(共35张PPT)
10．3.1～10.3.2 频率的稳定性 随机模拟
预 学 案
一、频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的________，频率偏离概率的幅度会________，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐________于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的________性．因此，我们可以用____________估计概率P(A)．
增大
缩小
稳定
稳定
频率fn(A)
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机事件的频率和概率不可能相等．( )
(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．( )
(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．( )
×
×
×
2．某人将一枚硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A出现的( )
A．概率为 B．频率为
C．频率为6 D．概率为6
答案：B
解析：事件A出现的频数是6，频率＝＝.故选B.
二、随机数
1．产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生随机数．
(2)构建模拟试验产生随机数．
2．蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法．
练习
1．在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，判断下列说法是否正确．
(1)可以用0，2，4，6，8来代表正面．( )
(2)可以用1，2，3，6，8来代表正面．( )
(3)可以用4，5，6，7，8，9来代表正面．( )
(4)产生的100个随机数中不一定恰有50个偶数．( )
√
√
×
√
2．用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于( )
A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法
答案：B
解析：用随机模拟的方法估计概率时，产生的随机数越多，准确程度越高．故选B.
微点拨
(1)频率随着试验次数的变化而变化，而概率是一个常数，是客观存在的，与试验次数无关．
(2)在实际应用中，只要试验的次数足够多，所得的频率就可以近似地看作随机事件的概率．
(3)概率是频率的稳定值．
微点拨
用频率估计概率时，用计算机模拟试验产生随机数的优点有：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行．因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系．(2)能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题．(3)了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率．
题型 1 频率与概率
【问题探究1】 利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)，结果如表所示：
你能计算出A事件的概率吗？频率与概率有什么关系？
序号 n＝20 n＝100 n＝500 频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
提示：试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性．从整体来看，频率在概率0.5附近波动．当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数较少的小，只是波动幅度小的可能性更大．
例1 下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
解析：一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．故选D.
答案：D
笔记：(1)概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
训练1 气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )
A．本市明天将有90%的地区降雨
B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨
D．明天出行不带雨具可能会淋雨
解析：本市降雨的概率是90%，是说明天下雨发生的可能性很大，但不一定就一定会发生．所以只有D合题意．故选D.
答案：D
题型 2 用频率估计概率
例2 某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
赔偿金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数/辆 500 130 100 150 120
解析：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12，
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
笔记：在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率．
训练2 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
(1)根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
(2)该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000
优等品数 40 92 192 285 478 954
解析：(1)抽到优等品的频率分别为0.8，0.92，0.96，0.95，0.956，0.954.
(2)由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
题型 3 游戏公平性的判断
例3 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
解析：该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的情况有6种，为奇数的情况也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
笔记：(1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
训练3 甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
答案：B
解析：A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝；
B项，P(点数之和大于7)＝＝，P(点数之和小于等于7)＝＝；
C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝；
D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝＝.故选B.
题型 4 用随机模拟估计概率
【问题探究2】 用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以代替试验呢？其步骤如何？
提示：利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了．
步骤为：①建立概率模型；②进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；③统计试验结果．
例4 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
解析：用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571 561 156 567 732 375 716 116 614 445 117 573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1.
笔记：随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
训练4 某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907.由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6
解析：由题意，10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907.表示“3例心脏手术全部成功”的有812，832，569，683，271，989，537，925，共8个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为＝0.8.故选B.
答案：B
随堂练习
1．下列说法中正确的是( )
A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：A选项，根据频率的稳定性可知A选项正确．B选项，频率与实验次数有关，B选项错误．C选项，随机事件发生的频率不是这个随机事件发生的概率，C选项错误．D选项，概率不是随机的，是确定的，D选项错误．故选A.
答案：A
2．某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明( )
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
解析：对于A：该厂生产的10 000件产品中不合格的产品不一定有1件，可能是多件或者没有，故A错误；
对于B：该厂生产的10 000件产品中合格的产品不一定是9 999件，故B错误；
对于C：该厂生产的10 000件产品中可能有不合格产品，故C错误；
对于D：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D正确．故选D.
答案：D
3．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于( )
A．产生的随机数的大小
B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果
D．产生随机数的方法
解析：随机数容量越大，所估计的概率越接近实际数．故选B.
答案：B
4.玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向如图所示的靶中．若射中区域所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，否则倩倩先走第一步．这个游戏规则________(填“公平”或“不公平”)．
不公平
解析：由已知得，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是，所以不公平．
课堂小结
1．概率与频率的关系．
2．用频率估计概率．
3．用随机模拟估计概率．(共32张PPT)
10.1.2 事件的关系和运算
第十章 10.1 随机事件与概率
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解事件的关系与运算.
2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一 事件的关系
定义 符号 图示
包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等 A＝B
知识点二 交事件与并事件
定义 符号 图示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)
知识点三 互斥事件和对立事件
定义 符号 图示
互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝
对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件.( )
2.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.( )
3.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.( )
4.若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生.( )
×
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.
(1)A与C；
一、互斥事件和对立事件的判断
解 由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，
即事件A与事件C有可能同时发生，
故A与C不是互斥事件.
(2)B与E；
解 事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，
故事件B与E是互斥事件.
由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.
(3)B与D；
解 事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，
即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，
故B与D不是互斥事件.
(4)B与C；
解 事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”.
事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.
即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.
(5)C与E.
解 由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.
反思感悟
判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件.
跟踪训练1 (1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是
A.至少有一个红球与都是红球
B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球
D.恰有一个红球与恰有两个红球
√
解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断.
A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；
B中两事件是对立事件；
C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；
D中两事件是互斥而不对立事件.
(2)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是
A.互斥但非对立事件
B.对立事件
C.非互斥事件
D.以上都不对
√
解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
二、事件的运算
例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现
6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
解 因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
解 因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
反思感悟
事件间运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
跟踪训练2 抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
解 B A，C A，E A，且A＝B＋C＋E.
(2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系.
解 A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，A∩D＝B∪C.
三、随机事件的表示及含义
例3 设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
(1)三个事件都发生；
解 ABC
(2)三个事件至少有一个发生；
解 A∪B∪C
(3)A发生，B，C不发生；
(4)A，B都发生，C不发生；
(5)A，B至少有一个发生，C不发生；
(6)A，B，C中恰好有两个发生.
延伸探究
本例条件不变，试用A，B，C表示以下事件.
(1)三个事件都不发生；
(2)三个事件至少有两个发生.
反思感悟
清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.
符号 事件的运算 集合的运算
A 随机事件 子集
A的对立事件 A的补集
AB 事件A与B的交事件 集合A与B的交集
A∪B 事件A与B的并事件 集合A与B的并集
跟踪训练3 5个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示
解 总的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，
A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，
B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，
C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.
A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，
3
随堂演练
PART THREE
1.某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是
A.A与B为对立事件
B.B与C为互斥事件
C.C与D为对立事件
D.B与D为互斥事件
1
2
3
4
5
√
2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为
A.至多有2件次品
B.至多有1件次品
C.至多有2件正品
D.至少有2件正品
√
1
2
3
4
5
解析 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.
共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，
即至多有1件次品.
1
2
3
4
5
3.设M，N，P是三个事件，则M，N至少有一个不发生且P发生可表示为
√
4.甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则
表示的含义是___________________，事件“密码被破译”可表示为_______________.
1
2
3
4
5
只有一人破译密码
1
2
3
4
5
5.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个不重复的两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为___________________________.
{10,20,30,40,50,32,42,52,54}
1.知识清单：
(1)事件的包含关系与相等关系.
(2)交事件和并事件.
(3)互斥事件和对立事件.
2.方法归纳：列举法、Venn图法.
3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共27张PPT)
10.3 频率与概率
第十章 概 率
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.
2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.
3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的 ，频率偏离概率的幅度会 ，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的 ，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A) 概率P(A).
思考 一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，100次，1 000次，正面向上的频率与0.5相比，有什么变化？
答案 随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近0.5.
知识点一 频率的稳定性
增大
缩小
概率P(A)
估计
知识点二 随机模拟
用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品.( )
2.做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 .( )
3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.( )
4.小概率事件就是不可能发生的事件.( )
×
×
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1 (1)下列说法一定正确的是
A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B.一个骰子掷一次得到2的概率是 ，则掷6次一定会出现一次2
C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D.随机事件发生的概率与试验次数无关
一、频率与概率的关系
√
解析 A错误，概率小不代表一定不发生；
B错误，概率不等同于频率；
C错误，概率是预测，不必然出现；
D正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关.
(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000
优等品数 40 92 192 285 478 954
①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
解 抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
解 由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
反思感悟
(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
跟踪训练1 一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190
男婴数m 2 883 4 970 6 994 8 892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
解 计算 即得男婴出生的频率依次约是0.520 0，0.517 3，0.517 3,0.517 3.
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
解 随着新生婴儿数的增多，男婴出生的频率接近0.517 3，
因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.
二、概率思想的实际应用
例2 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的？
解 甲箱中有99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是 .
乙箱中有1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是 .
由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.
既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的.
所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的.
反思感悟
在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大.
跟踪训练2 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
解 设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，
从保护区中捕出150只天鹅，
其中有20只带有记号，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.
三、用随机模拟估计概率
例3 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
解 用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为 ＝0.1.
反思感悟
用随机数模拟法求事件概率的方法
在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.
(1)试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件.
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
跟踪训练3 某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率.
解 利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为 .
3
随堂演练
PART THREE
1.“某彩票的中奖概率为 ”意味着
A.买1 000张彩票就一定能中奖
B.买1 000张彩票中一次奖
C.买1 000张彩票一次奖也不中
D.购买彩票中奖的可能性是
1
2
3
4
5
√
2.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于
A.产生的随机数的大小
B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果
D.产生随机数的方法
√
1
2
3
4
5
解析 随机数容量越大，所估计的概率越接近实际数.
1
2
3
4
5
√
解析 每一个病人治愈与否都是随机事件，故第5个人被治愈的概率仍为 .
4.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的取整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：
907 966 191 925 271
932 812 458 569 683
631 257 393 027 556
488 730 113 137 989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
解析 由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共7组随机数，∴所求概率为 .
1
2
3
4
5
5.在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为________.
0.52
1.知识清单：
(1)概率与频率的关系.
(2)用频率估计概率.
(3)用随机模拟估计概率.
2.常见误区：频率与概率的关系易混淆.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共26张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
预 学 案
概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A)________0.
性质2 必然事件的概率为________，不可能事件的概率为__________，即P(Ω)＝________，P( )＝________．
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝__________．
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝________，P(A)＝________．
性质5 如果A B，那么__________．
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝___________________．
≥
1
0
1
0
P(A)＋P(B)
1－P(A)
1－P(B)
P(A)≤P(B)
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．( )
(2)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( )
(3)事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．( )
(4)如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1.( )
×
×
×
√
2．已知A与B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.1，则P(A∪B)＝________．
0.3
解析：因为A与B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.1＝0.3.
微点拨
(1)称性质3为互斥事件的概率加法公式．可推广为：如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am).
(2)当一个事件的概率不易求解，但其对立事件的概率易求时，常用性质4(对立事件的概率公式)，使用间接法．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解概率的基本性质．(2)掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题．
【问题探究】 (1)你认为可以从哪些角度研究概率的性质？
(2)设事件A与事件B互斥，和事件A的概率与事件A，B的概率之间具有怎样的关系？
(3)设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系？
提示：(1)可以从定义出发研究概率的性质，例如：概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等．
(2)两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和，即P(A＝P(A)＋P(B)．
(3)事件A和事件B互为对立事件，那么和事件A为必然事件，即P(A＝1，所以1＝P(A＝P(A)＋P(B)．
题型 1 互斥事件概率公式的应用
例1 一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)求射中环数小于8环的概率．
解析：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.
(1)P(射中10环或9环)＝P(A＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.
笔记：在运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件，做到不重不漏；然后再利用概率加法公式计算．
训练1 在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：
(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18)．
年最高水位(单位：m) [8，10) [10，12) [12，14) [14，16) [16，18)
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
解析：记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥．
(1)P(B＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)P(A＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)P(D＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18)的概率分别为0.82，0.38，0.24.
题型 2 对立事件概率公式的应用
例2 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率：
(1)A＝“取出的两球都是白球”；
(2)C＝“取出的两球中至少有一个白球”．
解析：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取2个球，对应的样本空间W＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共有15个样本点．
(1)A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共有6个样本点．
∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝＝.
(2)设C的对立事件为，则＝“取出的两球中没有白球(全为红球)”，且＝{(5，6)}．
∴P(C)＝1－P()＝1－＝.
笔记：利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用．
训练2 甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
解析：(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－＝.即甲获胜的概率是.
(2)设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝.
即甲不输的概率是.
题型 3 概率性质的综合应用
例3 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解析：把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2，“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.
(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则P(A)＝＝.记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B，则P(B)＝＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为P(A＋B)＝＝.
(2)记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”为事件C，则为“甲、乙两人都抽到判断题”，由题意P()＝＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为P(C)＝1－P()＝1－＝.
求复杂事件概率的策略
训练3 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：
(1)求表中字母a的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率．
解析：(1)由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.
(2)设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为A因为事件A，B，C互斥，所以P(A＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.
则P()＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97.
红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
随堂练习
1．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是( )
A．[0，0.9] B．[0.1，0.9]
C．(0，0.9] D．[0，1]
答案：A
解析：由于事件A和B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9.故选A.
2．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A＝( )
A． B．
C． D．1
答案：B
解析：A包含向上的点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A包含了向上的点数是1，2，3，5的情况．故P(A＝＝.故选B.
3．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为( )
A．0.2 B．0.8
C．0.4 D．0.1
答案：B
解析：乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.故选B.
4．在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同颜色的玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.
解析：取得两个同颜色的玻璃球包括两个红玻璃球或两个绿玻璃球，故取得两个同颜色的玻璃球的概率P1＝＝；
“至少取得一个红玻璃球”的对立事件是“取得两个绿玻璃球”，
故至少取得一个红玻璃球的概率P2＝1－＝.
课堂小结
1.概率的基本性质．
2．互斥事件概率公式的应用．
3．对立事件概率公式的应用．(共29张PPT)
10.2 事件的相互独立性
预 学 案
相互独立事件的定义和性质
1．定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝____________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．
2．性质：若事件A与事件B相互独立，则A与与B , 与也都相互独立．
P(A)P(B)
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )
(3)“P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．( )
(4)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．( )
√
√
√
×
2．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为( )
A．互斥 B．互为对立
C．相互独立 D．相等
答案：C
解析：对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A、B可以同时发生，所以A、B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等．故选C.
微点拨
(1)事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率．
(2)两个事件的相互独立性可以推广到n(n＞2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解两个事件相互独立的概念．(2)能进行一些与相互独立事件有关的概率的计算．(3)理解相互独立事件与互斥事件的区别．
【问题探究】 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．
试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A＝“第一次摸到球的标号小于3”，B＝“第二次摸到球的标号小于3”．
(1)两个试验中事件AB与A和B的概率有何联系？
(2)必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立吗？
(3)互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系．如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？
提示：(1)在试验1中，用1表示硬币“正面向上”，用0表示硬币“反面向上”，则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，共4个样本点，而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所AB＝{(1，0)}，根据古典概型概率计算公式得：P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
所以：P(AB)＝P(A)P(B)．
同理，在试验2中，P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立．
(3)如果事件A与事件B相互独立，那么A与与B，与也都相互独立．
题型 1 相互独立事件的判断
例1 投掷一颗骰子一次，定义三事件如下：A＝{1，2，3}，B＝{1，4，5}，C＝{1，2，3，4}．试判断：
(1)A、C是否相互独立？
(2)B、C是否相互独立？
解析：(1)由题意P(A)＝，P(C)＝，而A＝{1，2，3}，则P(AC)＝，
所以P(AC)≠P(A)P(C)，故A、C不相互独立；
(2)由题意P(B)＝，P(C)＝，而B＝{1，4}，则P(BC)＝，
所以P(BC)＝P(B)P(C)，故B，C相互独立．
判断两个事件是否相互独立的方法
训练1 下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“一个节能灯泡能用1 000小时”，B＝“一个节能灯泡能用2 000小时”
答案：A
解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B事件应为互斥事件，不相互独立；D中事件B受事件A的影响．故选A.
题型 2 相互独立事件概率的计算
例2 在一次猜灯谜活动中，甲、乙两人同时独立猜同一道灯谜，已知甲、乙能猜对的概率分别是0.6和0.5.
(1)求两人都猜对此灯谜的概率；
(2)求恰有一人猜对此灯谜的概率．
解析：(1)设A＝“甲猜对”，B＝“乙猜对”，则＝“甲猜错”，＝“乙猜错”，由题意得A与B相互独立，A与与B，与都相互独立，
“两人都猜对”＝AB，由事件独立性的定义可得
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.5＝0.3.
(2)设A＝“甲猜对”，B＝“乙猜对”，则＝“甲猜错”，＝“乙猜错”，由题意得A与B相互独立，A与与B，与都相互独立，
“恰有一人猜对”＝AB，因为A与B互斥，由概率的加法公式可得
P(AB)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.5.
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
训练2 甲、乙两人分别对A，B两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响．已知甲击中A，B的概率均为，乙击中A，B的概率分别为.
(1)求A被击毁的概率；
(2)求恰有1个目标被击毁的概率．
解析：(1)A被击毁则甲、乙两人均要击中目标，故概率为＝.
(2)B被击毁的概率为＝，
则A被击毁，B不被击毁的概率为×(1－)＝，
B被击毁，A不被击毁的概率为×(1－)＝，
则恰有1个目标被击毁的概率为＝.
题型 3 相互独立事件概率的综合应用
例3 某校组织了防溺水知识测试．测试共分为两轮，每位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视本次测试成绩为合格．甲、乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为；在第二轮测试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为.甲、乙两人在每轮测试中的成绩是否合格互不影响．
(1)甲、乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？
(2)求甲、乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率．
解析：(1)设A1＝“甲在第一轮测试中的成绩合格”，A2＝“甲在第二轮测试中的成绩合格”，
B1＝“乙在第一轮测试中的成绩合格”，B2＝“乙在第二轮测试中的成绩合格”，
则A1A2＝“甲同学在本次测试中成绩合格”，P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝＝，
B1B2＝“乙同学在本次测试中成绩合格”，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝＝.
因为>，所以甲同学在本次测试中成绩合格的概率更大．
(2)设C＝“甲在本次测试中成绩合格”，D＝“乙在本次测试中成绩合格”，
则P()＝1－P(A1A2)＝1－＝，
P()＝1－P(B1B2)＝1－＝，
C＝“甲、乙两人中至少有一人在本次测试中合格”，
P(C＝1－P()＝1－P()P()＝1－＝.
一题多变 本例条件不变，求甲、乙两人中至多有一人的成绩在本次测试中合格的概率．
解析：设C＝“甲在本次测试中成绩合格”，D＝“乙在本次测试中成绩合格”，
则P(CD)＝P(C)P(D)＝＝.
E＝“甲、乙两人中至多有一人的成绩在本次测试中合格”
所以P(E)＝1－P(CD)＝1－＝.
笔记：(1)准确理解互斥事件，相互独立事件的含义，灵活利用概率的加法和乘法公式解题．
(2)正难则反，若所求事件的概率正面计算较繁琐时，可以从对立面入手求解．
训练3 某同学乘火车从郑州到北京去比赛，若当天从郑州到北京的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解析：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
随堂练习
1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回的摸球游戏，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
答案：A
解析：由题意可得表示第二次摸到的不是黑球，即表示第二次摸到的是白球，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件，由于A1与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件．故选A.
2．甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是( )
A．0.3 B．0.63
C．0.7 D．0.9
答案：B
解析：设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.9×0.7＝0.63.故选B.
3．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为( )
A．0.28 B．0.12
C．0.42 D．0.16
答案：B
解析：甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4＝0.12.故选B.
4．甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出(至少有一人解出来)的概率是________．
解析：设数学题没被解出来为事件A，
则P(A)＝(1－)·(1－)＝，
则这道题被解出(至少有一人解出来)的概率：
P＝1－P(A)＝1－＝.
课堂小结
1.相互独立事件的定义和性质．
2．相互独立事件的判断．
3．相互独立事件概率的计算．(共32张PPT)
10.1.1 有限样本空间与随机事件
第十章 10.1 随机事件与概率
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间.
2.了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
我们把对随机现象的 和对它的 称为 ，简称 ，常用字母 表示.
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
(1)试验可以在相同条件下 进行；
(2)试验的所有可能结果是 ，并且 ；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
知识点一 随机试验
实现
观察
随机试验
试验
E
重复
明确可知的
不止一个
我们把随机试验E的每个可能的 称为 ，全体样本点的集合称为试验E的 ，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为 .
知识点二 样本空间
基本结果
样本点
样本空间
有限样本空间
1.一般地，随机试验中的 都可以用这个试验的样本空间的 来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为 ，简称 ，并把只包含 的事件称为 .当且仅当A中某个样本点出现时，称为 .
2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为 .
3.空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为 为 .
知识点三 随机事件、必然事件与不可能事件
每个随机事件
子集
随机事件
事件
一个样本点
基本事件
事件A发生
必然事件
不可能事件
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.对于随机试验，当在同样的条件下重复进行试验时，每次试验的所有可能结果是不知道的.( )
2.连续抛掷2次硬币，该试验的样本空间Ω＝{正正，反反，正反}.( )
3.“已知一个盒中装有4个白球和5个黑球，从中任意取1个球，该球是白球或黑球”，此事件是必然事件.( )
4.“某人射击一次，中靶”是随机事件.( )
×
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1 写出下列试验的样本空间：
(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；
一、样本空间的求法
解 该试验的样本空间Ω1＝{3,4,5，…，18}.
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
解 该试验，所有可能的结果如图所示，
因此，该试验的样本空间为Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.
(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况.
解 如图，
用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}.
延伸探究
本例(2)中“任取两件”改为连续取两次，且每次取出后又放回，此时样本空间又是什么？
解 如图，
所以样本空间为Ω4＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)}.
反思感悟
写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏.
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.
跟踪训练1 写出下列试验的样本空间：
(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；
解 如图，
设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4，
所以样本空间Ω1＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，(2,1,3,4)，(2,1,4,3)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,2,1,4)，(3,2,4,1)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,1,3)，(4,2,3,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)}.
(2)从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况.
解 设正品为H，次品为T，
样本空间Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}.
二、随机事件的表示
例2 试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况.
设事件A表示随机事件“甲乙平局”；
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；
事件C表示随机事件“乙不输”.
试用集合表示事件A，B，C.
解 设锤子为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}.
因为事件A表示随机事件“甲乙平局”，
则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
∴事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}.
事件B表示“甲赢得游戏”，
则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
∴事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}.
因为事件C表示“乙不输”，则满足要求的样本点共有6个，
(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，
∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}.
反思感悟
对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后，确定随机事件中含有哪些样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求.
跟踪训练2 如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件M.
解 M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}.
三、随机事件的含义
例3 在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：
(1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；
解 事件A中所含的样本点中的第二个数为3，
根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，
故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.
(2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；
解 事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.
(3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}.
解 事件C的所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数差的绝对值为2的样本点都在C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.
反思感悟
解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义.
跟踪训练3 柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义.
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
解 事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”.
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
解 事件N的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”.
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.
解 事件P的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”.
3
随堂演练
PART THREE
1.下列事件是必然事件的是
A.从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签
B.函数y＝logax(a>0且a≠1)为增函数
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.随机选取一个实数x，得2x<0
1
2
3
4
5
√
解析 A.是随机事件，5张标签都可能被取到；
B.是随机事件，当a>1时，函数y＝logax为增函数，当0
C.是必然事件，实质是平行公理；
D.是不可能事件，根据指数函数y＝2x的图象可得，对任意实数x,2x>0.
2.集合A＝{2,3}，B＝{1,2,4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有基本事件的个数为
A.8 B.9
C.12 D.11
√
1
2
3
4
5
解析 从A，B中各任意取一个数，可构成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43，共11个.
1
2
3
4
5
3.元旦期间，小东和爸爸、妈妈外出旅游，一家三口随机站成一排，则小东恰好站在中间的站法种数为
A.2 B.3
C.4 D.5
√
4.抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝_________________________________________________________.
1
2
3
4
5
{(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)}
解析 试验的样本空间为Ω＝{(正正正)，(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)，(反反反)}，则M＝{(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)}.
1
2
3
4
5
5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，则事件M的含义是_____________________________.
抛骰子两次，向上点数之和为8
1.知识清单：
(1)随机试验.
(2)样本空间.
(3)随机事件.
2.方法归纳：列表法、树状图法.
3.常见误区：在列举样本点时要按照一定的顺序，要做到不重、不漏.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共33张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
第十章 10.1 随机事件与概率
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解概率的基本性质.
2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点 概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A) 0.
性质2 必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，即P(Ω)＝ ，P( )＝ .
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ .
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ ，P(A)＝ .
性质5 如果A B，那么 .
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝______________
.
≥
1
0
1
0
P(A)＋P(B)
1－P(A)
1－P(B)
P(A)≤P(B)
P(A)＋P(B)－
P(A∩B)
思考 (1)如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么事件A1，A2，…，An的和事件的概率等于事件A1，A2，…，An的概率和吗？
答案 相等.P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
(2)对于任意事件A，事件A的概率的范围是多少？
答案 因 A Ω，∴0≤P(A)≤1.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B).( )
2.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( )
3.事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件.( )
4.如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1.( )
×
×
√
×
2
题型探究
PART TWO
例1 某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
一、互斥事件与对立事件概率公式的应用
解 “射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”是彼此互斥的，可运用互斥事件的概率加法公式求解.
设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为事件A，B，C，D，E，
则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)至少射中7环的概率；
解 方法一 P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7环的概率为0.87.
方法二 事件“至少射中7环”的对立事件是“射中7环以下”，其概率为0.13，则至少射中7环的概率为1－0.13＝0.87.
(3)射中8环以下的概率.
解 P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，
所以射中8环以下的概率为0.29.
反思感悟
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤
(1)确定各事件彼此互斥.
(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.
注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.
跟踪训练1 在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：
(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；
解 分别记小明的成绩“在90分及90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”为事件B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥.
小明的成绩在80分及80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)小明考试及格(60分及60分以上为及格).
解 方法一 小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
方法二 因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.
二、互斥、对立事件与古典概型的综合应用
例2 一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
解 记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，
根据题意，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥.
方法一 由互斥事件概率公式，得取出1球为红球或黑球的概率为
方法二 取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
解 方法一 取出1球为红球或黑球或白球的概率为
方法二 A1＋A2＋A3的对立事件为A4，
反思感悟
求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件.
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.
跟踪训练2 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
解 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.
由题图知3支球队共有球员20名.
令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
解 令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
正难则反思想的应用
典例 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
解 由题意知，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个.
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.
解 设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件包括的样本点有(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种.
素养提升
当正面考虑所解决的问题比较繁琐复杂时，可以通过逻辑推理，找到所求事件的对立事件，利用对立事件的概率的公式求解.
3
随堂演练
PART THREE
1.在一个试验中，若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B的关系是
A.互斥不对立
B.对立不互斥
C.互斥且对立
D.以上答案都不对
1
2
3
4
5
√
2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是
A.0.42 B.0.28
C.0.3 D.0.7
1
2
3
4
5
√
解析 ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.
3.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，
则下列说法正确的是
A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B.B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C.A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D.A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
√
解析 由于A，B，C，D彼此互斥，且P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故四个事件的关系如图所示.
由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故选D.
1
2
3
4
5
4.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是
1
2
3
4
5
√
解析 记3个红球分别为a1，a2，a3,2个白球分别为b1，b2，从3个红球、2个白球中任取3个，
则样本空间Ω＝{(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)}，共含10个样本点，样本点出现的机会均等，
因此这些样本点的出现是等可能的.
用事件A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为 ，乙夺得冠军的概率为 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
_____.
解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，
但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式进行计算，
1.知识清单：
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).
性质5 如果A B，那么P(A)≤P(B).
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
2.方法归纳：
(1)将所求事件转化为互斥事件的并事件.
(2)将求复杂事件的概率转化为求其对立事件的概率.
3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，不能重复和遗漏.(共32张PPT)
章末复习
第十章 概 率
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识网络
考点突破
随堂演练
1
知识网络
PART ONE
2
考点突破
PART TWO
一、互斥事件、对立事件与相互独立事件
1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.
2.掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和数学运算素养.
例1 (1)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是
A.A与B，A与C均相互独立
B.A与B相互独立，A与C互斥
C.A与B，A与C均互斥
D.A与B互斥，A与C相互独立
√
解析 有放回地摸球，第一次摸球与第二次摸球之间没有影响.
(2)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是
A.① B.②④ C.③ D.①③
√
解析 ③中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.
反思感悟
事件间的关系的判断方法
(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系.
(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断.
(3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P(AB)与P(A)·P(B)是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立.
跟踪训练1 (1)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是 ，那么概率是 的事件是
A.至多有一张移动卡
B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡
D.至少有一张移动卡
√
解析 “至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，其概率为
(2)下列事件A，B是相互独立事件的是
A.一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”
B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到
白球”，B表示“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数”
D.有一个灯泡，A表示“灯泡能用1 000小时”，B表示“灯泡能用2 000小时”
√
解析 B选项由于是不放回摸球，故事件A与B不相互独立，
C选项中A与B为对立事件，
D选项中事件B受事件A影响，故选A.
二、古典概型
1.古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)＝ 时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m.
2.掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养.
例2 袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任取两球，求下列事件的概率.
(1)A：取出的两球都是白球；
解 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相同.
“从袋中的6个球中任取2球，所取的2球全是白球”为事件A，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点.所以P(A)＝
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球.
解 “从袋中的6个球中任取2球，其中一个是白球，另一个是红球”为事件B，则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共含有8个样本点，所以P(B)＝ .
反思感悟
在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把样本点一一列出.而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目.
跟踪训练2 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
解 由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.
解 从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2，A5B3}，共含15个样本点.
根据题意这些样本点出现的可能性相等.
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有A1B2，A1B3，共2个.
三、相互独立事件概率的计算
1.相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解.
2.掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养.
例3 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
解 记“该选手正确回答第i轮问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，
(2)求该选手至多进入第二轮考核的概率.
反思感悟
解此类题的步骤如下
(1)标记事件.
(2)判断事件的独立性.
(3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立).
(4)套用公式.
跟踪训练3 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.
(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率；
解 记甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照顾分别为事件A，B，C，
则A，B，C两两相互独立.
由题意得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，
P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，
P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，
∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，
∴甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.
(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.
解 ∵A，B，C两两相互独立，
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
5
1.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的事件是
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
√
解析 A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；
B中的两个事件是对立事件；
C中的两个事件都包含“一个黑球，一个红球”这一事件，不是互斥关系；
D中的两个事件是互斥而不对立的关系.
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为
√
解析 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，出现的情况有(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)(水，土)，(火，土)，共10种等可能情况，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也有5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为 .
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
5.在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5，甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上数字后，再将该小球放回箱子中摇匀，然后乙从该箱子中摸出一个小球.
(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；
解 用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的样本点，则样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个.
设甲获胜的事件为A，则事件A包含的样本点有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？
解 设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.
事件B所包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个.
因为P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平.(共29张PPT)
10.1.3 古典概型
第十章 10.1 随机事件与概率
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解古典概型的概念及特点.
2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一 随机事件的概率
对随机事件发生 的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用
表示.
可能性大小
P(A)
知识点二 古典概型
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有 ；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 .
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为 模型，简称 .
有限个
相等
古典概率
古典概型
知识点三 古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个
样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝ .
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.古典概型中每个事件发生的可能性相同.( )
2.古典概型有两个重要条件：①样本空间中样本点总数是有限的，每次试验只出现其中的一个结果；②各个样本点的出现是等可能的.( )
3.用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点，此点小于2”的概率.
( )
4.从甲地到乙地共n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题.( )
×
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
一、古典概型的判断
解 不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
解 不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.
(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.
解 是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.
反思感悟
古典概型需满足两个条件
(1)样本点总数有限.
(2)各个样本点出现的可能性相等.
跟踪训练1 下列问题中是古典概型的是
A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B.掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
√
解析 A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；
C项中样本点的个数是无限多个；
D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选D.
二、古典概型概率的计算
例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
解 由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.
将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，
样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点.
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
解 事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点.
(3)摸出2个黑球的概率.
反思感悟
求古典概型概率的步骤
(1)确定样本空间的样本点的总数n.
(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.
(3)P(A)＝ .
跟踪训练2 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，
余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是_____.
解析 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为 .
三、较复杂的古典概型的概率计算
例3 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
(1)求点数之和为7的概率；
解 如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36种.
记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).
(2)求掷出两个4点的概率；
解 记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4).
(3)求点数之和能被3整除的概率.
解 记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).
反思感悟
在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便.
跟踪训练3 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
解 由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个.
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解 从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有
(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，
3
随堂演练
PART THREE
1.下列不是古典概型的是
A.从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
1
2
3
4
5
√
解析 A，B，D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不满足等可能性，故不为古典概型.
2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是
1
2
3
4
5
√
解析 样本点有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个.
甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，
1
2
3
4
5
3.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为
A.0.4 B.0.6
C.0.8 D.1
√
解析 记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种可能，其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为 ＝0.6.
4.用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是
1
2
3
4
5
√
解析 用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123,132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312这2个数，故能被2整除的概率为 .
1
2
3
4
5
5.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是______.
0.2
解析 两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的样本点有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，所以P＝ ＝0.2.
1.知识清单：
(1)古典概型.
(2)古典概型的概率公式.
2.方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数.
3.常见误区：列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共30张PPT)
10.1.2 事件的关系和运算
预 学 案
一、事件的关系
定义 符号 图示
包含 关系 一般地，若事件A发生，则事件B________，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A (或A B)
相等 关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即___________，则称事件A与事件B相等 A＝B
一定发生
B A且A B
练习 在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A：{出现1点}；B：{出现2点}；C：{出现3点}；D：{出现4点}；E：{出现5点}；F：{出现6点}；G：{出现的点数不大于1}；H：{出现的点数小于5}；I：{出现奇数点}；J：{出现偶数点}．
请判断下列两个事件的关系：
(1)B________H; (2)D________J；
(3)E________I; (4)A________G．
＝
解析：因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B H；同理D J，E I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.
二、事件的运算
定义 符号 图示
并事件(或和事件) 一般地，事件A与事件B________有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件(或积事件) 一般地，事件A与事件B________发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)
至少
同时
练习 向上抛掷一枚骰子，设事件A＝{点数为2或4}，事件B＝{点数为2或6}，事件C＝{点数为偶数}，则事件C与A，B的运算关系是________．
C＝A∪B
解析：由题意可知C＝A∪B.
三、互斥事件与对立事件
定义 符号 图示
互斥 事件 一般地，如果事件A与事件B________发生，也就是说________是一个不可能事件，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝
对立 事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中________一个发生，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为________ A∪B＝Ω， 且A∩B＝
不能同时
A∩B
有且仅有
练习】 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，判断下列事件哪些是互斥而不对立的两事件．(是的打“√”，不是的打“×”)
(1)“至少有1个黑球”和“都是黑球”．( )
(2)“至少有1个黑球”和“至少有1个红球”．( )
(3)“恰有1个黑球”和“恰有2个红球”．( )
(4)“至少有1个黑球”和“都是红球”( )
×
×
√
×
微点拨
(1)任何事件都包含不可能事件，即C (C为任一事件)．事件A也包含于事件A，即A A.
(2)A B可用逻辑语言表述为：A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件．A＝B可用逻辑语言表述为：A发生是B发生的充要条件．
微点拨
并事件包含三种情况：(1)事件A发生，事件B不发生；(2)事件A不发生，事件B发生；(3)事件A，B都发生．
微点拨
(1)事件A与事件B互斥包含三种情况：(1)事件A发生，B不发生；(2)事件A不发生，B发生；(3)事件A不发生，B也不发生．注意与和事件进行区别．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，若A与B相互对立．则A与B互斥，但反之不成立，即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解事件的关系与运算．(2)通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念．
题型 1 事件的关系
【问题探究1】 (1)一枚骰子掷一次，记事件A＝{出现点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则事件B发生时，事件A一定发生吗？
(2)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，A与B应有怎样的关系？
提示：(1)因为5>4，故事件B发生时事件A一定发生．
(2)因为1为奇数，所以A B.
例1 对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品．
写出该试验的样本空间Ω，并用样本点表示事件：A＝{至少有2个正品}，B＝{至少1个产品是正品}，并判断事件A与事件B的关系．
解析：依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查2个，最多检查3个产品．如果用“0”表示查出次品，用“1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列．样本空间Ω＝{00，010，011，100，101，110，111}．
A＝{011，101，110，111}．
B＝{010，011，100，101，110，111}，
所以A B.
笔记：(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似．
(2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
训练1 抛掷一枚质地均匀的硬币三次，有如下三个事件A，B，C，其中A为有3次正面向上，B为只有1次正面向上，C为至少有1次正面向上，试判断A，B，C之间的包含关系．
解析：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A C，B C；
当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，
事件A一定不发生，因此A与B之间不存在包含关系，
综上，事件A，B，C之间的包含关系为A C，B C.
题型 2 事件的运算
【问题探究2】 (1)在掷骰子试验中，用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
(2)在掷骰子试验中，用集合的形式表示事件C2＝“点数为2”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
提示：(1)D1＝{1，2，3}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}．{1，2}＝{1，2，3}，即E1＝D1.
(2)E1＝{1，2}，E2＝{2，3}，C2＝{2}．{1，2}＝{2}，即E1＝C2.
例2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
解析：(1)由题意，3个球中既有红球又有白球，包括3个球中有1个红球、2个白球，3个球中有2个红球、1个白球，由此可得D＝A∪B.
(2)3个球中至少有1个红球中包括3个球中有1个红球、2个白球，∴C∩A＝A.
事件间运算的方法
训练2 抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}．
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系．
解析：(1)B A，C A，E A，且A＝B＋C＋E.
(2)A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向上}，A∩D＝B∪C
题型 3 互斥事件与对立事件
【问题探究3】 把红、蓝、黑、白4张除颜色不同其他均相同的纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得1张．
(1)事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”能同时发生吗？
(2)“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是什么事件？
提示：(1)事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，因为红牌只有一张．
(2)“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥事件，但不是对立事件，因为它们不能同时发生．
例3 从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件．
(1)“取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”；
(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；
(3)“取出3个红球”与“取出的球中至少有1个红球”．
解析：(1)从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，从颜色的角度出发，包含如下基本事件：
3个白球，2个白球1个红球，1个白球2个红球，3个红球．
事件“取出3个球中至少有1个白球”，包括：3个白球，2个白球1个红球，1个白球2个红球，
故该事件与“取出3个红球”是互斥事件，也是对立事件．
(2)根据(1)中所求，显然：
“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”是互斥事件，但不是对立事件．
(3)“取出的球中至少有1个红球”包括基本事件：2个白球1个红球，1个白球2个红球，3个红球，
故该事件与“取出3个红球”不是互斥事件，因为有共同的基本事件：3个红球．
同时，也不是对立事件．
判断互斥事件、对立事件的策略
训练3 抛掷一枚骰子，记事件A＝“落地时向上的点数是奇数”，事件B＝“落地时向上的点数是偶数”，事件C＝“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D＝“落地时向上的点数是2或4”，则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．A与D B．A与B
C．B与C D．B与D
答案：A
解析：事件A与D不能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件；事件A与B是对立事件；事件B与C可能同时发生，不是互斥事件；事件B与D可能同时发生，不是互斥事件．故选A.
随堂练习
1．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
答案：C
解析：设A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A＋B表示向上的点数为1或2或3.故选C.
2．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．非互斥事件 D．以上都不对
答案：A
解析：由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．故选A.
3．某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是( )
A．至少有一次中靶 B．只有一次中靶
C．两次都中靶 D．两次都不中靶
答案：C
解析：射击两次中靶的次数可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次．故选C.
4．从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个不重复的两位数．事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A用样本点表示为_________________________________．
{10，20，30，40，50，32，42，52，54}
课堂小结
1.事件的包含关系与相等关系．
2．并事件与交事件．
3．互斥事件与对立事件．(共33张PPT)
10.2 事件的相互独立性
第十章 概 率
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.
知识点一 相互独立事件的概念
P(A)P(B)
知识点二 相互独立事件的性质
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.不可能事件与任何一个事件相互独立.( )
2.必然事件与任何一个事件相互独立.( )
3.“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件.( )
4.如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的.( )
√
√
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1 判断下列事件是否为相互独立事件.
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.
一、事件独立性的判断
解 “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件.
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.
可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，
所以二者不是相互独立事件.
反思感悟
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件.
跟踪训练1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是_________.(填序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
①②③
解析 根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.
利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.
二、相互独立事件概率的计算
例2 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
解 记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，
延伸探究 本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？
解 记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，
方法二 事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件.
反思感悟
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的.
②求出每个事件的概率，再求积.
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的.
跟踪训练2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 ，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：
(1)两人都能破译的概率；
解 记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”.
(2)恰有一人能破译的概率；
(3)至多有一人能破译的概率.
解 至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，
三、相互独立事件概率的综合应用
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
解 记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，
因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
解 设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，
由题易知三人是否获得合格证书相互独立，
反思感悟
求较复杂事件的概率的一般步骤如下
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
跟踪训练3 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为 将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
解 记T1正常工作为事件A，T2正常工作为事件B，T3正常工作为事件C，
核心素养之数学抽象
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE CHOU XIANG
方程思想在相互独立事件概率中的应用
解 记事件A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.
素养提升
对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程(组)，通过解方程(组)解决问题，提升数学抽象素养.
3
随堂演练
PART THREE
1.坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸到白球，A2表示第2次摸到白球，则A1与A2
A.是互斥事件
B.是相互独立事件
C.是对立事件
D.不是相互独立事件
1
2
3
4
5
√
解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错.
而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件.
2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为
A.1 B.0.629
C.0 D.0.74或0.85
√
1
2
3
4
5
解析 设“甲保险丝熔断”为事件A，“乙保险丝熔断”为事件B，
则P(A)＝0.85，P(B)＝0.74，
由事件A与B相互独立，
得“两根保险丝都熔断”为事件AB，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.85×0.74＝0.629.
1
2
3
4
5
√
解析 由题意知三项标准互不影响，
4.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是
A.0.26 B.0.08
C.0.18 D.0.72
1
2
3
4
5
√
解析 甲种子发芽而乙种子不发芽的概率为0.8×0.1＝0.08.
乙种子发芽而甲种子不发芽的概率为0.9×0.2＝0.18，
故恰有一粒种子能发芽的概率为0.08＋0.18＝0.26.
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)相互独立事件的判断.
(2)相互独立事件概率的计算.
2.方法归纳：构造方程(组)、通过解方程(组)求概率，正难则反思想求概率.
3.常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共29张PPT)
10.1.1 有限样本空间与随机事件
预 学 案
一、随机试验、样本空间
1．随机试验：我们把对________的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示．
2．随机试验的特点：
(1)试验可以在相同条件下________进行；
(2)试验的所有可能结果是________的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
3．我们把随机试验E的每个可能的________称为________，全体样本点的集合称为试验E的________，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为____________．
随机现象
重复
明确可知
基本结果
样本点
样本空间
有限样本空间
练习 从a，b，c，d中任取两个不同的字母，则该试验的样本空间Ω＝_______________________．
{ab，ac，ad，bc，bd，cd}
解析：任取两个不同的字母的有：{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．
二、随机事件
随机事件 我们将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件，并把只包含________样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中______________发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中________发生，我们称 为不可能事件
子集
一个
总有一个样本点
都不会
练习 下列事件中，是随机事件的是( )
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖
C．水中捞月 D．水滴石穿
答案：A
解析：守株待兔是随机事件，故A选项正确；
瓮中捉鳖是必然事件，故B选项错误；
水中捞月是不可能事件，故C选项错误；
水滴石穿是必然事件，故D选项错误．
故选A.
微点拨
样本点与样本空间的关系是元素与集合的关系．样本空间中的元素可以是数，也可以不是数．
微点拨
(1)必然事件与不可能事件不具有随机性，为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集．
(2)基本事件的概念可类比集合中元素的概念，试验可能发生的全部结果是一个集合，其元素是基本事件，基本事件不可能分解，不能同时发生(相当于集合中元素的互异性)．
(3)事件与基本事件的区别：基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，只包含一个样本点，而事件可以由若干个基本事件组成，不止包含一个样本点．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解随机试验的概念及特点．(2)理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间．(3)理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质．
题型 1 有限样本空间
【问题探究1】 做一个试验：一个盒子中有4个质地和大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从中任取一个小球．可能的结果有哪些？这些结果可否用一个集合来表示？
提示：可能的结果有4个，分别是取出1号小球，取出2号小球，取出3号小球，取出4号小球；这些结果可用集合{1，2，3，4}表示．
例1 写出下列试验的样本空间：
(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况．
解析：(1)该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，…，18}．
(2)该试验所有可能的结果如图所示，
因此，该试验的样本空间为Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}．
(3)如图，
用1，2，3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}．
写出样本空间的方法
训练1 分别写出下列试验的样本空间：
(1)某人射击一次，命中的环数；
(2)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取1个球；
(3)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取2个球．
解析：(1)确定样本点，用0表示未命中，i(i＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10)表示命中i环，则样本空间为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．
(2)任取1个球，样本空间为{a，b，c，d}．
(3)任取2个球，记(a，b)表示一次试验中取出的球是a和b，则样本空间为{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}．
题型 2 随机事件、必然事件、不可能事件
【问题探究2】 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10份(如图所示)．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．
设事件A＝“转出的数字是5”，事件B＝“转出的数字是0”，事件C＝“转出的数字x满足1≤x≤10，x∈Z”，则事件A，B，C分别是什么事件？
提示：“转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件；
“转出的数字是0”，即B＝{0}，不是样本空间Ω＝{1，2，…，10}的子集，故事件B是不可能事件；
C＝Ω＝{1，2，…，10}，故事件C是必然事件．
例2 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需要任何能量的“永动机”将会出现．
解析：(1)某人购买福利彩票一注，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件；
(2)所有三角形的内角和为180°，所以是必然事件；
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，故是不可能事件；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件；
(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件；
(6)由能量守恒定律可知，不需要任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
笔记：判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
训练2 如果在某届世界乒乓球锦标赛女子单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛．那么该比赛的：
(1)“冠军属于中国选手”；
(2)“冠军属于外国选手”；
(3)“冠军属于中国选手甲”．
分别是随机现象还是确定性现象？
解析：甲、乙两名中国选手进入最后决赛，所以冠军一定为中国选手，不会是外国选手，所以(1)是必然事件，确定性现象，(2)为不可能事件，确定性现象，冠军可能是甲，也可能是乙，所以(3)为随机现象．
题型 3 随机事件的表示及含义
例3 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)(不考虑指针落在分界线上的情况)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x<3且y>1”的集合表示；
(3)说出事件C＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}，D＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}所表示的含义．
解析：(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)事件A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}；
事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}．
(3)事件C表示“xy＝4”，事件D表示“x＝y”．
笔记：(1)随机事件的表示：先列出所有的样本点，再确定要求的随机事件包含哪些样本点，把这些样本点作为元素表示成集合即可．
(2)说明随机事件的含义：要先理解事件中样本点的意义，观察它们的规律，进而确定随机事件的含义．
训练3 做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)指出事件A＝{(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)}的含义．
解析：(1)这个试验的样本空间Ω为
{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
(2)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.
随堂练习
1．一个口袋中装有质地和大小都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”这个事件是( )
A．随机事件 B．必然事件
C．不可能事件 D．不能确定
答案：A
解析：因为事件“从中任意摸一个球得到白球”可能发生也可能不发生，所以这个事件是随机事件．故选A.
2．体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件A，则事件A包含的样本点的个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案：C
解析：由题意可知，事件A＝{0，1，2，3，4，5}，共6个样本点．故选C.
3．一个家庭生两个小孩，所有的样本点有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
答案：C
解析：把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C.
4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是________________________．
抛骰子两次，向上点数之和为8
课堂小结
1.对随机试验、样本空间的理解．
2．随机事件、必然事件、不可能事件的判断．
3．随机事件的表示及含义．(共30张PPT)
10.1.3 古典概型
预 学 案
古典概型
1．定义：一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有________；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性________．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
2．计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝
________．
有限个
相等
＝
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个试验的样本空间中的样本点个数为有限个，则该试验是古典概型．( )
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．( )
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．( )
×
√
√
2．若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为.故选B.
微点拨
(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征．
(2)若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率．
(3)由于观察的角度不同，样本点的个数可能也不同，因此样本点总个数和事件A包含的样本点个数的计算必须站在同一角度上，否则会引起混淆导致错误．
共 学 案
【学习目标】 (1)理解古典概型的概念及特点．(2)掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．
题型 1 古典概型的定义
【问题探究1】 试验1：抛掷一枚质地均匀的硬币一次，观察朝上的面．
试验2：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，观察可能出现的点数．
试验3：一只袋子中放入3个黑球、2个绿球和1个红球，所有球除颜色外一切相同，从袋子中任意摸出1个球，观察可能出现的结果．(用数字m表示摸到的球号)
请大家仔细阅读试验1、试验2、试验3，并完成下面的表格．
样本空间 样本点出现的可能性
试验1
试验2
试验3
请观察上面的表格，找出这三个试验有什么共同特点？
提示：
样本空间的样本点只有有限个，每个样本点发生的可能性相等．
样本空间 样本点出现的可能性
试验1 {正面朝上，反面朝上}
试验2 {1，2，3，4，5，6}
试验3 {黑1，黑2，黑3，绿1，绿2，红}
例1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．
解析：(1)不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．
(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．
(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．
笔记：判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征：有限性和等可能性．
训练1 下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
答案：B
解析：由古典概型的两个特征易知B正确．
题型 2 古典概型概率的计算
【问题探究2】 一个班级中有18名男生，22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A＝“抽到男生”，如何度量事件A发生的可能性大小？
提示：班级中共有40名学生，从中选择1名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型．
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小，因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量．显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A＝“抽到男生”包含18个样本点，因此，事件A发生的可能性大小为＝0.45.
例2 口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：
(1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；
(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率．
解析：(1)任意摸出两个小球的基本事件空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以摸得红球和白球的概率为.
(2)有放回地取球，基本事件空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)}，摸出一红一白包括(红，白)，(白，红)2个基本事件，所以摸得一红一白的概率为.
一题多变1 本例前提条件不变，若从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率．
解析：有放回地取球．样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，第一次摸出红球，第二次摸出白球，只包含(红，白)一个样本点，故所求概率为.
一题多变2 本例前提条件不变，若从袋中依次无放回地摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率．
解析：无放回地取球．样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)}，所以第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率是.
求古典概型概率的一般步骤
训练2 有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)共4种，故所求概率P＝＝.故选C.
题型 3 古典概型概率的综合应用
例3 2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场隆重举行，本届北京冬奥会的主题口号——“一起向未来”，某兴趣小组制作了写有“一”“起”“向”“未”“来”的五张卡片．
(1)若采用不放回简单随机抽样从中逐一抽取两张卡片，写出试验的样本空间．
(2)该兴趣小组举办抽卡片送纪念品活动，有如下两种方案：
方案一：活动参与者采用简单随机抽样，从五张卡片中任意抽取一张，若抽到“向”或“未”或“来”，则可获得纪念品；
方案二：活动参与者采用不放回简单随机抽样，从五张卡片中逐一抽取两张，若抽到“未”或“来”，则可获得纪念品．
选择哪种方案可以有更大机会获得纪念品？说明理由．
解析：(1)用1，2，3，4，5，分别表示“一”“起”“向”“未”“来”五张卡片，
x1，x2∈{1，2，3，4，5}，数组(x1，x2)表示这个试验的一个样本点，则该试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}．
(2)采用方案一时，从五张卡片中采用简单随机抽样从中任意抽取一张的样本空间为{1，2，3，4，5}，且每个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型，事件A＝“抽到‘向’或‘未’或‘来’”，A＝{3，4，5}，则P(A)＝.
采用方案二时，由(1)可得从五张卡片中采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两张共有20个样本点，且每个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型，事件B＝“抽到‘未’或‘来’”，
B＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，
P(B)＝＝.
因为P(A)笔记：解答此类问题的关键是正确利用古典概型求出各种情况的概率，再进行比较．
训练3 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果．
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．
解析：(1)所有可能的摸出结果是：
(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．
(2)不正确．理由如下：
由(1)知，所有可能的摸出结果共有12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)共4种，
∴中奖的概率为＝.
不中奖的概率为：1－＝>.
故这种说法不正确．
随堂练习
1．(多选)下列有关古典概型的说法中，正确的是( )
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝
答案：ACD
解析：由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等，故A，C正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确．故选ACD.
2．一个盒子中装有除颜色外其他都相同的5个小球，其中有2个红球，3个白球，从中任取一球，则取到红球的概率为( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：一个盒子中装有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相同，∴摸出1个球是红球的概率为P＝.故选D.
3．同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：同时掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4种，出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种：(正，正)．则两枚硬币均为正面向上的概率P＝.故选A.
4．从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是_______．
解析：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)共6个结果，
满足两个数相差为2的有(2，4)、(3，5)共2个结果，
所以两个数相差为2的概率P＝＝.
课堂小结
1.古典概型的定义．
2．古典概型的概率公式．
3．利用古典概型的概率公式计算概率．