则运算
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一 复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ .
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝____
结合律 (z1z2)z3＝_______
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_________
思考 |z|2＝z2，正确吗？
答案 不正确.例如，|i|2＝1，而i2＝－1.
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
知识点二 复数除法的法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.(1＋i)(2＋i)＝______.
1＋3i
解析 依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.
2－i
3.复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第_____象限.
四
解析 因为z＝i(－2－i)＝1－2i，
所以复数z对应的点在第四象限.
2
题型探究
PART TWO
例1 计算下列各题.
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
一、复数代数形式的乘法运算
解 (1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解 (2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
反思感悟
(1)两个复数代数形式乘法的一般方法
①首先按多项式的乘法展开.
②再将i2换成－1.
③然后再进行复数的加、减运算.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.
跟踪训练1 (1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于
A.2－13i B.13＋2i
C.13－13i D.－13－2i
√
解析 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
√
解析 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，
二、复数代数形式的除法运算
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
√
解析 由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
对应的点在第二象限.
反思感悟
(1)两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式.
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数.
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.
√
三、在复数范围内解方程
例3 在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.
解 因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1，
所以(x＋3)2＝－1，
又因为i2＝－1，
所以(x＋3)2＝i2，
所以x＋3＝±i，
即x＝－3±i.
反思感悟
当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数.
跟踪训练3 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.
(1)求b，c的值；
解 ∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，
(2)试判断1－i是不是方程的根.
解 由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
即方程式成立.
∴1－i是方程的根.
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
1.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则
A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝－1，b＝－1
D.a＝1，b＝－1
√
5
解析 ∵(a＋i)i＝ai－1＝b＋i，
∴a＝1，b＝－1.
2.复数(1＋i)2(2＋3i)的值为
A.6－4i B.－6－4i
C.6＋4i D.－6＋4i
1
2
3
4
√
解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
5
1
2
3
4
5
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
1
2
3
4
5
5.方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝________.
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)复数的乘法及运算律.
(2)复数的除法运算.
(3)复数的综合运算.
(4)在复数范围内解方程.
2.方法归纳：分母实数化；配方法解方程；求根公式法.
3.常见误区：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共30张PPT)
7.2.1 复数加、减运算及其几何意义
预 学 案
一、复数加法法则
1．运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝______________．
2．复数加法的几何意义
两个向量与的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，复数的加法可以按照______的加法来进行．
如图，复数z1＋z2是以为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
(a＋c)＋(b＋d)i
向量
3．加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律：z1＋z2＝________．
结合律：(z1＋z2)＋z3＝____________．
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
练习
1．(1＋i)＋(－2＋2i)＝( )
A．－1＋3i B．1＋i
C．－1＋i D．－1－i
答案：A
解析：(1＋i)＋(－2＋2i)＝－1＋3i.故选A.
2．在复平面上，如果对应的复数分别是6－5i，－1＋4i，那么对应的复数为________．
5－i
解析：由于＝，所以对应的复数为6－5i＋(－1＋4i)＝6－1＋(4－5)i＝5－i.
二、复数的减法法则
1．运算法则
复数的减法是加法的逆运算．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝____________．
2．复数减法的几何意义
如图，复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数．
(a－c)＋(b－d)i
练习
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1－z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
答案：A
解析：∵复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝8i.
故选A.
2．已知复数－5＋i与－3－2i分别表示向量和，则表示向量的复数为________．
2－3i
解析：∵＝－5＋i，＝－3－2i，
∴＝＝(－3－2i)－(－5＋i)＝2－3i，
即向量表示的复数为2－3i.
微点拨
(1)复数加法可以从数与形两方面领会：代数形式上，复数加法类似于多项式加法的合并同类项；几何形式上，复数加法类似于向量加法．
(2)复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加．
(3)实数加法的运算性质对复数加法仍然成立．
微点拨
(1)复数减法的几何意义就是平面向量减法的三角形法则．
(2)在确定两个复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减”的方法确定．
共 学 案
【学习目标】
(1)掌握复数代数形式的加、减运算法则．(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(3)能够利用复数代数形式的加、减运算的几何意义解决有关问题．
题型 1 复数的加、减运算
【问题探究1】 (1)多项式的加、减实质就是合并同类项，类比两个多项式的加、减，你能猜想出两个复数如何相加、减吗？
(2)复数的加法满足交换律和结合律吗？
提示：(1)两个复数相加(减)就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．
(2)满足．
例1 计算：
(1)(i)＋(2－i)－(i)；
(2)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
解析：(1)(i)＋(2－i)－(i)＝(＋2－)＋(－1＋)i＝1＋i；
(2)∵z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，
∴z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
笔记
复数的代数式的加、减运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．
训练1 (1)复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
解析：(1)复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9，1)，在第一象限．故选A.
(2)已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为________．
答案：－2
解析：由已知可得z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，因为z1＋z2是纯虚数，则解得a＝－2.
题型 2 复数加、减运算的几何意义
【问题探究2】 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？
提示：设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)．几何意义是以为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线．
例2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O、A、C对应复数分别为0、3＋2i、－2＋4i，试求
(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)对角线所表示的复数及的长度．
解析：(1)＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
(2)∵＝.
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)对角线＝，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝.
笔记
(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．
(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．
训练2 在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
(1)求对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
解析：(1)A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
所以对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，
所以＝(1，0)，＝(2，1)，＝(－1，2)．
所以＝＝(1，1)，＝＝(－2，2)，＝＝(－3，1)．
即对应的复数为1＋i，对应的复数为－2＋2i，对应的复数为－3＋i.
(2)因为||＝＝，||＝＝，||＝＝，
因为||2＋||2＝10＝||2，且||≠||，
所以△ABC是以角A为直角的直角三角形．
题型 3 复数加、减运算的几何意义的应用
例3 如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B．
C．2 D．
答案：A
解析：设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.所以Z点在线段Z1Z2上移动＝|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1.故选A.
笔记
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．
训练3 △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
答案：A
解析：由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心．故选A.
随堂练习
1．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为( )
A．－4＋20i B．－2＋10i
C．－8＋20i D．－2＋20i
答案：B
解析：z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.故选B.
2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限．故选C.
3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为( )
A． B．5
C．2 D．10
答案：B
解析：依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.故选B.
4．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________．
答案：3
解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以
解得a＝3.
课堂小结
1. 复数代数形式的加、减运算．
2．复数加、减法的几何意义．
3．复数加、减运算的几何意义的应用．(共27张PPT)
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
第七章 7.2 复数的四则运算
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一 复数加法与减法的运算法则
1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝ ；
(2)z1－z2＝ .
2.对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝ ；
(2)(z1＋z2)＋z3＝ .
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
知识点二 复数加减法的几何意义
思考 类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
答案 |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.
z1＋z2
z1－z2
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.两个虚数的和或差可能是实数.( )
2.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.( )
3.复数与复数相加减后结果只能是实数.( )
4.复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.( )
√
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1 (1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
一、复数代数形式的加、减运算
解 原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
解 因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，
所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.
反思感悟
解决复数加减运算的思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).
跟踪训练1 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
解析 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限.
二、复数加减法的几何意义
例2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：
反思感悟
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的.
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变.
解 因为ABCD是平行四边形，
而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
三、复数模的综合问题
例3 如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是
√
解析 设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
所以Z点在线段Z1Z2上移动，|Z1Z3|min＝1，
所以|z＋i＋1|min＝1.
反思感悟
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.
跟踪训练3 △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
√
解析 由复数模及复数减法运算的几何意义，
结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，
∴P为△ABC的外心.
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
1.复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于
A.－1＋i B.1－i
C.i D.－i
√
解析 原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.
5
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
1
2
3
4
√
解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.
故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限.
5
1
2
3
4
3.若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是
A.－2 B.4
C.3 D.－4
√
解析 ∵z＋(3－4i)＝1，
∴z＝－2＋4i，故z的虚部是4.
5
4.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝_____.
1
2
3
4
－1
解析 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
5
5.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是________.
1
2
3
4
5－2i
设点C坐标为(x，y)，则x＝5，y＝－2，
故点C对应的复数为5－2i.
5
1.知识清单：
(1)复数代数形式的加减运算法则.
(2)复数加减法的几何意义.
(3)复平面上两点间的距离公式.
2.方法归纳：类比、数形结合.
3.常见误区：忽视模的几何意义.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE