新人教版高中数学必修第二册-第八章 立体几何初步 课件（30份打包）

(共32张PPT)
第1课时　平面与平面垂直的判定
预 学 案
一、二面角
1．定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的__________；这两个半平面叫做二面角的________.
2．画法：
3．记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.
两个半平面
棱
面
4．二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作____________的射线OA，OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做_____________．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是________．
垂直于棱l
二面角的平面角
[0，π]
练习　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．
45°
解析：根据正方体中的线面位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A -BC -A1的平面角，又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.
二、平面与平面垂直的定义与判定定理
1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作________．如图，
2．判定定理：____________________________________________.
符号表示为：_______________．
直二面角
α⊥β
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
a α，a⊥β α⊥β
练习　
直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
答案：C
解析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
微点拨
(1)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个要素缺一不可．前两个要素决定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．
(2)二面角是一个几何图形，而不是真正意义的角．
(3)二面角的大小通过其平面角来度量．
(4)二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
微点拨
(1)判定定理可以简述为“线面垂直，则面面垂直”．因此要证明平面与平面垂直，可转化为寻找平面的垂线，即证线面垂直．
(2)两个平面互相垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出与一个平面垂直的另一个平面的依据．
共 学 案
【学习目标】　(1)理解二面角的概念以及二面角平面角的概念，学会找二面角的平面角．(2)掌握面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，初步学会用面面垂直的判定与证明．
题型 1 二面角
【问题探究1】　修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，那么两平面形成角的大小如何确定？
提示：可用二面角的平面角．
例1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小．
解析：由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P-BC-A的棱，
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角．
由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，
求二面角大小的步骤
训练1 如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝AD，求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小．
解析：因为AC⊥平面BCD，BD 平面BCD，
所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD.
因为AD 平面ACD，所以AD⊥BD，
所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角．
在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°.
即平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小为30°.
题型 2 平面与平面垂直的定义
【问题探究2】　观察教室中墙面与地面的位置关系，生活中还有哪些平面与平面垂直的例子？你认为应该怎样定义两个平面垂直？
提示：书本竖在桌面上，书本和桌面近似看作平面与平面垂直；长方体的文具盒放在桌面上，文具盒的四个侧面和桌面近似看作平面与平面垂直．一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
例2　如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
证明：平面AEC⊥平面AFC.
证明：如图，连接BD，交AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，
可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.
同理可得FG⊥AC，所以∠EGF为二面角E-AC-F的平面角，
在Rt△EBG中，可得BE＝＝，故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝＝.
在直角梯形BDFE中，
由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
即二面角E-AC-F的平面角为90°，
所以平面AEC⊥平面AFC.
用定义证明两个平面垂直的步骤
训练2　如图所示，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
证明：∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，
∴△ABD与△BCD是等腰三角形．
如图，取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.
∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．
在Rt△ABE中，AB＝a，
BE＝BD＝a，∴AE＝＝a.
同理CE＝a.
在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，
∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，
即二面角A-BD-C的平面角为90°.
∴平面ABD⊥平面BCD.
题型 3 平面与平面垂直的判定定理
【问题探究3】　建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直：如果系有铅锤的细线AB紧贴墙面，工人师傅就认为墙面与地面垂直；否则他就认为墙面与地面不垂直．
你能用数学的文字语言和符号语言描述这个操作过程吗？请试着说明理由．
提示：铅锤所在直线垂直于地面，那么经过铅锤所在直线的墙面垂直于地面．
符号表示为：AB α，AB⊥β α⊥β.
例3　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC＝60°，且AB⊥AA1，BC1⊥A1C.
求证：平面ABC⊥平面A1ACC1.
证明：连接AC1，如图，
由AA1C1C是菱形，所以AC1⊥CA1.
又BC1⊥CA1，BC1＝C1，
所以CA1⊥平面ABC1，故CA1⊥AB，
又AA1⊥AB，CA1＝A1，
所以AB⊥平面AA1C1C，又AB 平面ABC.
所以平面ABC⊥平面A1ACC1.
笔记：通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
训练3　如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.
证明：∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又∵CD 平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.
随堂练习
1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是(　　)
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
答案：D
解析：根据二面角平面角的定义，二面角平面角的顶点在棱上，两个边分别在两个半平面内，且都垂直于棱，故排除A，B，C.所以必须具备的条件是D.故选D.
2．下列不能确定两个平面垂直的是(　　)
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
答案：D
解析：对于A：两个平面所成二面角是直二面角，两个平面垂直，故正确；对于B：一个平面垂直于另一个平面内的一条直线，即这条直线垂直于一个平面，所以经过这条直线的平面与另一个平面垂直，故正确；对于C：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，故正确；
对于D：如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1
中，平面A1DCB1内的直线A1B1垂直于平面
ABCD内的一条直线BC，但平面A1DCB1与
平面ABCD显然不垂直，故不正确．故选D.
3．已知三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(　　)
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADB
答案：B
解析：画出图象如图所示，由于AD⊥BC，AD⊥CD，所以AD⊥平面BCD，而AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.故选B.
4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝AA1，E为CC1的中点，则二面角E-BD-C的平面角的大小为________．
解析：如图，连接AC交BD于点F，连接EF，
∵AB＝BC，∴底面ABCD是正方形，则AC⊥BD即CF⊥BD，
又CC1⊥底面ABCD，CE⊥BD，CE∩CF＝C，
∴BD⊥平面CFE，EF 平面CFE，∴BD⊥EF.
∴∠CFE为二面角E-BD-C的平面角，
不妨设AB＝BC＝1，则AA1＝，CE＝，CF＝AC＝，
tan ∠CFE＝＝＝1，又∠CFE∈[0，π]，∴∠CFE＝.
课堂小结
1．对二面角以及二面角的平面角的理解．
2．平面与平面垂直的定义及应用．
3．平面与平面垂直的判定定理及应用．(共30张PPT)
8.4.2　空间点、直线、平面之间的
位置关系
第八章　8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解空间两直线间的位置关系.
2.理解空间直线与平面的位置关系.
3.掌握空间平面与平面的位置关系.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在 平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
任何一个
2.空间两条直线的三种位置关系
共面直线
：在同一平面内，有且只有____________
：在同一平面内，____________
异面直线：不同在任何一个平面内，____________
相交直线
平行直线
一个公共点
没有公共点
没有公共点
知识点二　直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 公共点 公共点 公共点
符合表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
有无数个
只有1个
没有
知识点三　平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 ___________ 有 个公共点(在一条直线上)
符号表示 ______ _________
图形表示
没有公共点
无数
α∥β
α∩β＝l
思考　平面平行有传递性吗？
答案　有　若α，β，γ为三个不重合的平面，且α∥β，β∥γ，则α∥γ.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.(　　)
2.两条直线无公共点，则这两条直线平行.(　　)
3.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(　　)
4.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.(　　)
×
×
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
一、两直线位置关系的判定
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______；
平行
解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1为平行四边形，
∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_______；
异面
解析　直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_______；
相交
解析　直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_______.
异面
解析　直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
反思感悟
判断空间两条直线位置关系的决窍
(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.
(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.
跟踪训练1　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面
√
解析　可借助长方体来判断.
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，
已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，
则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.
故a和c可以平行、相交或异面.
例2　(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
二、直线与平面的位置关系
√
解析　直线上有一点在平面外，
则直线不在平面内，
故直线上有无数多个点在平面外.
(2)下列命题中正确的个数是
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
解析　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，
AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；
AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，
故命题②不正确；
假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，
故b∥α，即命题③正确.故选B.
反思感悟
在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.
跟踪训练2　下列说法：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线.
其中正确的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
√
解析　对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，①错误；
对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，②错误；
对于③，∵a∥b，b α，那么a α或a∥α，a与平面α内的无数条直线平行，③正确.
例3　在以下三个命题中，正确的命题是
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；
③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交.
A.①② B.②③
C.③ D.①③
三、平面与平面的位置关系
√
解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；
对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错.
命题③是正确的.
反思感悟
利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.
跟踪训练3　已知两平面α，β平行，且a α，下列四个命题：
①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；
③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点.
其中正确命题的个数是
A.1 B.2
C.3 D.4
√
解析　①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面，故①错误；
②正确；
③中直线a与β内的无数条直线垂直，故③错误；
④根据定义a与β无公共点，故④正确.
3
随堂演练
PART THREE
1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(请选择最贴切的)
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交
D.任意一条直线不相交
1
2
3
4
5
√
解析　直线a∥平面α，则a与α无公共点，a与α内的直线均不相交.
2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是
A.都平行
B.都相交
C.在两个平面内
D.至少与其中一个平面平行
√
1
2
3
4
5
解析　这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.
1
2
3
4
5
3.下列命题中，正确的有
①平行于同一直线的两条直线平行；
②平行于同一条直线的两个平面平行；
③平行于同一个平面的两个平面平行.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
√
4.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作
A.0个 B.1个
C.0个或1个 D.1个或2个
1
2
3
4
5
√
解析　平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：
①直线与平面相交，可以作0个平行平面；
②直线与平面平行，可以作1个平行平面.
1
2
3
4
5
5.下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________.
①②
解析　对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；
对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.
1.知识清单：
(1)两直线的位置关系.
(2)直线与平面的位置关系.
(3)平面与平面的位置关系.
2.方法归纳：举反例、特例.
3.常见误区：异面直线的判断.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共25张PPT)
8.6.1　直线与直线垂直
第八章　8.6　空间直线、平面的垂直
学习目标
XUE XI MU BIAO
理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　回顾两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在 的两条直线.
(2)画法：
2.两条直线的位置关系
任何一个平面内
一个
没有
3.两个定理
(1)基本事实4
①文字语言：平行于同一条直线的两条直线 .
②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b .
③作用：证明空间两条直线平行.
(2)等角定理
①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 .
②作用：证明两个角相等或互补.
平行
a∥c
相等或互补
4.平面内两直线的夹角
(1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.
(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
知识点二　异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间 一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的 (或 ).
2.范围： .特别地，当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作 .
任意
锐角
直角
0°<θ≤90°
90°
a⊥b
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(　　)
2.异面直线所成角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点.(　　)
3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直.(　　)
4.不在某个平面内的两条直线为异面直线.(　　)
√
×
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
一、异面直线所成的角
(1)BE与CG所成的角；
解　∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
(2)FO与BD所成的角.
解　连接FH，∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
反思感悟
求两异面直线所成角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.
(2)证：证明作出的角就是要求的角.
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
跟踪训练1　如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝ ，AE＝2.
(1)求直线BC和EG所成的角；
解　连接AC(图略).
∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角.
∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°，
∴直线BC和EG所成的角是45°.
(2)求直线AE和BG所成的角.
解　∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角.
∴∠FBG＝60°，
∴直线AE和BG所成的角是60°.
二、直线与直线垂直
例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.
证明　如图，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1D1綉BC，
∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，
∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角，
连接AC，AD1，易证AC＝AD1，
又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.
反思感悟
要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直.
跟踪训练2　如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.
求证：BE⊥AC′.
证明　取CC′的中点F，连EF，BF，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF
∵E为AC的中点，F为CC′的中点，
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
3
随堂演练
PART THREE
1.垂直于同一条直线的两条直线一定
A.平行
B.相交
C.异面
D.以上都有可能
1
2
3
4
5
√
2.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是
A.SB B.SC
C.BC D.AB
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是
A.相交 B.异面
C.平行 D.垂直
√
解析　如图，在正方体AC1中，∵A1B∥D1C，
∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，
又∵EF 平面A1BCD1，且两直线不平行，
∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交.
4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________.
1
2
3
4
5
60°
解析　依题意知，EG∥BD，EF∥AC，
所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，
又∠GEF＝120°，
所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
1
2
3
4
5
5.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为_______.
60°
解析　连接BC1，AD1，
∵MN∥BC1∥AD1，
∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.
∵△ACD1是等边三角形，
∴∠D1AC＝60°.
1.知识清单：
(1)平面内两直线的夹角.
(2)异面直线所成的角.
(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：容易忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共31张PPT)
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
预 学 案
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的________的面积的和．
各个面
练习　已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　)
A．22　　　 B．20　　　　　
C．10　　　 D．11
答案：A
解析：长方体的表面积为S表＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.故选A.
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝________ S为棱柱的底面积，h为棱柱的高
棱锥 V棱锥＝________ S为棱锥的底面积，h为棱锥的高
棱台 V棱台＝(S′＋＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高
Sh
Sh　
练习　三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为(　　)
A．4 B．6 C．12 D．24
答案：A
解析：因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，
所以该三棱锥的体积为V＝Sh＝××2×3×4＝4.
故选A.
共 学 案
【学习目标】　
(1)了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式．
(2)能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积．
题型 1 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和体积
【问题探究1】　小明在自家花园为他家小狗搭了个外形为三棱锥的小帐篷，帐篷的底面边长为2，侧棱长为4，如图所示．
(1)你能计算出小明搭的帐篷的侧面积吗？
(2)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图是什么？
(3)如果沿不同的棱将多面体展开，那么得到的
展开图相同吗？其面积还相等吗？
提示：(1)侧面三角形的高为＝3，所以侧面积为3××2×3＝9.
(2)棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长，如图①所示；棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，如图②所示；棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，如图③所示．
(3)由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同．但是，不论怎么剪，同一个多面体的表面展开图的面积是一样的．
例1　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．
解析：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
体对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝＋＝＝＝64，
∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.
∴直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20.
∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40.
笔记
(1)求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别．
(2)棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．
训练1　如图，四面体P-ABC的各棱长均为3，求它的表面积．
解析：因为四面体P-ABC的各棱长均为3，于是得四面体P-ABC的四个面是全等的正三角形，
所以四面体P-ABC的表面积S＝4S△ABC＝4×AB2＝×32＝9.
题型 2 棱柱、棱锥、棱台的体积
【问题探究2】　(1)假如一个集装箱的长、宽、高分别为a，b，c，如何计算集装箱的体积呢？
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？
例2　如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1-D1EF的体积．
解析：由V三棱锥A1-D1EF＝V三棱锥F-A1D1E，
∵＝EA1·A1D1＝a2，且三棱锥F-A1D1E的高为CD＝a，
∴＝a·a2＝a3，
∴＝a3.
求几何体体积的常用方法
训练2　正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(　　)
A．20＋12 B．28
C． D．
答案：D
解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高h＝＝，
下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋)＝×(16＋4＋)＝.
故选D.
题型 3 简单组合体的表面积和体积
例3　如图是一个搭建在空地上的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1，A1B1＝2PO1＝4 m.
(1)求帐篷的表面积(不包括底面)；
(2)求帐篷的容积(材料厚度忽略不计)．

解析：(1)连接O1A1，O1B1.
由正六边形A1B1C1D1E1F1，可得△O1A1B1为正三角形，所以O1B1＝A1B1＝4 m.
取A1B1的中点为Q，连接O1Q，PQ，易得PQ⊥A1B1.
所以O1Q＝＝＝2(m)，PQ＝＝4(m)．
设帐篷上部的侧面积为S1，下部的侧面积为S2，
则S1＝6×A1B1·PQ＝48(m2)，
S2＝6A1B1·OO1＝96(m2)，
所以搭建帐篷的表面积为S1＋S2＝48＋96＝144(m2)．
(2)由(1)得△O1A1B1的面积＝×A1B1·O1Q＝×4×2＝4(m2)．
所以＝＝24(m2)，
上部正六棱锥的体积V1＝×24×2＝16(m3)；
下部正六棱柱的体积V2＝24×4＝96(m3)，
所求帐篷容积为V1＋V2＝112(m3)．
笔记
求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
训练3　如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体．
(1)该截角四面体的表面积；
(2)该截角四面体的体积．
解析：(1)依题意，该截角四面体由4个边长为1的正三角形和4个边长为1的正六边形围成，
截角四面体中，正三角形的面积S1＝×1×1×＝，
边长为1的正六边形的面积S2＝6××1×1×＝，
所以该截角四面体的表面积为S＝4×＋4×＝7.
(2)该截角四面体由棱长为3的正四面体去掉4个角上棱长为1的正四面体而得，
棱长为1的正四面体的高h＝＝，棱长为3的正四面体的高为3h＝，
则棱长为1的正四面体的体积V1＝×12×＝，
棱长为3的正四面体的体积V2＝×32×＝，
所以该截角四面体的体积为：V＝V2－4V1＝－4×＝.
随堂练习
1．正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积扩大到原来的(　　)
A．2倍 B．12倍
C．18倍 D．36倍
答案：D
解析：设正方体棱长为a，则其表面积为6a2，
故正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积为6×36a2，扩大到原来的36倍，故选D.
2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为(　　)
A．6 B．12
C．24 D．48
答案：D
解析：正四棱锥的斜高h′＝4，S侧＝4××6×4＝48.故选D.
3．“升”和“斗”是旧时量粮食的器具，如图所示为“升”，是一个无盖的正四棱台，据记载：它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，可容米1公斤．该“升”的容积约是(约定：“上口”指上底边长；“下口”指下底边长．)(　　)
A．1895.8 cm3 B．1894.8 cm3
C．1895.9 cm3 D．1894.9 cm3
答案：A
解析：器具是一个无盖的正四棱台，它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，
其体积为：V＝(S＋S′＋)×h＝(152＋12.52＋15×12.5)×10≈1895.8 cm3.故选A.
4．如果正四棱柱的体对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为________．
3
解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为b，
则＝2.5且＝3.5，
所以a2＝3.52－2.52＝6，b2＝0.25，
所以b＝，
所以该棱柱的体积为a2·b＝6×＝3.
课堂小结
1. 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积．
3．简单组合体的表面积和体积．(共31张PPT)
第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、
简单组合体
第八章　8.1　基本立体图形
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.
3.了解简单组合体的概念及结构特征.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　圆柱的结构特征
圆柱 图形及表示
定义：以 所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图中圆柱表示为圆柱O′O
相关概念： 圆柱的轴：_______ 圆柱的底面： 的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面： 的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置， 的边
思考　圆柱的轴截面有________个，它们______(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有________条，它们与圆柱的高______.
矩形的一边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
平行于轴
无穷多
全等
无穷多
相等
知识点二　圆锥的结构特征
圆锥 图形及表示
定义：以直角三角形的 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图中圆锥表示为圆锥SO
相关概念： 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边
一条直角边
思考　圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？
答案　圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线.
知识点三　圆台的结构特征
圆台 图形及表示
定义：用 的平面去截圆锥，___________ 之间的部分叫做圆台
图中圆台表示为圆台O′O
相关概念： 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
平行于圆锥底面
底面与截面
知识点四　球的结构特征
球 图形及表示
定义： 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球
图中的球表示为球O
相关概念： 球心：半圆的_____ 半径：连接 和球面上任意一点的_____ 直径：连接球面上 并经过球心的_____
半圆以它的直径
圆心
球心
线段
两点
线段
知识点五　简单组合体的结构特征
1.概念：由 组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.
2.基本形式：一种是由简单几何体 而成，另一种是由简单几何体 或
一部分而成.
简单几何体
拼接
截去
挖去
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(　　)
2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(　　)
3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.(　　)
4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(　　)
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1　下列说法正确的是______.(填序号)
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；
④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.
一、旋转体的结构特征
③④
解析　①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；
②它们的底面为圆面；
③④正确.
反思感悟
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
跟踪训练1　下列说法，正确的是
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.
A.①② B.②③
C.①③ D.②④
√
解析　由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.
二、简单组合体的结构特征
例2　(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.
解　①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；
②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；
③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.
(2)如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD解　如下图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.
反思感悟
(1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力.
(2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.
跟踪训练2　(1)如图所示的简单组合体的组成是
A.棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥
C.棱锥、棱台 D.棱柱、棱柱
√
(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括
A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥
√
解析　图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥.
三、旋转体的有关计算
例3　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
解　圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知腰长AB＝12 cm，
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.
解　如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
解得l＝20.
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
反思感悟
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解.
跟踪训练3　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.
解　设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.
过轴SO作截面，如图所示.
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.
解得l＝9，即圆台的母线长为9 cm.
3
随堂演练
PART THREE
1.下列说法中正确的是
A.将正方形旋转不可能形成圆柱
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线
1
2
3
4
5
√
解析　将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；
B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；
通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误.
2.(多选)下列命题中正确的是
A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径
B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等
C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
1
2
3
4
5
√
√
√
1
2
3
4
5
3.下列几何体是台体的是
√
解析　台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，
B的错误在于截面与圆锥底面不平行.
C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.
4.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是
A.圆柱 B.圆台
C.球体 D.棱台
1
2
3
4
5
√
解析　圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)或等腰梯形(圆台)，不可能截出三角形.
只有棱台可以截出三角形.
1
2
3
4
5
5.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为_________ cm2.
16π或9π
解析　当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，
得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；
当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，
得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2.
1.知识清单：
(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.
(2)球的结构特征.
(3)简单组合体的结构特征.
2.方法归纳：分类讨论.
3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共36张PPT)
8.6.2　直线与平面垂直
第八章　8.6　空间直线、平面的垂直
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.
3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 _____
有关概念 直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ，它们唯一的公共点P叫做_____
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的
一边垂直
任意一条
l⊥α
垂线
垂面
垂足
注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
思考　空间两条直线垂直一定相交吗？
答案　不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异面垂直.
知识点二　直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α， ＝P l⊥α
图形语言

两条相交直线
a∩b
思考　若把定理中的“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？
答案　当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交或在平面内，但不一定垂直.
知识点三　直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与平面α ，但不与这个平面 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中_______
斜足 斜线和平面的 ，图中_____
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过_____ 和 的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为________
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中_______ 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是____
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，___________
相交
垂直
直线PA
交点
点A
垂线
垂足
斜足
直线AO
∠PAO
90°
0°
0°≤θ≤90°
知识点四　直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言
图形语言
注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
平行
思考　垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？
答案　共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(　　)
2.直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.(　　)
3.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
(　　)
4.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(　　)
×
√
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1　下列命题中，正确的序号是_______.
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
一、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解
③④
解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；
过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.
反思感悟
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.
跟踪训练1　(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
√
解析　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC 平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.
(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是_________.(填序号)
①③④
解析　根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.
二、直线与平面垂直的判定
例2　如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
证明　因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明　因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
所以BD⊥平面SAC.
反思感悟
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直.
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线.
(3)根据判定定理得出结论.
跟踪训练2　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM；
证明　∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明　由(1)知AN⊥平面PBM，
PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
三、直线与平面垂直的性质
例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明　∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
反思感悟
证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
跟踪训练3　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a α，a⊥AB.求证：a∥l.
证明　∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l.
同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
核心素养之直观想象
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG
求直线与平面所成的角
典例　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
解　∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
解　连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
又∵∠A1OB＝90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
素养提升
求直线与平面所成角的步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
3
随堂演练
PART THREE
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是
A.1 B.2
C.3 D.6
1
2
3
4
5
√
2.给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直.
其中正确的个数是
A.0 B.1
C.2 D.3
1
2
3
4
5
√
解析　①错，②③对.
1
2
3
4
5
3.(多选)在空间中，下列哪些命题是正确的
A.平行于同一条直线的两条直线互相平行
B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.平行于同一个平面的两条直线互相平行
D.垂直于同一个平面的两条直线互相平行
√
√
4.下列命题正确的是
1
2
3
4
5
A.①② B.①③
C.②③ D.①
√
1
2
3
4
5
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是
A.平面DD1C1C B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB
√
解析　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1 平面A1DB1，
∴AD1⊥平面A1DB1.
1.知识清单：
(1)直线与平面垂直的定义.
(2)直线与平面垂直的判定定理.
(3)直线与平面垂直的性质定理.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共32张PPT)
第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
预 学 案
一、圆柱、圆锥、圆台的结构特征
结构特征 图形 表示
圆柱 以________________为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴；________于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；________于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，________于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作________
矩形的一边所在直线
垂直
平行
平行
圆柱O′O
圆锥 以__________________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作________
圆台 用平行于________的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作________
直角三角形的一条直角边
圆锥SO
圆锥底面
圆台O′O
练习　
1．如图所示的图形中有(　　)
A. 圆柱、圆锥和圆台
B．圆柱和圆锥
C．圆柱和圆台
D．棱柱、棱锥和圆锥
答案：B
解析：根据题中图形可知，
(1)是圆柱；
(2)是圆锥；
(3)不是圆台，因为上下两个面不平行；
因此如图所示的图形中有圆柱和圆锥，故选B.
2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是(　　)
答案：B
解析：由题意知，该几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确．故选B.
二、球的结构特征
结构特征 图形 表示
球 半圆以它的___________为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的______，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的________；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用表示球心的字母来表示，左图可表示为____
直径所在直线
球心
半径　
球O
练习　判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)球面上四个不同的点一定不在同一平面内．(　　)
(2)球的半径是球面上任意一点和球心的连线段．(　　)
(3)球面上任意三点可能在一条直线上．(　　)
(4)用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．(　　)
×
√
×
√
三、简单组合体
1．概念：由___________组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．基本形式：(1)由简单几何体________而成；
(2)由简单几何体________或________一部分而成．
简单几何体
拼接
截去
挖去
练习　如图，粮囤可以看作是由________和________构成的几何体．
圆锥
圆柱
微点拨
(1)以直角三角形斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．
(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的垂直平分线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．
微点拨
球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．
微点拨
识别组合体，要准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．

共 学 案
【学习目标】　
(1)记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征．(2)能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题．(3)了解组合体的概念．
题型 1 旋转体的结构特征
【问题探究1】　(1)生活中哪些物体是圆柱？它可由什么样的平面图形绕其所在平面的一条定直线旋转形成？
(2)生活中哪些物体是圆锥？它可由什么样的平面图形绕其所在平面的一条定直线旋转形成？
(3)类比棱台的定义给出圆台的定义？圆台是否也可以由平面图形旋转生成？如果可以，可由什么平面图形，如何旋转得到？
提示：(1)笔筒、易拉罐等；矩形．
(2)沙漏、冰淇淋筒、打开的雨伞等；直角三角形．
(3)与棱台类似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台；可以；直角梯形，以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体．
例1　(多选)下列命题正确的是(　　)
A．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
答案：AC
解析：对于A，根据圆锥的母线的定义，可知A正确；对于B，把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故B错误；对于C，根据圆台的定义，可知C正确；对于D，当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故D错误．故选AC.
笔记
圆柱、圆锥、圆台都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．
判断旋转体，再抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后生成什么样的几何体．
训练1　下列命题中正确的有(　　)
A．在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
B．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线
C．在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．球的直径是球面上任意两点间的连线
答案：B
解析：A中所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符合，A不正确；B符合圆锥母线的定义及性质，B正确；C中所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义，C不正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，D不正确．
题型 2 简单组合体的结构特征
【问题探究2】　观察下列四个几何体，它们是常见的柱、锥、台、球等简单几何体吗？如果不是，它们与常见简单几何体有何区别和联系？
提示：不是，它们是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成．
例2　请描述下面的几何体是如何形成的．
解析：几何体①是由圆锥和圆台组合而成的．几何体②是由一个圆台从上而下挖去一个圆锥而得到，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．几何体③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．
笔记：
判断组合体构成的方法
判断实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体．
训练2　将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(　　)
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆柱、一个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱
D．一个圆柱、两个圆锥
答案：D
解析：图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥．
题型 3 旋转体的有关计算
例3　已知一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．

解析：(1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示)．
由题意可得上底的一半O1A＝2 cm，下底的一半OB＝5 cm，腰长AB＝12 cm，所以圆台的高AM＝＝3(cm)．
(2)如图，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由△SAO1∽△SBO，得＝，解得l＝20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
有关旋转体计算的解题策略
训练3　一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，求球的直径．
解析：设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1，
设球的半径为R，则R＝＝，故球的直径为2.
随堂练习
1．圆柱的母线长为10，则其高等于(　　)
A．5 B．10
C．20 D．不确定
答案：B
解析：圆柱的母线长和高相等．故选B.
2．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　)
A．圆台 B．球　　　
C．圆柱 D．棱柱
答案：B
解析：截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．故选B.
3．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是(　　)
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
答案：B
解析：一个六棱柱挖去一个等高的圆柱．故选B.
4．若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥顶点到底面的距离为________．
解析：如图所示，△SAB是边长为2的等边三角形，
该圆锥顶点到底面的距离为SO＝＝.
课堂小结
1. 旋转体的结构特征．
2．简单组合体的结构特征．
3．旋转体的有关计算．
(共26张PPT)
8.5.1　直线与直线平行
预 学 案
一、基本事实4
1．文字表述：平行于同一条直线的两条直线________．
2．符号表示： ________．
平行
a∥c
练习　如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与 HG的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
答案：A
解析：∵E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，
∴EF为△SPN的中位线，GH为△MPN的中位线，
则EF∥PN，GH∥PN，
由平行公理可得，EF∥HG.故选A.
二、空间等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________
符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言
相等或互补
练习　已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　　)
A．30° B．150°
C．30°或150°　 D．大小无法确定
答案：C
解析：两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.故选C.
微点拨
基本事实4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本事实是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线．

微点拨
(1)空间等角定理实质上是由如下两个结论合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同(或方向相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．
(2)空间等角定理表明，把空间中的一个角平移后，角的大小不变．
(3)由空间等角定理可得，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．
共 学 案
【学习目标】　(1)理解并掌握基本事实4，并会应用其解决相关直线与直线平行问题．(2)理解等角定理，并会应用其解决有关问题．
题型 1 基本事实4
【问题探究1】　动手将一张长方形的纸如图对折几次后打开，观察这些折痕有怎样的位置关系，并推测平面几何中“平行线的传递性”在空间是否成立．
提示：平行，成立．
例1　如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
证明：∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，
∴BE＝B′E′.
∵BE∥B′E′，∴四边形EBB′E′是平行四边形，
∴EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
∴EE′∥FF′.
一题多变　将本例的条件改为“若M，N分别是A′D′，C′D′的中点”，求证：四边形ACNM是梯形．
证明：在正方体中，MN∥A′C′，且MN＝A′C′，
因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC，
所以MN∥AC，且MN＝AC.
又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形．
笔记：用基本事实4证明直线a∥c时，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，进而由基本事实4即可得到a∥c.
训练1　如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．
证明：(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EH∥BD，EH＝BD.
因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF.
又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形．
题型 2 等角定理
【问题探究2】　观察长方体A1B1C1D1-ABCD，∠D1A1B1与∠B1C1D1的两边分别具有什么关系，两角大小关系如何？再观察长方体A1B1C1D1-ABCD，∠D1A1B1与∠DAB的两边分别具有什么关系，两角大小关系如何？
提示：∠D1A1B1与∠B1C1D1的两边分别平行，两角大小互补．
∠D1A1B1与∠DAB的两边分别平行，两角大小相等．
例2　如图所示，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．
求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
证明：如图所示，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则BF＝A1M.
又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形，
∴A1F∥BM.
而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綉C1B1.
而C1B1綉BC，∴F1M綉BC，
∴四边形F1MBC为平行四边形．
∴BM∥CF1.又∵BM∥A1F，
∴A1F∥CF1.同理，取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则有A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
笔记：运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补．
训练2　如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点．求证：∠MC1N＝∠APB.
证明：因为N，P分别是BB1，CC1的中点，
所以BN綉C1P，所以四边形BPC1N为平行四边形，
所以C1N∥BP.同理可证C1M∥AP.
又∠MC1N与∠APB方向相同，
所以∠MC1N＝∠APB.
随堂练习
1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的有(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1，方向可能不同
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
答案：D
解析：如图，
当∠AOB＝∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1不一定平行．故选D.
2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)
A．3条 　 　B．4条 C．5条 　 　D．6条
答案：B
解析：由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD，BC，A1D1.所以共有4条．故选B.
3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1(　　)
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
答案：B
解析：由于E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1∥AB，FG∥BC1，
所以∠EFG与∠ABC1的两组对边分别平行，一组对应边方向相同，一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补．故选B.
4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．
平行
解析：在△ABC中，
因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.
又在三棱柱ABC -A1B1C1中，BC∥B1C1，
所以EF∥B1C1.
课堂小结
1.基本事实4及其应用．
2．等角定理及其应用．(共24张PPT)
8.5.2　直线与平面平行
第八章　8.5　空间直线、平面的平行
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果平面外一条直线与 ，那么该直线与此平面平行
符号语言
图形语言
此平面内一条直线平行
思考　(1)若一直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？
答案　不一定，也有可能直线在平面内，所以一定要强调直线在平面外.
(2)如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？
答案　平行或直线在平面内.
知识点二　直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与_________
符号语言 a∥α， a∥b
图形语言
平行
交线平行
a β，α∩β＝b
思考　如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线
A.只和这个平面内的一条直线平行
B.只和这个平面内的一条直线相交
C.和这个平面内的任何一条直线都平行
D.和这个平面内的任何一条直线都不相交
√
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若直线a与平面α不平行，则a与α相交.(　　)
2.若直线l与平面α内的无数条直线不平行，则直线与平面α不平行.(　　)
3.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.(　　)
4.若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.(　　)
×
×
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1　(1)如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是
A.相交 B.b∥α
C.b α D.b∥α或b α
一、直线与平面平行的判定定理的应用
√
解析　由a∥b且a∥α，知b∥α或b α.
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
证明　连接BC1(图略)，
在△BCC1中，∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，
又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF 平面AD1G，
AD1 平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.
反思感悟
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.
跟踪训练1　如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.
证明　如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.
又MN 平面PAD，AG 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
二、直线与平面平行的性质定理的应用
例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明　连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
反思感悟
线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.
跟踪训练2　如图，在五面体EFABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.
证明　∵AD∥BC，AD 平面BCEF，BC 平面BCEF，
∴AD∥平面BCEF，
∵AD 平面ADEF，平面ADEF∩平面BCEF＝EF，
∴AD∥EF.
3
随堂演练
PART THREE
1.(多选)已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，不能得出b∥α的是
A.b与α内的一条直线不相交
B.b与α内的两条直线不相交
C.b与α内的无数条直线不相交
D.b与α内的所有直线不相交
1
2
3
4
5
√
√
√
2.下列命题：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行.
其中正确命题的个数为
A.0 B.1
C.2 D.3
1
2
3
4
5
√
解析　②正确；
①③错误.
1
2
3
4
5
3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
√
4.如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则
1
2
3
4
5
A.EF与BC相交
B.EF∥BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
√
1
2
3
4
5
5.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
√
解析　因为直线l∥平面α，
所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，
所以a∥b∥c∥….
1.知识清单：
(1)直线与平面平行的判定定理.
(2)直线与平面平行的性质定理.
2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：注意定理中条件的严密性.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共31张PPT)
8.4.1　平　面
第八章　8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.
2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.
3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　平面
1.平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周 的.
2.平面的画法
我们常用矩形的直观图，即 表示平面，它的锐角通常画成 ，且横边长等于其邻边长的 倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用 画出来，如图②.
无限延展
平行四边形
45°
2
虚线
3.平面的表示法
图①的平面可表示为 、平面ABCD、 或平面BD.
思考　几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
答案　没有　平行四边形
平面α
平面AC
知识点二　点、线、面之间的位置关系
1.直线在平面内的概念
如果直线l上的 都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
2.一些文字语言与符号语言的对应关系：
文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示
点A在直线l上 _____ 点A在直线l外 ____
点A在平面α内 _____ 点A在平面α外 ____
直线l在平面α内 _____ 直线l在平面α外 ____
直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l
所有点
A∈l
A∈α
l α
A l
A α
l α
知识点三　平面的基本性质及作用
1.
基本事实 内容 图形 符号 作用
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，______ 一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
基本事实2 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在___________ A∈l，B∈l， 且A∈α，B∈α _______ 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
有且
只有
两个点
这个平面内
l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_____ _____ P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上
公共
直线
2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1　 ，有且只有一个平面.
推论2　 ，有且只有一个平面.
推论3　 ，有且只有一个平面.
经过一条直线和这条直线外一点
经过两条相交直线
经过两条平行直线
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(　　)
2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　)
3.空间不同三点确定一个平面.(　　)
4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　)
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1　(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系用符号可以记作___________________.
一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
A∈b，b β，A∈β
(2)用符号表示下列语句，并画出图形.
①点A在平面α内但在平面β外；
解　A∈α，A β.(如图①)
②直线a经过平面α内一点A，α外一点B；
解　A∈a，B∈a，A∈α，B α，a α.(如图②)
③直线a在平面α内，也在平面β内.
解　α∩β＝a.(如图③)
反思感悟
三种语言转换方法：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
跟踪训练1　用符号表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
解　用符号表示α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
解　用符号表示A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图.
例2　如图，已知a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
证明　因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a β，点P∈β.
因为P∈b，b α，所以P∈α.
又因为a α，P a，所以α与β重合，所以PQ α.
二、点、线共面问题
反思感悟
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”.
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”.
跟踪训练2　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明　方法一　(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二　(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
证明点共线、线共点问题
典例　(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点.
证明　∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于M.
则M∈AB，M∈CD，又∵AB α，CD β，
∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，
∴M∈l，∴AB，CD，l共点.
(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.
求证：E，F，G，H四点必定共线.
证明　∵AB∥CD，
∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，
∴E∈β，
∴E在α与β的交线l上.
同理，F，G，H也在α与β的交线l上，
∴E，F，G，H四点必定共线.
∴AB，CD确定一个平面β，
素养提升
点共线与线共点的证明方法
(1)点共线：证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性.通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
3
随堂演练
PART THREE
1.有以下说法：
①平面是处处平的面；
②平面是无限延展的；
③平面的形状是平行四边形；
④一个平面的厚度可以是0.001 cm.
其中正确的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
1
2
3
4
5
√
解析　平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；
③④两种说法是错误的.
2.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为
A.A a，a α，B∈α
B.A∈a，a α，B∈α
C.A a，a∈α，B α
D.A∈a，a∈α，B∈α
√
1
2
3
4
5
解析　点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a α，B∈α.
1
2
3
4
5
3.下图中图形的画法正确的个数是
A.1 B.2
C.3 D.4
√
4.能确定一个平面的条件是
A.空间三个点
B.一个点和一条直线
C.无数个点
D.两条相交直线
1
2
3
4
5
√
解析　A项，三个点可能共线，
B项，点可能在直线上，
C项，无数个点也可能在同一条直线上.
1
2
3
4
5
5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是____________.
P∈直线DE
解析　因为P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
1.知识清单：
(1)平面的概念.
(2)点、线、面之间的位置关系.
(3)平面的基本性质及作用.
2.方法归纳：同一法.
3.常见误区：三种语言的转化.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共35张PPT)
第1课时　直线与平面垂直的判定
预 学 案
一、直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．它们唯一的公共点P叫做________
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
任意一条
垂线
垂面
垂足
过一点垂直于已知平面的直线____________条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的________，________的长度叫做这个点到该平面的距离．
有且只有一
垂线段
垂线段
练习　空间中直线l和三角形ABC所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边AB的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交 D．不确定
答案：B
解析：因为l⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以l⊥AB，故选B.
二、直线与平面垂直的判定
文字语言 一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，__________ l⊥α
图形语言
两条相交直线
a∩b＝P
练习　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．(　　)
(2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)
×
√
2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．相交不垂直 D．不确定
答案：A
解析：根据直线与平面垂直的判定定理可知直线垂直三角形所在的平面，所以直线垂直三角形的第三边．
三、直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与平面α________，但不和这个平面α________，图中直线PA
斜足 斜线和平面的________，图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引________，过________和________的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为________
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角． 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是________；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是__________
取值范围 [0°，90°]
相交
垂直
交点
垂线
垂足
斜足
AO
直角
0°
练习　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
45°
解析：如图所示，因为在正方体ABCD -A1B1C1D1中，
B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，
∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．
由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.
微点拨
定义中的“任意一条”与“所有直线”意义相同，但与“无数条直线”不同，即定义说明这条直线和平面内的所有直线都垂直．

微点拨
(1)判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直．
(2)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的．
微点拨
(1)直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°，而斜线和平面所成的角θ的取值范围是0<θ<90°.
(2)斜线和平面所成的角反映了斜线和平面的位置关系，它是转化成平面内两条相交直线所成的角度量的，它是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角．
(3)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面成0°角；当直线与平面垂直时，直线与平面成90°角．
共 学 案
【学习目标】　(1)了解直线与平面垂直的定义．(2)理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题．(3)理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角．
题型 1 直线与平面垂直的定义
【问题探究1】　如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？
提示：旗杆所在直线AB始终与影子BC所在直线垂直．
例1　(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α
B．如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α
C．如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线
D．如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直
答案：ABD
解析：由直线和平面垂直的判定定理知A正确；由直线与平面垂直的定义知，B正确；当l与平面α不垂直时，l可能与平面α内的无数条直线垂直，故C不对，D正确．
笔记：直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a α l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法．
训练1　设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．若m⊥α，n α，则m⊥n
B．若m∥α，n∥α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
答案：A
解析：A选项，根据线面垂直的定义可知，若m⊥α，n α，则m⊥n，A选项正确．B选项，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行，所以B选项错误．C选项，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，所以C选项错误．D选项，若m∥α，m⊥n，则n与α平行、相交或n α，所以D选项错误．故选A.
题型 2 直线与平面垂直的判定定理
【问题探究2】　请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD(如图(1))，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
(3)在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？如果我们把折痕抽象为直线l，把BD、CD抽象为直线m，n，把桌面抽象为平面α(如图(3))，那么你认为保证直线l与平面α垂直的条件是什么？
提示：(1)当AD与BC不垂直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上，折痕AD与桌面不垂直；当AD与BC垂直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上，折痕AD与桌面垂直．
(2)若一条直线与平面内两条相交直线垂直，则该直线垂直于这个平面．
(3)l与平面α内的两条相交直线m，n垂直．
例2　如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上异于A，B的任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.
证明：设圆O所在的平面为α，
∵PA⊥α，且BM α，
∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM，而AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.
又∵AN⊥PM，
∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直，PM，BM 平面PBM.
故AN⊥平面PBM.
笔记：
直线与平面垂直的判定方法
(1)①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)．
②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
(2)平行转化法
利用推论：①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
训练2　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.

证明：如图，连接AC，
∴AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC＝A，AC，A1A 平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C 平面A1AC，
∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1 平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
题型 3 直线与平面所成的角
【问题探究3】　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成角怎样定义？
提示：铅笔和它在桌面上的射影所成的角．
例3　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值．
解析：如图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM，
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
又在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，
则EM＝AD＝2，BE＝＝3.
于是在Rt△BEM中，sin ∠EBM＝＝，
即直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值为.
一题多变　本例条件不变，求直线BE与平面A1B1C1D1所成的角的正弦值．
解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
∴BE与平面ABCD所成的角与所求的角相等．
连接BD，则∠EBD即为直线BE与平面ABCD所成的角．
设正方体的棱长为2，
则在Rt△BDE中，sin ∠EBD＝＝，
即直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为.
求直线与平面所成角的步骤
训练3　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
解析：由题意知A是M在平面ABC上的射影，∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BM sin ∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，sin ∠MCA＝＝＝.
即MC与平面CAB所成角的正弦值为.
随堂练习
1．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．在平面α内 D．无法确定
答案：D
解析：由线面垂直的判定定理知，当平面α内的两条直线相交时，则l⊥α；再由线面平行的性质定理和线线垂直的定义知，当l∥α或l α时，都有无数条直线与l垂直．故选D.
2．直线a与平面α斜交，那么在α内与a垂直的直线(　　)
A．没有 B．有一条
C．有无数条 D．有n条(n为大于1的整数)
答案：D
解析：如图，
过点B作BC⊥α，垂足为C，连接AC，
则直线a在平面α内的射影为AC，
在平面α内过点A作AC的垂线b，则b⊥平面ABC，
而a 平面ABC，所以a⊥b，
又因为平面α内有无数条直线与直线b平行，
所以在平面α内与a垂直的直线有无数条．故选C.
3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
答案：C
解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC且OB∩OC＝O，OB，OC 平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.故选C.
4．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F
是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．
解析：连接EB，
∵BB1⊥平面ABCD，∴∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成角，
在Rt△FBE中，BF＝BB1＝1，BE＝＝＝，
∴tan ∠FEB＝＝.
课堂小结
1．直线与平面垂直的定义．
2．直线与平面垂直的判定定理．
3．直线与平面所成的角．(共28张PPT)
8.2　立体图形的直观图
第八章　立体几何初步
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
45°
135°
水平面
x′轴
或y′轴的线段
保持原长度不变
一半
知识点二　空间几何体直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个 轴，直观图中与之对应的是 轴.
(2)画底面：平面 表示水平平面，平面 和 表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中 和______
都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 .
z
z′
x′O′y′
y′O′z′
x′O′z′
平行性
长度
虚线
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.(　　)
2.在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行.(　　)
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.(　　)
×
√
×
2
题型探究
PART TWO
例1　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
一、平面图形的直观图的画法
解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝ ，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
反思感悟
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.
跟踪训练1　已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图.
解　画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
二、空间几何体的直观图
例2　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.
解　(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ .分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
反思感悟
空间几何体的直观图的画法
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向.
(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
跟踪训练2　用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)
解　画法：
(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面.
①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的
直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)；
画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，
使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；
②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，
在y′轴上取M′N′＝ ，以点N′为中点，画出B′C′平行于
x′轴，并且长度等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，
并且长度等于EF；
③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，
在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.
(3)成图.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，
并擦去x′轴、y′轴和z′轴，
便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3).
三、直观图的还原与计算
例3　如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是
√
反思感悟
平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为S原，斜二测
画法得到直观图的面积为S直，则有S直＝
跟踪训练3　如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.一般的平行四边形
√
解析　如图，在原图形OABC中，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四边形OABC是菱形.
3
随堂演练
PART THREE
1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
1
2
3
4
5
√
解析　由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；
当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，
因此答案为B.
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于
A.45° B.135°
C.90° D.45°或135°
解析　因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，
所以∠A＝90°，
在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，
即∠A′＝45°或135°.
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是
√
解析　可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.
4.利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是________.(填序号)
1
2
3
4
5
①②
解析　斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，
因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.
1
2
3
4
5
5.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.
2.5
解析　由直观图知，原平面图形为直角三角形，
且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，
所求中线长为2.5.
1.知识清单：
(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.
(2)空间几何体直观图的画法.
(3)直观图的还原与计算.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共26张PPT)
第2课时　直线与平面垂直的性质
预 学 案
一、直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言 ________
图形语言
平行
a∥b
练习　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．(　　)
(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．(　　)
(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．(　　)
√
√
√
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
答案：B
解析：因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面，在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可得，两条垂线平行，故选B.
二、直线与平面、平面与平面的距离
1．直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫这条直线到这个平面的距离．
2．两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离________，我们把它叫做两个平行平面间的距离．
任意一点
都相等
练习　在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则直线A1B1到平面ABCD的距离为________，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为________．
解析：根据直线与平面的距离、平面与平面的距离的概念可知，直线A1B1到平面ABCD的距离为4，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离也为4.
4
4
微点拨
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．

微点拨
直线与平面的距离、平面与平面的距离最终都要转化为点到平面的距离．
共 学 案
【学习目标】　(1)掌握直线与平面垂直性质定理并能运用其解决相关问题．(2)理解直线到平面的距离以及两平行平面的距离定义．
题型 1 直线与平面垂直的性质定理
【问题探究】　如图是马路旁的路灯灯柱，若将灯柱看作一条直线，地面看作平面，灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系？灯柱所在的直线间是什么位置关系？
提示：垂直，灯柱所在的直线都是平行的．
例1　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明：∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
证明线线平行的方法
训练1　如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB，求证：a∥l.
证明：∵平面α∩平面β＝l，∴l α.
又∵EA⊥α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.
又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.
∵EB⊥β，a β，∴EB⊥a.
又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.
题型 2 空间中的距离问题
例2　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，BB1＝2，求直线B1C1与平面A1BC的距离．
解析：因为B1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，设B1到平面A1BC的距离为d，因为＝，
所以×d＝×A1B1，可得d＝，
直线B1C1与平面A1BC的距离为.
笔记：(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．
(2)通过换底转化：利用等体积法求解．
训练2　若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，直线AC1与底面ABCD所成角的大小是60°，则A1C1到底面ABCD的距离为________．
解析：如图，连接AC，正四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面边长为1，则AD＝DC＝1，所以AC＝AD＝，
且C1C⊥底面ABCD，则直线AC1与底面ABCD所成角即∠C1AC＝60°，
则C1C＝AC·tan 60°＝＝，
则在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，
A1C1到底面ABCD的距离为C1到底面ABCD的距离C1C＝.
题型 3 直线与平面垂直的判定定理与性质定理的综合
例3　如图所示，已知矩形ABCD，过点A作SA⊥平面AC，再过点A作AE⊥SB，交SB于E，过点E作EF⊥SC，交SC于F.求证：AF⊥SC.
证明：∵SA⊥平面AC，BC 平面AC，∴SA⊥BC.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.
又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.
又SB⊥AE，BC∩SB＝B，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.
又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.
一题多变　将本例条件添加：平面AEF交SD于点G，证明：AG⊥SD.
证明：∵SA⊥平面AC，DC 平面AC，∴SA⊥DC.
∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥DC.
∵SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD.
∵AG 平面SAD，∴DC⊥AG.
又SC⊥平面AEF，AG 平面AEF，∴SC⊥AG.
∵SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD.
笔记：(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面．
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
训练3　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中点，则EF与平面BB1O的位置关系是________．(填“平行”或“垂直”)
垂直
解析：∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BO.
∵BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥BB1.
又BO＝B，BO 平面BB1O，BB1 平面BB1O，
∴AC⊥平面BB1O.
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.
随堂练习
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
答案：C
解析：因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m.故选C.
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD，则有(　　)
A．BB1⊥l B．BB1∥l
C．BB1与l异面 D．BB1与l相交
答案：B
解析：因为l⊥平面ABCD，且BB1⊥平面ABCD，直线l与直线BB1不重合，
所以BB1∥l.故选B.
3.如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：D
解析：由PA⊥平面ABC，而AB 平面ABC，AC 平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，而PC 平面PAC，∴BC⊥PC，
4个面均为直角三角形，故选D.
4．如图，已知AP⊥BP，AP⊥PC，∠ABP＝∠ACP＝∠BAC＝60°，PA＝1，D是BC中点，则点B到平面APD的距离是________．
解析：因为AP⊥BP，AP⊥PC，∠ABP＝∠ACP，所以Rt△APC≌Rt△APB，
所以PB＝PC，AB＝AC，
又D是BC中点，所以BC⊥PD，BC⊥AD，
PD∩AD＝D，PD，AD 平面PAD，所以BC⊥平面APD，BD的长就是点B到平面APD的距离，
由已知AB＝AC＝BC＝，BD＝.
课堂小结
1．直线与平面垂直的性质定理．
2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理的综合．
3．直线与平面、平面与平面的距离．(共29张PPT)
8.5.2　直线与平面平行
预 学 案
一、直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果________一条直线与________一条直线________，那么该直线与此平面平行
符号语言 a∥α
图形语言
平面外
此平面内
平行
a α
b α
a∥b
练习　下列条件中，能得出直线m与平面α平行的是(　　)
A．直线m与平面α内的所有直线平行
B．直线m与平面α内的无数条直线平行
C．直线m与平面α没有公共点
D．直线m与平面α内的一条直线平行
答案：C
解析：对A，直线m与平面α内的所有直线平行不可能，故A错误；对B，当直线m在平面α内时，满足直线m与平面α内的无数条直线平行，但m与α不平行；对C，能推出m与α平行；对D，当直线m在平面α内时，m与α不平行．故选C.
二、直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面________，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与________
符号语言 a∥α，____________ a∥b
图形语言
平行
交线平行
a β，α∩β＝b
练习　如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A．一条直线不相交
B．两条相交直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线不相交
答案：D
解析：由线面平行定义知：直线a与平面α无交点，∴直线a与平面α内的任意一条直线不相交．故选D.
微点拨
(1)用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
①直线a在平面α外，即a α.
②直线b在平面α内，即b α.
③两直线a，b平行，即a∥b.
(2)实质是线线平行 线面平行．
微点拨
(1)线面平行的性质定理可以看作直线和直线平行的判定定理，实质是线面平行 线线平行．
(2)这里的线线是指与平面平行的一条直线和过这条直线的平面与已知平面的交线，定理中的三个条件缺一不可，即①直线a和平面α平行；②平面α和平面β相交于直线b；③直线a在平面β内．
(3)在应用该定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的所有直线”的错误．
(4)使用定理时，还要注意直线a与平面α平行时，易出现“在平面α内作出一直线b使其与直线a平行”的错误作法．
共 学 案
【学习目标】　(1)掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．(2)掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行．
题型 1 直线与平面平行的判定定理
【问题探究1】　
门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系．
(1)上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？
(2)若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出
一种方法吗？
提示：(1)平行．
(2)可以，只需在平面内找一条与平面外直线平行的直线即可．
例1　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AA1，B1C1的中点，AA1＝2，AC＝BC＝1，AB＝.
求证：A1E∥平面C1BD.
证明：连接B1C交BC1于点F，连接DF，EF，
∵E，F分别是B1C1，BC1的中点，
∴EF∥BB1，EF＝1，
∵A1D∥BB1，A1D＝1，∴EF∥A1D，EF＝A1D，
即四边形A1DFE是平行四边形，A1E∥DF，
∵A1E 平面C1BD，DF 平面C1BD，
∴A1E∥平面C1BD.
应用判定定理证明线面平行的步骤
“找”是证题的关键，其常用方法有：
(1)空间直线平行关系的传递性法；(2)三角形中位线法；(3)平行四边形法；(4)成比例线段法．
训练1　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点．
求证：PD∥平面EAC.
证明：连接BD交AC于点O，连接EO.
显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以EO∥PD.又因为PD 平面EAC，EO 平面EAC，所以PD∥平面EAC.
题型 2 直线与平面平行的性质定理
【问题探究2】　如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与平面α相交于一条直线，那么这样的平面有多少个？直线a与交线的位置关系如何？为什么？
提示：如图，有无数个．直线a与交线的位置关系为平行．设其中一条交线为b，因为直线a与平面α平行，所以直线a与平面α内的任何直线无公共点，又因为a，b共面，所以a，b两直线平行．
例2　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．
证明：因为AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB 平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN，同理，AB∥PQ，
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ为平行四边形．
(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．
训练2　如图，E、F分别是空间四边形ABCD中边BC和AD的中点，过EF平行于AB的平面与AC交于点G.求证：G是AC中点．
证明：由已知可得，AB∥平面EFG.
又AB 平面ABC，平面ABC∩平面EFG＝EG，
所以AB∥EG.
又因为点E是BC的中点，所以G是AC中点．
题型 3 直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合应用
例3　如图所示，已知三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为 EFGH，求证：CD∥平面EFGH.
证明：∵EFGH为平行四边形，∴EF∥GH.
又GH 平面BCD，EF 平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
又平面ACD∩平面BCD＝CD，EF 平面ACD，
∴EF∥CD.
又EF 平面EFGH，CD 平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
一题多变　本例条件不变，证明：EH∥AB.
证明：因为四边形EFGH为平行四边形，所以EH∥FG，因为EH 平面ABC，FG 平面ABC，所以EH∥平面ABC.
又因为EH 平面ABD，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EH∥AB.
笔记：判定和性质之间的推理关系是由线线平行 线面平行 线线平行，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间与平面之间的相互转化．
训练3　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明：如图，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，
∴AP∥GH.
随堂练习
1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．在平面α内 D．平行或在平面α内
答案：D
解析：在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD α.故选D.
2．如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(　　)
A．相交 B．b∥α
C．b α D．b∥α或b α
答案：D
解析：由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.故选D.
3．如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)
A.EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
答案：B
解析：因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，EF 平面SBC，所以EF∥BC.故选B.
4．如图所示，直线a∥平面α，点A 平面α，
并且直线a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝
________．
解析：因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，平面ABD∩平面α＝EG，
所以BD∥EG，
所以＝＝，
所以EG＝·BD＝×4＝.
课堂小结
1．直线与平面平行的判定定理．
2．直线与平面平行的性质定理．
3．直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合应用．(共29张PPT)
第2课时　球的表面积和体积
预 学 案
球的表面积和体积
1．球的表面积公式S＝________(R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝________．
4πR2
πR3
练习　
1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为(　　)
A．2π B．16π
C．8π D．4π
答案：D
解析：因为球的直径为2，即球的半径为1，
所以球的表面积为4π×12＝4π.故选D.
2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　)
A．π B．π
C．16π D．24π
答案：B
解析：设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，
则球的体积V＝πR3＝π.故选B.
微点拨
(1)球面不能展成平面图形，因此不能根据柱、锥、台求面积的推导方法求解．
(2)不要求掌握其推导过程，只要求记住公式并会应用，要求球的表面积，只需求出球的半径R.
共 学 案
【学习目标】　(1)了解并掌握球的体积和表面积公式．(2)会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(3)会解决简单的球的切、接问题．
【问题探究】　从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展开成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展开成平面图形．那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长．理论上，只要取得的圆内接正多边形的边数越多，圆周率就越精确，直到无穷．这种思想就是朴素的极限思想．
(1)球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？
(2)类比利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积．如图，把球O的表面分成n个小网格，
连接球心O和每个小网格的顶点，
整个球体就被分割成n个“小锥体”．
如此，我们可以得到球的体积公式是什么？
提示：(1)球没有底面，球的表面不能展开成平面图形．
(2)当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R.设O -ABCD是其中一个“小锥体”，它的体积是VO -ABCD≈S四边形ABCD·R.
由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此，V球＝S球·R＝×4πR2·R＝πR3.
由此，我们得到V球＝πR3.
题型 1 球的表面积和体积
例1　一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，求该球的体积．
解析：设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．
在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，
∴球的半径R＝OA＝＝3(cm)，
∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．
笔记：在计算球的体积、表面积时，关键是求出球的半径，另外球还有如下性质：(1)用一个平面去截球，截面是圆面；(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截面半径r，有如下关系：r＝.
训练1　两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(　　)
A．2∶3 B．4∶9
C．∶ D．∶
答案：B
解析：两个球的体积之比为8∶27，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为2∶3，从而这两个球的表面积之比为4∶9.故选B.
题型 2 与球有关的切、接问题
例2　若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的表面积和体积．
解析：由题意正方体体对角线长为l＝＝2，球半径为R，即2R＝2，R＝，
所以球表面积为S＝4πR2＝4π×()2＝12π，体积为V＝πR3＝π×()3＝4π.
一题多变1　将本例条件改为“球与棱长为2的正方体的面都相切”，如何求解？
解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，
∴球的直径是正方体的棱长，即2R＝2，
∴R＝1，
∴球的表面积S＝4π×12＝4π，V＝πR3＝π×13＝π.
一题多变2　将本例条件改为“棱长为a的正四面体的各个顶点均在同一球面上”，如何求解？
解析：方法一　如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为△BCD的重心，连接BE.
∵棱长为a，∴BE＝a×＝a.
∴在Rt△ABE中，AE＝ ＝a.
设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝a，∴V球＝πR3＝πa3.
方法二　如图，将正四面体放入正方体中，
∵正四面体的棱长为a，
∴正方体的棱长为a，体对角线长为a，
∴球的直径2R＝a，
∴R＝a.
∴V球＝πR3＝πa3.
解决与球有关的切、接的策略
训练2　已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3 cm，2 cm和 cm，则此球的体积为(　　)
A．π cm3 B．π cm3
C．π cm3 D．π cm3
答案：D
解析：由题意可得，球的内接三棱锥即三棱锥的外接球即长宽高分别为3 cm，2 cm和 cm的长方体的外接球，
又长方体的体对角线长为外接球的直径，
所以球的半径R＝＝＝2，球的体积为V＝πR3＝π cm3.故选D.
题型 3 与球有关的实际应用问题
例3　如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成的．已知球的直径为8 cm，圆柱筒高为3 cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在这样的3 000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？
解析：(1)由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，
球体的体积为：V1＝πR3＝π×43＝π cm3.
圆柱体积为：V2＝πR2·h＝π×42×3＝48π cm3.
所以浮球的体积为：V＝V1＋V2＝π＋48π＝π cm3.
(2)上下半球的表面积：S1＝4πR2＝4π×42＝64π cm2.
圆柱侧面积：S2＝2πRh＝2π×4×3＝24π cm2.
所以，1个浮球的表面积为S＝64π＋24π＝88π cm2，
3 000个浮球的表面积为：3 000×88π＝264 000π cm2.
因此每平方厘米需要涂胶0.1克，
共需胶264 000π×0.1＝26 400π克．
笔记：与球有关的实际应用问题一般涉及容积和表面积问题，解题的关键是正确作出截面图，找出其中的等量关系．
训练3　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)
A． cm3 B． cm3
C． cm3 D． cm3
答案：A
解析：设球的半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面半径为4 cm，球心到截面的距离为(R－2) cm，所以42＋(R－2)2＝R2，解得R＝5，所以球的体积V＝πR3＝π×53＝(cm3)．故选A.
随堂练习
1．若一个球的体积为4π，则它的表面积为(　　)
A．3π B．12
C．12π D．36π
答案：C
解析：设球的半径为R，依题意有R3＝4π，所以R＝，
所以球的表面积为S＝4πR2＝12π.故选C.
2．把半径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为(　　)
A．11 cm B．12 cm
C．13 cm D．14 cm
答案：B
解析：由题意可得大铁球的体积等于三个小球体积之和，
设大铁球的半径为r，可得πr3＝π(63＋83＋103)，
则r3＝1 728＝123，则r＝12.故选B.
3．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为(　　)
A． B．3π
C．9π D．27π
答案：A
解析：设正方体的棱长为a，a>0，则6a2＝18，a＝，
正方体的对角线长为＝3，
所以球的直径2R＝3，半径R＝，
所以球的体积为＝.故选A.
4．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为________．
54π
解析：设圆柱的底面半径为r，
球的半径为R.由条件有：R＝r＝3，圆柱的高为2R.
所以圆柱的体积为πr2×2R＝2πr3＝54π.
课堂小结
1．球的表面积和体积．
2．与球有关的切、接问题．
3．与球有关的实际应用问题．(共40张PPT)
第1课时　棱柱、棱锥、棱台
预 学 案
一、空间几何体
名称 定义
空间几何体 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果只考虑这些物体的________和________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
多面体 由若干个__________围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的________叫做多面体的棱；棱与棱的________叫做多面体的顶点
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定________旋转所形成的________叫做旋转面，封闭的旋转面围成的________叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的________
形状
大小
平面多边形
公共边
公共点
直线
曲面
几何体
　轴
练习　如图所示，下列判断正确的是(　　)
A．①是多面体，②是旋转体
B．①是旋转体，②是多面体
C．①②都是多面体
D．①②都是旋转体
答案：A
二、棱柱的结构特征
棱柱 有两个面互相________，其余各面都是________，并且相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相________的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的________ 顶点：侧面与底面的________ 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
平行
四边形
平行
平行
公共边
公共顶点
练习　判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)棱柱的底面互相平行．(　　)
(2)棱柱的各个侧面都是平行四边形．(　　)
(3)长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体．(　　)
√
√
×
三、棱锥的结构特征
棱锥 有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥S-ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的________ 顶点：各侧面的________ 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
多边形
三角形
公共边
公共顶点
练习　下面图形中，为棱锥的是(　　)
A．①③　　 B．①③④ C．①②④　 D．①②
答案：C
解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.
四、棱台的结构特征
棱台 用一个_____________的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 可记作： 棱台ABCD-A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的______ 下底面：原棱锥的________ 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……
截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
平行于棱锥底面
截面
底面
练习　下列图形中，是棱台的是(　　)
答案：C
解析：由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义．故选C.
微点拨
(1)多面体的一个重要特征是围成多面体的每一个面都是平面图形，没有曲面．
(2)多面体也包括它内部部分，而不是只有表面．
微点拨
(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示．
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示．
(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示．
微点拨
对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．

微点拨
棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．
共 学 案
【学习目标】　
(1)通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(2)理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．(3)能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算．
【问题探究1】　如图，下面这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？
提示：圆柱体、六面体、三棱锥、球体、长方体．
描述他们的形状应先从整体入手，想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识．纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石、储物箱等物体围成它们的面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面．
题型 1 棱柱的结构特征
【问题探究2】　如图是某同学画的棱柱素描，直观地感受，它的两个底面有什么位置关系？侧棱有什么关系？
提示：底面相互平行　各侧棱也相互平行
例1　如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．
解析：(1)长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M -CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1.
判断棱柱的两种方法
训练1　下列关于棱柱的说法错误的是(　　)
A．所有的棱柱两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D．棱柱至少有5个面
答案：C
解析：由棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻四边形的公共边互相平行的几何体是棱柱，知A、B正确；对于C，如图，有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，但它不是棱柱，所以C错误．三棱柱有五个面，n棱柱有n＋2个面(n≥3)，D正确．故选C.
题型 2 棱锥、棱台的结构特征
【问题探究3】　(1)图中的多面体具有怎样的特点？
提示：(1)通过观察图形我们可以发现，共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其他各面都是三角形，这些三角形有一个公共顶点．
(2)如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的两部分几何体会是什么样的几何体？
提示：(2)上部分是棱锥，下部分是棱台．
例2　下列关于棱锥、棱台的说法正确的是(　　)
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台
C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
答案：D
解析：对于A，棱台的各侧棱的延长线交于一点，因此有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，故A错误；对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台，故B错误；对于C，棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的，故C错误；对于D，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确．故选D.
判断棱锥、棱台的两种方法
训练2　(多选)下列说法正确的是(　　)
A．棱台的侧面一定不会是平行四边形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
答案：ABC
解析：A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；D错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
题型 3 空间几何体的展开图
例3　(1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可)．
解析：(1)平面展开图如图所示：
(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
解析：(2)题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
多面体展开图问题的解题策略
训练3　某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　)
答案：A
解析：因为是对面图案均相同的正方体礼品盒，所以当盒子展开后相同的图案就不可能靠在一起，只有A中没有相同的图案靠在一起．故选A.
随堂练习
1.下面多面体中，是棱柱的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：D
解析：由棱柱的定义可得4个多面体均为棱柱．
2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(　　)
A．四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
答案：D
解析：根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．故选D.
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(　　)
答案：D
解析：A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．故选D.
4．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
5　
3
解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．
课堂小结
1.多面体、旋转体的定义．
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
3．空间几何体的平面展开图．(共25张PPT)
8.5.1　直线与直线平行
第八章　8.5　空间直线、平面的平行
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.会判断空间两直线的位置关系.
2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线______
图形语言
符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c ________
作用 证明两条直线平行
说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的________
平行
a∥c
传递性
知识点二　空间等角定理
1.定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角____________
符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′
O′B′＝180°
图形语言

作用 判断或证明两个角相等或互补
相等或互补
2.推广
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
思考　如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？
答案　不一定，这两条直线可能相交、平行或异面.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.(　　)
2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.(　　)
3.如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条也与这条直线垂直.
(　　)
4.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(　　)
×
√
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1　(1)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
一、基本事实4的应用
证明　∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
∴四边形EBB′E′是平行四边形，∴EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
∴EE′∥FF′.
(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形.
证明　如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
因为F为CC1的中点，所以BG∥FC1，且BG＝FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1，BF＝GC1，
又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，
A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形.
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，
所以BF∥ED1，BF＝ED1，
所以四边形BFD1E是平行四边形.
反思感悟
基本事实4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
跟踪训练1　如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，求证：GH∥MN.
证明　如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，
则M，N分别在BQ，CQ上.
∵M，N分别为△PAB，△PAC的重心，
又G，H分别为PB，PC的中点，
∴GH∥BC，∴GH∥MN.
二、等角定理的应用
例2　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点.
求证：∠BGC＝∠FD1E.
证明　因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，
所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1，
所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
所以GC∥D1E，GB∥D1F.
因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.
反思感悟
等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.
跟踪训练2　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：
(1)四边形MNA1C1是梯形；
证明　如图 ，连结AC，在△ACD中，
∴MN是△ACD的中位线，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
证明　由(1)可知，MN∥A1C1.
又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
3
随堂演练
PART THREE
1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
1
2
3
4
5
解析　可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).
√
2.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有
A.∠BAC＝∠B′A′C′
B.∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
C.∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
D.∠BAC＋∠B′A′C′＝90°
1
2
3
4
5
√
解析　由已知可知∠BAC和∠B′A′C′的两条边分别对应平行，
所以∠BAC与∠B′A′C′相等或互补.
1
2
3
4
5
3.如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是
A.矩形 B.正方形
C.菱形 D.空间四边形
√
解析　利用E，F，G，H分别为各边中点，
可得这个四边形是平行四边形，
再由对角线相等可得四边形EFGH一定是菱形.
4.两等角的一组对应边平行，则
A.另一组对应边平行
B.另一组对应边不平行
C.另一组对应边不可能垂直
D.以上都不对
1
2
3
4
5
√
解析　另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直.
注意和空间等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别.
1
2
3
4
5
5.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形
A.全等 B.不相似
C.仅有一个角相等 D.相似
√
解析　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.
1.知识清单：
(1)基本事实4的应用.
(2)等角定理的应用.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：用等角定理时，角度有可能相等或互补.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共33张PPT)
第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
预 学 案
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱 底面积：S底＝________；
侧面积：S侧＝________；
表面积：S＝____________
圆锥 底面积：S底＝________；
侧面积：S侧＝________；
表面积：S＝______________
πr2　
2πrl　
2πrl＋2πr2　
πr2　
πrl
πrl＋πr2
圆台 上底面面积：S上底＝________；
下底面面积：S下底＝________；
侧面积：S侧＝____________；
表面积：S＝________________
πr′2　
πr2　
π(r′＋r)l
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
练习　
1．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为(　　)
A．4π　 　 B．6π　 　 C．3π　 　 D．12π
答案：B
解析：该圆锥的侧面积为πrl＝π×2×3＝6π.故选B.
2．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的表面积是________．
16π
解析：圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即2π×2＝4π，另一边长为2，圆柱的侧面面积为2×4π＝8π，故圆柱的表面积为8π＋2π×22＝16π.
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积
圆柱 V圆柱＝Sh＝________
圆锥
V圆锥＝Sh＝________
圆台
V圆台＝(S＋)h＝________
πr2h　
πr2h　
πh(r′2＋r′r＋r2)
练习　
1．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是(　　)
A．2π2 B．π2
C． D．
答案：A
解析：底面圆周长l＝2π＝2πr，r＝1，S＝πr2＝π，
所以V＝Sh＝π×2π＝2π2.故选A.
2．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．
12π
解析：易知圆锥的高h＝＝4，
所以体积V＝π×32×4＝12π.
微点拨
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl.
共 学 案
【学习目标】　
(1)掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式．
(2)能运用圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
题型 1 圆柱、圆锥、圆台的表面积
【问题探究1】　(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么？如何求它们的底面积、侧面积、表面积？
(2)圆柱、圆锥、圆台三者的侧面积公式之间有什么关系？

提示：
(1)圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线)．设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则有S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．
圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长(如图)，∴S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面圆半径，l为母线长．
圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长(如图)．易知＝，解得x＝l.所以S侧＝S大扇形－S小扇形＝πR(x＋l)－πrx＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，S表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
(2)S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl.
例1　(1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶
C．1∶ D．∶2
答案：C
解析：(1)设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r，
∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.故选C.
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(　　)
A．7 B．6
C．5 D．3
答案：A
解析：(2)设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.
由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.故选A.
笔记
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
训练1　圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　)
A．4πS B．2πS
C．πS D．πS
答案：A
解析：设底面半径为r，则πr2＝S，
∴r＝ ，∴底面周长为2πr＝2π ，
又侧面展开图为一个正方形，∴侧面积是＝4πS.故选A.
题型 2 圆柱、圆锥、圆台的体积
【问题探究2】　我们以前学过圆柱、圆锥的体积公式，你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？
提示：如图所示，由三角形相似，可得＝，变形解得H＝h.
所以H－h＝h.
则V圆台＝V大圆锥－V小圆锥＝πr2·H－πr′2(H－h)
＝πh＝πh(r2＋rr′＋r′2)
例2　(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为(　　)
A．12π B．12π
C．6π D．2π
答案：C
解析：由题意知该圆柱的高和底面直径是2，
所以该圆柱的体积为V＝Sh＝π()2·2＝6π.
故选C.
(2)圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是________．
解析：上底半径r＝1，下底半径R＝2.
因为S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)·l＝6π.
所以l＝2，所以高h＝＝.
所以V＝π·(1＋1×2＋2×2)＝π.
π
笔记
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形列出方程并求解．
训练2　已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为(　　)
A． B．
C．π D．π
答案：B
解析：设圆锥的母线为l，
由题意得π×l×1＝2×π×12，解得l＝2，
所以圆锥的高为h＝＝，
所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π×12×＝，故选B.
题型 3 简单组合体的表面积和体积
例3　如图，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且AC＝3AB＝6，底面圆的半径为2，求该组合体的表面积和体积．
解析：依题意，圆锥的高AB＝2，圆柱的高BC＝4，圆锥、圆柱的底面圆半径r＝2，
于是圆锥的母线l＝＝＝2，
圆锥的侧面积S1＝πrl＝π×2×2＝4π，圆柱的侧面积S2＝2πr·BC＝2π×2×4＝16π，
所以该组合体的表面积S＝S1＋S2＋πr2＝4π＋16π＋π×22＝(4＋20)π；
圆锥的体积V1＝πr2·AB＝π×22×2＝，圆柱的体积V2＝πr2·BC＝π×22×4＝16π，
所以该组合体的体积V＝V1＋V2＝＋16π＝.
笔记
求组合体的表面积和体积：首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的，组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(差)．
训练3　如图所示，从底面半径为2a，高为a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比．
解析：由题意，知
S1＝2π·2a·a＋2π·(2a)2＝(4＋8)πa2，
挖去圆锥的母线长为＝2a，
S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4＋9)πa2.
∴S1∶S2＝(4＋8)∶(4＋9)．
随堂练习
1．已知某圆柱的高为10，底面周长为8π，则该圆柱的体积为(　　)
A．640π　　B．250π　　C．160π　　D．120π
答案：C
解析：设圆柱底面圆半径为r，由2πr＝8π，得r＝4，
所以圆柱的体积为16π×10＝160π.故选C.
2．已知圆锥的底面半径为2，高为2，则其侧面积为(　　)
A．2π B．4π C．6π D．8π
答案：D
解析：由题意，圆锥的母线l＝＝4，底面周长为4π，
故其侧面积为S＝×4π×l＝×4π×4＝8π.故选D.
3．圆台上、下底面半径分别是1、2，高为，这个圆台的体积是(　　)
A．π B．2π C．7π D．π
答案：A
解析：由圆台体积公式知：V＝πh(R2＋r2＋Rr)＝×(12＋22＋1×2)＝π.故选A.
4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所围成几何体的表面积为__________．
(60＋4)π
解析：该几何体为一个圆台从半径较小的底面挖去一个圆锥，其轴截面图形如图所示，过点C分别作CE垂直直线AD于点E，作CF垂直AB于点F.
由已知易得DE＝2，CE＝2，
又AD＝2，AB＝5，∴CF＝4，BF＝5－2＝3.
∴在Rt△CFB中，BC＝＝5.
∴下底面圆的面积S1＝25π，
圆台的侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，
圆锥的侧面积S3＝π×2×2＝4π.
故几何体的表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋4)π.
课堂小结
1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的体积．
3．简单组合体的表面积和体积．
(共41张PPT)
章末复习
第八章　立体几何初步
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识网络
考点突破
随堂演练
1
知识网络
PART ONE
2
考点突破
PART TWO
一、几何体的表面积与体积
1.空间几何体的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体表面积注意衔接部分的处理.
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
2.空间几何体体积问题常见类型
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.
(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
例1　如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
解　由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面，S半球＝8π cm2，S圆台侧＝35π cm2，S圆台底＝25π cm2，
故所求几何体的表面积为68π cm2.
反思感悟
熟记各类空间几何体的表面积公式和体积公式.
跟踪训练1　如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1－ABC1的体积为
√
二、空间中的平行关系
1.判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：
(1)利用线面平行的判定定理.
(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.
2.判断面面平行的常用方法
利用面面平行的判定定理.
例2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
解　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接BD与AC交于点O，连接FO，则PF＝ .
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
反思感悟
跟踪训练2　如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
证明　∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC.
又∵AC 平面ABC，MN 平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC.
∵N为EC的中点，EC＝2BD，∴NC∥BD，NC＝BD.
∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC.
又∵DN 平面ABC，BC 平面ABC，
∴DN∥平面ABC.
又∵MN∩DN＝N，MN 平面DMN，DN 平面DMN，
∴平面DMN∥平面ABC.
三、空间中的垂直关系
1.判定线面垂直的方法
(1)线面垂直定义.
(2)线面垂直判定定理.
(3)平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α a⊥α).
(4)面面垂直性质(α⊥β，α∩β＝l，a β，a⊥l a⊥α).
2.判定面面垂直的方法
(1)面面垂直的定义.
(2)面面垂直的判定定理.
例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
证明　因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，PA⊥AD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)BE∥平面PAD；
证明　因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.
又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明　因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD.
又因为AP∩AD＝A，AP，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
反思感悟
跟踪训练3　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
证明　在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)求证：AD⊥AE.
证明　因为AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF.
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
四、空间角的求法
常见题型
1.异面直线所成角.
2.求直线与平面所成的角.
3.二面角的平面角.
例4　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的大小；
解　∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC 平面BC′，∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.
∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角为30°.
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
解　如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE 平面BC′，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.
解　由(1)可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
反思感悟
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法.
跟踪训练4　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.
(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小；
解　∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，
又PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角.
又直线PB与CD所成的角为45°，
∴∠PBA＝45°，PA＝AB.
∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
即二面角P－CD－B的大小为45°.
(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由.
解　当点E在线段PC上，且满足PE∶EC＝1∶2时，
平面EBD⊥平面ABCD.理由如下：
连接AC交BD于点O，连接EO.
由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，
∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，∴PA∥EO.
∵PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD.
又EO 平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.
3
随堂演练
PART THREE
1.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为
√
1
2
3
4
5
解析　设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.
2.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论：
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直线B1D1与BC所成的角为45°.其中正确结论的个数为
1
2
3
4
5
A.4 B.3 C.2 D.1
√
1
2
3
4
5
解析　在①中，由正方体的性质得，BD∥B1D1，
BD 平面CB1D1，B1D1 平面CB1D1，
∴BD∥平面CB1D1，故①正确；
在②中，由正方体的性质得AC⊥BD，CC1⊥BD，
又AC∩CC1＝C，AC，CC1 平面ACC1，
∴BD⊥平面ACC1，
又AC1 平面ACC1，
∴AC1⊥BD，故②正确；
在③中，由正方体的性质得BD∥B1D1，
由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，
同理可证AC1⊥CB1，
1
2
3
4
5
∵B1D1∩CB1＝B1，B1D1，CB1 平面CB1D1，
∴AC1⊥平面CB1D1，故③正确；
在④中，异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角，
故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角，
在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，
故直线B1D1与BC所成的角为45°，故④正确.
故选A.
3.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC
的体积为V2，则V1∶V2的值为_____.
解析　设三棱柱的高为h，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A，B两点)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个结论：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的结论是________.(填序号)
②④
1
2
3
4
5
解析　由题意可知PA在平面MOB内，所以①不正确；
因为M为线段PB的中点，OA＝OB，所以OM∥PA，又OM 平面PAC，PA 平面PAC，所以MO∥平面PAC，②正确；
当OC与AB不垂直时，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正确；
因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，而BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，所以④正确.综上所述，正确的结论是②④.
1
2
3
4
5
5.如图，在棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
证明　因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.
又因为PA 平面DEF，DE 平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
1
2
3
4
5
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明　因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC 平面ABC，EF 平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.(共37张PPT)
8.4.1　平面
预 学 案
一、平面
1．平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周________的．
无限延展
2．平面的画法
我们常用矩形的直观图，即____________表示平面，它的锐角通常画成________，且横边长等于其邻边长的________倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用________画出来，如图②.
3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
平行四边形
45°
2
虚线
练习　下列说法正确的是(　　)
A．镜面是一个平面
B．一个平面长10 m，宽5 m
C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D．所有的平面都是无限延展的
答案：D
解析：镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确．故选D.
二、平面的基本性质
1．基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过______________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的________ P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
不在一条直线上
两个点
公共直线
2.推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
练习　点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示，正确的是(　　)
A．A∈l，l∈α B．A∈l，l α
C．A l，l α D．A∈l，l α
答案：D
解析：点A在直线l上，则A∈l，l在平面α内，则l α.
故选D.
微点拨
(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；
(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．

微点拨
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示；
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“ ”或“ ”表示．
共 学 案
【学习目标】　(1)了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(2)能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(3)掌握关于平面基本性质的三个基本事实．
【问题探究】　
(1)生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？
(2)在凹凸不平的地面上放一个三条腿的凳子和一个四条腿的凳子，哪个稳定？若把直尺边缘上的任何两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？两张纸面相交有几条交线？
提示：(1)无限延展、不计大小、不计厚薄等．
(2)三条腿的凳子稳定；直尺的边缘上的其余点在桌面上；两张纸面相交有一条交线．
题型 1 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例1　用符号表示下列语句，并画出图形：
(1)点A在平面α内但在平面β外；
(2)直线a经过平面α内一点A，平面α外一点B；
(3)直线a在平面α内，也在平面β内．
解析：(1)因为点A在平面α内但在平面β外，所以可以用下图表示：
(2)因为直线a经过平面α内一点A，α外一点B，所以可以用下图表示：
(3)因为直线a在平面α内，也在平面β内，所以可以用下图表示：
笔记：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
训练1　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．
(1)l α，m＝A，A l；
(2)P∈l，P α，Q∈l，Q∈α.
解析：(1)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如下图所示：
(2)直线l经过平面α外一点P和平面α上一点Q，如下图所示：
题型 2 点、线共面问题
例2　如图所示，l1＝＝B，l1＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明：方法一(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明点、线共面的2种常用方法
训练2　
如图，已知a α，b α，a＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
证明：因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a β，点P∈β.因为P∈b，b α，所以P∈α.又因为a α，P a，所以α与β重合，所以PQ α.
题型 3 点共线问题
例3　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．
证明：MN∩EF＝Q，
∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴M，N∈平面ABCD，
∴MN 平面ABCD.
∴Q∈平面ABCD.
同理，可得Q∈平面ADD1A1.
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．
证明三点共线的方法
训练3　
已知△ABC在平面α外，AB＝P，AC＝R，BC＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．
证明：方法一　∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P、Q、R三点共线．
方法二　∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∴Q∈平面APR，又∵Q∈α，
∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线．
题型 4 线共点问题
例4　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
证明：连接EF，D1C，A1B，
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF∥A1B，EF＝A1B，
又∵A1B∥D1C，A1B＝D1C，
∴EF∥D1C，EF＝D1C，
∴E、F、D1、C四点共面，且四边形EFD1C为梯形．
∵EF设D1F∩CE＝P，如图．
∵D1F 平面AA1D1D，P∈D1F，
∴P∈平面AA1D1D.
又∵CE 平面ABCD，P∈CE，
∴P∈平面ABCD，
∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
又∵平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，
∴P∈AD，
∴CE，D1F，DA三线交于一点．
证明三线共点的一般步骤
训练4　如图，已知平面α，β，且α＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点．
证明：
∵在梯形ABCD中，
AD∥BC，
∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于M.
则M∈AB，M∈CD，
又∵AB α，CD β，
∴M∈α，M∈β，
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，
∴AB，CD，l共点．
随堂练习
1．若一直线a在平面α内，则正确的图形是(　　)
答案：A
解析：选项B、C中直线a在平面α外，选项D中直线a与平面α相交，选项A中直线a在平面α内．故选A.
2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)
A．A a，a α，B∈α B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α D．A∈a，a∈α，B∈α
答案：B
解析：点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a α，B∈α.故选B.
3．如图所示，用符号语言可表示为(　　)
A．α＝m，n α，m＝A
B．α＝m，n∈α，m＝A
C．α＝m，n α，A m，A n
D．α＝m，n∈α，A∈m，A∈n
答案：A
解析：由图知α与β交于m，n在α内，m与n交于点A，
则正确的符号语言应是：α∩β＝m，n α，m∩n＝A.故选A.
4．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面．
3
解析：三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面α，直线b，c确定平面β，直线a，c确定平面γ，共3个平面．
课堂小结
1.平面的概念．
2．三个基本事实．
3．利用三个基本事实证明共面、共线、共点问题．(共31张PPT)
8.2　立体图形的直观图
预 学 案
一、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
45°
135°
水平面
x′轴或y′轴的线段
保持原长度
一半
练习　判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)相等的线段在直观图中仍然相等．(　　)
(2)平行的线段在直观图中仍然平行．(　　)
(3)一个角的直观图仍是一个角．　(　　)
(4)相等的角在直观图中仍然相等．(　　)
×
√
√
×
二、用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
微点拨
画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．

微点拨
画空间几何体的直观图时，需特别注意实虚线的应用，被遮住的线必须用虚线，体现层次性和立体感．
共 学 案
【学习目标】　
(1)掌握斜二测画法的步骤．
(2)会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．
【问题探究1】　如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
提示：它们都是平行四边形．
题型 1 平面图形的直观图的画法
【问题探究2】　如图．
(1)上图中，水平放置的正六边形，你看过去视觉如何？每条边还相等吗？
(2)这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？
(3)用斜二测画法画直观图时，平行的直线还平行吗？
提示：(1)很直观；每条边不一定相等．
(2)不相同．
(3)在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．
例1　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．
解析：画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，擦去坐标轴，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
画平面图形的直观图的策略
训练1　画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．
解析：(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.

(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝ cm.
(3)连接A′B′、A′C′，擦去坐标轴，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
题型 2 空间几何体的直观图的画法
【问题探究3】　
我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？
提示：先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体．
例2　画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)

解析：画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.

(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长2 cm.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．
笔记：(1)画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．
(2)直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”．
(3)当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图．注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验．

训练2　用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图．
解析：(1)画轴．如图①所示，画x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面．以点O′为中点，在x′轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y′轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和点N作y′轴的平行线，过点P和Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱，过A、B、C、D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．
题型 3 直观图的还原与计算
例3　如图，已知△ABC通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则△ABC为(　　)
A．面积为2的等腰三角形
B．面积为4的等腰三角形
C．面积为2的直角三角形
D．面积为4的直角三角形
答案：D
解析：如图因为斜二测画法得到的直观图△A′B′C′是面积为2的等腰直角三角形，
故A′C′＝A′B′＝2，C′B′＝2，∠A′C′B′＝45°，
将直观图还原，则CB＝C′B′＝2，AC＝2A′C′＝4，∠ACB＝2∠A′C′B′＝90°，故所得三角形为直角三角形，面积为×2×4＝4.故选D.
笔记：
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
训练3　已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图所示，则该平面图形的面积是(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
答案：D
解析：A′D′＝1＝A′B′，所以O′D′＝，还原如图所示，
则OD＝2O′D′＝2，AB＝1，所以平面图形ABCD面积S＝|AB|·|OD|＝1×2＝2.
故选D.
随堂练习
1．(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是(　　)
A．三角形的直观图是三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
答案：AB
解析：由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，可知三角形的直观图还是三角形，故A正确；平行四边形的直观图仍然是平行四边形，故B正确；正方形和菱形的直观图是平行四边形，故CD错误．故选AB.
2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　)
答案：C
解析：正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1.
3．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　)
A．平行于z轴且大小为10 cm
B．平行于z轴且大小为5 cm
C．与z轴成45°且大小为10 cm
D．与z轴成45°且大小为5 cm
答案：A
解析：平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选A.
4．如图所示，等腰直角三角形O′A′B′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′B′＝2，则原图形的周长为________．
8＋4
解析：由题意，O′B′＝2，则O′A′＝2，故原图形中OA＝4，OB＝2，AB＝＝6，周长为8＋4.
课堂小结
1.水平放置的平面图形的直观图的画法．
2．空间几何体的直观图的画法．
3．直观图的还原与计算．
(共30张PPT)
8.5.3　平面与平面平行
预 学 案
一、平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 ________，________，________，____________ α∥β
图形语言
两条相交直线
a∥β
b∥β
a∩b＝P
a α，b α
练习　判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知平面α，β和直线m，n若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β.(　　)
(2)若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α∥β.(　　)
(3)平行于同一条直线的两个平面平行．(　　)
(4)平行于同一个平面的两个平面平行．(　　)
×
√
×
√
二、平面与平面平行的性质定理
文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线________
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ________
图形语言
平行
a∥b
【即时练习】　已知平面α∥平面β，直线a α，则直线a与平面β的位置关系为________．
a∥β
解析：因为α∥β，所以α与β无公共点，因为a α，所以a与β无公共点，所以a∥β.
微点拨
(1)如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，那么这两个平面不一定平行．即使一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，也不能推出这两个平面平行．
(2)在这个定理中，要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字，否则条件不充分，结论不成立．
(3)判定定理说明，要证明面面平行，可证线面平行．
微点拨
(1)该定理是证明直线与直线平行的又一重要方法，简记为“面面平行，则线线平行”．
(2)定理中有两个条件：
①α∥β；②γ∩α＝a，γ∩β＝b.两个条件缺一不可．
(3)面面平行的性质定理给出了在两个平行平面内作平行直线的方法．
共 学 案
【学习目标】　(1)掌握平面和平面平行的判断定理、性质定理．(2)会证明平面和平面平行、利用面面平行的性质定理证明直线和直线平行．
题型 1 平面与平面平行的判定定理
【问题探究1】　(1)三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
(2)三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
提示：(1)不一定．(2)平行．
例1　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为边AA1，DD1的中点．
证明：平面CFA1∥平面BDE.
证明：∵长方体ABCD -A1B1C1D1，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，
∵点E，F分别为边AA1，DD1的中点，∴A1E＝DF，A1E∥DF，
∴四边形A1EDF为平行四边形，∴A1F∥ED，
又A1F 平面BDE，ED 平面BDE，
∴A1F∥平面BDE，
如图，连接AC交BD于点O，连接EO，
∴点O为AC的中点，∴EO∥A1C，
又A1C 平面BDE，EO 平面BDE，
∴A1C∥平面BDE，
∵A1C∩A1F＝A1，
∴平面CFA1∥平面BDE.
平面与平面平行的判定方法
训练1　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP.
又∵BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
∵四边形ABCD为平行四边形．
∴BC∥AD，∴MQ∥BC.
又∵BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又∵MQ∩NQ＝Q，
∴平面MNQ∥平面PBC.
题型 2 平面与平面平行的性质定理
【问题探究2】　(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面吗？
(2)如果两个平面平行，那么分别在两个平面的直线是什么位置关系？
(3)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行吗？
提示：(1)一个平面内的直线必平行另一个平面(无公共点)．
(2)一个平面内的直线与另一个平面内的直线没有公共点，它们或者是异面直线，或者是平行直线．
(3)当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线共面且无公共点，所以两条交线平行．
例2　如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
训练2　如图，已知平面α∥β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
解析：∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，
∴AB∥CD，可得＝.
∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，
∴＝，解得BD＝.
题型 3 平行关系的综合应用
例3　如图所示，已知点P是 ABCD所在平面外一点，M，N，K分别是AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面APD＝l.
(1)求证：MN∥平面PAD.
(2)直线PB上是否存在点H，使得平面NKH∥平面ABCD？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
(3)求证：l∥BC.
证明：(1)取PD中点为F，连接AF，FN，
在△PCD中，FN∥DC，FN＝DC，
在 ABCD中，AM∥CD，AM＝CD，
所以AM∥FN，AM＝FN，即四边形AFNM为平行四边形，
所以AF∥MN，AF 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
(2)当H为PB中点时，平面KNH∥平面ABCD.
证明如下：
取PB的中点为H，连接KH，NH，
在△PBC中，HN∥BC，HN 平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以HN∥平面ABCD，同理可证，KH∥平面ABCD，
又KH，HN 平面KNH，KH∩HN＝H，
所以平面KNH∥平面ABCD，
(3)∵BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
又∵平面PAD∩平面PBC＝l，BC 平面PBC，
∴BC∥l.
常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示．
训练3　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，E为侧棱PD的中点，且BC＝2，AD＝4，求证：CE∥平面PAB.
证明：取AD的中点O，连接OC，OE，如图．
因为E为侧棱PD的中点，所以OE∥PA，OE 平面PAB，PA 平面PAB，
所以OE∥平面PAB.
因为BC＝2，AD＝4，AO＝AD＝2，即AO＝BC，且BC∥AD，
所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC∥AB.
又OC 平面PAB，AB 平面PAB，所以OC∥平面PAB.
因为OC∩OE＝O，OC 平面OCE，OE 平面OCE，
所以平面OCE∥平面PAB，
因为CE 平面OCE，
所以CE∥平面PAB.
随堂练习
1．平面α与平面β平行的条件可以是(　　)
A．α内有无数多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β
C．直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何直线都与β平行
答案：D
解析：由面面平行的定义知，选D.
2．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是(　　)
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面或相交
答案：D
解析：如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．
故选D.
3.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　)
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
答案：D
解析：∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2
又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.故选D.
4．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为__________．
平行四边形
解析：因为平面ABFE∥平面CDHG，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，
所以EF∥HG.
同理EH∥FG.
所以四边形EFGH的形状是平行四边形．
课堂小结
1．平面与平面平行的判定定理．
2．平面与平面平行的性质定理．
3．平行关系的综合应用．(共24张PPT)
8.6.1　直线与直线垂直
预 学 案
一、异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线________与________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
2．异面直线所成角的范围：__________．
a′
b′
(0°，90°]
练习　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________．
65°
解析：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.
二、直线与直线垂直
如果两条异面直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作________．
直角
a⊥b
练习　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有(　　)
A．2条　　　　B．4条　　　　
C．6条　　　　D．8条
答案：D
解析：在长方体ABCD -A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．
故选D.
微点拨
(1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关．
(2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．
微点拨
两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形．
共 学 案
【学习目标】　(1)理解异面直线所成角及直线与直线垂直的定义．(2)会求异面直线所成角以及证明两条直线垂直．
【问题探究】　
前面我们学习了空间中两条直线的位置关系，请观察正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)直线AB与直线A1C，CC1，CD1分别具有怎样的位置关系？
(2)它们之间的倾斜程度不一样，那该如何去刻画这种异面直线间不同的倾斜程度呢？
(3)根据异面直线所成角的定义，
如何定义直线与直线垂直？
提示：(1)直线A1C，CC1，CD1与直线AB均是异面的．
(2)可以用两条直线所成的角度去刻画．
(3)若两条异面直线所成的角为90°，则两条异面直线互相垂直．
题型 1 异面直线所成的角
例1　如图所示，在四面体ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角的大小．
解析：如图，取BD的中点G，连接EG，FG.
∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，
∴EG∥CD，GF∥AB，
且EG＝CD，GF＝AB，
∴EG＝GF，
∴∠GFE或其补角是EF与AB所成的角．
∵AB⊥CD，∴EG⊥GF，
∴∠EGF＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形．
∴∠GFE＝45°，即EF和AB所成的角的大小为45°.
一题多变　将本例条件“AB＝CD，AB⊥CD”改为“AB＝CD＝2，EF＝”，此时CD和AB所成的角如何？
解析：∵E，F，G分别是所在棱的中点，
∴GE∥CD，GF∥AB.
∴∠EGF或其补角即为AB与CD所成的角．
由已知可得GE＝GF＝1，又EF＝，
∴由余弦定理，得∠EGF＝120°.
∴异面直线AB与CD所成的角为60°.
求两异面直线所成角的步骤
训练1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，求异面直线EF与GH所成的角．
解析：如图，连接A1B，BC1，A1C1，
由题意EF∥A1B，GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角是∠A1BC1或其补角，
由正方体性质知△A1BC1是等边三角形，∠A1BC1＝60°，
所以异面直线EF与GH所成的角是60°.
题型 2 直线与直线垂直
例2　如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
证明：取CC′的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，F为CC′的中点，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF即为异面直线BE与AC′所成角，且EF＝AC′.
在正三棱柱ABC -A′B′C′中，AC′＝2，∴EF＝.
在等边△ABC中，BE＝＝，
在Rt△BCF中，BF＝＝.
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
证明两条异面直线垂直的步骤
训练2　空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.
求证：AC⊥BD.
证明：∵点G，E分别是CD，BC的中点，
∴GE∥BD，同理GF∥AC.
∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，
满足FG2＋GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°.
即异面直线AC与BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
随堂练习
1．若空间中的三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
答案：B
解析：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.故选B.
2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是(　　)
A．BC1 B．A1D
C．AC D．BC
答案：C
解析：∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1，故选C.
3．在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，则∠FEG为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．60°或120°
答案：D
解析：如图：
因为E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，
所以EG∥AD，EF∥BC，
由于AD与BC是异面直线，
根据异面直线所成角的定义可知，
∠FEG为异面直线AD与BC所成角或其补角，
因为AD与BC所成的角为60°，
所以∠FEG为60°或120°.故选D.
4．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．
60°
解析：依题意，得BC∥B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角．连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝，故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
课堂小结
1．异面直线所成的角．
2．利用异面直线所成的角证明两直线垂直．(共28张PPT)
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
和体积
第八章　8.3　简单几何体的表面积与体积
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式
求几何体的表面积与体积.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形 表面积公式
旋转体 圆柱 底面积：S底＝_____
侧面积：S侧＝_____
表面积：S＝_________
圆锥 底面积：S底＝____
侧面积：S侧＝____
表面积：S＝________
2πr2
2πrl
2πr(r＋l)
πr2
πrl
πr(r＋l)
旋转体 圆台 上底面面积：S上底＝______
下底面面积：S下底＝____
侧面积：S侧＝___________
表面积：S＝____________________
πr′2
πr2
π(r′l＋rl)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh＝_____ 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
＝__________________
πr2h
知识点三　球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式S＝ (R为球的半径).
2.球的体积公式V＝ .
4πR2
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(　　)
2.圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.(　　)
3.球的体积是关于球半径的一个函数.(　　)
4.球的表面积是球的体积的6倍.(　　)
×
√
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1　(1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
√
解析　设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为
A.7 B.6
C.5 D.3
√
解析　设圆台较小底面的半径为r，
则另一底面的半径为3r.
由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.
反思感悟
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
跟踪训练1　圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是
A.4πS B.2πS
C.πS D.
√
解析　设底面半径为r，则πr2＝S，
又侧面展开图为一个正方形，
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
例2　(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是
√
√
√
解析　作圆锥的轴截面，如图所示：
由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
设圆锥的高为h，底面半径为r，
则h＝4.
反思感悟
求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积.
跟踪训练2　已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________.
224π
解析　设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图.
∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.
∴下底面半径R＝8，高h＝8，
三、球的表面积和体积
例3　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
解　设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
反思感悟
计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径.
跟踪训练3　一个球的表面积是16π，则它的体积是
√
解析　设球的半径为R，
则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.
3
随堂演练
PART THREE
1.直径为6的球的表面积和体积分别是
A.36π，144π
B.36π，36π
C.144π，36π
D.144π，144π
1
2
3
4
5
√
2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是
√
解析　设圆柱的底面圆半径为r，高为h，
由题意得h＝2πr，
∴圆柱的表面积S表＝2πr2＋2πr×h＝2πr2＋2πr×2πr＝2πr2·(1＋2π)，
圆柱的侧面积S侧＝2πr×h＝2πr×2πr＝4π2r2，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为
A.120° B.150°
C.180° D.240°
√
解析　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
S底＋S侧＝3S底，2S底＝S侧，
即2πr2＝πrl，得2r＝l.
4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.
1
2
3
4
5
2∶1
∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.
1
2
3
4
5
5.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为_____.
3
解析　设圆台的高为h，
所以h＝3.
1.知识清单：
(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积.
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积.
(3)球的表面积和体积.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共31张PPT)
8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
预 学 案
一、空间中两条直线的位置关系
1．异面直线：不同在________平面内的两条直线．
2.异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
任何一个
3．空间两条直线的三种位置关系
(1)从是否有公共点的角度来分：
(2)从是否共面的角度来分：
平行
异面
相交
平行
相交
异面
练习　若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
答案：D
解析：因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选D.
二、空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 ________个公共点 ____个 ____个
符号表示 ________ ________ ________
图形表示
无数
1
0
a α
a∩α＝A
a∥α
练习　若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是(　　)
A．直线与平面平行
B．直线与平面相交
C．直线上至少有一个点在平面内
D．直线上有无数多个点都在平面外
答案：D
解析：对于B，若直线与平面相交，此时除交点外，其余点都在平面外，B错误；
对于AC，若直线与平面平行，则所有点都在平面外，AC错误；
对于D，直线无论与平面相交还是平行，则都有无数个点在平面外，D正确．故选D.
三、空间中平面与平面的位置关系
位置关系 平行 相交
图示
表示法 ________ ________
公共点个数 ____个 ________个
α∥β
α∩β＝a
0
无数
练习　若M∈平面α，M∈平面β，α、β为不同的平面，则平面α与β的位置关系是(　　)
A．平行　　　　 B．相交　
C．重合　　　　 D．不确定
答案：B
解析：由基本事实可知，平面α与平面β相交．故选B.
微点拨
1．异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
2．不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
微点拨
直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.

微点拨
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
共 学 案
【学习目标】　(1)借助长方体，了解空间两条直线间的位置关系；理解异面直线的定义．(2)了解直线与平面、平面与平面之间的位置关系，并能判断这些位置关系．
题型 1 空间中两直线的位置关系
【问题探究1】　请同学们观察长方体模型，说出以下两直线的位置关系：AB与D′C′，AB与BB′，AB与CC′.
提示：平行　相交　异面
例1　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、相交或异面
答案：D
解析：可借助长方体来判断．
如图，在长方体ABCD -A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，
已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，
则c可以是长方体ABCD-A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.
故a和c可以平行、相交或异面．故选D.
判断空间两条直线位置关系的策略
训练1　一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．相交或异面
答案：D
解析：如图(1)所示，此时直线a与直线b为异面直线，其中l∥a，此时直线l与b为相交直线；如图(2)所示，此时直线a与直线b为异面直线，其中l∥a，此时直线l与b为异面直线．综上，一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异面．故选D.
题型 2 空间中直线与平面的位置关系
【问题探究2】　如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，你能发现A′B所在的直线与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有几种位置关系？
提示：三种：(1)直线在平面内；(2)直线与平面平行；(3)直线与平面相交．
例2　(多选)下列说法中，正确的有(　　)
A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B．如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交
C．过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行
D．一条直线上有两点到平面的距离相等，那么这条直线和这个平面可能平行，也可能相交
答案：BD
解析：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以A错；如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以B正确；对于C显然有无数条；如图所示，说明D正确．
笔记：在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断．
训练2　若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　)
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
答案：B
解析：直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．故选B.
题型 3 空间中平面与平面的位置关系
【问题探究3】　拿出一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？
提示：有两种：平行、相交．
特点：两个平面平行时，两者没有公共点；两个平面相交时，两者有一条公共直线．
例3　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
答案：C
解析：逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．故选C.
笔记：
平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
训练3　若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线(　　)
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
答案：D
解析：两个平面内的直线必无交点，所以是异面或平行．
随堂练习
1．不平行的两条直线的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．相交或异面
答案：D
解析：由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．故选D.
2．直线l与平面α有两个公共点，则(　　)
A．l∈α B．l∥α
C．l与α相交 D．l α
答案：D
解析：根据基本事实1可知，l α.故选D.
3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A．仅有一条直线不相交
B．仅有两条直线不相交
C．无数条直线相交
D．任意一条直线不相交
答案：D
解析：直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的任一直线均无公共点．故选D.
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_________．
平行
异面
相交
异面
解析：(1)在长方体ABCD -A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．
课堂小结
1．两直线的位置关系．
2．直线与平面的位置关系．
3．平面与平面的位置关系．(共22张PPT)
第2课时　平面与平面垂直的性质
预 学 案
一、平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果__________有一直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
图形语言
一个平面内
交线
a α
a⊥l
练习　判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．(　　)
(2)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．(　　)
(3)若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则直线a必垂直于平面β.(　　)
×
√
×
微点拨
(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
共 学 案
【学习目标】　(1)掌握平面与平面垂直的性质定理，并能解决一些简单的问题．(2)能综合运用直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定和性质解决有关问题．
题型 1 平面与平面垂直的判定定理
【问题探究】　教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？怎样画才能保证所画直线与地面垂直？
提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直)．只要保证所画的线与两平面的交线垂直即可．
例1　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证：BG⊥平面PAD.
证明：由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，∴PG⊥平面ABCD.由BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD＝G，AD，PG 平面PAD，
∴BG⊥平面PAD.
笔记：若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
训练1　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD 平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
题型 2 垂直关系的综合应用
例2　如图，四棱锥P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC＝2AB，E为PC中点．
(1)求证：PA⊥BC；
(2)求证：平面PBC⊥平面PDC.
证明：(1)因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
PA⊥AB，PA 平面PAB，所以PA⊥平面ABCD.
又因为BC 平面ABCD，所以PA⊥BC.
(2)因为AP＝AD，设F为PD的中点，
连接AF，EF，如图，则EF綉CD.又AB綉CD，所以EF綉AB.
所以四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF.
因为PA＝AD且F为PD的中点，所以AF⊥PD，又∠DAB＝90°，所以AB⊥DA，又PA⊥AB，PA∩DA＝A，所以AB⊥平面PAD，所以EF⊥平面PAD，所以AF⊥EF，又PD∩EF＝F，所以AF⊥平面PCD.所以BE⊥平面PDC.
又因为BE 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC.
笔记：(1)熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路．
(2)垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明．
训练2　如图，在六面体ABCDEF中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.证明：平面BCE⊥平面BDE.
证明：因为AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝CD＝1，
所以BD＝BC＝，CD＝2，所以BC⊥BD，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
四边形ADEF是正方形，ED⊥AD，ED 平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD，
因为BC 平面ABCD，所以BC⊥ED，
因为BD，ED 平面BDE，BD∩ED＝D，所以BC⊥平面BDE，
因为BC 平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.
随堂练习
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则(　　)
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
答案：D
解析：当平面α⊥平面β，直线a∥α时，a与β有以下四种位置关系：①a⊥β，②a∥β，③a与β相交，④a在平面β内．故选D.
2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　)
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
答案：C
解析：当α⊥β，在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面β内的一条直线b的直线不一定垂直于β.故选C.
3．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α＝l，n β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是(　　)
A．异面 B．相交但不垂直
C．平行 D．相交且垂直
答案：C
解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，所以n⊥α.
又m⊥α，所以m∥n.故选C.
4．如图，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
解析：因为侧面PAC⊥底面ABC，且侧面PAC∩底面ABC＝AC，又∠PAC＝90°，即PA⊥AC，AC 平面ABC，
所以PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
所以PA⊥AB，
故PB＝＝＝.
课堂小结
1．平面与平面垂直的性质定理及应用．
2．线线、线面、面面垂直关系的综合应用．(共31张PPT)
第1课时　棱柱、棱锥、棱台
第八章　8.1　基本立体图形
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构
并进行有关计算.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　多面体、旋转体的定义
类别 多面体 旋转体
定义 由若干个 围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的
旋转所形成的曲面叫做 ，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
图形
平面多边形
一条定直线
旋转面
相关概念 面：围成多面体的各个_______ 棱：相邻两个面的________ 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线
多边形
公共边
思考　构成空间几何体的基本元素是什么？
答案　构成空间几何体的基本元素是：点、线、面.
知识点二　棱柱的结构特征
1.棱柱的概念
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱柱 有两个面互相 ，其余各面都是 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′ C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相
的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的
_______
顶点：侧面与底面的_________
平行
四边形
平行
平行
公共边
公共顶点
2.棱柱的分类
(1)按底面多边形边数来分： 、 、 ……
(2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做 ，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做 .
底面是正多边形的直棱柱叫做 ，底面是平行四边形的四棱柱也叫做
.
思考　棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
答案　棱柱的侧面一定是平行四边形.
三棱柱
四棱柱
五棱柱
直棱柱
斜棱柱
正棱柱
平行六面体
1.棱锥的概念
知识点三　棱锥的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱锥 有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所 围成的多面体叫做棱锥 如图可记作： 棱锥S—ABCD 底面(底)： 面
侧面：有公共顶点的各个
_________
侧棱：相邻侧面的_______
顶点：各侧面的_________
2.棱锥的分类
(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做 .
多边形
三角形
多边形
三角形面
公共边
公共顶点
正棱锥
知识点四　棱台的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱台 用一个_______ 的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作： 棱台ABCD—A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的_____ 下底面：原棱锥的_____ 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、
五棱锥……
截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
思考　棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？
答案　一定相交于一点.
平行于
棱锥底面
截面
底面
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.(　　)
2.棱柱的两个底面是全等的多边形.(　　)
3.棱柱最多有两个面不是四边形.(　　)
4.棱锥的所有面都可以是三角形.(　　)
×
√
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1　(1)下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确的说法的序号是______.
一、棱柱的结构特征
解析　①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.
②错误，棱柱的底面可以是三角形.
③正确，由棱柱的定义易知.
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是③④.
③④
(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
解　是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
解　截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
反思感悟
棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
跟踪训练1　下列命题中正确的是
A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
√
二、棱锥、棱台的结构特征
例2　(1)有下列三种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
√
解析　①中的平面不一定平行于底面，故①错；
②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.
(2)下列说法中，正确的是
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行.
A.① B.①②
C.② D.③
√
解析　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；
四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故②正确；
棱锥的侧棱交于一点，不平行，故③错.
反思感悟
判断棱锥、棱台的方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法.
(2)直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
跟踪训练2　下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是_______.
①②
解析　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；
③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
核心素养之直观想象
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG
空间几何体的表面展开图
典例　(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，
则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)
√
解析　其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻.
(2)如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？
解　图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；
图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；
图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.
素养提升
多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.
3
随堂演练
PART THREE
1.下面多面体中，是棱柱的有
1
2
3
4
5
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
√
解析　根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.
2.下面图形中，为棱锥的是
解析　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.故选C.
1
2
3
4
5
A.①③ B.①③④
C.①②④ D.①②
√
1
2
3
4
5
3.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为
A.四棱柱 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱锥
√
解析　根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.
4.如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是
1
2
3
4
5
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.组合体
√
解析　余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.
1
2
3
4
5
5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝______.
60°
1.知识清单：
(1)多面体、旋转体的定义.
(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.方法归纳：举反例法.
3.常见误区：棱台的结构特征认识不清.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共27张PPT)
8.5.3　平面与平面平行
第八章　8.5　空间直线、平面的平行
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.
2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言
图形语言

两条相交直线
思考　应用面面平行判定定理应具备哪些条件？
答案　①平面α内两条相交直线a，b，即a α，b α，a∩b＝P.
②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β.
知识点二　两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线______
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ________
图形语言
平行
a∥b
思考　(1)若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？
答案　不是.
(2)若两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？
答案　是的.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.(　　)
2.两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行.(　　)
3.夹在两平行平面间的平行线段相等.(　　)
4.若平面α∥平面β，l 平面β，m 平面α，则l∥m.(　　)
√
×
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
一、平面与平面平行的判定定理的应用
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
证明　∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
反思感悟
两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.
跟踪训练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
证明　∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
二、平面与平面平行的性质定理的应用
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明　因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
反思感悟
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上.
(4)由定理得出结论.
跟踪训练2　如图，已知平面α∥β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.
解　∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，
∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
几何中的计算问题
典例　如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15 cm，DE＝5 cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长.
解　如图所示.
连接AF，交β于点G，连接BG，EG，
则点A，B，C，F，G共面.
∵β∥γ，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF，
∴EF＝3DE＝3×5＝15(cm).
素养提升
利用平面与平面平行的性质定理，借助于学生比较熟悉的异面直线，平面与平面平行，直线与平面平行，经过论证，表述，得出结论，培养了逻辑推理的数学核心素养.
3
随堂演练
PART THREE
1.在正方体中，相互平行的面不会是
A.前后相对侧面
B.上下相对底面
C.左右相对侧面
D.相邻的侧面
1
2
3
4
5
√
解析　由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行.
2.下列命题中正确的是
A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
1
2
3
4
5
√
解析　如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，
即两个平面没有公共点，
则两平面平行.
1
2
3
4
5
3.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
√
解析　由面面平行的性质定理易得.
4.若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
1
2
3
4
5
√
解析　由于α∥β，a α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.
1
2
3
4
5
5.已知α，β是两个不同的平面，下列条件中可以判断平面α与β平行的是
(1)α内存在不共线的三点到β的距离相等；
(2)l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；
(3)l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.
A.(1)(2) B.(1)(3) C.(3) D.(1)(2)(3)
√
解析　平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，平面α与平面β可能平行也可能相交，故(1)不正确；
当l与m平行时，不能推出α∥β，故(2)不确定；
l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，则α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的判定定理，可得α∥β，故(3)正确.
1.知识清单：
(1)平面与平面平行的判定定理.
(2)平面与平面平行的性质定理.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共26张PPT)
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积
和体积
第八章　8.3　简单几何体的表面积与体积
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式
求几何体的表面积与体积.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
图形 表面积
多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是 的面积
展开图
思考　将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？
答案　将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 ，h为棱柱的____
棱锥 S为棱锥的 ，h为棱锥的____
棱台 S′，S分别为棱台的 ，h为棱台的____
底面积
高
底面积
高
上、下底面面积
高
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(　　)
2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.(　　)
3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　　)
4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.(　　)
×
√
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.
一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
解　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
体对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.
反思感悟
棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
跟踪训练1　已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.
解　∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
例2　(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为
√
解析　设三棱锥B1－ABC的高为h，
(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积.
解　正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.
设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
∴EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，
反思感悟
求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).
常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.
跟踪训练2　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的
体积为____.
核心素养之直观想象
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG
几何体体积的求法
典例1　等积变换法
如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
解　由 ，
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
典例2　分割法
如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
素养提升
(1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法.
(2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法.
3
随堂演练
PART THREE
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为
A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
1
2
3
4
5
解析　V长方体＝3×4×5＝60(cm3).
√
2.正方体的表面积为96，则正方体的体积为
A. B.64
C.16 D.96
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.正四棱锥底面正方形的边长为4，侧面是等边三角形，则该四棱锥的侧面积为
√
解析　如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为等边三角形PBC边BC上的高，
4.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为_________.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥
A－DED1的体积为_____.
1.知识清单：
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.
2.方法归纳：等积法、割补法.
3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共30张PPT)
8.6.3　平面与平面垂直
第八章　8.6　空间直线、平面的垂直
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求
简单的二面角的平面角.
2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.
3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单
的问题.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　二面角的概念
1.定义：从一条直线出发的 所组成的图形.
2.相关概念：
(1)这条直线叫做二面角的 ；
(2)两个半平面叫做二面角的 .
3.画法：
两个半平面
棱
面
4.记法：二面角 或二面角 或二面角 或二面角P－AB－Q.
5.二面角的平面角：(1)若有①O l；②OA α，OB β；③OA l，OB l，则二面角α－l－β的平面角是 .
(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
α－l－β
α－AB－β
P－l－Q
∈


⊥
⊥
∠AOB
知识点二　平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.
(2)画法：
(3)记作： .
直二面角
α⊥β
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直
符号语言 l⊥α， α⊥β
图形语言

垂线
l β
知识点三　平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面_____
符号语言 α⊥β，α∩β＝l， ， a⊥β
图形语言

交线
垂直
a α
a⊥l
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.组成二面角的平面角的两边所在直线所确定的平面与二面角的棱垂直.(　　)
2.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β.(　　)
3.若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l⊥β.(　　)
4.若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一平面.
(　　)
√
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
一、二面角的求法
解　由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
反思感悟
在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角.
跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：
①二面角D′－AB－D的大小为______.
45°
解析　在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，
所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角.
在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，
所以二面角D′－AB－D的大小为45°.
②二面角A′－AB－D的大小为______.
90°
解析　因为AB⊥平面AD′，
所以AB⊥AD，AB⊥AA′，
因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，
又∠A′AD＝90°，
所以二面角A′－AB－D的大小为90°.
二、平面与平面垂直的判定
例2　在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
证明　∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.
反思感悟
证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
跟踪训练2　如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，
求证：平面ABC⊥平面ASC.
证明　作SH⊥AC交AC于点H，连接BH，
∵SA＝SC，∴AH＝HC.
在Rt△ABC中，H是AC的中点，
∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH，
又AC∩BH＝H，AC，BH 平面ABC，
∴SH⊥平面ABC，
又SH 平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.
又SH＝SH，SA＝SB，
三、平面与平面垂直的性质定理
例3　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD 平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
反思感悟
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪训练3　如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC.
求证：AM⊥平面EBC.
证明　∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC 平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM 平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，BC，EC 平面EBC，
∴AM⊥平面EBC.
3
随堂演练
PART THREE
1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面
A.有1个 B.有2个
C.有无数个 D.不存在
1
2
3
4
5
√
解析　由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是
A.m⊥n，m∥α，n∥β
B.m⊥n，α∩β＝m，n α
C.m∥n，n⊥β，m α
D.m∥n，m⊥α，n⊥β
1
2
3
4
5
√
解析　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m α，
由面面垂直的判定定理，得α⊥β.
1
2
3
4
5
3.从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
√
1
2
3
4
5
解析　∵PE⊥α，PF⊥β，
∴P，E，F三点确定的平面垂直于α和β.
过点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，
易知l⊥OF且P，E，O，F四点共面，
则∠FOE为二面角的平面角，
如图①所示，
此时，∠FOE＋∠EPF＝180°，
∴二面角α－l－β的平面角为120°.
当点P的位置如图②所示时，
此时∠FOE＝∠EPF，
∴二面角α－l－β的平面角为60°.
4.下列命题正确的是
A.平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
B.若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α
C.若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β
D.若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α
1
2
3
4
5
√
解析　A项，平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β，故A错误；
B项，直线m与平面α内的一条直线平行，也可能m α，故B错误；
C项，平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线，只有当此直线在α内时才垂直于β，故C错误；
D项，a与平面α内的任意一条直线都垂直可以推出a⊥α，故D正确.
1
2
3
4
5
5.已知一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，若这两个二面角的平面角均为锐角，则这两个二面角的关系是
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.既不相等也不互补
√
解析　画图易得到满足已知条件的两个二面角相等或互补，若它们的平面角均为锐角，则这两个二面角相等.
1.知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的判定定理.
(3)平面与平面垂直的性质定理.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE